第三章第三节(续)样本容量的选取

犯第II类错误的概率不超过给定的 β .
因为 β ( μ ) 是 μ 的递减函数 ,
故当 μ ≥ μ0 + δ 时, β ( μ0 + δ ) ≥ β ( μ ) , nδ ⎞ ⎛ 于是只要 β ( μ0 + δ ) = Φ⎜ zα − ⎟ ≤ β, σ ⎠ ⎝ nδ ( zα + zβ )σ 即n满足 zα − ≤ − zβ , 只要 n ≥ ,
燃料 A 燃料 B
燃料的辛烷值越高, 燃料质量越好. 因燃料 B 较燃 料 A价格便宜, 因此, 如果两者辛烷值相同时, 则 使用燃料 B. 但若含量的均值差 μ A − μB ≥ 5 , 则 使用燃料 A. 设两总体的分布均可认为是正态的, 而两个样本相互独立. 问应采用那种燃料? (α = β = 0.01) 解 按题意需要在显著水平 α = 0.01 下检验假设
当分别自两个总体取得的相互独立的样本容量 μ1 − μ2 n1 = n2 = n时, 给定 α , β 及 的值后 ,
σ
可以查附表8得到所需的样本容量.
若两个正态总体 N ( μ1 ,σ 1 ), N ( μ 2 ,σ 2 2 )中
2
σ 12 = σ 2 2 = σ 2 ,
(σ 2未知 )
在均值差 μ1 − μ 2 的检验问题 H 0 : μ1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ1 − μ 2 ≠ 0 ( > 0 或 < 0 ) , 的t检验法中, 当分别自两个总体取得的相互独立的 样本容量 n1 = n2 = n时, 可以查附表8得到所需的样
例3 考虑在显著水平 α = 0.05 下进行 t 检验 ,
H 0 : μ = 14, H 1 : μ ≠ 14 ,
μ − 14 要求在 H 1 中 ≥ 0.4时, 犯第 ΙΙ 类错误的概率 σ 不超过 β = 0.1, 求所需样本容量 .
解
此处 α = 0.05, β = 0.1, δ = 0.4,
假设检验 H 0 : μ = μ0 , H 1 : μ ≠ μ0 . 若给定 α , β 以及 δ > 0, 则可从附表 7 查得所需容量 n, μ − μ0 ≥ δ 时, 使当 μ ∈ H 1 且
犯第 II类错误的概率不超过给定的 β .
σ
例2 考虑在显著水平 α = 0.05 下进行 t 检验 ,
1. 右边检验问题
H 0 : μ ≤ μ0 , H 1 : μ > μ0的OC 函数是
X − μ0 ⎧ ⎫ β ( μ ) = Pμ ( 接受H 0 ) = Pμ ⎨ < zα ⎬ ⎩σ / n ⎭ − μ0 ⎫ μ X −μ ⎧ = Pμ ⎨ < zα − ⎬ σ / n⎭ ⎩σ / n μ − μ0 = Φ( zα − λ ), λ= . σ/ n
σ
错误的概率不超过 β .
2. 左边检验问题
假设检验 H 0 : μ ≥ μ0 , H 1 : μ < μ0 . 若给定 α , β 以及 δ > 0, 则可从附表 6 查得所需容量 n, μ − μ0 ≤ −δ 时 , 使当 μ ∈ H 1 且
犯第 II类错误的概率不超过给定的 β .
σ
3. 双边检验问题
H 0 : μ ≤ 68, H 1 : μ > 68 , (1) 要求在 H 1 中μ ≥ μ1 = 68 + σ时, 犯第 ΙΙ类错误的
概率不超过 β = 0.05, 求所需样本容量 .
(2) 若样本容量 n = 30,问在 H 1 中μ = μ1 = 68 + 0.75σ
时, 犯第 ΙΙ类错误的概率是多少？
H 0 : μ A − μ B ≤ 0,
H 1 : μ A − μ B > 0.
并要求 μ A − μB ≥ 5 时, 犯第II类错误的概率不超过 β = 0.01, 所取的样本容量 nA = nB = 12, 且有 x A = 80.83, σ A = σ B , s A = 5.61, s B 2 = 6.06, 经 水平为 0.1 的F 检验知: x B = 78.67, 记为 σ 2 . 因 s A + sB 2 n1 = n2 , 取 σ = 5.835 作为 σ 2 的点估 ˆ = 2 5 2 计, 取 σ = σ ˆ , 于是 δ = = 2.07, 查表 , σ ˆ 当α = β = 0.01, δ = 2.07 时 n ≥ 8. 附表5-4
解 (1) α = β = 0.05, μ0 = 68,
附表5-1
μ1 − μ 0 (68 + σ ) − 68 = δ = = 1, 查表 7 知 n = 13. σ σ
( 2) 现在 α = 0.05, n = 30,
μ1 − μ 0 (68 + 0.75σ ) − 68 = δ = = 0.75, σ σ 附表5 -2 查表 7 知 β = 0.01 .
§3.3(续） 样本容量 的选取
一、施行特征函数 二、Z检验法的OC函数 三、t检验法的OC函数 四、小结
一、施行特征函数
在一些实际问题中, 我们除了希望控制犯第I 类错误的概率外, 往往还希望控制犯第 II类错误的 概率. 以上在进行假设检验时, 总是根据问题的需要, 预先给出显著性水平以控制犯第I类错误的概率, 而犯第 II类错误的概率则依赖于样本容量的选择. 在本节中, 我们将阐明如何选取样本的容量使 得犯第 II类错误的概率控制在预先给定的限度内, 为此, 引入施行特征函数.
施行特征函数的定义:
若 C 是参数 θ 的某检验问题的一个检 验法,
β (θ ) = P0 ( 接受H )
称为检验法 C 的施行特征函数或 OC 函数 ,
其图形 称为 OC 曲线.
施行特征函数的作用: 适当地选取样本的容量, 使得犯第 II类错误 的概率控制在预先给定的限度内.
二、Z 检验法的OC 函数
现在要求当 μ ≥ μ0 + δ 时, β ( μ ) ≤ β .
δ
25. 根据给定的数据知 n ≥ 24.35, 故取 n＝
即x ≥ 129.87时, 买方就拒绝这批产品 , 而当x < 129.87时, 买方就接受这批产品 .
三、t 检验法的OC函数
1. 右边检验问题
H 0 : μ ≤ μ0 , H 1 : μ > μ0的 OC 函数是 − μ X ⎧ ⎫ 0 β ( μ ) = Pμ ( 接受H 0 ) = Pμ ⎨ < tα ( n − 1)⎬ ⎩ S/ n ⎭
5. 两个正态总体均值差的 t 检验问题
若两个正态总体 N ( μ1 ,σ 1 ), N ( μ 2 ,σ 2 )中
2 2
σ 1 = σ 2 = σ , (σ 未知)
2 2
2
2
均值差 μ1 − μ 2 的检验问题 H 0 : μ1 − μ 2 = 0 , H 1 : μ1 − μ2 ≠ 0 ( > 0 或 < 0 ) ,
σ
就能使犯第 II类错误的概率不超过给定的 β .
δ
2. 左边检验问题
假设检验 H 0 : μ ≥ μ0 , H 1 : μ < μ0 的OC 函数是
β ( μ ) = Pμ ( 接受H 0 ) = Φ ( zα + λ ),
μ − μ0 λ= . σ/ n
当真值 μ ≥ μ0 时β ( μ ) 为作出正确判断的概率 ; 当真值 μ < μ 0 时β ( μ )给出犯第 II类错误的概率 . 只要样本容量 n 满足 n ≥ ( zα + zβ )σ
其中变量
X − μ0 ⎛ X − μ ⎞ ⎛ S ⎞ λ = μ − μ0 . + λ ⎟ ⎜ ⎟, =⎜ σ/ n S / n ⎝σ / n ⎠ ⎝σ ⎠
X − μ0 我们称变量 服从非中心参数为 λ , S/ n 自由度为 n − 1 的非中心 t 分布 .
当 λ = 0 时, 它是通常的 t ( n − 1) 变量. 若给定 α , β 以及 δ > 0, 则可从教材附表 7查得所 μ－μ 0 需容量 n, 使得当 μ ∈ H 1且 ≥ δ 时, 犯第 II类
μ − μ0 = Φ ( zα / 2 − λ ) + Φ ( zα / 2 + λ ) − 1, λ = . σ/ n
此OC函数的图形如下:
只要样本容量 n 满足 n ≥
( zα / 2 + zβ )σ
就能使犯第 II类错误的概率不超过给定的 β .
δ
,
例1 (工业产品质量抽验方案) 设有一大批产品, 产品质量指标 x ~ N ( μ ,σ 2 ) .以 μ 小者为佳 , 厂方
就能使犯第 II类错误的概率不超过给定的 β .
δ
3. 双边检验问题
假设检验 H 0 : μ = μ0 , H 1 : μ ≠ μ0 的OC 函数是 X − μ0 ⎧ ⎫ < zα / 2 ⎬ β ( μ ) = Pμ ( 接受H 0 ) = Pμ ⎨− zα / 2 < σ/ n ⎩ ⎭ X −μ ⎧ ⎫ < − λ + zα / 2 ⎬ = Pμ ⎨− λ − zα / 2 < σ/ n ⎩ ⎭ = Φ ( zα / 2 − λ ) − Φ ( − zα / 2 − λ )
解
检验问题 可表达为 H 0 : μ ≤ μ0 , H 1 : μ > μ0 ,
且要求当 μ ≥ μ1 + δ时能以 1 − β = 0.95的概率拒绝
H 0 .由 Z 检验 , 拒绝域为 x − μ0 ≥ zα . σ/ n
⎫ ⎧ X − μ0 < zα ⎬ 故OC函数为 β ( μ ) = Pμ ⎨ ⎭ ⎩σ / n
μ − μ0 ⎫ ⎧X − μ = Pμ ⎨ < zα − ⎬ σ / n⎭ ⎩σ / n μ − μ 0 ⎞ (∗) ⎛ = Φ ⎜ zα − ⎟. σ / n⎠ ⎝