1.2.1函数的概念(2)
函数的概念
1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．比如，甲、乙两地相距30 km，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s＝12t，定义域是{t|0≤t≤2.5}，值域为{s|0≤s≤30}．对集合{t|0≤t≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤30}中都有唯一的数s＝12t和它对应．对函数概念的理解①“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A，而值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．例如，设集合A＝{x|x≠0，x∈R}，B＝R，按照确定的对应关系f：取倒数，对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，于是y＝f(x)＝1x就称为从集合A到集合B的一个函数．此时A是函数y＝1x的定义域，而值域D＝{y|y≠0，y∈R}，显然D≠B，但D⊆B．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝12x-D．A＝Z，B＝Z，f：x→y解析：对于A项，x2＋y2＝1可化为y=x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧判断一个对应关系是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y是x的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f (x )＝3x 2－5x ＋2．(1)求f (3)，(f ，f (a )，f (a ＋1)；(2)若f (x )＝0，求x ．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x 的方程，求解即可．解：(1)f (3)＝3×32－5×3＋2＝14，f()＝3×()2－5×()＋2＝8＋，f (a )＝3a 2－5a ＋2，f (a ＋1)＝3(a ＋1)2－5(a ＋1)＋2＝3a 2＋a ．(2)∵f (x )＝0，∴3x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝1或23x =．辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199． 答案：17 199 点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点． 实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )．谈重点(1)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x [2，＋∞)，[0,6) [－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}； (2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}； (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]． (4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1) [2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．相同，并且对应关系．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．释疑点 满足什么条件的两个函数相等 (1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f (x )＝x 和函数f (x )＝－x 的定义域相同，均为R ；值域也相同，均为R ，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：对于A 项，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C 项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D 项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数． 答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； (2)f (x )＝(x －1)0，g (x )＝1；(3)f (x )＝x ，g (x ) (4)f (x )＝|x |，g (x )．分析：求出函数f (x )与g (x )的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f (x )与g (x )的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f (x )的定义域是{x |x ≠1}，函数g (x )的定义域为R ，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R ，但是f (x )＝x ，g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区 判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y ＝f (x )，x ∈A 与函数u ＝f (t )，t ∈A 是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y = (2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=． 解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0) (0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1． 故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =+的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)． 辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由g(x)的取值范围，求x的取值范围．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x∈[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．【例5－1】(1)已知函数f(x)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(x)的定义域；(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．解：(1)设2x＋1＝t，由于函数y＝f(t)的定义域为[1,2]，故1≤t≤2，即1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤12，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)设2x＋1＝t，因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5，即3≤t≤5，函数y＝f(t)的定义域为[3,5]．由此得函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5．所以函数y＝f(x)的定义域为[3,5]．由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2,3]．点技巧求抽象函数定义域有技巧(1)正确理解函数的定义域就是自变量x的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f下括号内的范围是一样的，即f(t)，f(g(x))，f(h(x))中的t，g(x)，h(x)的取值范围相同．【例5－2】若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域．分析：f(x)＋f(－x)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x，－x都在[－2,1]这个区间内，从而f(x)＋f(－x)有意义．解：由题意，得2121xx-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x≤1．故g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0) (0，＋∞)，值域是(－∞，0) (0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y 1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)224321x x y x x -+=--； (6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}．∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)的取值范围求．≥0－1≥－1． ∴函数y－1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求．5142x y x -=+510(42)14442x x +--=+514(42)4442x x +-=+5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)， 又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++，当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭，则212u x +=(u ≥0)， 于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)．∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12． ∴函数y ＝x1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝xt =y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( )①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数． 答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝-的定义域是集合A ，函数g (x )＝+的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}．要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1． 因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0． 故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x+，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1． 于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝3．又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫⎪⎝⎭＝72． 【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________． 解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2， ∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2．∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2． 故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值． 令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)，于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)． 故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024． 答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x+． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现；(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1．证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+．由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+= …个.。
河北省承德市高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2.1 函数的概念(2)学案(无答案)新人教A版必修1
学习目标
1.理解函数符号“y=f(x)”的含义。
2.会求一些简单函数的定义域;会判断两个函数是否是同一个函数.
重点难点
理解函数符号“y=f(x)”的含义;函数的定义域.
方法
自主探究
一.探知部分：阅读课本17页18页内容.思考下面问题:
求函数定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑那些情形?
B．y＝ －1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
四.巩固部分：
1.下列各组函数相同的是( )
A．f(x)＝ 与g(x)＝x＋1B．f(x)＝ 与g(x)＝x·
C．f(x)＝2x＋1与g(x)＝ D．f(x)＝|x2－1|与g(t)＝
2.已知函数f(x)＝ ，又知f(t)＝6，则t＝________.
3.函数f(x)＝( －2)0＋ 的定义域是________．
4.函数y＝ 的定义域用区间表示为________
5.(2020·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x
6.已知函数f(x)＝ ＋ .
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))，g(f(2))的值；
(3)求f(g(x))的表达式．
2.函数f(x)＝ ＋ ，则函数f(x＋1)的定义域为( )
A. [0，＋∞)B. [1，＋∞)
C. [2，＋∞)D. [－2，＋∞)
3．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝ 与y＝x＋3
探究3.下列各对函数中，是相等函数的序号是________．
高一数学函数的概念2
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
（4）满足不等式 a x b 的实数
的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；
说明：
① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和 数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右 端点，称b-a为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就 有四种表示方法： 不等式表示法：3<x<7（一般不用）； 集合表示法：{x|3<x<7}； 区间表示法：(3,7)；Venn图
2．关于求定义域:
例1、（1）若函数 y
ax2 ax 1
a
的定义域是R，求实数a 的取值范围。
(2) 若函数 y f (x)的定义域为[1，1]，
求函数 y f (x 1) f (x 1)的定义域。
4
4
0
( x 0)
例2 、 已知
f
(
x)
x 1
的定义域应由不等式 a g(x) b 解出。
3．关于求值域：
例3、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
②f (x) 2 4 x
③y x
④y x2 4x 1, x [0,5]
x 1
；
⑤y 2x 4 1 x
例4、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1 时有最大值2，求a的值。
( x 0) ( x 0)
求f (1)、f (1)、f (0)、f { f [ f (1)]}
2．关于求定义域: （1）分母不等于零；偶次根式不小于零； 每个部分有意义的实数的集合的交集；符 合实际意义的实数集合
必修1课件1.2.1-2 函数的概念 (二)
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变 量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通 常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个 函数. 4．复合函数：设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，
则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11为复合函数.
2
a2
实数a 的取值范围(0,2].
复合函数
例如、y f (u ) u 2 , u R u g ( x) 2 x 1, x R 则y f [ g ( x)] (2 x 1) , x R.
2
例4．已知
f ( x) 的定义域为[-1,3]，
的定义域。 解：∵f(x)的定义域为[-1,3]，∴ 1 ∴
例2、求函数 y x 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得 ( x 2) 2 y xR y 2
2
函数的值域为 y | y 2} {
7 7 ∴函数的定义域为： , ) ( , ) ( 3 3
例3. 若函数
1 y ax ax 的定义域是R， a
2
求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,
1 ∴ ax ax 0恒成立， a a0 0 1 等价于 2 a 4a 0 a
例6．已知y=f(x+1)的定义域为[1,2]，求f(x)，f(x-3) 的定义域。 解：∵y=f(x+1)的定义域为[1,2]， 即f(x)的定义域为[2,3] 又∵f(x)的定义域为[2,3]， ∴ ∴
∴ 2 x 1 3
2 x3 3
1.2.1函数的概念
练习1. 已知f(x)的定义域为(-3,5],求函数f(3x-2) 的定义域；
题型(二):已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2 :已知f 2 x 1的定义域( 1,5], 求f ( x)的定义域
例4.已知f ( x 1) x 1, 则f ( x) ________ .
练习 2.已知f ( x 1) x 2 x , 则f(x) _____.
1 x 例5.已 知f ( ) , 则f ( x ) ________ . x 1 x
四.求函数值
例1.已知函数f(x)=3x2-5x+2，则f(2)=_____.
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为(a，b) （3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做 半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]
定义 {x|a≤x ≤ b} {x|a<x < b} {x|a≤x < b}
x 1, x 0 例5.已知函数 f ( x ) 2 x , x 0
则不等式f ( x ) 2的解集为 _______ .
例5. 画出函数y=|x|的图象.
x , x 0 y | x | x , x 0
y
图象如下：
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1
ax c n 方法： 把y 化为 y a 的形式 xb xm
x 1 例2.函 数y 的值域为 ________ . x 1
1.2.1(2)函数的定义域与值域
1.2.1《函数的概念》（二）导学案【使用说明】1、认真阅读课本，提前预习，明确基本概念，完成课前导学与自测部分， 要求：人人参与并独立完成；2、课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分；3、针对学生在预习环节可能解决不了的问题，课堂上教师进行点拨指导。
【学习目标】1、了解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域与值域；2、进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；【课前导学与自测】阅读课本，理解函数、定义域与值域的概念。
1、函数定义域与值域的概念函数的定义域是函数 的集合，给定了函数解析式，函数的定义域是；函数的值域是 的集合，函数值域是函数定义中集合B 的 .2.求函数的定义域：（1）()3+=x x f ； （2）()21+=x x f ； （3）()131f x x x =-++-。
（4）矩形周长为10，一边长为x ，则面积S=__________.,其定义域为__________.归纳如下：（1）如果f （x ）是整式，那么函数的定义域是 ；（2）如果f （x ）是分式，那么函数的定义域是使 ；（3）00 ；（4）如果f （x ）为偶次根式，那么函数的定义域是使 的实数的集合；（5）如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使 的实数的集合；（6）如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况。
3.求函数的值域：①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.eg ：求二次函数y=x 2-5x+6(-3≤x ≤2)的值域.注意：函数的定义域和值域要用 或 形式表示，这一点应注意。
2014年新课标人教A版必修1数学1.2.1函数的概念(2)随堂优化训练课件
R ．当 a＞0 ________
a＜0 时，
2 4 ac － b yy≤ 4a ． 值域为________________
练习 4：若函数 f(x)＝2x＋1，x∈{0,1,2,3}，则 f(x)的值域为 {1,3,5,7} ． __________ R ． 练习 5: 若函数 f(x)＝2x＋1(x∈R)，则 f(x)的值域为_____
解：(1)∵ x≥0，∴2 ∴y＝2 x＋3≥3.
x＋3 的值域为[3，＋∞)．
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4≤4， ∴y＝－x2－2x＋3 的值域为(－∞，4]．
x 1 1 ，且 (3)方法一：∵y＝ ＝1－ ≠0， x＋1 x＋1 x＋1
x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1 x y 方法二：∵y＝ ，∴x＝ .∴y≠1. 1＋x 1－y x ∴y＝ 的值域为{y|y≠1}． x＋1
1 则 f(2x＋1)有 1≤2x＋1≤2，解得 0≤x≤2，即 f(2x＋1)的定义
1 域为0，2.
答案：(1)[3,4] (2)[1,2]
1 (3)0，2
对于求抽象的复合函数的定义域，主要有三种 情形：①已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需 求不等式 a≤u(x)≤b 的解集；②已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]， 求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；③已知 f[u(x)]的定义域为 [a，b]，求 f[g(x)]的定义域，必须先利用②的方法求 f(x)的定义 域，然后利用①的方法求解．
(4)由题意知，函数 y 的定义域为{x|x≥1}．
令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1.
人教版高中数学必修一1.2.1函数的的概念_ppt课件
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；
(绝对经典)1.2.1函数的概念
a, b
x a x b 写成开区间
a, b
x a x b 写成左闭右开区间a,b
x a x b 写成左开右闭区间 a,b
另外还有 ,,a,,a,,,b,,b
例 1.已知函数 f x x 1 1
函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域，注意，值域是 B 的子集。
指出下列函数的定义域和值域，对应法则
（1） y 2x 1
（2） f x x2 2x 2
（3） g(x) 3 x
（4） h x 1 x 1
区间的概念及其写法介绍
当 a b 得时候
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 2.下列函数中，哪些函数与函数 f x x 相同
2
（1） g x x
（2） h x x2
（3） t t2
t
（4） k s 3 s3
1.2.1函数的概念
定义：一般地，设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中
的任意一个数 x ，在集合 B 中，都有唯一确定的数 f x 和它对应，那么就称 f : A B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f x,xA
其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，
x 2
（1）求 f x 的定义域；
（2）求
f
3 ,
f
2 3
（3）求 f x 1 并指出其中 x 的范围。
例 1.已知函数 f x x 1 1 x 20
高一数学函数的概念(2)(新编201912)
观察探索
1.炮弹的射高与时间的变化关系问题;
一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中 目标,炮弹的射高为845m,且炮弹距地面 的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化规 律为:
h=130t-5t2
2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系
问题.
近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出 现了臭氧层空洞问题.如下图中的曲线显示了南极 上空臭氧层空洞的面积从1979~2201年的变化情况.
；
文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出 指令。③采取信息化应急指挥系统，对于处理甲型H1N1流感这样的突发事件具有重要作用。 - 下面这段文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心 工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出指令。③采取信息化应急指挥系统，对于处理甲型H1N1流感这样的突发事件具有重要作用。 结果①把“在我省”移到“正式”前②删去“使”，或删去“通过”③“采取”改为“采用”，或 删去“采取”(3分，各1分)． 解析 149．下面语段中画线的三个句子都有语病，请把它们找出来，加以改正。（3分） 文化与修养共存，智慧与幸福同在。在很大程度上，人类精神文明的成果是以书籍的形式保存的。①一个真正的读者就要通过读书来最大限度地享用这些成果的过程。②一个人 能否成为真正的读者，关键在于他在青少年时期养成良好
人教版高中数学必修1学案：1.2.1函数的概念(2)
1．2.1函数的概念(2)一、三维目标：知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
掌握判别两个函数是否相等的方法。
情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。
二、学习重、难点：重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。
四、知识链接：1. 写出函数的定义：注：（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a 时的函数值。
（2）定义域是自变量x 的取值范围；（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。
2.集合的表示方法有： 。
五、学习过程：A 问题1. 区间的概念 （1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做 ,表示为 ；（3）满足不等式b x a <≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（4）满足不等式b x a ≤<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用 表示包括在区间内的端点，用 表示不包括在区间内的端点；实数集R 也可以用区间表示为 ，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+∞”读作“ ”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的集合分别表示为 。
高一数学必修一课件1.2.1函数的概念
定义域是R，值域是集合B，当a>0时，B={y︱ y≥ 4ac - b2},当a<0时，B={y︱y≤ 4ac - b}2. 对于R4中a 的任意一个数x，在B中都有4a唯一确定的
y = a素x2是+定b构x义+成c域函(a、数0对的) 和应三它关要对应.
3.y 系= k和(值k 域 0. ) x
定义域是A={ xR︱x≠0 }，值域是R.
对于集合A中的每一个x，在R中都有唯一确定的 值 y = k (k 0) 与它对应.
x
用实心点表示包括在区 与函数相间关内的的概端念点—，—用区空间心点表示
不包括在区间内的点.
定义 {x︱a≤x≤b} {x︱a<x<b}
域就是{x︱x<0}.
(2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}， 使分式 1 成立的实数的集合是{x︱x≠10}.所以，这
10 - x
个函数的定义域就是
{x︱x≥-2} {x︱x≠10}={x︱x ≥-2，且x≠10} .
例2 已知函数 f(x) = 3 - x + x + 1 - 1 （1）求f(-1)，f(0)的值； （2）当-1≤a ≤ 3时，求f(a)的值.
x
A. f ( x) ln x B. f (x) 1
x
C. f (x) | x | D. f ( x) e x
1
解析：y = x的定义域为{x|x>0},而 f ( x) ln x
的定义域也为{x|x>0}.
3．（2008 山东）设函数
f
(
x
)
高中数学 1.2.1函数的概念(第2课时)课件 新人教A版必
前后整体范围一致
f (x 1)的定义域为 (0,2]
定义域就是指x的取值范围
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, ) 求f ( x )的定义域
2
f ( x )的定义域为[2,) 2
本课小结
• 复习并巩固了函数的概念
下列函数的定义域。
(1) f (2x 1) (2) f (1 x) f (x)
(1)[1,0] (2)[0,1]
可简要概括为：
１.定义域仅指x的取值；
２.对同一对应法则括号里的
整体范围一致
题型二：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f (x 1)的定义域为[1,1],
求f ( x )的定义域 2
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
解：f (2x 1)中0 x 1
定义域就是指x的取值范围
1 2x 11
f (x 1)中1 x 1 1 0 x 2
练：已知f ( x 3)的定义域为[4,9], 求函数f (x)的定义域。
f (x)的定义域为：[1,0]
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, )
函数的概念
重庆市万州分水中学高中数学 1.2.1 函数的概念(2)学案 新人教A版必修1
重庆市万州分水中学高中数学 1.2.1 函数的概念（2）学案新人教A版必修1学习目标1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；2.掌握判别两个函数是否相同的方法.学习过程一、课前准备（预习教材P18~ P19，找出疑惑之处）复习1：函数的三要素是、、 .函数23xyx=与y＝3x是不是同一个函数？为何？复习2：用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝kx的定义域与值域，其中0k≠，a≠.二、新课导学※学习探究探究任务：函数相同的判别讨论：函数y=x、y=(x)2、y=32xx、y=44x、y=2x有何关系？试试：判断下列函数()f x与()g x是否表示同一个函数，说明理由？①()f x = 0(1)x-；()g x = 1.②()f x= x；()g x2x.③()f x= x 2；()g x = 2(1)x+.④()f x= | x | ；()g x2x.小结：① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.※ 典型例题例1 求下列函数的定义域 （用区间表示）.（1）23()2x f x x -=-； （2）()29f x x =-；（3）1()12f x x x =++-.试试：求下列函数的定义域（用区间表示）.（1）2()343x f x x x -=+-+-； （2）()94f x x x =-+-.小结：（1）定义域求法（分式、根式、组合式）；（2）求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.例2求下列函数的值域（用区间表示）： （1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）2()24f x x x =-+；（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.变式：求函数(0)ax b y ac cx d+=≠+的值域.小结：求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、拆分法、基本函数法.※ 动手试试练1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .练2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .三、总结提升※ 学习小结1. 定义域的求法及步骤；2. 判断同一个函数的方法；3. 求函数值域的常用方法.※ 知识拓展对于两个函数()y f u =和()u g x =，通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称它为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =. 例如21y x =-由y u =与21u x =-复合.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数()131f x x x =-++-的定义域是（ ）.A. [3,1]-B. (3,1)-C. RD. ∅2. 函数2132x y x -=+的值域是（ ）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33-∞+∞ C. 11(,)(,)22-∞--+∞ D. R 3. 下列各组函数()()f x g x 与的图象相同的是（ ）A.2(),()()f x x g x x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==+C.0()1,()f x g x x ==D.()||,()x f x x g x x ⎧==⎨-⎩(0)(0)x x ≥< 4. 函数f (x ) = 1x ++12x-的定义域用区间表示是 . 5. 若2(1)1f x x -=-，则()f x = .课后作业1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积y 关于x 的函数的解析式，并写出定义域.2. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.。
人教版数学必修一1.2.1函数的概念精品课件(共21张PPT)
§1.2.1函数的概念
(2) 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年 的变化情况：
§1.2.1函数的概念
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（ % ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
A={1991，1992，1993,1994, 1995, 1996, 1997，1998,1999,2000,2001} B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
记作: y=f(x),xA
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
1.2.1 函数的概念(2)
1.2.1 函数的概念（2）函数相等一、【学习目标】1、进一步理解函数的三要素；进一步熟悉区间的写法；2、深刻理解函数相等的含义，并会用此解决相关题目.【教学效果】：学习目标的出示，引起学生的学习兴趣.对于函数三要素的复习，起到了良好的作用.复习时引入一个实际函数有助于学生的理解.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，然后回答问题（函数相等）材料一：通过上一节课的学习，我们可以知道，构成一个函数的三要素是：定义域、值域和对应关系，譬如函数2)(x x f =的三要素为定义域：R ；对应法则：2x x →；值域：[]∞+，0 材料二：教材1.2.1 函数相等部分内容<1>指出构成函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应法则；指出二者的值域相同吗？由此你可以得出一个什么结论？<2>由题目<1>，你能理解函数相等的真正含义吗？结论：<1>函数y=x+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：x →x+1；函数y=t+1的构成要素为：定义域R ，对应关系：t →t+1；二者的值域都是R ，相同；由此我们可以知道，两个函数若是定义域和对应关系完全相同，则两个函数的值域相同；<2>如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等.(引申：若两个函数的值域和对应法则相同，两个函数相等吗？你能说出原因吗？)【教学效果】:对于材料一和材料二，由于教学内容很艰涩，所以要注意领学.领学占主要部分，学生的自学，在这一节要占次要部分.教学中出现一些问题，譬如学生实在是搞不清楚到底为什么三要素相同函数就相等？为什么只要定义域和对应法则相同值域就确定？这些问题的出现都是很正常的，关键是要在习题课作辅导，通过练习，让学生逐渐的明白其中的含义.三、【练习与巩固】自学教材1.2.1 例2，做练习一、二练习一：判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由 y=x-1，x∈R 与y=x-1，x∈N ；②y=4-x 2与y=2-x ·2x +；③y=1+x /1与u=1+x /1；④y=x 2与y=x 2x ；⑤y=f(x)与y=f(u).注意：两个函数是否相等，主要看函数的定义域和对应法则，若两个函数的值域明显不相同，则这两个函数肯定不相等.练习二：教材1.2.1 练习3.【教学效果】：对于第一个，学生们都能从定义域看出来，两个函数的定义域是不同的.但是对于第二个，学生们可能还是分的不是很清楚.要加强训练和锻炼.四、【作业】五、【小结】这节课主要讲了函数相等这一个数学内容，其中着重的复习了函数的定义域值域对应法则的相关知识.本节课的重点是理解定义，运用定义做题.但是由于刚刚的学习了区间的写法，应当注意的是引导学生多多的训练区间的写法，达到熟练的程度.六、【反思】有时候课堂上虽然学生很投入，但是还是有很多地方不能够理解.所以我们备课一定要备课堂、备学情，不能仅仅是备“课”而已.。
1.2.1函数的概念(2)
回顾3.函数 f ( x) 1 | x | 的定义域如何？怎 样表示？ 区间 问、 上述集合还有更简单的表示方法吗？
四、区间概念：
定义 名称 符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间 {x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用不等 式 怎样表示？ x a, x a, x a, x a 思考2：满足不等式 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合如何用 区间符号表示？ [a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
课题: 1、2、1函数的概念
第二课时
知识回顾
回顾1.什么叫函数？用什么符号表示函数？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确 回顾2.什么是函数的定义域？值域？ 定的数f(x)和它对应， 自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值.
五、复合函数 由简单函数复合而成 的函数叫做复合函数. 若y= f (u), u= g(x), 则y= f [g(x)],
例2. 已知 f －5x+2, g (x)=2x-1 求f(3), g(-1),f[g(1)],f[f(1)]. f [g(3)].
人教版高中数学必修一1.2.1函数的概念ppt课件
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
例2、求下列函数的定义域。
（1）
f (x)
1
(12x)(x1)
(2) f(x) x4 x2 1
(3) ；f(x) x1 2－ x
例3、 已知： f =(xx2)x+3 求：f(-1), f(a),
f(x+1), f(
1 )，f(x2),f(f(x)), x
注意： 1在 y f中(xf)表示对应法则，不同 的函数其含义不一样。
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数等。
1.[引例1](P15)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击
中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h
（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是
h13t 05t2 （﹡）
提出以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？ (2) 炮弹何时距离地面最高? (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和 集合B表示出来。 (4) 对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系
• 1930 年库拉托夫斯基(Kuratowski)用集合概念给出现代函数定义为“若对 集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上 定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
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思考：若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R， 求实数a 的取值范围。
小结：
本节课学习了以下内容： 区间的概念和记号，求函数定义域和值域 的基本方法。
(3) f (x) x 4 x 2 ;
说明：如果没有给出定义域，那么就认为函数的定 义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。
探究结论： (1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
如何订作业
7．试求下列函数的定义域与值域：
回忆上节课内容
复习: 函数的概念
1.定义:一般地，设A，B是两个非空的数集，如 果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这 样的对应叫做从A到B的一个函数
记作：y=f(x),x A
2.定义域:所有自变量x的值组成的集合A
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定 义域是 使各部分式子都有意义的实数集(即各集合的交集)
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
例3： 已知函数f(x)=3x2–6x+4 思考： (1)函数的值域是什么？
(2)函数1/f(x)的值域是什么？ (3)当x [0,3] 时函数的值域是什么？
(1)y ( x ) 2 (2)y 3 x 3 (3)y x 2 (3) y x2
x
2.判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个 函数，说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2
例4:已知函数 f (x) x 3 1 x2
x≤b
（-∞，b）
Байду номын сангаас
x<b
[a，+∞）
例1、试用区间表示下列实集： (1){x|5 ≤ x<6} (2) {x|x ≥9} (3) {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
例2．求下列函数的定义域, 用区间形式表示。
(1)
f (x)
(1
1 2x)( x
1)
；
(2) f(x) x 1 1 ； 2x
3.值 域:所有因变量y的值组成的集合 (或者所 有函数值组成的集合)
(1) 函数概念中的关键词是: ① A、B非空数集 ② 任意的x∈A，存在唯一的y∈B与 之对应
（2） 函数的三要素是什么？ ①定义域 ②对应法则 ③值域
判断两个函数相同的条件是： 两函数的三要素相同
练习：
1.下列函数中哪个与函数 y x 是同一函数？
(3)、满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
注意：用实心点表示包括在区间内的端点，用空 心点表示不包括在区间内的端点。
无穷大:∞
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
（ -∞ ，b]
x >a
（a，+∞）
(1) 求函数的定义域 (2)求 f ( 3), f ( 2), f ( f ( 1))的值
3 (3) 当a>0时,求f(a), f(a-1)的值。
练习：同步 P54 4
区间的概念:
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定：
(1)、满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为 [a,b]. (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间， 表示为 (a,b).