Gb02-内力与内力图资料
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第4章内力与内力图(修改)
4.3
一、轴力
轴向拉（压）杆的内力
为了对拉、压杆的失效计算，首先必须要分析其内 力。截面法是求杆件内力的基本方法。下面通过求解图 所示拉杆m-m横截面上的内力来具体介绍截面法求内力。
FFP P FP
m
m
FP FN
FN
FP
二、解题步骤
第一步：沿需要求内力的横截面，假想地把杆件截成两 部分。 第二步：取任意一段作为研究对象，标上内力。由于内
杆及直杆，曲杆与折杆等。
2．杆件的基本变形 杆件在外力作用下，实际杆件的变形有时是非常 复杂的，但是复杂的变形总可以分解成几种基本的变 形形式。杆件的基本变形形式有四种：
（1）轴向拉伸或轴向压缩
在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重 合的外力作用下，使杆件发生长度的改变(伸长或缩短)。
轴向拉伸
1．连续性假设 认为在材料体积内充满了物质，毫无间隙。在此假 设下，物体内的一些物理量能用坐标的连续函数表示 它的变化规律。实际上，可变形固体内部存在着间隙，
只不过其尺寸与结构尺寸相比极为微小，可以忽略不
计。
2．均匀性假设
认为材料内部各部分的力学性能是完全相同的。所 以，在研究结构时，可取构件内部任意的微小部分作 为研究对象。
将杆件截面上的所有分布内力想横向截面的形心C简化,一般情 况下得一力和一力偶。该力等于横截面上分布内力力系的主失 FR，该力偶之矩等于分布内力力系对于简化中心的主矩，矩失 为MC。再将该力力失、力偶矩矢向空间直角坐标轴分解，得 六个分矢量： FN= FNi FQy= FQyj FQz= FQyk MX=MXi My=Myj Mz=Mzk
总之，本书研究的变形固体被视作连续、均匀、各向同性的，
寸进行计算。
第二章内力与内力图
A点：x1 0 M1A 0；
2 C点：x1 a M1C 5 q a 6
2 C点：x 2 a , M 2C 5 q.a 6 2 D点：x 2 2a , M 2D 7 q.a 6
2 D点：x 3 a , M 3D 7 6 q a M 2D
B点：x 3 0, M 3B q a 2 M
(b) (c)
FN 1 F1 2.5kN
b)求BC段轴力。从2-2截面处截开， 取右段，如图14-1-3所示
F
x
0 FN 2 F3 0
A (d)
FN 2 F3 1.5kN
3)图（d）为AB杆的轴力图
C
B
2.5kN (0 x a) FN 1.5kN (a x a b)
上式中略去高阶微量后，得：
dFQ ( x)
dx dM ( x) FQ ( x) dx d 2 M ( x) dFQ ( x) q ( x) 2 dx dx
q ( x)
剪力、弯矩微分方程
由剪力、弯矩的微分方程定积分，即得到剪力、弯矩方程。
d 2M(x ) dx 2
dFQ ( x ) dx
M x (kN .m)
A B
10
C
D
x
20
10
§2-4平面弯曲梁的内力与内力图
弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称 为平面弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。 常见梁的力学模型 ☆简支梁
一、由轴力方程绘制轴力图
例 如图（a），F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
第二章内力与内力图详解
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
第6章内力和内力图
B2
1
C
D
工程力学电子教案
内力和内力图
33
思考题6-4
试作图示杆的轴力图。
20 kN 40 kN
30 kN
A
B
C
D
0. 5 m 0. 5 m
1m
工程力学电子教案
内力和内力图
思考题6-4参考答案：
20kN 40kN
30kN
A
B
C
D
0. 5 m 0. 5 m
1m
FN /kN 20 10
O
20
34
x
工程力学电子教案
MT (kN·m) 1.5 0.5 + x
2
工程力学电子教案
内力和内力图
47
思考题6-7
作杆的扭矩图。
0.1 m 4 kN
0.2m 1m
2 kN 1 kN
1m
0.1 m
工程力学电子教案
内力和内力图
48
思考题6-7参考答案
0.1m 4 kN
0.2m 1m
2 kN 0.1m
1 kN 1m
MT /kN·m
21
思考题6-2
试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。
F
a 2 F
13
4a
F
a
A
B
a
工程力学电子教案
内力和内力图
思考题6-2参考答案：
F
a 2 F
13
4a
F
a
A
B
a
22
F1= F F2= - 2F F3= 2.828F F4= - 3F
工程力学电子教案
内力和内力图
23
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
第2章-内力与内力图
第 2 章 内力与内力图
在“刚体静力学”中，忽略了物体的变形，将所研究的对象抽象 为刚体。实际上，任何固体受力后其内部质点之间均将产生相对运动， 使其初始位置发生改变，称之为位移，从而导致物体发生变形。
工程上，绝大多数物体的变形均被限制在弹性范围内，即当外加 载荷消除后，物体的变形随之消失，这时的变形称为弹性变形，相应 的物体称为弹性体。
n 要注意弯矩和剪力的正负号 正负号不仅关系到所绘制的弯矩图和剪力图能否正确，而且对以后的强度和 刚度计算都有很大的影响。为了避免发生正负号的错误，要特别注意以下几点： （1）因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的，所以 不仅要根据它们的作用方向，而且要考虑它们的作用面，然后根据§l 所述符号 规则确定它们的正负。
2．弹性体的平衡原理与截面法
弹性体平衡原理
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平 衡。前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。所谓整体是指杆件所 代表的某一构件；所谓局部是指：
n 用一截面将杆截成的两部分中的任一部分； n 两相距无穷小截面所截出的一微段；
n 围绕某一点截取的某种微元或微元的局部。
2．正确理解并掌握整体平衡与局部平衡的概念：
(1)弹性杆件如果整体是平衡的，任何一局部都是平衡的； (2)根据平衡的概念应用截面法，确定任意横截面上的内力分量； (3)微段平衡导出平衡微分方程。
3．掌握绘制内力图的基本方法，能够比较熟练而且正确地画出梁在 简单载荷作用下的剪力图与弯矩图。
§2—2 理 论 要 点
n 对于刚架（或框架），其弯矩图的正负号将与观察者的位置有关。为了避 免这种矛盾，在绘制刚架弯矩图时，不考虑弯矩的正负号，而是确定截面上弯 矩和力的实际方向，根据这一方向即可判断杆轴线两侧，哪一侧受拉，哪一侧 受压；将弯矩数值标在受拉的一侧。这样，就与观察者的位置无关，人们从弯 矩图就可以判断不同截面上弯矩的实际方向，从而收到与标出正负号的同样效 果。刚架剪力图正负则与观察者位置无关，因而可以沿用直梁中剪力图的绘制 方法．
在“刚体静力学”中，忽略了物体的变形，将所研究的对象抽象 为刚体。实际上，任何固体受力后其内部质点之间均将产生相对运动， 使其初始位置发生改变，称之为位移，从而导致物体发生变形。
工程上，绝大多数物体的变形均被限制在弹性范围内，即当外加 载荷消除后，物体的变形随之消失，这时的变形称为弹性变形，相应 的物体称为弹性体。
n 要注意弯矩和剪力的正负号 正负号不仅关系到所绘制的弯矩图和剪力图能否正确，而且对以后的强度和 刚度计算都有很大的影响。为了避免发生正负号的错误，要特别注意以下几点： （1）因为弯矩和剪力的正负号是根据它们所引起的变形效果规定的，所以 不仅要根据它们的作用方向，而且要考虑它们的作用面，然后根据§l 所述符号 规则确定它们的正负。
2．弹性体的平衡原理与截面法
弹性体平衡原理
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平 衡。前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。所谓整体是指杆件所 代表的某一构件；所谓局部是指：
n 用一截面将杆截成的两部分中的任一部分； n 两相距无穷小截面所截出的一微段；
n 围绕某一点截取的某种微元或微元的局部。
2．正确理解并掌握整体平衡与局部平衡的概念：
(1)弹性杆件如果整体是平衡的，任何一局部都是平衡的； (2)根据平衡的概念应用截面法，确定任意横截面上的内力分量； (3)微段平衡导出平衡微分方程。
3．掌握绘制内力图的基本方法，能够比较熟练而且正确地画出梁在 简单载荷作用下的剪力图与弯矩图。
§2—2 理 论 要 点
n 对于刚架（或框架），其弯矩图的正负号将与观察者的位置有关。为了避 免这种矛盾，在绘制刚架弯矩图时，不考虑弯矩的正负号，而是确定截面上弯 矩和力的实际方向，根据这一方向即可判断杆轴线两侧，哪一侧受拉，哪一侧 受压；将弯矩数值标在受拉的一侧。这样，就与观察者的位置无关，人们从弯 矩图就可以判断不同截面上弯矩的实际方向，从而收到与标出正负号的同样效 果。刚架剪力图正负则与观察者位置无关，因而可以沿用直梁中剪力图的绘制 方法．
内力与内力图
（2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。 应力是矢量，不仅有大小还有方向。 对于正应力 通常规定： 应力（箭头背离截面） 对于正应力σ通常规定：拉应力（箭头背离截面） 为正，压应力（箭头指向截面）为负，如图所示； 为正，压应力（箭头指向截面）为负，如图所示； 对于切应力 通常规定： 时针（ 对于切应力τ通常规定：顺时针（切应力对 研究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针） 研究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针） 为正，逆时针为负，如图所示。 为正，逆时针为负，如图所示。
第三节 内力与内力图
引 言
前面在研究力系的合成与平衡时，将物体看 前面在研究力系的合成与平衡时， 作是刚体，没有考虑物体的变形。 作是刚体，没有考虑物体的变形。 本篇将在第一篇的基础上， 本篇将在第一篇的基础上，进一步研究物体 在力作用下的变形和破坏规律。 在力作用下的变形和破坏规律。 在研究问题时，物体看成变形体。 在研究问题时，物体看成变形体。 变形体
F
图中的铆钉产生剪切变形时只有一个剪切面, 图中的铆钉产生剪切变形时只有一个剪切面, 称为单剪 单剪； 称为单剪；
图中的销钉有两个剪切面，称为双剪。 双剪。 图中的销钉有两个剪切面，称为双剪
二、杆件变形的基本形式
3.扭转 → 扭矩（截面处） 3.扭转 扭矩（截面处） 在垂直杆件轴线的两平面内， 在垂直杆件轴线的两平面内，作用一对大小相 转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。 扭转变形 等、转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。
几点说明： 几点说明： （1）用截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力， 用截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力 拉力， 这样计算结果为正表示轴力为拉力， 这样计算结果为正表示轴力为拉力，计算结果为负表示 轴力为压力。 轴力为压力。 （2）列平衡方程时，轴力及外力在方程中的正、负 列平衡方程时，轴力及外力在方程中的正、 号由其投影的正、负决定，与轴力本身的正、负无关。 号由其投影的正、负决定，与轴力本身的正、负无关。 （3）计算轴力时可以取被截开处截面的任一侧研究， 计算轴力时可以取被截开处截面的任一侧研究， 计算结果相同。但为了简化计算，通常取杆段上外力较 计算结果相同。但为了简化计算，通常取杆段上外力较 简单）的一侧研究。 少（简单）的一侧研究。 之前， （4）在将杆截开之前，不能用合力来代替力系的作 在将杆截开之前 也不能使用力的可传性原理以及力偶的可移性原理。 用，也不能使用力的可传性原理以及力偶的可移性原理。 因为使用这些方法会改变杆件各部分的内力及变形。 因为使用这些方法会改变杆件各部分的内力及变形。
建筑力学讲义之内力及内力图_secret
6 内力及内力图6.1 内力的概念我们知道，物体是由质点组成的，物体在没有受到外力作用时，各质点间本来就有相互作用力。
物体在外力作用下，内部各质点的相对位置将发生改变，其质点的相互作用力也会发生变化。
这种相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，称为“附加内力”，简称为内力。
内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。
因此，要进行构件的强度计算就必须先分析构件的内力。
6.1.1杆件变形的基本形式作用在杆上的外力是多种多样的，因此，杆件的变形也是多种多样的。
但总不外乎是由下列四种基本变形之一，或者是几种基本变形形式的组合。
1、轴向拉伸和轴向压缩在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件的主要变形是长度改变。
这种变形称为轴向拉伸（图6－3（a））或轴向压缩（图6－3（b））。
2、剪切在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的主要变形是横截面沿外力作用方向发生错动。
这种变形形式称为剪切（图6－3（c））。
3、扭转在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线的两平面内的外力偶作用下，杆的任意横截面将绕轴线发生相对转动，而轴线仍维持直线，这种变形形式称为扭转（图6－3（d））。
4、弯曲在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的外力偶作用下，杆件的轴线由直线弯曲成曲线，这种变形形式称为弯曲（图6－3（e））。
在工程实际中，杆件可能同时承受不同形式的荷载而发生复杂的变形，但却可看作是上述基本变形的组合。
由两种或两种以上基本变形组成的复杂变形称为组合变形。
6.2 轴心拉压杆的内力及内力图6.2.1轴向拉伸和压缩的概念在工程中，经常会遇到轴向拉伸或压缩的杆件，例如图6－2所示的桁架的竖杆、斜杆和上下弦杆，图6－5所示起重架的1、2杆和做材料试验用的万能试验机的立柱。
作用在这些杆上外力的合力作用线与杆轴线重合。
在这种受力情况下，杆所产生的变形主要是纵向伸长或缩短。
二、 内力及内力图
CD段参考已知
剪力图和弯矩图的课堂练习
课堂练习2-4、已知a=2m, q=3KN/m, M=3KNm, 试作如图外伸梁的内力图。
剪力图和弯矩图的课堂练习
课堂练习2-4的内 力图。 要点： AC段应用已知 BD段应用已知
CB段参考已知
剪力图和弯矩图的课堂练习
课堂练习2-5、已知q、a,试求图示外伸梁的内力图。
其中：M 为外力矩(N.m) P 为功率(kW) n 为转速(r/min)
扭矩图：扭矩图描述扭矩沿轴线的变化。
2、扭矩图（扭转变形）
例2-5 如图主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、
D输出功率分别为PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的转速
n=300r/min.试作传动轴的扭矩图。
4、杆件的内力图
绘制内力图的基本步骤：
1、解除杆件约束，计算约束力，绘制杆件受力图；
2、建立内力坐标、根据外力对杆进行分段；
3、由截面法等确定控制面的内力值； 4、由内力变化规律画出各段的内力图，并且标注相 关点的数值。
1、轴力图（拉伸和压缩变形）
例2-2 如图（a），已知F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
第2 章
杆件的内力与内力图
第2章 杆件的内力与内力图
1、内力与内力分量
2、外力与内力之间的相依关系
3、杆件的内力图
4、刚架的内力图 5、结论与讨论
1、内力与内力分量
1、内力主矢和主矩 杆件上内力可以简化成内力主矢和内力主矩
F1
y
FR M x
F2
z
1、内力与内力分量
2、内力分量
内力主矢和内力主矩可在 坐标轴上分解为内力分量：
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1、切开； 2、代力； 3、平衡。
F
FN
FN F
FN F
7
例 5-1 试画出图所示直杆的轴力图。
8
例：
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
9
5.3扭转杆件的内力与内力图
5.3.1 扭转的概念 在外力作用下，杆件各横截面均绕杆轴线相对转动，
杆轴线始终保持直线，这种变形形式称为扭转变形。
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19
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2）可动铰支座
. A
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.
A FA
垫块 .
20
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3）固定端支座
mA FAx
A
FAy
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mA
FAx FA y
21
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F2 F1
n n
M
FN n FQ
F3
∑Fix=0 ∑Fiy=0
∑mo(Fi)=0
4
截面法求内力的步骤： 1）截开：欲求某一截面上Fra bibliotek内力时，就沿着
F
FN
FN F
FN F
7
例 5-1 试画出图所示直杆的轴力图。
8
例：
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
9
5.3扭转杆件的内力与内力图
5.3.1 扭转的概念 在外力作用下，杆件各横截面均绕杆轴线相对转动，
杆轴线始终保持直线，这种变形形式称为扭转变形。
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2）可动铰支座
. A
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.
A FA
垫块 .
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3）固定端支座
mA FAx
A
FAy
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mA
FAx FA y
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F2 F1
n n
M
FN n FQ
F3
∑Fix=0 ∑Fiy=0
∑mo(Fi)=0
4
截面法求内力的步骤： 1）截开：欲求某一截面上Fra bibliotek内力时，就沿着
2内力及内力图
2内力及内力图2 内力及内力图2.1 轴心拉压杆的内力及内力图2.1.1 受力与变形特点轴心拉压杆的受力特点是：外力合力的作用线与杆件的轴线重合。
轴心拉压杆的变形特点是：杆件主要是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。
柱——以轴心受压变形为主的竖向杆件，称为柱。
2.1.2 用截面法求轴心拉压杆的内力轴心拉压杆的内力只有轴力N。
用截面法求轴心拉压杆轴力的方法如下：1 用假相的截面，在欲求的横截面处切下去，“一刀两段”后，取其中的任一段（称截离体）作为研究对象。
2 在研究对象上，先画上外力（包括主动力和约束反力），然后在截面处于截面中心画上沿截面外法线方向的轴力N。
3 以轴线为X轴，由截离体平衡条件∑=0X可求出轴力N。
轴力符号的规定：“拉正压负”。
任一横截面上的轴力等于截面任一侧的所有外力在杆轴线方向的投影的代数和。
2.1.3 轴心拉压杆的内力图以杆轴为X轴，表示横截面的位置；与X轴垂直的N 轴表示每一横截面上轴力的大小；这样作出的图形称为轴力图（简称N 图）。
在N 图上，一般不标出X 轴和N 轴，在图中标出轴力的正负号，画上与轴线垂直的阴影线，表示轴力在该截面是沿垂直轴线方向下，按作图比例量取的。
2.2 扭转轴的内力及内力图2.2.1 扭转轴的变形特点扭转轴的变形特点是：两横截面之间产生了绕杆件轴线的相对转角，即扭转角。
轴——以扭转变形为主的杆件，称为轴。
2.2.2 外力偶的换算公式n N T k e 55.9=nN T p e 02.7= 式中，eT ——外力偶，m kN . ; kN ——轴某处输入或输出的功率，kW; p N ——轴某处输入或输出的功率，米制马力（PS ）；n ——轴的转速，m in/r 。
2.2.3 用截面法求扭转轴的内力用截面法求扭转轴的内力的步骤：1 在欲求横截面处，用假想的平面切下去，取其中的一段截离体为研究对象。
2 在所取的截离体上画上外力偶和要截面上画上扭矩。
内力与内力图
常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数，得
dF Q dx
q
也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4
例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解：（1）用截面法求内力。 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有 FN1+10=0 所以 FN1=-10（kN） 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30（kN） 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有 -FN3+20=0 所以 FN3=20（ kN ） （2）根据计算结果作出轴力图。 （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有 FN=ΣFie 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧 （或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴 力图。
材料力学-内力与内力图
结论 直梁某横截面上的弯矩等于该截面一端（左或右端）
全部力偶矩及全部作用力(包括支反力)对该截面矩的代数和。
MI m(F, q, Me ) （左顺右逆取＋号，反之取负号）
26
例3 求承受均布荷载作用的简支梁的内力方程，并画出相应 的剪力图和弯矩图。 1 [ 解] （1）先求支反力 RA R qL [解] B A B y 2 （2）求梁的内力方程 q M 1 x FSS qL qx 剪力 2 x FS S 所有力对截面形心的力矩平衡 L qL / 2 m0 1 2 1 qx 2 qLx M ( x) 0 2 2 1 弯矩 M ( x) qx( L x) 2 结论 直梁某横截面上的弯矩等于该截面一端（左或右端） 全部力偶矩及全部作用力(包括支反力)对该截面矩的代数和。
准确理解杆件内力的定义和符号规定。 能利用截面法建立内力方程，能迅速求出指定 截面的内力。 深入理解梁中弯矩、剪力和分布荷载之间的微 分关系，并能利用这些关系熟练地画出梁的剪力弯 矩图；能正确画出刚架、曲杆的内力图。
4
2.1 内力 ( internal forces ) 定义 和符号规定 定义和符号规定
0,
M
z z
0
T T ( x), M yy M yy( x), M zz M zz( x).
由内力方程作出杆件的内力图
(a x b) —作内力图的列方程法
14
2.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程 方法和步骤 －“截面法”
“切” 、（“留 ”)、“代”、“平”
1) 在必要和可能的条件下，先求出所有约束的反力。 2) 在要求内力的截面位置，用一假想截面将杆件切开。 （留下 一部分作为研究对象，舍去另一部分) 下一部分作为研究对象，舍去另一部分 3) 舍去部 分对留下部分的作用代之以相应的力 ( 即为要求的 舍去部分对留下部分的作用 (即为要求的 内力 ) 。将这种内力作用的方向按假设为正内力方向（即 设 内力) 正法）画在截面上。 4) 留下部分的所有内力、外力（包括约束反力）按照理论 力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式。 5) 求解方程即可得内力。若所得内力为负值，表明实际内 力方向与设想方向相反。 15
材料力学教材--内力与内力图
F1 1 kN F2 3 kN
例 最大剪力。
L 10 m d 1 m
求图示结构中梁的最大弯矩和
梁中弯矩图呈如图形状，故弯
RA RB
矩极大值出现在 C 截面或 D 截面。
设 C 截面到 A 端距离为 ， 可得 A 端支反力
L L d 1 RA F1 F2 37 4 L L 10 1 M C RA 37 4 2 故有 C 截面弯矩 10
C
YB 14 kN
m
F
0
X C 5 kN
X 0
X B 11 kN
例
画出结构的剪力和弯矩图。
F=5 2 kN/m XXF F
画剪力图
4m 4m
2 kN/m
E XE=8 YF=10 YF Y X XA =11 YEE=4CC=5 C XB B=11 B X =5
YA=4
4m 4m助 学 习 资 料
重 点 与 难 点
◆ 应透彻理解内力符号规定与外力的区别，尤其应熟练掌握轴力和
弯矩的正负规定。 ◆ 截面法是建立内力方程的最基本的方法，应熟练掌握。注意先将 未知内力设正，建立方程时，内力和外力在一起按理论力学的规则进 入方程。因此建立内力方程过程中事实上用了两套符号规定。 ◆ 但是在求某个指定截面的内力时，尽量用更简便的方法，不必通 过建立内力方程求解。 ◆ 计算梁横截面的内力时，应特别注意外力的方向与其引起的内力 符号的关系，以保证内力的正负号正确。 ◆ 正确地计算支座反力是绘制内力图的关键，应确保无误。利用平 衡方程求出支反力后，应进行校核。
例
画出结构的内力图。
A
P1 在 BC 段引起剪力和弯矩。
z
L
二、 内力及内力图解析
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m M B MC M x2 0 M x2 700N.m M D M x3 0 M x3 446N.m 3)根据内力值作轴的扭矩图d)
M x1
M x2
M x3
Mx(Nm)
B
C
446Байду номын сангаас
A
Dx
-350 -700
d)
2、扭矩图（扭转变形）
常见梁的形式：
a、简支梁:一端为活动铰链支座， 另一端为固定铰链支座。
b、外伸梁:一端或两端伸出支座 之外的梁。
c、悬臂梁:一端为固定端，另一 端为自由端的梁。
a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1处截 开，取左段如图(b)
(a)
Fx 0 FN1 F1 0
FN1 F1 2.5kN
(b)
b)求BC段轴力。沿2-2截面处截开，取
右段如图(C)
Fx 0 FN 2 F3 0
(c)
FN 2 F3 1.5kN A
3)根据各段外力规律，作图AB杆的轴力
功率、转速和扭矩的关系：
Me
9549
P n
其中：M 为外力矩(N.m) P 为功率(kW) n 为转速(r/min)
扭矩图：扭矩图描述扭矩沿轴线的变化。
2、扭矩图（扭转变形）
例2-5 如图主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、 D输出功率分别为PB = PC = 11kW，PD = 14kW，轴的转速
例2-1：如左图，求n-n面的内力。 解：由截面法如图，取左半部分
Fx 0 FN FP
2、外力与内力之间的相依关系
3、杆件内力变化的一般规律
*内力（沿杆的轴线）是位置（x）的函数；杆上集中 力、集中力偶将杆分成若干段，内力是分段函数。 *当杆件外力沿轴线发生突变（有集中力或集中力偶） 时，内力也将发生突变； *当杆件外力沿轴线发生渐变（有分布力或分布力偶） 时，内力也将发生渐变。
Gb02-内力与内力图
∑Fy = 0
1 ql − qx − F (x) = 0 S 2 1 F (x) = ql − qx S 2
结论 直梁某个横截面上的剪力，其数值等于该截 面左端（或右端）全部横向力（包括支反力）的代 数和。
例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图 和弯矩图。
y q M x x ql / 2 FS l
弯矩的正号
弯矩的负号
使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。 使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。
2.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程 依据 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。
∑F = 0, ∑F = 0, ∑F = 0
x y z
∑Mห้องสมุดไป่ตู้
x
= 0,
∑M
y
= 0,
∑M
z
=0
在杆件的任意局部区段中，所有外力与内力构成平衡力系。
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定 定义和符号规定
1. 内力的定义
内力是分布力系。 内力是分布力系。 但是可以将复杂的分布力系 简化为形心上的主矢和主矩。 简化为形心上的主矢和主矩。 这种主矢和主矩对于该横截 面引起何种变形效应？ 面引起何种变形效应？
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定 定义和符号规定
两个控制面之间的图形： 两个控制面之间的图形： 直线 曲线 跃变
2.3.1 梁的平衡微分方程 ( differential equations of equilibrium )
q M+dM FS+dFS dx
∑F = 0
y
F + qdx −(F + dF ) = 0 S S S
02第2章杆件的内力与内力图
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
第2章 杆件的内力和内力图 扭转的概念
受力特征
◎ 扭矩与扭矩图
在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着大小相等、 方向相反的一对力偶。 变形特征
杆件的各横截面环 绕轴线发生相对的转动。
扭转角 任意两横截面间相 对转过的角度。
第2章 杆件的内力和内力图 工程中承受扭转的圆轴
◎ 轴力与轴力图
一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要 对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。
第2章 杆件的内力和内力图 工 程 实 例
◎ 轴力与轴力图
由汽缸、活塞、 连杆所组成的机构中， 不仅连接汽缸缸体和 汽缸盖的螺栓承受轴 向拉力，带动活塞运 动的连杆由于两端都 是铰链约束，因而也 是承受轴向载荷的杆 件。
FN
+
FN
－
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤
首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力； 其次，根据杆件上作用的载荷及约束力，轴力图的分段点： 在有集中力作用处即为轴力图的分段点； 第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开， 在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开 的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉 伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负； 最后，建立FN-x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系 中，画出轴力图。
2．求扭矩 应用截面法由平 衡方程确定
M
x
0
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
3．画扭矩图 建 立 Mx-x 坐 标
系。将所求得的各段
的扭矩值，标在Mxx坐标系中，得到相
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d
2 )πgx
P
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D，
内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g h
P
H
H
轴力图
1 (D2 d 2 )πgh P
4
FN h
1 (D2 d 2 )πgH P
H
4
x
x
0 xh h x H
FN1
1 4
(D2
d
2
)πgx
FN2
1(D2 4
d 2 )πgx
内力符号规定的原则
在一个横截面上，同一种内力只能有唯一的符号。 内力的符号是根据它所引起杆件的变形趋势规定的。
轴力的正号
轴力的负号
使微元区段有伸长趋势的轴力为正。
扭矩的正号
扭矩的负号
使微元区段表面纵线有变为右手螺旋线趋势的扭矩为正。
剪力的正号
剪力的负号
使微元区段有左上右下错动趋势的剪力为正。
弯矩的正号
FqS l / 2 ql / 2
动脑又动笔
x
将弯矩和剪力分别对
ql / 2
x 求导。由此能得到什
M ql 2/ 8
么启示？
x
动脑又动笔
下列各截面上的剪力为多少？
3kN
3kN
1m 1m 1m 1m
3 1 0 3 kN
3kN/ m
2kNm
2.75 2.75 3.25 3.25 kN
2m
1m
3.25 kN
本章基本要求
准确理解杆件内力的定义和符号规定。 能利用截面法迅速求出指定截面的内力。
能利用梁的平衡微分关系熟练画出梁的剪力弯 矩图；能正确画出刚架的内力图。
能正确运用奇异函数写出梁的弯矩方程。
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定
1. 内力的定义
内力是分布力系。
但是可以将复杂的分布力系 简化为形心上的主矢和主矩。
ql / 2
M (x) 1 qx(l x)
2
结论 直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截 面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包 括支反力）对该截面矩的代数和。
例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图
和弯矩图。
y
q
Mq
FS
1 2
ql
qx
M 1 qx(l x) 2
x
x
FlS
2) 在指定的位置，想象用一个截面将杆件切开。 留下一部 份作为研究对象，舍去另一部份。舍去部份对留下部份的 作用就是内力。一般可将这种内力作用的方向假设为正内 力方向。
3) 留下部份的所有内力、外力（包括约束反力）按照理论 力学的符号规定建立力或力矩的平衡方程式。
4) 求解方程即可得内力。若所得内力为负值，表明实际内 力方向与设想方向相反。
这种主矢和主矩对于该横截 面引起何种变形效应？
2.1 内力 ( internal forces ) 定义和符号规定
1. 内力的定义
z
FMMyxFyFFy zz
y
MFz x Fx
x
主矢 Fx 轴力 FN ( axial force ) Fy 剪力 FSy ( shearing force ) Fz 剪力 FSz
1 1 3 3 kN
动脑又动笔
下列各截面上的弯矩为多少？
P
a2
a2
P L
q
a2
a2
q L
动脑又动笔 下列各截面上的弯矩为多少？
3kN/ m
2kNm
3kN
3kN
2m
1m
1m 1m 1m 1m
0.5, 0.5, 3.5 3.5 kN m 0, 3, 6, 3 kN m
ql / 2
M (x) 1 qx(l x)
2
结论 直梁某个横截面上的弯矩，其数值等于该截 面左端（或右端）全部力偶矩以及全部作用力（包 括支反力）对该截面矩的代数和。
例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图
和弯矩图。
y
FS
1 2
ql
qx
q
M
m 0
x
FlS
x
1 qx2 1 qlx M (x) 0 22
P
40 20 150
例 使用丝锥时每手用力 10N，假定各锥 齿上受力相等，试画出丝锥的扭矩图。
作用在丝锥顶部的力偶矩 215010 3000 N mm
作用在齿部的平均力偶矩 3000 20 150 N
计算模型如图
画出扭矩图
T 3000
x 40 60
例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图 和弯矩图。
例 如图的塔的材料密度为ρ，塔中了望台总重 P，塔外径为 D，
内径为 d，求横截面上的轴力。
h
g hx
A 1 π(D2 d 2 ) 4
x 0xh
H
P FN1 H
FN1
1 4
(D2
d
2
)πgx
0
FN2
FN1
1 4
(D2
d
2
)πgx
h x H
x
FN2
1 4
(D2
d
2
)πgx
P
0
FN2
1 (D2 4
第二章 内力与内力图
Chapter Two
Internal Forces and Their Diagrams
本章基本要求
2.1 内力定义和符号规定 2.2 内力方程及内力图 2.3 梁的平衡微分方程及其应用 2.4 用奇异函数求剪力弯矩方程 本章内容小结
SS 2-2， SS 4-2， 第五章 pp. 271 ~ 310
Fy 0
x
1 2
ql
qx
FS
(
x
)
0
FS
(
x)
1 2
ql
qx
结论 直梁某个横截面上的剪力，其数值等于该截 面左端（或右端）全部横向力（包括支反力）的代 数和。
例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图
和弯矩图。
y
FS
1 2
ql
qx
q
M
m 0
x
FlS
x
1 qx2 1 qlx M (x) 0 22
弯矩的负号
使微元区段有变凹趋势的弯矩为正。
2.2 内力方程及内力图
用截面法求内力方程 依据 杆件整体平衡时，它的任何一个局部也平衡。
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x 0,M y 0, NhomakorabeaMz 0
在杆件的任意局部区段中，所有外力与内力构成平衡力系。
方法和步骤
1) 先求出约束反力。
y
q
Mq
x
FlS
ql /q2l / 2
Fy 0
x
1 2
ql
qx
FS
(
x
)
0
ql / 2
FS
(
x)
1 2
ql
qx
结论 直梁某个横截面上的剪力，其数值等于该截 面左端（或右端）全部横向力（包括支反力）的代 数和。
例 求简支梁承受均布荷载的内力方程，并画出相应的剪力图 和弯矩图。
y
q
M
x
FlS
ql / 2
主矩 Mx 扭矩 T ( torque ) My 弯矩 My ( bending moment ) Mz 弯矩 Mz
2. 杆件内力与变形的关系 拉压 扭转 剪切
弯曲
轴力 FN 扭矩 T 剪力 FS 弯矩 M
3. 内力的符号规定
在一个横截面的两侧，轴力的“方向”是相反的。 应该用什么方式来确定轴力和其它内力的符号？