矢量及运算规则

x
方向角与方向余弦： , ,
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆ ( Ay By ) y ˆ ( Az Bz ) z ˆ A B ( Ax Bx ) x
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）：
A B | A | | B | cos

B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A
1 ˆ (3x ˆ 2y ˆ 6z ˆ) n 7
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
例4： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为
a
和 b，
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
z
a
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
C B
b
c ，则
x
y
c a k (b a )
A (B C) A B A C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ y ˆ 0, x ˆx ˆ 1, x ˆz ˆ 0, x ˆy ˆ 1, y ˆz ˆ0 y ˆz ˆ 1 z
求：确定垂直于 A、 B所在平面的单位矢量。 解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、 B 所在平面。
A B ˆ n A B
ˆ x 4
ˆ y
ˆ z
ˆ 10 y ˆ 30 z ˆ A B 2 6 3 15 x 3 1
| A B | 152 (10)2 302 35
c (1 k )a kb
其中：k 为任意实数。
z
A
矢量： A Ax x ˆ Ay y ˆ Az z ˆ 模的计算： | A | A2 A2 A2 x y z 单位矢量：
Ay A Ax A ˆ ˆ ˆ z z ˆ a x y | A| | A| | A| | A|
Az

o
Ax

Ay

y
ˆ cos y ˆ cos z ˆ cos x
ˆ ( Ay By ) y ˆ ( Az Bz ) z ˆ A B ( Ax Bx ) x
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积（数乘）： k 0 方向不变，大小为|k|倍
ˆ kA k | A | a k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
z o x y
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
ˆ Ay y ˆ Az z ˆ By y ˆ Bz z ˆ) ( Bx x ˆ) A B ( Ax x
ˆ ( Az Bx Ax Bz ) y ˆ ( Ax By Ay Bx ) z ˆ ( Ay Bz Az By ) x
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C A B

A
C
B
A
a.满足交换律： A B B A b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C) ( B D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
z
Az
A
在直角坐标系下的矢量表示:
有两矢量点积：
ˆ Ay y ˆ Az z ˆ By y ˆ Bz z ˆ) ( Bx x ˆ) A B ( Ax x
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
b.矢量积（叉积）：
ˆ A B | A | | B | sin c
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
V A ( B C) C ( A B) B (C A)
S B C
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
A ( B C) 0
A

C

B
在直角坐标系中：
ˆ x ˆ Ay y ˆ Az z ˆ ) Bx A ( B C ) ( Ax x Cx Ax Ay Az A ( B C ) Bx By Bz Cx C y Cz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
2.减法：换成加法运算 D A B A (B)
逆矢量： B 和 ( B) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。
D
B
A

A
D=A B
B
B
C
B
A
A B C 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ y By Cy
ˆ z Bz Cz
b.矢量三重积： A ( B C ) ( A C )B ( A B)C
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
例2：设
ˆy ˆz ˆ 3y ˆ 2z ˆ, r2 x ˆ r1 2 x ˆ y ˆ 3z ˆ 2y ˆ 5z ˆ, r4 3x ˆ r3 2 x
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。 解： 3x ˆ 2y ˆ 5z ˆ ˆy ˆz ˆ 3y ˆ 2z ˆ y ˆ 3z ˆ) b( x ˆ) c( 2 x ˆ) a (2 x ˆ ( a 3b c) y ˆ (a 2b 3c) z ˆ (2a b 2c) x 则：
ˆ c
B
•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A,
A B B A
A
推论2：服从分配律： A (B C) A B A C 推论3：不服从结合律： A ( B C) ( A B) C
一、矢量和标量的定义
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
ˆ 矢量表示为： A | A | a
其中： | A | 为矢量的模，表示该矢量的大小。
ˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 a
两矢量的叉积又可表示为：
ˆ x A B Ax Bx
ˆ y Ay By
ˆ z Az Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
（3）三重积： a. 标量三重积 （混合积）
A B C | A || B || C | sin cos
S B C
A

C

B
含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。
2a b 2c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
推论：一个矢量可以表示为任意三个不共面矢量的线性组合， 亦即，一个矢量可以沿三个不共面的方向分解。
电磁场与பைடு நூலகம்磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则
例3： 已知
ˆ 6y ˆ 3z ˆ 3y ˆz ˆ， B 4 x ˆ A 2x
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量和标量的定义
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
ˆ 6x
图示法：
ˆ y/ y
ˆ 6x
ˆ x /x
F
力的图示法：
FN
F FN Ff
Ff
G
二、矢量运算规则
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆ, y ˆ, z ˆ 表示。 三个方向的单位矢量用 x
根据矢量加法运算：
o
Ax
Ay
A Ax Ay Az
其中：
y
x
ˆ, Ay Ay y ˆ , Az Az z ˆ Ax Ax x
所以： A Ax x ˆ Ay y ˆ Az z ˆ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量运算规则