哈工大集合论习题课第六章树及割集习题课

第六章树及割集习题课1课堂例题例1设T是一棵树，T有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度顶点。

则（1）求T有几个1度顶点？（2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。

分析：对于任一棵树T，其顶点数p和边数q的关系是：q P 1且pdeg（vj 2q，根据这些性质容易求解。

i 1解：（1）设该树T的顶点数为p，边数为q，并设树T中有x个1 度顶点。

于是pdeg（v）3312 x 2q 且p 3 1 x，q p 1，得x 5。

i 1（2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。

图1例2设G是一棵树且（G）k，证明G中至少有k个度为1顶点。

证：设T中有p个顶点，s个树叶，则T中其余p s个顶点的度数均大于等于2，且至少有一个顶点的度大于等于k。

由握手定理可得：p2q 2 p 2 deg（v i） 2（ p s 1） k s，有s k。

i 1所以T中至少有k个树叶。

习题例1若无向图G中有p个顶点，p 1条边，则G为树。

这个命题正确吗？为什么？解：不正确。

心与平凡图构成的非连通图中有四个顶点三条边，显然它不是树。

例2设树T中有2n个度为1的顶点，有3n个度为2的顶点，有n个度为3的顶点，则这棵树有多少个顶点和多少条边？解：设T 有p 个顶点，q 条边，则q P 1 2 n 3n n 1 6n 1。

由 deg(v) 2q 有：1 2n 2 3n 3 n 2q 2(6n 1) 12n 2，解得：n =2。

v V故 q 11, p 12。

例3证明恰有两个顶点度数为1的树必为一条通路。

证：设T 是一棵具有两个顶点度数为 1的(p,q)树，则q p 1且 pdeg(V i ) 2q 2(p 1)。

i 1外，其他顶点度均大于等于2,故 p 2 deg(V i ) 2( p 1)，即i 1 p 2deg(V i ) 2( p 2)。

i 1因此p 2个分支点的度数都恰为2，即T 为一条通路。

例4画出具有4、5、6、7个顶点的所有非同构的无向树。

解：4个顶点的非同构的无向树有两棵，如图 21(a),(b)所示; 5个顶点的非同构的无向树有3棵，如图21(c),(d),(e)所示。

(a ) (b) (c) (d)(e)图2 6个顶点的非同构的无向树有6棵，如图3所示图37个顶点的非同构的无向树有11棵，如图4所示。

所画出的树具有6条边，因而七个顶点的度数之和应为 12。

由 于每个顶点的度数均大于等于 1，因而可产生以下七种度数序列 (d 1,d 2,L ,d 7):(1)1111116；(2)1111125;(3)1111134 ;(4)1111224 ；(5)1111233 ；（6） 1112223； （7） 1122222。

又T 除两个顶点度数为p deg(v)i 1在（1）中只有一个星形图，因而只能产生1棵树h。

在（2）, （3）中有两个星形图，因而也只能各产生1棵非同构的树，分别设为T2J3。

在（4），（5）中有三个星形图，但三个星形图是各有两个是同构的，因而各可产生两棵非同构的树，分别设为T4,T5和T6,T y。

在（6）中，有四个星形图，有三个是同构的，考虑到不同的排列情况，共可产生三棵非同构的树，设为T8,T9,T10。

在（7）中，有五个星形图，都是同构的，因而可产生1棵树，设为T11。

七个顶点的所有非同构的树T1 : T11如图2所示。

T7 T8 T9 T1o 「1图4例5设无向图G是由k（k 2）棵树构成的森林，至少在G中添加多少条边才能使G成为一棵树？解：设G中的k个连通分支为：TJ丄，T＜，V i T i，i 1,2丄，k。

在G 中添加边｛V i, V i 1｝，i 1,2丄，k 1，设所得新图为T，则T连通且无回路，因而T为树。

故所加边的条数k 1是使得G为树的最小数目。

例6证明：任意一棵非平凡树都是偶图分析：若考虑一下数据结构中树（即有向树）的定义，则可以很简单地将树中的顶点按层次分类，偶数层顶点归于顶点集V o，奇数层顶点归于顶点集V1，图G中每条边的端点一个属于V。

，另一个属于V1，而不可能存在关联同一个顶点集的边。

同理，对于无向树，可以从任何一个顶点V出发，给该树的顶点标记奇偶性，例如，v标记0，与v 相邻的顶点标记1，再给与标记为1的所有相邻的顶点标记0，依次类推，直到把所有的顶点标记完为止。

最后，根据树的性质证明，任何边只可能关联V1 （标记为1的顶点集）和V o （标记为0的顶点集）之间的顶点。

证1从任何一个顶点V出发，给该树的顶点做标记，v标记0,与V相邻的顶点标记1，然后再给与标记为1的所有顶点相邻的顶点标记 0 ,……，依次类推，直到把所有的顶点标记完为止。

下面证明：对于任何边只能关联V i （标记为1的顶点集）和V o （标 记为0的顶点集）之间的顶点。

不妨假设，若某条边e 关联V 1中的两个顶点，设为V 1和V 2，又因为 根据上述的标记法则，有V 1到v 的路R 和V 2到v 的路P 2。

设R 与P 2离w 和 v 2最近的顶点为u ,所以，树中存在回路：wRuP z V z evi ，与树中无回路 的性质矛盾。

所以，任意边只能关联V 1 （标记为1的顶点集）和V o （标 记为0的顶点集）之间的顶点。

所以，任意一棵非平凡树都是偶图。

证2设T 是任一棵非平凡树，则T 无回路，即T 中所有回路长都 是零。

而零是偶数，故由偶图的判定定理可知 T 是偶图。

例7 （1） 一棵无向树有n 个度数为i 的顶点，i 1,2,L ,k 。

n 2,匕丄，n k 均 为已知数，问n 1应为多少？（2）在（1）中，若n r （3 r k ）未知，n j （j r ）均为已知数，问n 「 应为多少？k解：（1）设T 为有p 个顶点，q 条边无向树，则q p 1 , p ni 1由握手定理: p p degv i 2q ，有degv iki 2q 2p 2，即 i 1 i 1 i 1k ki 1in i 2p 2 2 n i i 1 2 o由式①可知： k k kin i2 m 2 (i 2m 2 i 2 i 2i 2 （2）对于r 3，由①可知:n r（2 i ）门匚 2 or 2 i 1 i r 例8证明：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。

证：设T 为一棵非平凡的无向树，L V 1V 2L V k 为T 中最长的路，若 端点v 1和v k 中至少有一个不是树叶，不妨设 v k 不是树叶，即有 deg （vj 2，则V k 除与L 上的顶点V k 1相邻外，必存在v k 1与V k 相邻，而V k 1 不在 L 上，否则将产生回路。

于是 v 1L v k v k 1仍为 T 的一条比 L 更长的路， 这与 L 为最长的路矛盾。

故 v k 必为树叶。

同理，v1 也是树叶。

例9设无向图G中有p个顶点，q 1条边，则G为连通图当且仅当G中无回路。

证：必要性：因为G 中有p 个顶点，边数q p 1，又因为G 是连通的，由定理可知G 为树，因而G 中无回路。

充分性：因为G 中无回路，又边数q p 1，由定理可知G 为树，所以G 是连通的。

例10设G是一个(p,g)图，证明：若g p，则G中必有回路。

证：(1)设G 是连通的，则若G中无回路，则G是树，故q P 1与q p矛盾。

故G 中必有回路。

(2)设G 不连通，则G 中有k(k 2) 个分支，G1,G2,L ,G k 。

若G中无回路，则G的各个分支G(i 1,2,L ,k)中也无回路，于是各个分支都是树，所以有：q 口 1 ,i 1,2, L ,k。

相加得：q p k(k 2) 与q p矛盾，故G中必有回路。

综上所述，图G 中必有回路。

p例11设d1,d2,L ,d p是p个正整数，p 2，且 d 2p 2。

证明存在一棵顶点度数为d1,d2,L , d p 的树。

i 1证：对顶点p 进行归纳证明。

当p 2时，d1 d2 2 2 2 2，则d1 d? 1，故以d,?为度数的树存在，即为一条边。

p1设对任意p 1 个正整数d1, d2,L , d p 1 ，只要d i 2( p 1) 2 ，则存i1在一棵顶点度数为d1,d2,L , d p 1 的树。

p对p 个正整数d1',d2',L ,d'p，若有d i' 2 p 2 ，则d1',d2',L ,d'p中必有i1一个数为1，必有一个数大于等于2；不妨设d1' 1,d'p 2，因此对p 1p1个正整数d2' , d3' ,L ,d p'1,d'p 1，有d i'(d'p 1) 2( p 1) 2 ，故存在一棵顶i2 点度数为d2,d3,L ,d p 1,d p 1的树T。

设T中u的度数为d p 1，在T'中增加一个顶点v及边｛u,v｝，得到一个图T ,则T为树。

又T的顶点度数为d ；d,L ,d p ，故由归纳法知原命题成立例题例1 G 的一条边e 不包含在G 的任一回路中当且仅当e 是G 的桥。

分析：这个题给出了判断桥的充要条件，应该记住。

证：必要性：设e 是连通图G 的桥，e 关联的两个顶点是u 和v 。

若e 包含在G 的一个回路中，那么除边e uv 外还有一条分别以u 和v 为端点的路，所以删去边e 后，G 仍是连通的，这与e 是桥相矛盾。

充分性：若边e 不包含在G 的任意回路中，则连接顶点u 和v 只有 边e ，而不会有其它连接u 和v 的路。

因为若连接u 和v 还有不同于边e 的路，此路与边e 就组成了一条包含边e 的回路，从而导致矛盾。

所 以，删去边e 后，u 和v 就不连通了，故边e 是桥。

例2设G 是连通图，满足下面条件之一的边应具有什么性质 ？（1） 在G 的任何生成树中；（2） 不在G 的任何生成树中。

解：（1）在G 的任何生成树中的边应为G 中的桥。

（2）不在G 的任何生成树中的边应为G 中的环。

例3非平凡无向连通图G 是树当且仅当的G 的每条边都是桥。

证：必要性：若T 中存在边e VM 不是桥，则G e 仍连通，因而 Vj 之间必另有一条（不通过e ）的路。

设此路为：v V ii e ji V iz/L 即M V j ， 于是G 中有回路V j e jM2e j2L V j ev ，这与G 是树矛盾，故G 的每条边都是 桥。

充分性：只要证明G 中无回路即可。

若G 中有回路C ,则C 中任何边都不是桥，与题设中每条边都是 桥矛盾。

例4图1给出的带权图表示7个城市a,b,c,d,e,仁g 及架起城市间直接 通信线路的预测造价，试给出一个设计方案使得各城市间能够通信且 总造价最小，要求计算出最小总造价。