八年级上册第五章二元一次方程组知识点整理
八年级数学二元一次方程组知识点
八年级数学二元一次方程组知识点
以下是八年级数学二元一次方程组的主要知识点：
1. 二元一次方程组的定义：由两个未知数的一次方程组成的方程组。
2. 解二元一次方程组的方法：
a. 消元法：通过变换方程组中的某一方程使得两个方程的系数相同，从而使得方程组中某个未知数的系数为零，然后解得另一个未知数，再回代求解另一个未知数。
b. 代入法：将一个方程的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程，得到包含一个未知数的一次方程，从而解出这个未知数，再代入另一个方程解出另一个未知数。
3. 方程组的解的情况：
a. 有唯一解：方程组有一个解，即两个方程表示的直线在某一点相交。
b. 无解：方程组的两个方程表示的直线平行，不相交。
c. 无穷多解：方程组的两个方程表示的直线重合，有无穷多个解。
4. 方程组解的判断：
a. 可以通过将解代入方程组中验证方程组是否成立，以确定解是否正确。
b. 可以通过画出方程组所表示的直线来观察直线的相交情况，以判断方程组是否有解及解的情况。
5. 方程组应用题：将实际问题转化为方程组，通过解方程组求解实际问题，如两个人同时出发，相遇时互相报告行进的时间等问题。
这些是八年级数学二元一次方程组的主要知识点，希望对你有帮助。
八年级数学上册第五章二元一次方程组本章归纳总结
第一页，共二十页。
知识结构
第二页，共二十页。
释疑 解惑 (shìyí)
1. 二元一次方程的概念.
含有(hán yǒu)两个未知数，并且含有(hán yǒu)未知数项的次数 都是1,同时还必须是整式方程才叫做二元一次方程.
第三页，共二十页。
2.二元一次方程组的解法.
第十三页，共二十页。
（2）由（1）可知，甲生产线所对应的函数图象一定经过两 点A(0,200)，B(20,600),乙生产线所对应的函数图象一定经过 两点O（0,0）和B（20,600）,画出两个(liǎnɡ ɡè)函数图象如图所
示.
由图象可知,第15天结束时,
甲生产线的总产量高；
第25天结束时,乙生产线的总产量高.
（1）已知x，y满足(mǎnzú)方程组3x+y=5
则 x-y=
1
.
x+2y=4
① ②
5
（2）已知方程组 3x+2y=m+2 ①
2x+3y=m ②
的解适合方程 x+y=8.求 m 的值.
m=19
注意:解方程组时，可以根据方程组的特点灵活 (línɡ huó)求解,使计算简便，切不可生搬硬套.
第四页，共二十页。
x=3 分析：把 y=-2代入方程组，可以(kěyǐ)得到关于 a，b的 方程组，解这个方程组，即可求得a，b的值.
第八页，共二十页。
第九页，共二十页。
分析：本题考查用加减法解二元一次方程组，相同(xiānɡ tónɡ)未
知数的系数的差都是1，可反复利用加减消元法.
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第十一页，共二十页。
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第五章 二元一次方程组-八年级数学上册教学课件(北师大版)
2
x
7.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在
同一条直线上．
解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．
由题意可知，
1 = 3 +
=1
∴
−2 = 0 +
= −2
∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．
∵当x=4时，y=4-2=2．
∴点C（4，2）在直线y=x-2上．
次函数的图象的关系
方程组的解是对应的两条直
线的交点坐标
两条线的交点坐标是
对应的方程组的解
做一做
x+2y=10
1.二元一次方程组
A.
C.
x=4
y=2x
的解是( C )
x=3
B.
y=3
y=6
x=2
x=4
y=4
D.
y=2
2.解下列方程组.
y=2x
(1)
(2)
x+y=12
解： (1)
4x+3y=65
x=4
设：设未知数．
列：根据等量关系，列出方程组．
解：解方程组，求出未知数．
答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
知识点五 二元一次方程组与一次函数
二元一次方程和一次
函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标
的点都在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标
都适合对应的二元一次方程.
二元一次方程组和一
(2)把这个含x的代数式代入另一个方程中，
消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
(3)解一元一次方程，求出x的Байду номын сангаас;
北师版八年级数学上册第五章 二元一次方程组1 认识二元一次方程组
条件
①整式方程；②含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数是 1
一般 形式
ax+by=c( a， b， c 为常数，且 ab ≠ 0)
示例 x－2y+1=0， x+y=5
知1－讲
特别提醒 “所含未知数的项的次数都是1”不可理解为
两个未知数的次数都是1， 例如2xy＋1＝0 不是二 元一次方程.
知1－练
(1) ቊy=x－=3，5； (2) ቊxy==20，.
感悟新知
解题秘方：将每组数值分别代入二元一次方程组 中的每个方程检验，既满足方程①， 又满足方程②的就是此二元一次方程 组的解，否则就不是此方程组的解．
知4－练
感悟新知
知4－练
解：把ቊy=x－=3，5； 代入方程组，发现不满足方程 ②，所以ቊy=x－=3，5； 不是原方程组的解； 把ቊxy==20，. 代入方程组，发现满足方程①②，所以 ቊx=2，是原方程组的解．
③ቐx1x＋＋2yy＝＝24；，④ቊ2xx2＋－yy＝＝35，.
感悟新知
知识点 3 二元一次方程的解
知3－讲
定义 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做 这个二元一次方程的一个解
示例 x=6， y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作ቊx=y=62，
判断 判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将 方法 这对数值代入方程，看等式是否成的项xy 的次数不是1； ②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有 3个未知数. 只有④满足，④中的π是常数. ⑤方程组中第 二个方程含未知数的项 x2， y2 的次数都为 2. 所以二元 一次方程组有 1 个 .
答案：A
知2－练
2-1. 下列方程组不是二元一次方程组的是_②__③__④__.(填序号) ①ቊ4xx＋－yy＝＝1205，；②ቊxy＋－yz＝＝35；，
北师版八年级数学上册第五章 二元一次方程组4 应用二元一次方程组——增收节支
销售、增长率问题 列
增收节支
表
储蓄问题
分 析
行程问题
法
感悟新知
解题秘方：根据题意和表格中的数 据，可以列出 知1－练 相应的方程组，然后求解即可 .
解：由题意，得ቊ1.25x+x1+.y3=y5=2502，0+140，
解得ቊxy==322000，. 所以 1.25x=400，1.3y=260. 答： 2023 年进口额是 400 亿元，出口额是 260 亿元 .
第五章 二元一次方程组
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
学习目标
1 课时讲解 列方程组解决增收节支问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 列方程组解决增收节支问题
知1－讲
常见问题 数量关系 ( 或等量关系 )
注意
①增长(降低)率 =
审题时，①看清是
增长(降低) 率问题
800，解得xy＝＝3500.，
答：A 种服装购进 50 件，B 种服装购进 30 件．
感悟新知
知1－练
(2)如果 A 种服 装 按标 价 的 8 折出售， B 种服装按 标价的 7 折出售，那么这批服装全部售完后，服 装店的毛利润为__1__3_6_0__元 .
知1－练
例3 张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公 共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车 的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m， 求张明前进的速度和公共汽车的速度.
由题意，得ቊ71(0x(＋x－y)y＝)＝14104，0. 解得ቊyx＝＝31.7， 答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为 3 km/h.
八年级二元一次方程知识点
八年级二元一次方程知识点在初中数学中，二元一次方程是一个非常重要的知识点，需要在八年级阶段系统地学习掌握。
本文将为大家介绍二元一次方程的相关知识点。
一、二元一次方程的定义二元一次方程是指一个含有两个未知数的方程，并且每个未知数的最高次数都是一次。
一般的形式如下：ax + by = c其中，a、b、c为已知数，x、y为未知数。
二、二元一次方程的解法1. 消元法消元法是二元一次方程最常用的解法之一，具体步骤如下：将其中一个未知数用另一个未知数的系数和常数表示出来，代入原方程中，得到只含有一个未知数的方程，解出该未知数的值，再代入原方程中求出另一个未知数的值。
2. 代入法代入法也是常用的解法之一，具体步骤如下：将其中一个方程中的一个未知数用另一个未知数的值替换，将该未知数的值代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程，解出该未知数的值，再代入原方程中求出另一个未知数的值。
3. Cramer法则Cramer法则是一种比较笨拙的解法，但是对于学习线性代数的同学还是很有用的。
其具体步骤如下：设线性方程组的系数矩阵为A，变量矩阵为X，常数列矩阵为B，则有AX=B设行列式为D，有D=│A│则X1=│A1│/D,X2=│A2│/D其中A1和A2即为将B列向量替换对应列向量所得的新矩阵的行列式。
三、二元一次方程的应用二元一次方程的应用非常广泛，主要用于解决实际生活中的问题。
下面我们就来看一些例子：1. 小明有20元人民币和5元人民币各n张，他一共有50元钱，那么他有多少张20元人民币和多少张5元人民币？解：设小明有x张20元人民币，y张5元人民币，则有以下两个方程：20x + 5y = 50x + y = n将第二个方程中的y用n-x代入第一个方程中，可得20x + 5(n-x) = 50化简可得x = 2代入第二个方程可得y = n-2因此，小明有2张20元人民币和n-2张5元人民币。
2. 赛跑时，两人分别以a m/s和b m/s的速度起跑，在t秒后，一个人比另一个人领先了d米，那么t秒后两人分别跑了多少距离？解：设两人距离起点位置的距离分别为x1和x2，则有以下两个方程：x1 = at + dx2 = bt将第一个方程中的t用(x1-d)/a代入第二个方程中，可得x2 = bx1/a - bd/a代入第一个方程可得x1 = a(x1-d)/a + d化简可得x1 = (ad)/(a-b)x2 = (bd)/(a-b)因此，t秒后第一个人跑了(ad)/(a-b)米，第二个人跑了(bd)/(a-b)米。
八年级数学上册《第五章2 求解二元一次方程组》讲解与例题
《第五章2 求解二元一次方程组》讲解与例题1．用代入消元法解二元一次方程组(1)代入法的概念：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方式称为代入消元法，简称代入法． (2)代入法解二元一次方程组的大体思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为：①变形：从方程组当选一个系数比较简单的方程，将那个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y ，用含x 的代数式表示出来，得y ＝ax ＋b .②代入：将y ＝ax ＋b 代入另一个方程中，消去y ，取得一个关于x 的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出x 的值．④求值：把求得的x 的值代入y ＝ax ＋b 中，求出y 的值，从而取得方程组的解．⑤把求得的x ，y 的值联立起来确实是方程组的解．谈重点 代入消元法解二元一次方程组代入消元法是通过代入将“二元”变成“一元”的，表现了“转化”的思想方式．关于一样形式的二元一次方程用代入法求解关键是选择哪个方程变形，消什么元，选取的适当往往会使计算简单，而且不易犯错，选取的原那么是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③假设未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去．如此就把二元一次方程组转化为一元一次方程了．总之，用代入消元法解二元一次方程组时，必然要使变形后的方程比较简单或代入消元后化简比较容易，如此不但幸免错误，还能提高运算速度．【例1－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝5，2x ＋3y ＝7. ①②分析：方程①中y 的系数为－1，容易把它化为用含x 的代数式表示y ，故把①变形为y ＝3x －5③，然后代入方程②转化为关于x 的一元一次方程求出x ，再代入③求出y 即可．解：把①变形为y ＝3x －5.③把③代入②，得2x ＋3(3x －5)＝7.解得x ＝2.把x ＝2代入③，得y ＝1.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.析规律 用代入消元法解方程的条件当有一个方程的某个未知数的系数为1或－1时，选择该方程变形，并用含另一个未知数的代数式表示该未知数，然后代入另一个方程． 【例1－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －7y ＝3，3x －8y ＝10. 分析：这两个方程中未知数的系数都不是1，那么如何求解呢？消哪个未知数呢？若是将2x －7y ＝3写成用一个未知数来表示另一个未知数，那么用x 表示y ，仍是用y 表示x 好呢？观看方程组，因为x 的系数为正数，且系数也较小，因此应用y 来表示x 较好．解：由方程2x －7y ＝3变形，得x ＝7y ＋32. 将x ＝7y ＋32代入方程3x －8y ＝10，得 3×7y ＋32－8y ＝10，解得y ＝115. 再把y ＝115代入x ＝7y ＋32，得x ＝465. 因此原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝465，y ＝115.2．用加减消元法解二元一次方程组(1)加减法的概念：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边别离相加或相减，从而消去那个未知数，取得一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方式叫做加减消元法，简称加减法． (2)加减法的大体思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边别离相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：①变形：方程组的两个方程中，若是同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去那个未知数，取得关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去那个未知数，取得关于另一个未知数的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而取得方程组的解． ⑤求得的两个未知数的值联立起来确实是方程组的解．谈重点 加减消元法解二元一次方程组当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一样选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程别离乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解，但必需注意，在方程两边同乘以某个数时，每一项都要乘，尤其常数项不要漏乘．【例2－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝4，① 2x ＋5y ＝1.②分析：两个方程中未知数y 的系数正好互为相反数，可将两方程直接相加消元求出x ，再代入①或②求出y 即可． 解：①＋②，得5x ＝5，x ＝1.把x ＝1代入②，得y ＝－15.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－15.点技术 巧用加减消元法 当方程组中两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法进行消元．【例2－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝1， x ＋3y ＝4.①②分析：两个方程中的未知数x 的系数成倍数关系，可通过将x 的系数化成相等后消元，求出y ，再代入②求出x 即可．解：由②×3，得3x ＋9y ＝12.③③－①，得11y ＝11，y ＝1.把y ＝1代入②，得x ＝1.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 析规律 变系数，用加减消元法解方程组若是方程组中未知数的系数的绝对值不相等，这时能够转变其中一个未知数的系数，使其系数的绝对值相等．3．灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组本节的重点是灵活选用代入法或加减法解二元一次方程组，专门是在实际情景中的应用，难点是需变形的二元一次方程组的求解问题． 【例3－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋y 4＝1，0.3x ＋0.4y ＝1.6.①,②分析：方程组中的系数是分数或小数，一样要化成整数后再消元．方程①可化为4x ＋3y ＝12，方程②可化为3x ＋4y ＝16，利用加减法求解即可．解：①×12，②×10得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝12，③3x ＋4y ＝16.④③＋④，得7x ＋7y ＝28，即x ＋y ＝4.⑤③－④，得x －y ＝－4.⑥解由⑤、⑥组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4.点评：当二元一次方程组的形式较复杂时，一样要把它化为形式简单的方程组，再消元求解．【例3－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝x －26－x －y 2，2x ＝x ＋2y3＋2.分析：先化简，再观看系数的特点，再选择方式求解．解：化简方程组，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝10，①5x －2y ＝6.②①×2＋②×3，得19x ＝38，x ＝2.把x ＝2代入①，得y ＝2.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2.析规律 化简较复杂的方程组为大体形式当方程组比较复杂时，应通过去分母，去括号，移项，归并同类项等，使之化为⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2的形式(同类项对齐)，为消元制造条件．4．换元法解二元一次方程组换元消元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题取得简化，这种方式叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，使复杂问题简单化，使问题变得容易处置． 换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，能够把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，或把条件与结论联系起来，或变成熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元法要注意变量之间的等价性，消元的实质是由繁到简、由难到易、由多(元)到少(元)的转化方式．析规律 用换元法解二元一次方程组当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有必然的规律时，能够考虑利用换元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y 2＋x －y 3＝13，x ＋y 3－x －y 4＝3.分析：考虑方程组的结构尽管比较复杂，但仍是有必然的规律：x ＋y 和x －y 的相同因子．故能够通过换元，设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，如此就能够够化复杂为简单，从而能快速、准确地求解．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，那么原方程组可变形为⎩⎪⎨⎪⎧ 12m ＋13n ＝13，13m －14n ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋2n ＝78，4m －3n ＝36， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝18，n ＝17.因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝18，x －y ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝352，y ＝12. 故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝352，y ＝12.5．整体思想解二元一次方程组整体思想：利用整体代入法或整体加减法解二元一次方程组可避繁就简、减少错误、简化运算．如解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y －2＝0， ①2x －3y ＋57＋2y ＝9.②通过观看两个方程都有2x －3y ，于是考虑整体代入②即可．由①得2x －3y ＝2，③把③代入②，得2＋57＋2y ＝9.解得y ＝4. 把y ＝4代入①得2x －3×4－2＝0，解得x ＝7.故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4.析规律 用整体思想解方程组解题时要注意观看两式子的一起部份，把它们看成一个整体．利用“整体思想”能够避繁就简地帮忙解决问题．【例5】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧6(x －y )－7(x ＋y )＝21，2(x －y )－5(x ＋y )＝－1. 分析：方式一：将两个方程化简后，再利用代入法解答；方式二：依照方程组的特点考虑把(x ＋y )，(x －y )看成一个整体，利用整体加减法解答． 解法一：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋13y ＝－21，3x ＋7y ＝1. ①②①×3－②，得32y ＝－64，y ＝－2.把y ＝－2代入①，得x ＝5.故原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－2.解法二：⎩⎪⎨⎪⎧ 6(x －y )－7(x ＋y )＝21，2(x －y )－5(x ＋y )＝－1.①② 把(x ＋y )、(x －y )看成整体，①－②×3，得x ＋y ＝3.③把③代入②，得2(x －y )－5×3＝－1，即x －y ＝7.④由③、④联立方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝7，x ＋y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝－2.。
2023年北师版八年级上册数学二元一次方程组知识点及练习题
学易佳教育中心八年级上册第五章二元一次方程组基础知识1.二元一次方程具有两个未知数, 并且所含未知数旳项旳次数都是1旳整式方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程旳解适合一种二元一次方程旳一组未知数旳值, 叫做这个二元一次方程旳一种解。
3.二元一次方程组具有两个未知数旳两个一次方程所构成旳一组方程, 叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组旳解二元一次方程组中各个方程旳公共解, 叫做这个二元一次方程组旳解。
5.二元一次方程组旳解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法6.一次函数与二元一次方程（组）旳关系:（1）一次函数与二元一次方程旳关系:直线y=kx+b上任意一点旳坐标都是它所对应旳二元一次方程kx- y+b=0旳解（2）一次函数与二元一次方程组旳关系:二元一次方程组 旳解可看作两个一次函数和 旳图象旳交点。
当函数图象有交点时, 阐明对应旳二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时, 阐明对应旳二元一次方程组无解。
【基础训练】1.下列方程是二元一次方程旳有: ___________________（只填序号）①093=-+y x ②012232=+-y x ③202=+y x ④113=-yx ⑤3A-4B=70 ⑥x 2+10=02.甲种物品每个4kg, 乙种物品每个7kg 。
既有甲种物品x 个, 乙种物品y 个, 共76kg.(1)列出有关x,y 旳二元一次方程组_____________________________(2)若x=12,则y=___________(3)若有乙种物品8个, 则甲种物品有_________个。
3、小明从邮局买了面值50分和80分旳邮票共9枚, 花了6.3元, 小明买了50分邮票枚, 买了80分邮票枚, 则根据题意可列方程组：___________________⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 22122b c x b a y +-=4.、下列四组数值中, 哪些是二元一次方程旳解_______________（1）⎩⎨⎧=-=;6,2y x （2）⎩⎨⎧==;4,3y x （3）⎩⎨⎧==;3,4y x （4）⎩⎨⎧-==.2,6y x 5.、二元一次方程组旳解是（ ）（A ）⎩⎨⎧==;3,4y x （B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x（D ）⎩⎨⎧==.2,4y x 6.用代入消元法解下列方程组:1. 2、7、用加减消元法解下列方程组:1. 2、3. 4.【巩固提高】一、填空题:1. 已知/是有关x,y 旳二元一次方程, 则m ＝ .2.假如/是一种二元一次方程, 那么数/= , /= .3.假如/是同类项, 那么 /= , /= .4.请写出方程x+2y=7旳一种正整数解是 .5./中, 若/则/_______.6.由/_______, /_______.7.假如那么_______. 8. 已知二元一次方程/当/时, y ＝ .9. /是二元一次方程2x ＋by ＝－2旳一种解, 则b 旳值等于 .10. 已知/和/都是ax ＋by ＝7旳解, 则a ＝ , b ＝ .11. 已知/, 则x ＋y ＝ .12. 若方程组/旳解是/, 则/.13. 某年级有学生246人, 其中男生比女生人数旳2倍少3人, 问男女学生各多少人, 设女生人数为x 人, 男生人数为y 人, 可列方程组为 .⎩⎨⎧=-=+.232,12y x y x =-+-+3962242y x y x14.购面值各为20分, 30分旳邮票共27枚, 用款6.6元。
北师大版八年级上册第五章二元一次方程组知识总结和易错题总结
第五章二元一次方程组本章学习目标1二元一次方程应同时满足三个条件：一方程中含有两个未知数；二所含未知数的项的次数都是1；必须是整式方程。
2二元一次方程组的解：各个方程的公共解。
二元一次方程的解有无数个。
3求解二元一次方程组：代入消元法和加减消元法4解二元一次方程组的步骤：变形-加减(代入)-求解-回代-写解 5列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量(方法：列举，画线段图，画草图等等) 找：找出等量关系 设：设出两个未知数列：根据等量关系列方程组 解：解方程组验：检验所得的解是否是方程组的解，并且检验是否符合题意。
答：写出答案，包括单位。
6增收节支常见问题中的数量关系 增长或降低率问题：增长率=增量基数×100% 降低率=减量基数×100%增长后的数量=基数×(1±增长(降低)率) 销售问题：销售额=售价×销量总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=(售价-进价)×销量，利润率=利润进价×100%，打折后的价格=原价×打折数×110储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息 7里程碑上的数数字问题：一个两位数，若十位数字是x ，各位数字是y ，则这个两位数可表示为10x+y一个三位数，若百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数表示为100a+10b+ca 是一个两位数，b 是一个三位数，若把a 放在b 的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为1000a+b 行程问题：相遇问题的等量关系是 路程之和等于总路程 追击问题的等量关系是 路程之差等于相距的路程 工程问题：工作了=工作效率×工作时间，合作的效率=各单独做的效率和 8二元一次方程与一次函数的关系一、方程中的x ，y 和函数中的x ，y 有不同的含义，在二元一次方程中的x ，y 是未知数，在一次函数中的x ，y 均为变量。
八年级数学上册第五章知识点归纳
八年级数学上册第五章知识点归纳在我们上学期间，大家都没少背知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
掌握知识点是我们提高成绩的关键！以下是小编精心整理的八年级数学上册第五章知识点归纳，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
八年级数学上册第五章知识点归纳1 1、二元一次方程①二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
②二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
2、二元一次方程组①含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
②二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
③二元一次方程组的解法代入（消元）法加减（消元）法④一次函数与二元一次方程（组）的关系：一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解可看作两个一次函数和的图象的交点。
当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。
八年级数学上册第五章知识点归纳21、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7 ,3 √2等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /?+8等；有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等2、实数的倒数、相反数和绝对值①相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
②绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
八上数学二元一次方程必背知识点总结
第五章 二元一次方程组1、判断二元一次方程的方法：①整式方程（即分母中没有字母）②只含有两个未知数；③含未知数的项的次数都是 1.④两个未知数的系数都 ≠02、若Ax B +Cy D =5是二元一次方程，则 A ≠0，B=1，C ≠0，D=1 .3、二元一次方程组．： 共．含有两个未知数的两个．．一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．. 4、解：①适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，二元一次方程有无数个解.【看到解就代入】.②二元一次方程组中各个方程的公共解．．．，叫做这个二元一次方程组的解. 看到解就代入，方程组中的两个方程都能代入.5、用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①变形：变为x= 或y= .①代入消元①解一元一次方程①回代①检验 ①写解: ①原方程组．的解是 {x = y = .6、用加减消元法解二元一次方程组的步骤：①变形：使两个方程中其中一个未知数的系数相等或互为相反数.①加减消元：若两个方程中其中一个未知数的系数相等，就将两个方程相减；若两个方程中其中一个未知数的系数互为相反数，就将两个方程相加.①解一元一次方程①回代①检验 ①写解: ①原方程组．的解是 {x = y = .7、增收节支公式：原量×（1 + 增长率）= 新量 { 例如 今年比去年增加20%，那么（1+20%）×去年的量=今年的量 } 原量×（1 - 亏损率）= 新量利润 = 总收入 - 总支出利润率=总收入−总支出总收入×100%打x 折后的价钱=原价×x 108、数字的表示：①一个两位数的十位数字是 x ，个位数字是 y ，则这个两位数可表示为 10x + y ；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为____10y + x _____．①一个三位数，若百位数字为 x ，十位数字为 y ，个位数字为z ，则这个三位数为：__ 100x + 10y + z______. ①两位数 x 放在两位数 y 的左边，组成一个四位数，因此用 x ，y 表示这个四位数为__ 100x+y______． 如果将 x 放在 y 的右边，那么得到一个新的四位数为_____100y+x ______．①一个两位数，十位上的数是 x ，个位上的数是y ，如果在它们之间添上零，那么得到的三位数为 100x+y ．9、相遇问题：10、追及问题：11、二元一次方程组与一次函数的关系:二元一次方程的解． 与 一次函数图象上点的坐标．．一 一对应. 二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2的解． 就是 一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2的交点坐标．．．． ①若二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2 无．解．，则一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2平行．．，即k 1=k 2. ①若二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2有1．个．解．，则一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2相交．．，即k 1≠k 2，b 1=b 2. ①若二元一次方程组 { y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2有无数个．．．解．，则一次函数y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2重合．．， 即k 1=k 2，b 1=b 2.。
5.2 求解二元一次方程组-知识考点梳理 北师大版数学八年级上册课件
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变式衍生2
若 x，y 满足（x＋y）2＋|x－y－2|＝0，
重
难
题 则 x，y 的值分别是（ C ）
型
A. －1，1
B. 1，1
突
破
C. 1，－1
D. 无法确定
5.2 求解二元一次方程组
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解题通法
把非负数和为 0 问题转化成二元一次方程
重
难
题 组的问题是解题的关键.
（2） − 的平方根.
5.2 求解二元一次方程组
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［解析］根据题意得到等式 2 020（x＋y）2+
重
难
题
+ − =0，即 x+y=0，
型
突 程组解题即可.
破
+ − =0，联立方
5.2 求解二元一次方程组
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重
［答案］ 解：（1）∵2 020（x＋y）2 与 ቚ + −
难
题
2
型 ቚ的值互为相反数，∴2 020（x＋y） ＋ + − ＝0
突
破 ，
+ = ，
= ，
∴ቐ
解得ቊ
= .
+ − = .
（2）当 x＝－1，y＝1 时，
以
− 的平方根是± ．
− ＝
＝3，所
5.2 求解二元一次方程组
5.2 求解二元一次方程组
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重
+ = ，
北师版八年级数学上册第五章 二元一次方程组2 求解二元一次方程组
2x－3y＝1，
(2)ቐy＋1 4
＝
x＋2 3
.
解题秘方：紧扣用代入消元法解二元一次方程组
的步骤解方程组.
知1－练
(1)൝2xx＋＋53y＝y＝1－；1②9，① 解：由②，得x＝1－5y. ③ 把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19. 解这个方程，得y＝3. 把y＝3 代入③，得x＝－14.
所以这个方程组的解是ቊxy＝＝3－. 14，
个方程
消去一个未知数， 将二元一次方程 组转化为一元一
次方程
变形后的方程只
能代入另一个方 程(或另一个方 程变形后的方程)
续表
知1－讲
步骤
具体做法
目的
注意事项
(3) 求解
解消元后的一元一 次方程
求出一个未知数 的值
去括号时不能漏乘， 移项时所移的项要
变号
(4) 回代
把求得的未知数的 值代入步骤(1)中变
转化 一元一次方程
数的值
求出另一个 未知数的值
表示为 ቊxy＝＝……， 的形式
知2－讲
注意事项
回代时选择系 数较简单的方
程
用“｛”将未 知数的值联立
起来
特别提醒
知2－讲
1. 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，
解方程组应考虑用加减消元法.
2. 如果两个未知数中，同一未知数的系数的绝对值既不相等
又不成倍数关系，我们应设法将其中一个未知数的系数的
知1－练
知识点 2 加减消元法解二元一次方程组
知2－讲
1. 加减消元法的定义 通过将两个方程相加(减)消去其 中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 简称加减法.
八年级数学二元一次方程组知识点总结
八年级数学二元一次方程组知识点总结二元一次方程是指含有两个未知数(例如x和y)，并且所含未知数的项的次数都是1的方程。
两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组。
下面是整理的八年级数学二元一次方程组知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
八年级数学二元一次方程组知识点1、认识二元一次方程组①含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程②共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组③二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解2、求解二元一次方程组①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法②通过两式子加减，消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法3、应用二元一次方程组①鸡兔同笼4、应用二元一次方程组①增减收支5、应用二元一次方程组①里程碑上的数6、二元一次方程组与一次函数①一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线②一般地，从图形的角度看，确定两条直线相交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解，解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标7、用二元一次方程组确定一次函数表达式①先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。
8、三元一次方程组①在一个方程组中，各个式子都含有三个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程②像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组③三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.初中生数学学习方法分享1数学学习技巧在学习过程中，要准确地掌握抽象概念的本质含义，了解从实际模型中抽象为理论的演变过程。
2024八年级数学上册第五章二元一次方程组5应用二元一次方程组__里程碑上的数课件新版北师大版
感悟新知
知3－练
例3 [中考·宿迁] [教材P122习题T3] 学校组织学生乘汽车 去自然保护区野营，先以 60 km/h 的速度走平路，后 又以 30 km/h 的速度爬坡，共用了 6.5 h；回来时汽车 以 40 km/h 的速度下坡，又以 50 km/h 的速度走平路， 共用了 6 h，问平路和坡路各有多远？
=6.5， =6，
解得ቊxy==115200，.
答： 平路和坡路分别有 150 km 和 120 km.
感悟新知
知3－练
3-1.从 A 地 到 B 地，先下坡然后走平路，某人骑自行车 以 12 km/h的速度下坡，然后以9 km/h 的速 度通 过 平路，到 达 B 地共用 55min. 回来时以 8 km/h的 速 度通 过平路，以 4km/h 的速度上坡，回到A 地 共 用 1.5 h，从 A地到 B 地有多少千米？
知1－练
1-1. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5， 若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原 来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.
知1－练
解：设原两位数十位上的数字为 x，个位上的数字为 y. 则x1＋0xy＋＝y5＋，9＝10y＋x，解得xy＝＝32.， 则 2×10＋3＝23. 答：原两位数是 23.
知1－讲
特别提醒 ◆在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百
位就是百位上的数字乘100，千位就是千位上的数字 乘1 000. ◆若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序 和前面的数扩大的倍数与后面的数的位数的关系.
知1－练
例1 [母题 教材P121例题]有一个三位数，现将最左边的数 字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字 的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原 三位数.
最新八年级上册数学知识点：认识二元一次方程组(第五章)
最新八年级上册数学知识点：认识二元一次方程组（第五章）
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。
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（数学教研组）八年级上册 第五章 二元一次方程组 知识点整理一、本章知识点梳理：知识点1：二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3：二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组） 知识点5：实际问题与二元一次方程组二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1.(3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若ax m+by n=c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1例1：已知（a －2）x －by|a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22=-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2=0 B ．2x +1y =1 C ．3x -52y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、 已知下列方程组：（1）32x y y =⎧⎨=-⎩，（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，（4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩，其中属于二元一次方程组的个数为（ ）A ．1 B. 2 C ． 3 D ． 4 2、 若753313=+--m n m y x是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。
知识点2：二元一次方程组的解定义一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。
类型题1 根据定义判断 例：方程组⎩⎨⎧=+=-422y x y x 的解是（ ）A ．⎩⎨⎧==21y xB ．⎩⎨⎧==13y xC ．⎩⎨⎧-==20y xD ．⎩⎨⎧==02y x【巩固练习】1、 当1-=m x ，1+=m y 满足方程032=-+-m y x ，则=m _________.2、下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19的一个解（ ）。
A 、 31x y =⎧⎨=-⎩ B 、 31x y =⎧⎨=⎩ C 、 31x y =-⎧⎨=⎩ D 、 31x y =-⎧⎨=-⎩类型题2 已知方程组的解，而求待定系数。
此类题型只需将解代入到方程中，求出相应系数的值，从而求代数式的值例1：已知⎩⎨⎧==12y x －是方程组⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解，则m 2－n 2的值为_________．例2： 若满足方程组⎩⎨⎧=-+=-6)12(423y k kx y x 的x 、y 的值相等，则k ＝_______．【巩固练习】 1、若方程组⎩⎨⎧=++=-10)1(232y k kx y x 的解互为相反数，则k 的值为 。
2、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+52243y b ax y x 与⎪⎩⎪⎨⎧=-=-5243y x by x a 有相同的解，则a= ，b= 。
类型3 列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．例： 若⎩⎨⎧-==20y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==311y x 都是关于x 、y 的方程ax ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为例： 关于x ，y 的二元一次方程ax ＋b ＝y 的两个解是⎩⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==12y x ，则这个二元一次方程是【巩固练习】 如果⎩⎨⎧=-=21y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+10cy bx by ax 的解，那么，下列各式中成立的是 （ ） A 、a ＋4c ＝2 B 、4a ＋c ＝2 C 、a ＋4c ＋2＝0 D 、4a ＋c ＋2＝0知识点3：二元一次方程组的解法方法一：代入消元法 【典型例题】 例27838100x y x y -=⎧⎨--=⎩我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解. 【巩固练习】1、 方程x 4y 15-+=-用含y 的代数式表示，x 是（ ）A ．x 4y 15-=-B ．x 154y =-+C ．x 4y 15=+D ．x 4y 15=-+2、 把方程7x 2y 15-=写成用含x 的代数式表示y 的形式，得（ ）A ．x=215152715157 (7)722x x yx x B x C y D y ----===3、 用代入法解方程组252138x y x y +=-⎧⎨+=⎩较为简便的方法是（ ）A ．先把①变形B ．先把②变形C ．可先把①变形，也可先把②变形D ．把①、②同时变形 方法二：加减消元法例：对于方程组:20240x y x y +=⎧⎨+=⎩分析：这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？•利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 解：②－①得，()()2x y x y 4022+-+=- 即x 18=, 把x 18=代入①得y 4=。
所以 4y ⎧⎨=⎩x=18 定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法 ，简称加减法。
例1、方程组231534m n m n +=⎧⎨+=⎩中，n 的系数的特点是 ，所以我们只要将两式 ，•就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的．例2、用加减法解341236x y x y +=⎧⎨-=⎩时，将方程①两边乘以 ，•把方程②两边乘以 ，可以比较简便地消去未知数 ． 【方法掌握要诀】用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，•即它们的绝对值相等．当未知数的系数的符号相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号相反时，用两式相加。
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；•②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 【巩固练习】1、 用加减法解方程组326231x y x y +=⎧⎨+=⎩时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（ ）966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-=+=+=⎩⎩⎩⎩A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（4）（1） 2、 对于方程组2353433x y x y -=⎧⎨+=⎩而言，你能设法让两个方程中x 的系数相等吗？你的方法是 ；若让两个方程中y 的系数互为相反数，你的方法是 ． 3、 用加减消元法解方程组23537x y x y -=⎧⎨=+⎩正确的方法是（ ）A ．2x 5+=①②得B ．3x 12+=①②得C ．3x 75++=①②得D ．x 3y 7x 2-=-=-先将②变为③，再①③得 以下教科书中没有的几种解法 （可以作为培优学生的拓展） (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=4113y-13+14y=41 27y=54 y=2把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x 或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n原方程可写为 m+n=8m-n=4 解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元 例3， x:y=1:45x+6y=29 令x=t, y=4t方程2可写为：5t+6*4t=2929t=29 t=1 所以x=1,y=4知识点4：一次函数与二元一次方程（组）从数的角度看从形的角度看：求二元一次方程组的解x 为何值时，两个函数的值相等例1．已知二元一次方程 x ＋y ＝3 与 3x －y ＝5 有一组公共解⎩⎨⎧==12y x ,那么一次函数 y ＝3－x 与 y ＝3x －5 的图象的交点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(－1,2)D ．(－2,1)例2、二元一次方程2x ＋y ＝4有_______个解，以它的解为坐标的点都在函数______的图象上． 【巩固练习】1、已知点（3，－2）是两直线y 1＝－2x ＋a 与y 2＝x ＋b 的交点，则a ＝______ ，b ＝______.2、已知关于x ，y 的二元一次方程3ax ＋2by ＝0和5ax －3by ＝19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，－1），则a ＝________，b ＝________.例3、如图，直线l 1：y ＝x ＋1与l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P （1，b ）． （1）求b 的值．（2）不解关于x ，y 的方程组直接写出它的解．（3）直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？说明理由．练习：在直角坐标系中有两条直线：3955y x =+和362y x =-+，它们的交点为P ，第一条直线与x轴交于点A ，第二条直线与x 轴交于点B ．（1）求A ，B 两点的坐标．（2）求△PAB 的面积．知识点5：实际问题与二元一次方程组列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数； （2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。