小学奥数之几何五大模型

、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等;

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图S ：S 2二a: b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图

S A ACD =S A BCD ；

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;

五大模型

反之，如果S

△ ACD

=s △

BCD

、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在 △ ABC 中，D, E 分别是 AB,AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上, 图

2），则 S A ABC £△ A DE

=（AB AC ）： （AD AE ）

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系 （蝴蝶定理”：

① S ： S 2 =S 4 ： S 3 或者 S 汉

汉 £ ② AO:OC =(S +S 2 )：(S4 +S3 )

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不 规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例 关系。 梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”）

2 2

① S I : S 3 = a : b

2 2

② S I : S 3: S? : S 4 = a : b : ab: ab ； ③ 梯形S 的对应份数为(a +b $。

E 在AC 上（如

1)

图2

四、相似模型

相似三角形性质:

金字塔模型

沙漏模型

① AD _ AE _ DE _ AF AB

_AC " BC _ AG

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它 们都相似），

与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模型

② ADE :

ABC

2 2

二 AF :AG 。

B

E C

S A ABG : S A

AGC = S A BGE : S A

EGC = BE : EC

S A BGA : S A

BGC =S A AGF ： S A

FGC =AF : FC

S ^AGC : S

^BCG = S d ADG ： DGB =AD : DB

典型例题精讲

3 —个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的

21平方厘米。问：长方形的面积是 _______________ 平方厘米。

0.15倍，黄色三角形的面积是

例1图

例2 如图，三角形田地中有两条小路 AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路， 他知道DF = DC , '乙“且AD =

2DE 。则两块地 ACF 和CFB 的面积比是 。

举一反三图

【拓展】如图，已知长方形 ADEF 的面积16,三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三 角形ABC 的面积

是多少？

拓展图

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示,

7, 7,则阴影四边形的面积是多少？

三个三角形的面积分别是 3

,

D B

E

例2图

例3 如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D , BC边延长2倍到E, CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是

如图，在△ ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于0,若厶AOM、△ ABO和

△ BON的面积分别是3、2、1，则△ MNC的面积是_______ 。

例4图

ABCD 是边长为12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C 、D 连成一个三角形，已知 这个三角形

在 AB 上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形 GDC 的面积是多少？

例5 如图，四边形

的面积。

EFGH 的面积是 66 平方米，EA = AB , CB = BF , DC = CG, HD = DA ,求四边形

ABCD

例6 如右图长方形 ABCD 中，EF = 16, F = 9,求 AG 的长。

【铺垫】图中四边形

B

B

例7 如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H ,已知AH = 5cm, HF = 3cm, 求AG。

例8 如右图，三角形ABC 中，BD : DC = 4 : 9, CE : EA= 4 : 3，求AF : FB。

例9 如右图，△ ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M , AF与BG交于N，已知△ ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ ABC的面积是多少平方厘米？

B D E F C

例9图

例10 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE= 2BE , CF = 2DF，连接BF , DE , 相交于点G,过G作MN, PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积

为％正方形PCNG的面积为生，贝U S： S2= ___________ 。