数值分析上机实验

目录

1 绪论 (1)

2 实验题目(一) (2)

2.1 题目要求 (2)

2.2 NEWTON插值多项式 (3)

2.3 数据分析 (4)

2.3.1 NEWTON插值多项式数据分析 (4)

2.3.2 NEWTON插值多项式数据分析 (6)

2.4 问答题 (6)

2.5 总结 (7)

3 实验题目(二) (8)

3.1 题目要求 (8)

3.2 高斯-塞德尔迭代法 (8)

3.3 高斯-塞德尔改进法—松弛法 (9)

3.4 松弛法的程序设计与分析 (9)

3.4.1 算法实现 (9)

3.4.2 运算结果 (9)

3.4.3 数据分析 (11)

4 实验题目(三) (13)

4.1 题目要求 (13)

4.2 RUNGE-KUTTA 4阶算法 (13)

4.3 RUNGE-KUTTA 4阶算法运算结果及数值分析 (14)

总结 (16)

附录A (17)

1绪论

数值分析是计算数学的一个主要部分，它主要研究各类数学问题的数值解法，以及分析所用数值解法在理论上的合理性。实际工程中的数学问题非常复杂，所以往往需要借助计算机进行计算。运用数值分析解决问题的过程：分析实际问题，构建数学模型，运用数值计算方法，进行程序设计，最后上机计算求出结果。

数值分析这门学科具有面向计算机、可靠的理论分析、好的计算复杂性、数值实验、对算法进行误差分析等特点。

本学期开设了数值分析课程，该课程讲授了数值分析绪论、非线性方程的求解、线性方程组的直接接法、线性方程组的迭代法、插值法、函数逼近与曲线拟合、数值积分和数值微分、常微分方程初值问题的数值解法等内容。其为我们解决实际数学问题提供了理论基础，同时我们也发现课程中很多问题的求解必须借助计算机运算，人工计算量太大甚至无法操作。所以学好数值分析的关键是要加强上机操作，即利用计算机程序语言实现数值分析的算法。本报告就是基于此目的完成的。

本上机实验是通过用计算机来解答数值分析问题的过程，所用的计算工具是比较成熟的数学软件MATLAB。MATLAB是Matrix Laboratory的缩写，是以矩阵为基础的交互式程序计算语言。MATLAB是一款具有强大的矩阵运算、数据处理和图形显示功能的软件，其输出结果可视化，编程效率极高，用极少的代码即可实现复杂的运行，因此它使工程技术人员摆脱了繁琐的程序代码，以便快速地验证自己的模型和算法。其主要特点包括：强大的数值运算功能；先进的资料视觉化功能高阶但简单的程序环境；开方及可延展的构架；丰富的程式工具箱。

在科学研究和工程计算领域经常会遇到一些非常复杂的计算问题，利用计算器或手工计算是相当困难或无法实现的，只能借助计算机编程来实现。MATLAB将高性能的数值计算和可视化的图形工具集成在一起，提供了大量的内置函数，使其在科学计算领域具有独特的优势。

最后感谢数值分析课程任课教师赵海良老师的悉心指导！

2实验题目(一)

2.1题目要求

已知：a=-5,b=5, 以下是某函数f(x)的一些点（x k,y k）, 其中x k=a+0.1(k-1) ,k=1,..,101 请用插值类方法给出函数f(x)的一个解决方案和具体结果。并通过实验考虑下列问题

(1)Ln(x)的次数n越高，逼近f(x)的程度越好？

(2)高次插值收敛性如何？

(3)如何选择等距插值多项式次数？

(4)若要精度增高，你有什么想法？比如一定用插值吗？

(5)逼近某个函数不用插值方式，有何变通之举？

(6)函数之间的误差如何度量，逼近的标准又是什么？

(7)如何比较好的使用插值多项式呢？

x k =-5.0000:0.1:5.0000;

y(x k)=y k=

Columns 1 through 7

25.0000 24.0100 23.0400 22.0900 21.1600 20.2500 19.3600 Columns 8 through 14

18.4900 17.6400 16.8100 16.0000 15.2100 14.4400 13.6900

Columns 15 through 21

12.9600 12.2500 11.5600 10.8899 10.2397 9.6093 8.9991 Columns 22 through 28

8.4092 7.8405 7.2941 6.7705 6.2693 5.7866 5.3144 Columns 29 through 35

4.8403 4.3522 3.8463 3.3402 2.8832 2.5554 2.4475 Columns 36 through 42

2.6154

3.0219 3.4920 3.7149 3.3232 2.0435 -0.1277 Columns 43 through 49

-2.8066 -5.2470 -6.5469 -5.9893 -3.3862 0.7365 5.2312

Columns 50 through 56

8.6985 10.0000 8.6985 5.2312 0.7365 -3.3862 -5.9893 Columns 57 through 63

-6.5469 -5.2470 -2.8066 -0.1277 2.0435 3.3232 3.7149 Columns 64 through 70

3.4920 3.0219 2.6154 2.4475 2.5554 2.8832 3.3402 Columns 71 through 77

3.8463

4.3522 4.8403

5.3144 5.7866

6.2693 6.7705 Columns 78 through 84

7.2941 7.8405 8.4092 8.9991 9.6093 10.2397 10.8899 Columns 85 through 91

11.5600 12.2500 12.9600 13.6900 14.4400 15.2100 16.0000 Columns 92 through 98