(完整版)解三角形中的最值问题

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解三角形的范围与最值问题

解三角形的范围与最值问题解三角形的范围与最值问题三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。

本文将从范围和最值两个方面进行探讨。

一、解三角形的范围问题解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。

1. 正弦函数正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。

因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

2. 余弦函数余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。

因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。

3. 正切函数正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。

对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

4. 余切函数余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。

对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。

以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。

二、解三角形的最值问题解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。

1. 正弦函数和余弦函数的最值正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。

当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。

2. 正切函数和余切函数的最值正切函数和余切函数都没有最值，但它们在某些点上趋近于无穷或者负无穷，这些点称为函数的特殊点。

正切函数的特殊点为θ=nπ+π/2(n∈Z)，此时tanθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。

余切函数的特殊点为θ=nπ(n∈Z)，此时cotθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。

专题17 三角形中的最值问题-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

【高考地位】三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一求三角形面积的最值问题使用情景：一般三角形中解题模板：第一步通过观察分析，决定选用合适的公式；第二步通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决；第三步得出结论.例1 求满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值.【答案】【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题.例2 在ABC 中，22223a b c ab +=+，若ABC ，求ABC 的面积的最大值.【答案】【解析】由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以sin C =，【点评】先利用余弦定理求cos A 的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用.【变式演练1】已知ABC 外接圆的半径为6，若面积22()ABC S a b c =--且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABC S的最大值为【答案】8sin 17A =，25617.考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．【变式演练2】在ABC 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+（1）求证：ABC 为直角三角形；（2）若ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）由(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+，得sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+，由正弦定理得cos cos a B a C b c +=+，由余弦定理得22222222a c b a b c a a b c ac ab+-+-⋅+⋅=+，整理得222()()0b c a b c +--=，又由于0b c +>，故222a b c =+，即ABC 是直角三角形.（或者：由sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+得，sin cos sin cos sin()sin()A B A C A C A B +=+++，化简得cos (sin sin )0A B C +=，由于sin sin 0B C +>，故cos 0A =，即ABC 是直角三角形）.（2）ABC 的周长的取值范围为(4,2+.【变式演练3】在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值；（2）若a =ABC 面积的最大值.【答案】（1）1m =.（2类型二求三角形中边或角的取值范围使用情景：三角形中解题模板：第一步通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；第二步利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；第三步得出结论.例3 在锐角ABC 中，2A B =，则c b的取值范围是 . 【答案】(1,2).【点评】①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件；②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.例4 若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 .【答案】.【点评】本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力.【变式演练4】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。

完整版)解三角形中的最值问题

完整版)解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。

解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。

解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。

设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。

（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。

解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。

由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。

解三角形中的最值(范围)问题

解三角形中的最值(范围)问题解三角形中的最值问题1.锐角三角形ABC满足$2B=A+C$，设最大边与最小边之比为$m$，求$m$的取值范围。

分析：由题意可知$\angle B=60^\circ$，且$A\leq B\leqC<90^\circ$。

不妨令$m=\dfrac{c}{a}$，则有：m=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sin C}{\sin A}\leq\dfrac{\sinC}{\sin B}\leq\dfrac{\sin C}{\sin(\pi/3)}=2\sin C$$又因为$\sin A\geq\dfrac{1}{2}$，$\tanA\geq\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，所以：dfrac{1}{2}\leq\sin A\leq 1,\quad \dfrac{\sqrt{3}}{3}\leq\tan A\leq\sqrt{3}$$从而有：1\leq m=\dfrac{c}{a}\leq 2$$2.锐角三角形ABC的面积为$S$，角C既不是最大角，也不是最小角。

若$k=\dfrac{a+b}{c}$，求$k$的取值范围。

分析：由正弦定理得：dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab\cos C}{2ab}= \dfrac{\sin C}{\sinA\sin B}=\dfrac{2S}{ab\sin C}$$又因为$\cos C<1$，所以：dfrac{2S}{ab\sin C}<\dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)}{2}\cdot\dfrac{(c+a-b)}{2ab}\leq\dfrac{1}{4}$$又因为$\sin C\geq\dfrac{1}{2}$，所以：k=\dfrac{a+b}{c}\geq\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}\geq 2\sqrt{\sinA\sin B}\geq\sqrt{2\sin A}\geq\sqrt{2}\sin\dfrac{A}{2}$$ 又因为$A0$，所以$k>0$。

解三角形中的范围与最值问题(解析版)1

解三角形中的范围与最值问题目录01方法技巧与总结02题型归纳与总结题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度和差比问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题与斯库顿定理题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆(阿波罗尼斯圆)问题题型十一：两边逼近思想题型十二：转化为正切有关的最值问题题型十三：最大角(米勒问题)问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理03过关测试1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围．题型一：周长问题1(2024·全国·二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a cos A=b cos C+c cos B，且a=4sin A，则△ABC周长的最大值为()A.42B.62C.43D.63【答案】D【解析】因为2a cos A=b cos C+c cos B，由正弦定理得2sin A cos A=sin B cos C+sin C cos B=sin B+C=sin A，因为sin A≠0，所以cos A=12，由于A∈0,π，故A=π3，则a=4sinπ3=23，由正弦定理得asin A=bsin B=csin C=4，故b +c =4sin B +4sin C =4sin B +4sin B +π3 =4sin B +2sin B +23cos B =43sin B +π6 ，又B ∈0,2π3 ，则B +π6∈π6,5π6，所以sin B +π6 ∈12,1 ，则b +c ∈23,43 ，故△ABC 周长a +b +c 的最大值为63.故选：D .2(2024·广西河池·模拟预测)已知△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos A =a cos B +b cos A .(1)求角A ；(2)若a =3，求△ABC 的周长的最大值，并求出此时角B ，角C 的大小.【解析】(1)由2c cos A =a cos B +b cos A ，则有2sin C cos A =sin A cos B +sin B cos A ，即2sin C cos A =sin A cos B +sin B cos A =sin A +B =sin C ，由C ∈0,π ，故sin C >0，则有2cos A =1，即cos A =12，即A =π3；(2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得3=b 2+c 2-bc ，则3=b +c 2-3bc ，故b +c 2-3=3bc ≤3⋅b +c 2 2，当且仅当b =c 时，等号成立，即b +c 2≤12，即b +c ≤23，即△ABC 的周长的最大值为33，此时a =b =c =3，即B =C =π3.3(2024·江西南昌·三模)在锐角△ABC 中，a =23，(2b -c )cos A =a cos C ，(1)求角A ；(2)求△ABC 的周长l 的范围.【解析】(1)∵(2b -c )cos A =a cos C ，∴2b cos A =a cos C +c cos A ，所以2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A ，所以2sin B cos A =sin (A +C )=sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A =12，∵A ∈0,π2 ，所以A =π3.(2)∵a sin A =2332=4，所以b sin B =c sin C =4,所以b =4sin B ，c =4sin C =4sin 2π3-B ，所以l=a+b+c=23+4sin B+4sin2π3-B=23+43sin B+π6,因为△ABC是锐角三角形，且A=π3，所以0<B<π20<2π3-B<π2，解得π6<B<π2，所以B+π6∈π3,2π3，所以sin B+π6∈32,1，所以l∈(6+23,63].4(2024·广东广州·一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a=2，a cos B= 2c-bcos A．(1)求角A的大小；(2)求△ABC周长的范围．【解析】(1)由余弦定理，a⋅a2+c2-b22ac=(2c-b)⋅c2+b2-a22bc，化简得b2+c2-a2=bc，所以cos A=c2+b2-a22bc=12，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由正弦定理：bsin B =csin C=asin A=232=433，则b=433sin B，c=433sin C，由(1)B+C=2π3，故a+b+c=2+433sin B+sin C=2+433sin B+sin2π3-B=2+433sin B+32cos B+12sin B=2+43332cos B+32sin B=2+4sin B+π6因为0<B<2π3⇒π6<B+π6<5π6，则12<sin B+π6≤1，所以4<a+b+c≤6，即周长范围是4,6．5(2024·贵州贵阳·模拟预测)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2a cos B+b cos A=abc．(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求△ABC周长范围．【解析】(1)在△ABC中，由射影定理得a cos B+b cos A=c，则题述条件化简为a2+b2-c2=ab，由余弦定理得a2+b2-c2=2ab cos C．可得cos C=12,C∈0,π,所以C=π3.(2)在△ABC中，由正弦定理得asin A=bsin B=csin C=2sinπ3=433，则△ABC周长C△ABC=a+b+2=2+433(sin A+sin B)=2+433sin A+sin2π3-A，因为sin A+sin2π3-A=3sin A+π6，则C△ABC=2+4sin A+π6，因为△ABC为锐角三角形，A+B=2π3，则得A∈π6,π2,A+π6∈π3,2π3，故sin A+π6∈32,1,C△ABC∈(2+23,6]．题型二：面积问题1(2024·四川德阳·模拟预测)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin C=c3cos B2，b=3.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积范围.【解析】(1)因为sin C=c3cos B2，b=3，所以sin B sin C=sin C cos B 2，因为sin C≠0，所以sin B=cos B2，则2sinB2cos B2=cos B2，因为cos B2≠0，所以sin B2=12，又B2∈0,π2，则B2=π6，所以B=π3.公众号：慧博高中数学最新试题(2)设△ABC的外接圆半径为R，则2R=bsin B=23，所以S△ABC=12ac sin B=122R sin A2R sin C sin B=33sin A sin2π3-A，=33sin A 32cos A +12sin A，=92sin A cos A +332sin 2A =94sin2A +332⋅1-cos2A 2，=94sin2A -334cos2A +334，=332sin 2A -π6 +334，因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π20<2π3-A <π2 ，解得π6<A <π2，则π6<2A -π6<5π6，则12<sin 2A -π6≤1，所以332<S △ABC ≤934，所以△ABC 的面积范围332,934.2(2024·全国·模拟预测)已知在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m =2sin x ,3 ，n =cos x ,cos2x ，f x =m ⋅n，f B +C =0．(1)求角A 的值；(2)若b =1，求△ABC 面积的范围．【解析】(1)∵m =2sin x ,3 ，n =cos x ,cos2x ，f x =m ⋅n ，∴f x =2sin x cos x +3cos2x=sin2x +3cos2x =2sin 2x +π3 ．又f B +C =0，∴sin 2B +C+π3=0．又△ABC 为锐角三角形，∴2B +C +π3=2π或π∴B +C =5π6或π3(舍去)，∴A =π6．(2)由正弦定理知a sin A=b sin B =c sin C ，又∵b =1，A =π6，∴a =12sin B ，∴S =12ab sin C =sin π6+B 4sin B=38+18⋅cos B sin B =38+18⋅1tan B ．B ∈0,π2 56π-B ∈0,π2故得到：π30),当ΔABC有且只有一解时,求实数m的范围及S的最大值.【解析】分析：(Ⅰ)利用余弦定理和三角形的面积公式化简(b+c)2-a2=43S得到sin A - π6=12,再解这个三角方程即得A的值.(II)先根据ΔABC有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m的取值范围m∈0,3∪2 ，再写出S的函数表达式求其最大值.(Ⅰ)由已知b2+c2-a2+2bc=23bc sin A由余弦定理得2bc cos A+2bc=23bc sin A，所以cos A+1=3sin A，即sin A-π6=12,∵A∈0，π，∴A-π6∈-π6，5π6，A-π6=π6，所以A=π3.(Ⅱ)由已知，当ΔABC有且只有一解时，m sinπ3=3或0<m≤3,所以m∈0,3∪2 ；(i)当m=2时，ΔABC为直角三角形，S=12•1•3=32(ii)当0<m≤3时，由正弦定理msin B=3sinπ3⇒m=2sin B，S=12•3sin B•sin C=3sin B•sin2π3-B=32sin B cos B+32sin2B=32sin B cos B+32sin2B+32•1-cos2B2=32sin2B-π6+34∵0<B≤π3,∴π6<2B-π6≤π2，所以，当B=π3时，S max=334>32综上所述，S max=33 4.4(2024·陕西安康·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AC=BD=10，当四边形ABCD的面积最大时，BC2+CD2+DA2的最小值为.【答案】700-4002【解析】如图，设AC∩BD=O,∠AOD=θ,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△BCD=12BD×AO sinθ+12BD×CO sinθ=12BD×AC sinθ=50sinθ，因0<θ<π，故当且仅当sinθ=1，即θ=π2时，S max=50.当θ=π2时，设AO=x,OB=y，则CO=10-x,OD=10-y,于是BC2+CD2+DA2=y2+(10-x)2+(10-y)2+(10-x)2+x2+(10-y)2=3(x2+y2)-40(x+y)+ 400，因AO2+BO2=100,即x2+y2=100,由(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=200，则有x+y≤102，当且仅当x=y=52时取等号，即当x=y=52时，BC2+CD2+DA2的最小值为300-40×102+400=700-4002.故答案为：700-4002.5(2024·陕西西安·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=6，6cos B=3c -b cos A ，则△ABC 面积的最大值为.【答案】322/322【解析】因为a =6，6cos B =3c -b cos A ，所以6cos B =a cos B =3c -b cos A ，由正弦定理可得sin A cos B =3sin C cos A -sin B cos A ，即sin A +B =3sin C cos A ，sin C =3sin C cos A ，因为C ∈0,π ，所以sin C ≠0，故cos A =13，由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得6 2=b 2+c 2-23bc ，所以6=b 2+c 2-23bc ≥2bc -23bc ，即bc ≤92，当且仅当b =c =322时取等号，由cos A =13，A ∈0,π ，得sin A =223，所以S △ABC =12bc sin A =12×223bc ≤23×92=322.故答案为：322.题型三：长度和差比问题1(2024·广东深圳·模拟预测)已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3c +b sin A =3a cos B ．(1)求角A 的大小；(2)若D 是边BC 上一点，且AD 是角A 的角平分线，求BC AD的最小值．【解析】(1)由题意知△ABC 中，3c +b sin A =3a cos B ，故3sin C +sin B sin A =3sin A cos B即3sin (A +B )+sin B sin A =3sin A cos B ，即3(sin A cos B +cos A sin B )+sin B sin A =3sin A cos B ，所以3cos A sin B +sin B sin A =0，而B ∈0,π ，故sin B ≠0，故3cos A +sin A =0，即tan A =-3，又A ∈0,π ，故A =2π3；(2)由余弦定理：BC =b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2+bc ，又S △ABD +S △ACD =S △ABC ，公众号：慧博高中数学最新试题所以12c ⋅AD sin60°+12 b ⋅AD sin60°=12bc sin120°，所以AD =bc b +c，所以BC AD =b 2+c 2+bcbcb +c ≥2bc +bcbc b +c =3⋅b +c bc ≥3⋅2bc bc=23，当且仅当b=c时，取等号，则BCAD的最小值为23.2(2024·山西运城·模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求证：sin(A-B)sin A+sin B =a-bc；(2)若△ABC是锐角三角形，A-B=π3,a-b=2，求c的范围.【解析】(1)由两角差的正弦公式，可得sin(A-B)sin A+sin B=sin A cos B-cos A sin Bsin A+sin B，又由正弦定理和余弦定理，可得sin A cos B-cos A sin B sin A+sin B =a⋅a2+c2-b22ac-b⋅b2+c2-a22bca+b=2a2-2b2 2c(a+b)=(a+b)(a-b)c(a+b)=a-bc，所以sin(A-B)sin A+sin B=a-bc(2)由(1)知c=(a-b)(sin A+sin B)sin(A-B)=43(sin A+sin B)=43sin B+π3+sin B=4332sin B+32cos B=432sin B+12cos B=4sin B+π6因为△ABC是锐角三角形，所以A=B+π3<π2，可得0<B<π6，又由A+B>π2，可得B+π3+B>π2，所以B>π12，所以π4<B+π6<π3，所以22<sin B+π6<32，可得22<c<23，符合c>a-b=2.所以实数c的取值范围是(22,23).3(2024·山东潍坊·一模)在①tan A tan C-3tan A=1+3tan C；②2c-3acos B= 3b cos A；③a-3csin A+c sin C=b sin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.(1)求角B的大小；(2)已知c=b+1，且角A有两解，求b的范围.【解析】(1)若选①：整理得1-tan A tan C=-3tan A+tan C，因为A+B+C=π，所以tan B=-tan A+C=-tan A+tan C1-tan A tan C=33，因为B∈0,π，所以B=π6；若选②：因为2c-3acos B=3b cos A，由正弦定理得2sin C-3sin Acos B=3sin B cos A，所以2sin C cos B =3sin A +B =3sin C ,sin C >0，所以cos B =32，因为B ∈0,π ，所以B =π6；若选③：由正弦定理整理得a 2+c 2-b 2=3ac ，所以a 2+c 2-b 22ac =32，即cos B =32，因为B ∈0,π ，所以B =π6；(2)将c =b +1代入正弦定理b sin B =c sin C ，得b sin B =b +1sin C，所以sin C =b +12b ，因为B =π6，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以12<sin C <1，即120，所以b 1.4在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =23，2c -a sin C =b 2+c 2-a 2sin Bb(1)求角B ﹔(2)求2a -c 的范围．【解析】(1)2c -a sin C =b 2+c 2-a 2sin Bb⇒2c -a c =b 2+c 2-a 2⇒c 2+a 2-b 2=ac ，又cos B =a 2+c 2-b 22ac ，所以cos B =12，因为B ∈0,π ，所以B =π3.(2)在△ABC 中，由(1)及b =23，得b sin B =a sin A=c sin C =2332=4，故a =4sin A ,c =4sin C ，2a -c =8sin A -4sin C =8sin A -4sin 2π3-A =8sin A -23cos A -2sin A=6sin A -23cos A =43sin A -π6，因为0<A <2π3，则-π6<A -π6<π2，-12<sin A -π6 <1,-23<43sin A -π6<43﹒所以2a -c 的范围为-23,43 .5(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B2．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A=bsin B ，可得a sin B =b sin A 又由b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2知2a sin B 2cos B 2=b ⋅2cos 2π12-A 2-1 ，即a sin B =b cos π6-A，得b sin A =b cos π6-A ，得sin A =cos π6-A =32cos A +12sin A ，得12sin A =32cos A ，所以tan A =3；又因为A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由BP =PC ，得AP =12AB +12AC ，所以AP 2=12AB +12AC 2=14AB 2+14AC 2+12AB ⋅AC=14c 2+14b 2+12bc cos A =14c 2+14b 2+14bc =14b +c 2-bc ≥14b +c 2-b +c 2 2 =316b +c 2=34，当且仅当b =c b +c =2，即b =c =1时等号成立，故AP 的最小值为32．6(2024·安徽亳州·高三统考期末)在锐角ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin C=c cos A -π6.(1)求角A 的大小；(2)设H 为ΔABC 的垂心，且AH =1，求BH +CH 的范围.【解析】(1)由a sin C =c cos A -π6，结合正弦定理得sin A =cos A -π6，整理得sin A -π3 =0，又A 为锐角，故A =π3.(2)由ΔABC 是锐角三角形，则垂心H 必在ΔABC 内部，不妨设∠BAH =α，则α∈0,π3.公众号：慧博高中数学最新试题由H 为ΔABC 的垂心，则∠ABH =∠ACH =π6.在ΔABH 中使用正弦定理得，AH sin ∠ABH =BHsin ∠BAH ，整理得：BH =2sin α.同理在ΔACH 中使用正弦定理得，CH =2sin π3-α .BH +CH =2sin α+2sin π3-α =2sin π3+α ，结合α∈0,π3可得BH +CH ∈3,2 .题型四：转化为角范围问题1在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.(1)求A；(2)求cos B-cos C的取值范围.【解析】(1)因为a+bsin A-sin B=c-bsin C，所以a+ba-b=c-bc，即a2=b2+c2-bc.因为a2=b2+c2-2b cos A，所以cos A=1 2.因为A∈0,π2，所以A=π3.(2)由(1)知cos B-cos C=cos B-cos2π3-B=cos B+12cos B-32sin B=32cos B-32sin B=3cos B+π6.因为0<2π3-B<π20<B<π2，所以π6<B<π2，因为π3<B+π6<2π3，所以cos B+π6∈-12,12，所以cos B-cos C∈-32,32，即cos B-cos C的取值范围是-32,32.2已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a-b=c cos B-cos A．(1)判断△ABC的形状并给出证明；(2)若a≠b，求sin A+sin B+sin C的取值范围．【解析】(1)△ABC为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由a-b=c cos B-cos A及正弦定理得，sin A-sin B=sin C cos B-cos A，即sin B+C-sin A+C=sin C cos B-cos A，即sin B cos C+cos B sin C-sin A cos C-cos A sin C=sin C cos B-sin C cos A，整理得sin B cos C-sin A cos C=0，所以cos C sin B-sin A=0，故sin A=sin B或cos C=0，公众号：慧博高中数学最新试题又A、B、C为△ABC的内角，所以a=b或C=π2，因此△ABC为等腰三角形或直角三角形．(2)由(1)及a≠b知△ABC为直角三角形且不是等腰三角形，且A+B=π2，C=π2故B=π2-A，且A≠π4，所以sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+1=sin A+cos A+1=2sin A+π4+1，因为A ∈0,π4 ∪π4,π2 ，故A +π4∈π4,π2 ∪π2,3π4，得sin A +π4 ∈22,1，所以2sin A +π4 +1∈2,2+1 ，因此sin A +sin B +sin C 的取值范围为2,2+1 ．3(2024·山西·模拟预测)钝角△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B =c sin A ，则sin A +2sin B 的最大值是.【答案】54【解析】因为a cos B =c sin A ，由正弦定理得sin A cos B =sin C sin A ，又因为A ∈(0,π)，可得sin A ≠0，所以sin C =cos B ，则C =π2-B 或C =π2+B .当C =π2-B 时，可得A =π2，与△ABC 是钝角三角形矛盾，所以C =π2+B ，由0<A <π200，可得0<B <π4，所以sin A +2sin B =sin B +C +2sin B =cos2B +2sin B =-2sin 2B +2sin B +1=-2sin B -242+54，所以当sin B =24时，sin A +2sin B 的最大值为54.故答案为：54.4在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a =1,b =2.(1)若∠B =π4，求角A 的大小；(2)求cos A cos A +π6的取值范围.【解析】(1)由正弦定理得：sin A =a sin B b=12，∵0<A <π，∴A =π6或5π6，当A =5π6时，此时A +B >π，所以A =5π6舍去，所以A =π6.(2)cos A cos A +π6 =cos A 32cos A -12sin A =341+cos2A -14sin2A =34+1232cos2A -12sin2A=-12sin 2A -π3 +34(或者用积化和差公式一步得到12cos 2A +π6 +34)∵a <b ，∴A <B ，所以A 为锐角，又sin A =a sin B b≤22，所以A ∈0,π4 ，所以2A -π3∈-π3,π6，所以sin 2A -π3 ∈-32,12，所以cos A cos A +π6 ∈3-14,32.题型五：倍角问题1(多选题)在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b +2b cos A ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.B 的取值范围为π6,π3C.ab的取值范围为(2,3)D.1tan B -1tan A+2sin A 的取值范围为533,3 【答案】ACD【解析】因为c =b +2b cos A ，所以由正弦定理得sin C =sin B +2sin B cos A ，又因为sin C =sin (A +B )，所以sin A +B =sin B +2sin B cos A ，即sin A cos B +sin B cos A =sin B +2sin B cos A ，整理得sin A cos B -sin B cos A =sin B ，即sin (A -B )=sin B对于A 项，因为A 、B 、C 均为锐角，所以A -B =B ，即A =2B ，故A 项正确；对于B 项，因为A =2B ，A +B +C =π，所以C =π-3B ，因为A 、B 、C 均为锐角，所以0<A <π20<B <π20<C <π2 ，即0<2B <π20<B <π20<π-3B <π2，解得π6<B <π4，所以B 的取值范围为π6,π4，故B 项错误．对于C 项，由正弦定理得a b=sin A sin B =sin2B sin B =2cos B ，B ∈π6,π4 ，所以cos B ∈22,32，所以ab=2cos B ∈(2,3)．故C 项正确．对于D 项，由A 项知，A =2B ，由B 项知，π6<B <π4，所以π3<A <π2，所以1tan B -1tan A +2sin A =tan A -tan B tan B tan A +2sin A =sin A cos B -sin B cos Asin B sin A+2sin A =sin A -B sin B sin A +2sin A =sin B sin B sin A +2sin A =1sin A +2sin A ，A ∈π3,π2 ，令t =sin A ，则t ∈32,1，所以1tan B -1tan A+2sin A =1t +2t ，t ∈32,1 ，令h (t )=1t +2t ，t ∈32,1 ，则h(t )=-1t 2+2=2t 2-1t 2>0，所以h (t )在32,1 上单调递增，又h 32=533，h (1)=3，所以h (t )∈533,3 ，即1tan B -1tan A +2sin A 范围为533,3 ，故D 项正确.故选：ACD .2(多选题)(2024·河北·三模)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A =2B ，则()A.a 2=c b +cB.b c +a 2b 2的最小值为3C.若△ABC 为锐角三角形，则cb∈1,2 D.若a =26，b =3，则c =5【答案】BCD【解析】由A =2B ，得sin A =sin2B =2sin B cos B ，由正弦定理得a =2b cos B ，由余弦定理得a =2b ⋅a 2+c 2-b 22ac，则c -b a 2-b 2-bc =0，当b ≠c 时，a 2-b 2-bc =0，即a 2=b b +c ，当b =c 时，B =C ，又A =2B ，所以A =90°,B =C =45°，所以a =2b ，所以a 2-b 2-bc =2b 2-b 2-b ⋅b =0，所以a 2=b b +c ，故选项A 错误；由a 2=b b +c ，则b c +a 2b 2=b c +b 2+bc b2=b c +c b +1≥3，当且仅当b =c 时，故选项B 正确；在△ABC 中，sin B ≠0，由正弦定理，c b =sin C sin B =sin 2B +B sin B =sin2B cos B +cos2B sin B sin B =2sin B cos 2B +2cos 2B -1 sin Bsin B =4cos 2B -1，若△ABC 为锐角三角形，又A =2B ，则B ∈0,π4 ,C =π-3B <π2，故B >π6，所以B ∈π6,π4，所以cos B ∈22,32，则cos 2B ∈12,34 ，所以4cos 2B -1∈1,2 ，故选项C 正确；公众号：慧博高中数学最新试题在△ABC 中，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C ，又A =2B ，a =26，b =3，得3sin B =26sin2B =262sin B cos B，则cos B =63由余弦定理，b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，得9=24+c 2-2×26×63c ，整理得c2-8c+15=0，解得c=5，或c=3，当c=3时，有C=B，又A=2B，所以B=C=45°,A=90°，因为b2+c2≠a2，则c=3不成立，故选项D正确.故选：BCD .3(2024·江西九江·一模)锐角三角形ABC中，若∠C=2∠B，则ABAC的范围是()A.(0,2)B.(2,2)C.(2,3)D.(3,2)【答案】C【解析】由正弦定理得ABAC=cb=sin Csin B=sin2Bsin B=2sin B cos Bsin B=2cos B，由于三角形ABC为锐角三角形，故0<B<π20<C=2B<π2π2<B+C=3B<π，所以π6<B<π4，所以2cos B∈2,3.故选C.4在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2=b2+bc，则cb+2cos2B的最小值为.【答案】42-1/-1+42【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A，又a2=b2+bc，所以b2+bc=b2+c2-2bc cos A，即bc=c2-2bc cos A，所以b=c-2b cos A，由正弦定理得sin B=sin C-2sin B cos A，即sin B=sin A+B-2sin B cos A=sin A cos B-cos A sin B=sin A-B，因为A,B∈0,π，所以A-B∈-π,π，所以B=A-B或B+A-B=π(舍去)，所以A=2B，c b +2cos2B=sin Csin B+2cos2B=sin A+Bsin B+2cos2B=sin3Bsin B +2cos2B=sin B cos2B+cos B sin2Bsin B+2cos2B=cos2B-sin2B+2cos2B sin Bsin B +2 cos2B=4cos2B+2cos2B -1≥24cos2B⋅2cos2B-1=42-1，当且仅当4cos2B=2cos2B，即cos2B=22时取等号，所以c b +2cos 2B的最小值为42-1.故答案为：42-1.题型六：角平分线问题与斯库顿定理1△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a sin A =b sin C cos A +c sin A cos B .(1)求sin Asin C的值；(2)若BD 是∠ABC 的角平分线.(i )证明：BD 2=BA ·BC -DA ·DC ；(ii )若a =1，求BD ⋅AC 的最大值.【解析】(1)因为△ABC 中，4a sin A =b sin C cos A +c sin A cos B ，故4sin 2A =sin B sin C cos A +sin C sin A cos B =sin C (sin B cos A +sin A cos B )=sin C sin A +B =sin 2C ，因为A ,C ∈(0,π),∴sin A ,sin C >0，故sin A sin C =12；(2)(i )证明：△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD =ABsin ∠ADB ①，又AB 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB ②，同理在△BCD 中，CD sin ∠CBD =BCsin ∠CDB ③，BC 2=CD 2+BD 2-2CD ⋅BD ⋅cos ∠CDB ④，BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD =∠CBD ，则sin ∠ABD =sin ∠CBD ，公众号：慧博高中数学最新试题又∠ADB +∠CDB =π，故sin ∠ADB =sin ∠CDB ,cos ∠ADB +cos ∠CDB =0，故①÷③得AD CD =AB BC ⑤，即AD AC =AB AB +BC ,∴CD AC =BC AB +BC，由CD ×②+AD ×④得，CD ⋅AB 2+AD ⋅BC 2=CD ⋅AD AD +CD +CD +AD ⋅BD 2=CD ⋅AD ⋅AC +AC ⋅BD 2，则BD 2=CD ⋅AB 2+AD ⋅BC 2AC-CD ⋅AD=BC ⋅AB 2+AB ⋅BC 2AB +BC -CD ⋅AD =BA ⋅BC -DA ⋅DC ，即BD 2=BA ·BC -DA ·DC ；(ii)因为sin Asin C =12，故c=2a，则由⑤得ADCD=ABBC=2，则AD=23AC,DC=13AC，由a=1以及(i)知BD2=2-29AC2，即BD2+29AC2=2，则BD2+29AC2≥223BD⋅AC，当且仅当BD2=29AC2，结合BD2+29AC2=2，即BD=1,AC=322时等号成立，故BD⋅AC≤322，即BD⋅AC的最大值为322.2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，a=23，6cos C-a sin C=3b.(1)求角A的大小；(2)设∠ABC的平分线与AC交于点D，当△ABC的面积最大时，求BD的长.【解析】(1)6cos C-a sin C=3b,a=23，所以3a cos C-a sin C=3b，由正弦定理得3sin A cos C-sin A sin C=3sin B=3sin(A+C)，即3sin A cos C-sin A sin C=3sin A cos C+3sin C cos A，得-sin A sin C=3sin C cos A，又sin C>0，所以-sin A=3cos A，即tan A=-3，又0<A<π，所以A=2π3；公众号：慧博高中数学最新试题(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A 即b2+c2+bc=12，而b≥0,c≥0，∴12=b2+c2+bc≥3bc，即bc≤4，∴S△ABC=12bc sin A=34bc≤ 3.当且仅当b=c=2取等号此时∠ABC=∠C=π6，则∠ABD=π12,∠ADB=π4，在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin A，即2sinπ4=BDsin2π3，解得BD=6.3(2024·山西吕梁·一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos C+2a cos A=-c cos B．(1)求A；(2)设A的角平分线交BC于点M，AM=1，求b+4c的最小值．【解析】(1)∵b cos C+2a cos A=-c cos B.由正弦定理，得sin B cos C+sin C cos B=-2sin A cos A∴sin(B+C)=-2sin A cos A，即sin A=-2sin A cos A∵A∈0,π∴sin A>0∴cos A=-12，即A=2π3(2)由题意可得，S△ABM+S△AMC=S△ABC∴1 2c⋅AM⋅sin60°+12b⋅AM⋅sin60°=12bc sin120°∴b+c=bc即1b+1c=1∴b+4c=(b+4c)1b +1 c=5+b c+4c b≥5+2b c⋅4c b=9当且仅当bc=4cb，即b=3,c=32时，等号成立，所以b+4c的最小值为9.4(2024·广东佛山·模拟预测)记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2C+ sin2B-sin2A=sin B sin C．(1)求A；(2)已知A的角平分线交BC于点D，求BDCD的取值范围．【解析】(1)因为sin2C+sin2B-sin2A=sin B sin C，由正弦定理可得c2+b2-a2=bc，所以cos A=c2+b2-a22bc=12，又A∈0,π，所以A=π3.(2)因为BDCD =S△ABDS△ACD=12AB⋅AD sin∠BAD12AC⋅AD sin∠CAD=ABAC=cb=sin C sin B =sin2π3-Bsin B=sin2π3cos B-cos2π3sin Bsin B=32tan B+12，因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<π20<2π3-B<π2，解得π6<B<π2，所以tan B>33，所以12<32tan B+12<2，即BDCD的取值范围为12,2.题型七：中线问题1在△ABC 中，∠B =π3，D 在边AC 上，∠A ，∠B ．∠C 对应的边为a ，b ，c ．(1)当BD 为∠B 的角平分线且BD =3时，求1a +1c的值；(2)当D 为AC 的中点且BD =23时，求2c +a 的取值范围．【解析】(1)由题意知，BD 为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得12ac sin π3=12BD ⋅c ⋅sin π6+12BD ⋅a ⋅sin π6，整理可得32ac =32a +c ，所以1a +1c =c +aac=1.(2)以a ，c 为边做平行四边形，另一个端点设为M ，连接BM ，易知BM 交AC 于点D .设∠DBC =θ，则由正弦定理知：c sin θ=43sin 2π3=a sin π3-θ 化简可得c =8sin θ，a =8sin π3-θ ，．则2c +a =16sin θ+8sin π3-θ ，合并化简可2c +a =83sin θ+π6，易知θ∈0,π3 ，则θ+π6∈π6,π2，∴2c +a =83sin θ+π6∈43,83 ．∴2c +a 的取值范围为43,83 .2(2024·高三·黑龙江大庆·期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且sin C =c 3cos B2,b =3.(1)求B ；(2)求△ABC 的AC 边中线BD 的最大值.【解析】(1)由题意sinB 2>0，结合已知有2sin B 2sinC =c 3×2⋅sin B 2cos B 2=c3sin B ，所以2c ⋅sin B 2=c3⋅b ，而b =3，所以sinB 2=12，而B 2∈0,π2 ，所以B 2=π6，解得B =π3.(2)由题意BD =12BA +BC ，所以BD =12BA +BC =12BA +BC 2=12BA 2+2BA ⋅BC +BC 2=12c 2+ac +a 2，而由余弦定理有9=b 2=a 2+c 2-2ac cos π3=a 2+c 2-ac ，所以BD =129+2ac ，由基本不等式可得9=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ，当且仅当a =c =3时，等号成立，即ac max =9，所以BD max =129+2ac max =332，即△ABC 的AC 边中线BD 的最大值为332.3(2024·河北·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且sin A -3sin B a =c -b sin C +sin B .(1)求角C 的大小；(2)若边c =2，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的最大值.【解析】(1)因为sin A -3sin B a =c -b sin C +sin B ，由正弦定理可得：a -3b a =c -b c +b ，则a 2-3ab =c 2-b 2，即a 2+b 2-c 2=3ab ，由余弦定理可得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =3ab 2ab=32，因为C ∈0,π ，所以C =π6.(2)因为D 为AB 的中点，所以CD =12CA +CB，则CD 2=14CA +CB 2=14CA 2+12CA ⋅CB +14CB 2=14a 2+3ab +b 2 ，又由余弦定理得，c 2=a 2+b 2-2ab cos B ，即4=a2+b2-3ab，所以CD2=144+23ab=1+32ab.由4=a2+b2-3ab得，4+3ab=a2+b2≥2ab，则ab≤42+3，当且仅当a=b=22+3取等号，即CD2≤1+32×42+3=1+232+3=7+43=3+22，所以CD≤3+2，即中线CD长的最大值为3+2.4(2024·高三·河北张家口·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C-2b cos B+c cos A=0．(1)若a=3，b=7c，求△ABC的面积；(2)已知AD为边BC的中线，且AD=3，求a+c的最大值．【解析】(1)由正弦定理，得sin A cos C-2sin B cos B+sin C cos A=0，所以sin A+C=2sin B cos B．又A+B+C=π，所以sin B=2sin B cos B，又sin B≠0，所以cos B=12，又B∈0,π，故B=π3．由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac cos B⇒7c2=9+c2-3c，由c>0，解得c=1，所以△ABC的面积S=12ac sin B=12×3×1×32=334．(2)设∠BDA=θ，则∠BAD=2π3-θ．由B=π3及正弦定理可得，csin∠BDA=a2sin∠BAD=ADsin B=2，所以c=2sinθ，a=4sin2π3-θ ，故a+c=4sin2π3-θ+2sinθ=4sinθ+23cosθ=2727sinθ+37cosθ=27sinθ+φ，其中tanφ=32，φ∈0,π4，当sinθ+φ=1时，a+c的最大值为27．5(2024·浙江·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且b cos C+c sin B=a, a+2bsin A+2sin B=62，(1)求b；(2)求AC边上中线长的取值范围．【解析】(1)因为b cos C+c sin B=a，由正弦定理可得sin B cos C +sin C sin B =sin A =sin B +C =sin B cos C +cos B sin C ，整理得sin C sin B =cos B sin C ，且C ∈0,π ，则sin C ≠0，可得sin B =cos B ，即tan B =1，且B ∈0,π ，则B =π4，由正弦定理a sin A =bsin B =2R ，其中R 为△ABC 的外接圆半径，可得a =2R sin A ,b =2R sin B ，又因为a +2b sin A +2sin B =2R sin A +4R sin B sin A +2sin B=2R =62，所以b =2R sin B =62×22=6.(2)在△ABC 中，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即36=a 2+c 2-2ac ，则a 2+c 2=36+2ac ≥2ac ，当且仅当a =c 时，等号成立，可得ac ≤362-2=182+2 ，即ac ∈0,182+2设AC 边上的中点为D ，因为BD =12BA +12BC ，则BD 2=12BA +12BC 2=14BA 2+12BA ⋅BC +14BC2=14a 2+c 2 +12ac cos B =1436+2ac +24ac =9+22ac ∈9,27+182 ，即BD ∈3,3+32 ，所以AC 边上中线长的取值范围为3,3+32 .题型八：四心问题1(2024·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且c -b sin C =a cos C -b sin B +a cos B sin C .(1)求角A ；(2)若H 为△ABC 的垂心，a =2，求△HBC 面积的最大值.【解析】(1)由题可得，c -b sin C =a cos C sin B -b sin B +a cos B sin C =a sin B +C -b sin B =a sin A -b sin B结合正弦定理可得c -b c =a 2-b 2，即bc =b 2+c 2-a 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又A ∈0,π2 ，∴A =π3.(2)设边AC ，AB 上的高分别为BE ，CF 则H 为BE 与CF 的交点，则在四边形AFHE 中，∠FAE +∠FHE +π2+π2=2π，∵∠FAE =π3，∴∠FHE =2π3，故∠BHC =2π3，在△BHC 中，S △BHC =12BH ⋅HC sin 2π3=34BH ⋅HC ，BH 2+HC 2-2BH ⋅HC ⋅cos 2π3=4，则4=BH 2+HC 2+BH ⋅HC ≥2BH ⋅HC +BH ⋅HC ，即BH ⋅HC ≤43，当且仅当BH =HC 时取等号.∴S △BHC ≤33，故△HBC 面积的最大值为33.2在锐角△ABC 中，cos A =22，点O 为△ABC 的外心．(1)若AO =xAB +yAC，求x +y 的最大值；(2)若BC =2．①求证：OA +sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC =0；②求3OA +2OB +OC的取值范围．【解析】(1)取AB 的中点D ，连接OD ,则OD ⊥AB ,不妨设|AB |=m ,|AC |=n ，因AO ⋅AB =(AD +DO )⋅AB =AD ⋅AB =12m 2，同理可得AO ⋅AC =12n 2，则由AO =xAB +yAC 可得AO ⋅AB =x |AB |2+yAB ⋅AC=xm 2+ymn cos A =xm 2+22ymn =12m 2，即得：2mx +2ny =m ①又由AO =xAB +yAC 可得AO ⋅AC =xAB ⋅AC +y |AC |2=xmn cos A +yn 2=22xmn +yn 2=12n 2，即得：2mx +2ny =n ②联立①,②，解得：x =1-2n2m y =1-2m 2n,则x +y =1-2n 2m +1-2m 2n =2-22n m +m n，因n m +mn≥2，当且仅当m =n 时等号成立.即当m =n 时，x +y 取得最大值2-2.(2)①由cos A =22,0<A <π2，则A =π4，由图知∠BOC =2∠A =π2,则OB ⋅OC =0,设△ABC 的外接圆半径为R ，公众号：慧博高中数学最新试题则|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |2=sin 22B ⋅|OB |2+cos 22B ⋅|OC|2=R 2,即|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |=R ,又OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC)=R 2(sin2B cos ∠AOB -cos2B cos ∠AOC )，而∠AOB =2π-∠BOC -∠AOC =3π2-∠AOC ,则cos ∠AOB =-sin ∠AOC =-sin2B ，而cos ∠AOC =cos2B ，故OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC)=-R 2(sin 22B +cos 22B )=-R 2,不妨设OA 与sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC的夹角为θ，则cos θ=OA ⋅(sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC )|OA |⋅|sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC |=-R 2R 2=-1,因θ∈[0,π]，故θ=π，即OA =-sin2B ⋅OB +cos2B ⋅OC，故OA +sin2B ⋅OB -cos2B ⋅OC =0 ，得证.②因|BC |=2,∠BOC =π2,则|BC |=2R =2,即R =1，3OA +2OB +OC 2=9OA 2+4OB 2+OC 2+12OA ⋅OB +6OA ⋅OC +4OB ⋅OC =14+12cos2C +6cos2B +4cos2A =14+12cos2C -6sin2C =14+65cos (2C +θ)，其中，tan θ=12，且θ为锐角，故0<θ<π4，因0<C <π20<B =3π4<π2, 可得C ∈π4,π2 ,则2C ∈π2,π ，2C +θ∈π2+θ,π+θ .又由tan θ=sin θcos θ=12sin 2θ+cos 2θ=10<θ<π4 ,解得：sin θ=55cos θ=255, 因π2<π2+θ<3π4，而函数y =cos x 在π2+θ,π 上单调递减，在(π,π+θ)上单调递增，又由cos π2+θ=-sin θ=-55,cos (π+θ)=-cos θ=-255,故-1≤cos (2C +θ)<-55，则14-65≤14+65cos (2C +θ)<8，于是3-5=14-65≤3OA +2OB +OC<8，即3OA +2OB +OC的范围为[3-5,22).3已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 是△ABC 所在平面内的一点．(1)若点O 是△ABC 的重心，且OA ⋅OB=0，求cos C 的最小值；(2)若点O 是△ABC 的外心，BO =λBA +μBC (λ，μ∈R )，且a =4，c =6，mλ+μ-12sin 2B (m ∈R )有最小值，求m 的取值范围．【解析】(1)延长AO ，BO ，CO 分别交边BC ，AC ，AB 于点D ，E ，F ，依题意有FO =12AB =12c ，CF =32c ．在△CAF和△CAB中，由余弦定理有cos∠CAF=cos∠CAB，即b2+c22-3c2 22b⋅c2=b2+c2-a22bc，化简有a2+b2=5c2，cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a2+b252ab=45⋅a2+b2 2ab ≥45⋅2ab2ab=45．当且仅当a=b时，等号成立，所以cos C的最小值为4 5．(2)由题意可知：BO⋅BA=18=36λ+24μcos B BO⋅BC=8=24λcos B+16μ，解得λ=3-2cos B6sin2Bμ=2-3cos B4sin2B，则mλ+μ-1 2sin2B=m(3-2cos B)6+2-3cos B4-sin2B2=6cos2B-(4m+9)cos B+6m12．今t=cos B,t∈(-1,1)，原式=6t2-(4m+9)t+6m有最小值，所以t-4m+912∈(-1,1)．解得m∈-214,34．4从①(a+b+c)⋅(sin A+sin B-sin C)=a sin B+2b sin A；②2a sin A cos B+b sin2A= 23a cos C这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：．(1)求角C的大小；(2)若c=3，△ABC的内心为I，求△ABI周长的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【解析】(1)选择条件①，(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=a sin B+2b sin A，在△ABC中，由正弦定理得(a+b+c)(a+b-c)=ab+2ba，整理得a2+b2-c2=ab，则由余弦定理，cos C=a2+b2-c22ab=12，又C∈(0,π)，所以C=π3．选择条件②，2a sin A cos B+b sin2A=23a cos C，于是a sin A cos B+b sin A cos A=3a cos C，在△ABC中，由正弦定理得，sin2A cos B+sin A sin B cos A=3sin A cos C，。

高中数学同步教学课件习题课解三角形中的最值(范围)问题

因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
所以 A＝π－3B>0，所以 0<B<π3，
所以12<cos B<1,1<2cos B<2.
又bc＝ssiinn
CB＝ssiinn2BB＝2cos
B，故
c 1<b<2.
1234
4.在△ABC 中，B＝60°，AC＝ 3，则 AB＋2BC 的最大值为__2__7___.
∵0<A<π3， ∴π3<A＋π3<23π， ∴ 23<sinA＋π3≤1， ∴2 3<2sinA＋π3＋ 3≤2＋ 3， ∴△ABC 周长的取值范围是(2 3，2＋ 3].
与三角形的面积相关
四
的范围或最值问题
A＋C 例4 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 asin 2 ＝bsin A.
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B，
则△ABC 的周长为 L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋ 3
＝2sin
A＋sinπ3－A＋
3
＝2sin
A＋
23cos
A－12sin
A＋
3
＝212sin
A＋
3 2 cos
A＋
3
＝2sinA＋π3＋ 3.
由正弦定理可知 sin C＝2cR＝4c，所以 S＝12absin C＝12ab×4c＝ 2，即 abc＝8 2. 故 ab＋ 2c≥2 ab× 2c＝2 16＝8，
当且仅当 ab＝ 2c＝4 时，等号成立，所以 ab＋ 2c 的最小值为 8.
与三角形的角或角的三角函

三角形中的最值或范围问题

三角形中的最值或范围问题在解三角形时，往往会遇到求边、角、周长、面积等问题的最值或范围，我们只需综合运用正余弦定理、三角恒等变换、面积公式，结合基本不等式与三角函数等知识求解即可.一、角的范围或最值[解析]：因为2b ac =，又由余弦定理知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，所以03B π<≤，又7sin cos )44412B B B B ππππ+=+<+<且,)4B π+∈,即sin cos B B +的取值范围是.[解析]:由BA BC ⋅=,得1cos sin 2ca B ac B =,即cos B B =, 又22cos sin 1B B +=,所以3cos 4B =． 221cos 21cos 2sin sin 22A C A C --+=+＝1cos[()()]2A C A C -++-＋1cos[()()]2A C A C -+--＝cos()cos()1A C A C +-+＝cos cos()1B A C -+＝3cos()14A C -+．因为0A B π<<-,0C B π<<-,所以B A C B ππ-<-<-, 所以当A C =时,max cos()1A C -=,当A C B π-=-或A C B π-=-时,min 3cos()cos 4A CB -=-=-,所以737cos()11644A C <-+≤, 即22sin sin A C +的取值范围是77(,]164．点评：求角的范围问题一般是转化为利用三角函数的范围来求.二、边的范围或最值【例2】:在锐角△ABC 中，A=2B ，则cb的取值范围是 .[解析]：由0222A B C A B πππ<=<<=--<且0,得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B+====-，又23cos (,)22B ∈所以24cos 1(1,2)cB b=-∈. 【变式】:在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且BC 边上的高为a 63,则cb bc + 的最大值是( )A.8B. 6C.23D.4[解析]:由已知得，在△ABC 中,A bc a a sin 216321=⋅, 即A bc a sin 322=,又由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+=，即222cos 2c b A bc a +=+，所以4)6sin(4cos 2sin 32cos 2sin 3222≤+=+=+=+=+πA A A bc A bc A bc bc c b c b b c . 故选D.点评：把边的问题转化为角的问题，化多元为一元，体现了解题的通性通法.下面这道高考题只需运用正弦定理即可，能想到方法就很简单，想不到就太难了，不愧是高考题！【好题欣赏】：（2015·新课标I ）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .[解析]: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-，所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.三、周长的范围或最值【例3】: 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c +--=. (1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．[解析]:(1)由已知及正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+, 即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=-,化简得，1cos sin 3=-A A ，所以21)6sin(=-πA ，所以66ππ=-A ，解得3π=A ；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+ 当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【变式】: 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求B 的大小.（2）若b=5，求△ABC 周长的取值范围.[解析]：（1）因为cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,23B B π==.（2）由正弦定理10sin sin sin 3a b c A B C ===，所以101010210sin 5sin 5sin()sin 510sin()363333a b c A C A A A ππ++=++=+-+=++又由02A π<<得2663A πππ<+<，所以510sin()(10,15]6a b c A π++=++∈.点评：例4是运用余弦定理结合基本不等式求周长的范围，而变式是运用正弦定理结合三角函数求周长的范围，各有千秋，好好体会.四、面积的范围与最值【例4】:在△ABC 中，22223a b c ab +=+，若△ABC 的外接圆半径为322，则△ABC 的面积的最大值为 .[解析]：由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =，又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-，即2221623ab a b ab +=+≥，所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤，故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42.【变式】: 如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,22=OP ,点M 在线段PQ 上． (1)若5OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．[分析]:第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题主要是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.[解析]:(1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =, 由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =． (2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒, 在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+, 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMNS OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=⎣⎦====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．即30POM ∠=︒时,△OMN 的面积的最小值为8-点评：面积问题是边长与角问题的综合,在例5中，知道角的具体值，就考虑边的变化，利用余弦定理结合基本不等式来求,而在变式中，不知道角的具体值，就考虑角的变化,利用三角函数范围求解.巩固训练：[解析]:设,,AB c AC b BC a ===,由余弦定理的推论222cos 2a c b B ac+-=,所以2223a c ac b +-==, 因为由正弦定理得2233sin sin sin ====BbC c A a ,所以C c sin 2=，A a sin 2=, 所以)sin 2(sin 2sin 22sin 22A C A R C R a c +=⨯+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=)32sin(2sin 2C C π ()α+=+=C C C sin 72)cos 3sin 2(272≤,（其中23tan =α），另解：本题也可以用换元法设2c a m +=,代入上式得227530a am m -+-=,因为28430m =-≥,故m ≤当m =,此时a c ==符合题意,因此最大值为．[解析]:（1）由余弦定理知：2221cos 22b c a A bc +-==,∴3A π∠=； (2)由正弦定理得：2sin sin sin b c aB C A====,∴2sin b B =,2sin c C =, ∴22224(sin sin )b c B C +=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+-=B B C B 322cos 22cos 24)2cos 12cos 1(2π⎪⎭⎫⎝⎛---=B B 234cos 22cos 24π)62sin(242sin 32cos 4π-+=+-=B B B ,又∵203B π<<0,∴72666B πππ-<-<,∴12sin(2)26B π-<-≤, ∴2236b c <+≤．3.己知在锐角三角形中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且222tan abC a b c =+-,(1)求角C 大小；(2)当c=1时,求ab 的取值范围.[解析]：(1)由已知及余弦定理,得sin 1,sin ,cos 2cos 2C ab C C ab C ==因为C 为锐角,所以 30=C , (2)由正弦定理,得121sin sin sin 2a b c A B C ====, 2sin ,2sin 2sin(30).a A b B A ∴===+︒4sin sin 4sin sin()6ab A B A A π==+2314sin (sin cos )23sin 2sin cos 22A A A A A A =+=+3sin 23cos2A A =+-32sin(2)3A π=+- 由090,015090A A ︒<<︒⎧⎨︒<︒-<︒⎩得6090.A ︒<<︒60260120,A ∴︒<-︒<︒3sin(2)123A π<-≤ 2332ab ∴<≤+.4.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a=2,求△ABC 周长的取值范围．[解析]:（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可将2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++变形为22(2)(2)a b c b c b c =+++, 整理可得222a b c bc =++,222b c a bc ∴+-=-,2221cos 222b c a bc A bc bc +--∴===-,0180A <<,∴120A =;(2) 由正弦定理得334sin sin ==C c B b ， ∴[])60sin(sin 334)sin (sin 334B B C B c b -+=+=+ )sin 60cos cos 60sin (sin 334B B B -+= )60sin(334cos 23sin 21334+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B ，∵ 120=A ，∴() 60,0∈B ，∴() 120,6060∈+B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+1,23)60sin( B ,∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2)60sin(334B ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+334,2c b ， ∴周长⎥⎦⎤⎝⎛+∈++3342,4c b a[解析]：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=， ∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 2ABC S bc A ∆=≤故答案为3.6. 在一个六角形体育馆的一角MAN 内,用长为a 的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知0120A ∠=,B 是墙角线AM 上的一点,C 是墙角线AN 上的一点．（1）若BC=a=20,求存储区域面积的最大值；（2）若AB+AC=10,在折线MBCN 内选一点D,使BD+DC=20,求四边形存储区域DBAC 的最大面积．[解析]:（1）设AB x =,AC y =,0,0x y >>．由22200202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-,得22020202022cos1204sin 60xy ≤=-, ∴22020002000112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60224sin 604sin 604tan 60S xy =≤⨯⨯===即四边形DBAC 面积的最大值为10033,当且仅当x y =时取到．（2）由20=+DC DB ,知点D 在以B,C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S , ∴要使四边形DBAC 面积最大，只需△DBC 的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大，即D 为椭圆短轴顶点，由310=BC ,得短半轴长5=b ，()325531021max =⨯⨯=∆BCD S ，因此，四边形ACDB 的面积的最大值为350.7.已知3()3f x x x m =-+,在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以()()(),,f a f b f c 为边长的三角形,则m 的取值范围是（）出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.[解析]：由0)1)(1(333)('2=-+=-=x x x x f 得到1,121-==x x （舍去）， ∵函数的定义域为[0,2]，∴函数在（0，1）上0)('<x f ，在（1，2）上0)('>x f ， ∴函数)(x f 在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则,)0(,2)2()(,2)1()(max min m f m f x f m f x f =+==-== 由题意知，02)1(>-=m f ①；)2()1()1(f f f >+，即m m +>+-224②；由①②得6>m 为所求，故选B.。

(完整版)解三角形中的最值问题

，即2sincossinABA，所以2cos2B，即4B。（2）因为||6BABCuuuruuur，即||6CAuuur，即6b，由余弦定理得222222(22)bacacacacac，即3(22)ac 12323sin242SacBac 7、已知2cos23sin,1,,cosaxxbyxrr，且ar?br。（1）将y表示成x的函数()fx，并求()fx的最小正周期；（2）记()fx的最大值为M，,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC对应的边长，若2AfM，且2a，求bc的最大值。答案：（1）由ar?br得22cos23sincos0,xxxy即 22cos23sincoscos23sin212sin216yxxxxxx 所以()2sin216fxx，所以函数()fx的最小正周期为。（2）由（1）易得3M，于是有3,2AfM即2sin136A，所以sin16A，故3A。由余弦定理2222cosabcbcA得2242bcbcbcbcbc解得4bc 8、在ABC中，角ABC、、的对边分别为,,abc，不等式2cos4sin60xCxC对于一切实数x恒成立。（1）求角C的最大值；（2）当角C取得最大值时，若2ab，求c的最大值。答案：（1）因为max2cos01cos,16sin24cos023CCCCC （2）2222cos,cababCQ由（1）得222()34312abcababQ，所以c的最小值为1.
5、在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC （1）求A的大小；（2）求sinsinBC的最大值. 解： 6、在ABC中，角ABC、、的对边分别为,,abc，且满足(2)acBABCcCBCAuuuruuuruuuruuur。（1）求角B的大小；（2）若||6BABCuuuruuur，求ABC面积的最大值。答案：（1）(2)coscosacBbC，由正弦定理得(2sinsin)cossincos,ACBBC

课件解三角形中的最值及取值范围

边的取值范围
总结词
边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的性质影响。
详细描述
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状的影响。对于直角三角形，斜边是最长边，其长度大于其他两边之和。对于钝角三角形，最长边大于其他两边之和，但不能超过其他两边之和的两倍。
引入其他数学工具
为了更深入地研究三角形最值及取值范围问题，可以考虑引入其他数学工具，如微积分、线性代数等，以期取得更多突破性成果。
拓展应用领域
除航海、航空、地理测量等领域外，三角形最值及取值范围还可以应用于其他领域，如建筑设计、机械制造等。未来可以加强与其他学科的合作，拓展其应用领域。
THANKS
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三角形中的取值范围问题
角度的取值范围
总结词
角度的取值范围是三角形中一个重要的问题，它受到三角形内角和为180度以及三角形的形状限制。
详细描述
在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。因此，每个角的取值范围是0度到180度。对于直角三角形，一个角是90度，其他两个角的角度和为90度，所以每个角的角度范围是0度到90度。对于钝角三角形，最大的角度大于90度，但不能超过180度。
高的取值范围
总结词
高的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状影响。
VS
详细描述
在任何三角形中，高是从顶点垂直到对边的线段。因此，高的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的形状的影响。对于锐角三角形，所有的高都大于零。对于直角三角形，斜边上的高等于另一条直角边。对于钝角三角形，有两条高在三角形内部，另一条高在三角形外部。
感谢观看
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与三角形有关的范围最值问题(解析版)

与三角形有关的范围最值问题模型1 已知三角形的一角及其对边如图，已知ABC ∆的三个内角为A ，B ，C ，及其对应边分别为,,a b c ，且60,2A a ==（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ①23B C A ππ+=-=②正弦定理：2432sinB sinC sin sin 60b c a R A ︒=====R 为ABC ∆外接圆的半径）（实现了边角的相互转化）③余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-（可看作,b c 的方程）变形：24()3b c bc =+-以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法．例如，在上述条件下可求：（1）B C +；（2）ABC ∆外接圆的半径；（3）sin sin B C +的取值范围（拓展到求1212sin sin (0)t B t C t t +≠的最值）；类似还有：sin sin ,cos cos ,cos cos B C B C B C +（4）b c +的取值范围（拓展到求(0)b c λμλμ+≠的最值）；（5）bc 的取值范围（6）ABC ∆周长的最大值（即求a b c ++的最大值）；（7）ABC ∆面积的最大值（8）22b c +已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值（口诀：正弦定理化角，三角函数求最值）基本步骤：（1）利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角（2）将所求式子化简为)sin(ϕω+=x A y 的形式或二次函数型（3）确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果ABC ∆是锐角三角形，则需要满足 20π<<A ，20π<<B ，20π<<C（4）根据角的范围求最值（范围）②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。

解三角形中的最值与范围问题(解析版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBD m ==>，则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

高中数学专题：解三角形中的最值问题

解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题有两种解题思路：1. 转化为三角函数求最值问题，有两个转化方法：（1）利用正弦定理将边转化为角的正弦值，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=.（2）利用三角形内角和和诱导公式进行角的转化，C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，C B A tan )tan(-=+. 最终转化为一个角的三角函数形式，求其最值.2. 转化为利用均值不等式（ab b a 222≥+）求最值问题，主要与余弦定理或其推论相结合，求三角形面积的最大值，或某一个内角余弦值的最小值.一．转化为三角函数求最值问题.例1.（2016年北京卷理科15题）在ABC ∆中，ac b c a 2222+=+.（1）求B 的大小；（2）求C A cos cos 2+的最大值.解：（1）ac b c a 2222=-+，则由余弦定理得：22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，4π=B ，（2）)4cos(cos 2)cos(cos 2cos cos 2π+-=+-=+A A B A A C AA A A A A sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2+=+-= 1)4sin(≤+=πA 当24ππ=+A 时，C A cos cos 2+取最大值，为1.例2.（2011年全国卷理科16题）在ABC ∆中， 60=B ，3=AC ，则BC AB 2+的最大值为 . 解：设3==AC b ，AB c =，BC a =，由正弦定理得：2233sin sin sin ====C c B b A a ，则A a sin 2=，C c sin 2=，所以A B A A C a c BC AB sin 4)sin(2sin 4sin 222++=+=+=+AA A A A A A cos 3sin 5sin 4cos 3sin sin 4)60sin(2+=++=++= 72)sin(72≤+=ϕA ；（其中53tan =ϕ），当1)sin(=+ϕA 时，BC AB 2+取最大值，为72.例3.（2018年北京卷文科14题）若ABC ∆的面积为)(43222b c a -+，且C 为钝角，则=B ；ac 的取值范围是 .解：由余弦定理得B ac b c a cos 2222=-+，所以B ac B ac S cos 243sin 21⨯==，则3tan =B ，所以3π=B ，由正弦定理得：AA A A A C A A C a c tan 12321sin cos 23sin 21sin )sin(sin sin +=+=+==，由于C 为钝角，3π=B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈6,0πA ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈33,0tan A ， ()+∞∈,3tan 1A ，所以()+∞∈,2a c . 二．转化为利用均值不等式求最值问题.例4.（2013年全国二卷理科17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B c C b a sin cos +=.（1）求B ；（2）若2=b ，求ABC ∆面积的最大值.解：（1）由C B A c b a sin :sin :sin ::=得B C C B A sin sin cos sin sin +=，则B C C B C B C B C B sin sin cos sin sin cos cos sin )sin(+=+=+，所以B C C B sin sin sin cos =，因为0sin ≠C ，所以B B sin cos =， 1tan =B ，所以4π=B ，（2）由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，即ac ac c a )22(2422-≥-+=，所以224224+=-≤ac ，当且仅当c a =时，等号成立，故1242sin 21+≤==ac B ac S ，所以ABC ∆面积的最大值为12+.例5.（2016年山东理科16题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+. （1）证明：c b a 2=+；（2）求C cos 的最小值.（1）证明：BA B A B B A A cos cos sin sin )cos sin cos sin (2+=+， B A B A B A C B A B A B A B A B A cos cos sin sin cos cos sin 2cos cos )sin(2cos cos sin cos cos sin 2+==+=+所以B A C sin sin sin 2+=，则b a c +=2.（2）由余弦定理得：abb a b a abc b a C 222cos 222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= 21221243221)(4322=-⨯≥-+=ab ab ab ab ab b a ，当且仅当b a =时，等号成立，所以C cos 的最小值为21. 小结：解三角形中的最值问题或者转化为三角函数求最值，或者利用不等式求最值.。

三角形中的最值与范围问题解析版

三角形中的最值、范围问题一、知识与方法1、正弦定理可将边用角的正弦值表示：2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =2、在三角形ABC ∆中，若 222c a b =+，则C 为直角；若 222c a b >+，则C 为钝角；若 222c a b <+，则C 为锐角；3、在锐角三角形中，已知角C ，求B 的范围，可由下列限制条件求出：02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ 4、三角形有关最值和范围求解（1）利用余弦定理和基本不等式进行解答；（2）利用正弦定理和三角函数值域进行解答；例如：已知角C ，求解 sin sin m A n B +的范围：解题方法：()()sin sin =sin +sin sin +sin m A n B m A n A C m A n A C π+--=+，再利用三角函数和差角公式和辅助角公式进行化简，求出三角函数的值域；注意：若三角形为锐角三角形，已知角C ，则需满足02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，从而进一步限制B 的范围.（3）利用三角形三边关系进行解答；若为锐角三角形，则222222222c a b b a c a b c ⎧<+⎪<+⎨⎪<+⎩，若为钝角三角形，如角C 为钝角，则222c a b a b c ⎧>+⎨+>⎩二、题型训练题型一利用余弦定理和基本不等式求面积与周长最值问题例1．（2021•丙卷模拟）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+，2b c +=，则ABC ∆的面积的最大值为( )A ．14B C ．12D 【解答】解：因为()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+，由正弦定理得()()()a b a b c b c -+=+，所以222a b bc c -=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，由A 为三角形内角得23A π=，因为2b c +=，所以2()12b c bc +=，所以113sin 1222ABC S bc A ∆=⨯⨯=1b c ==时取等号，故选：B ．方法点拨：本题考查正弦定理的边角互化、余弦定理和基本不等式求最值，熟练利用正余弦定理和基本不等式是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•河南模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+，当ABC ∆的外接圆半径2R =时，ABC ∆面积的最大值为( )A B ．C ．D ．【解答】解：2cos cos cos a A b C c B =+，∴由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即2sin cos sin()sin A A B C A =+=，(0,)A π∈， 1cos 2A ∴=，即3A π=，由余弦定理，2221222b c bc bc bc =+-⨯⨯-，则12bc ，（当且仅当b c =时等号成立），ABC ∴∆的面积11sin 1222S bc A=⨯=b c =时，等号成立，故选：C ．2．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1(sin )cos sin cos 2b C A A C -=，且a =ABC ∆面积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知等式整理得：1cos sin cos cos sin sin()sin 2b A A C A C A C B =+=+=，即2sin cos b B A=，由正弦定理sin sin a b A B =2cos A =，即sin tan cos AA A==60A ∴=︒，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即22122b c bc bc bc bc =+--=，则1sin 332ABC S bc A ∆=，即ABC ∆面积的最大值为故选：B ．3．（2021春•鼓楼区校级期末）在ABC ∆中，1cos 2a c Bb =+．（1）若7a b +=，ABC ∆的面积为c ；（2）若4c =，求ABC ∆周长的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， 1cos2a c Bb =+，∴1sin sin cos sin 2A C B B =+，即1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B ∴+=+，∴1sin cos sin 2B C B =，sin 0B ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈，∴3C π=，11sin 22S ab C ab ===12ab ∴=，由余弦定理知，22222cos ()3493613c a b ab A a b ab =+-=+-=-=，∴c =（2）由余弦定理知，2222cos c a b ab A =+-，2222()()16()3()344a b a b a b ab a b ++∴=+-+-⋅=， 8a b ∴+，当且仅当4a b ==时，取等，ABC ∴∆周长的最大值为4812+=．4．（2021•一模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin ()0a c A C B a b -+--=．（1）求C ；（2）若ABC S ∆=，2c =，求ABC ∆周长的最小值．【解答】解：（1）ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin 0a c A C b a B -++-=．利用正弦定理得：()()()0a c a c b a b -++-=，整理得：2220a c b ab -+-=，即2221cos 22a b c C ab +-==，由于0C π<<，所以：3C π=．（2）因为11sin sin 223ABC S ab C ab π∆====，所以解得8ab =，所以周长22a b c ab c +++=，当且仅当a b ==所以ABC ∆周长的最小值为2．5．（2021•永州模拟）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c (sin )b A A =．（1）求B ；（2）若3b =，求ABC ∆周长最大时，ABC ∆的面积．【解答】解：（1）(sin )b A A =，∴sin (sin )C B A A =，∴)sin sin cos A B B A B A +=+，∴cos cos sin sin cos A B B A B A B A =+，∴sin B B =，∴tan B ，0B π<<，∴3B π=．（2）222cos 2a c b B ac+-=，据（1）可得3B π=，∴222122a c b ac +-=，222b ac ac ∴=+-，29()3a c ac ∴=+-，∴222()9()3()24a c a c a c +++-=，当且仅当3a c ==时等号成立，即当3a c ==时，a c +取得最大值，即周长取得最大值，此时133sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯=6．（2021•巴中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin(),3b A a B b π=+=．（1）求ABC ∆的外接圆直径；（2）求ABC ∆周长的取值范围．【解答】解：（1）sin sin()3b A a B π=+，∴由正弦定理，可得sin sin sin sin()3B A A B π=+，(0,)A π∈，sin 0A >，∴sin sin()3B B π=+，化简可得，1sin 2B B =，∴tan B =，(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理可得，ABC ∆的外接圆直径21sin bR B ===．（2）由（1）可知，3B π=，由余弦定理可得，222b a c ac =+-， 222221()3()3()()24a cb ac ac a c a c +∴=+-+-=+，当且仅当a c =时，等号成立，b ， 2()3ac ∴+，即3a c +，又a cb +>=，∴3a c <+，∴332a b c++，ABC ∴∆的取值范围为．题型二利用正弦定理和三角函数值域求三角形角度有关的最值、范围问题例2．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos C 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ．∴cos B ＝＝＝，∴B ＝（Ⅱ）由（I ）得：C ＝﹣A ，∴cos A +cos C ＝cos A +cos （﹣A ）＝cos A ﹣cos A +sin A＝cos A +sin A ＝sin （A +）． ∵A ∈（0，）， ∴A +∈（，π），故当A +＝时，sin （A +）取最大值1，即cos A +cos C 的最大值为1．方法点拨：本题考查了余弦定理、三角形内角和、三角函数和差角公式、辅助角公式以及三角函数值域，熟练掌握余弦定理、三角函数辅助角公式、三角函数值域求解的方法是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•沈阳四模）在①2cos cos c b Ba A-=，②2cos 2a C c b +=，③1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．问题：锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______．（1）求A ；（2）求cos cos B C +的取值范围．【解答】解：（1）选① 因为2cos cos c b Ba A -=，所以2sin sin cos sin cos C B BA A-=，所以2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=，整理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A B A A B A B C =+=+=．因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选②因为2cos 2a C c b +=，所以2sin cos sin 2sin 2sin()A C C B A C +==+，所以2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C +=+，整理得sin 2cos sin C A C =．因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选③因为1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +，所以sin sin cos sin sin cos cos A A C C A A B A +=，所以sin (sin cos sin cos )cos A A C C A B A +=，整理得sin sin cos A B B A =．因为sin 0B ≠，所以sin A A =．因为(0,)2A π∈，所以tan 3A A π=．（2）因为3A π=，所以1cos cos cos cos()cos sin()26B C B B A B B B π+=-+=+=+．因为2(0,),(0,)232B C B πππ∈=-∈，所以(,)62B ππ∈，所以2(,)633B πππ+∈，所以sin()6B π+∈，故cos cos B C +∈．2．（2021•下城区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin b B a A c A -=．（1）求证：2B A =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求sin sin AC的取值范围．【解答】解：（1）由sin sin sin b B a A c A -=得22b a ac -=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，代入22b a ac -=得22cos ac c ac B =-，则2cos a c a B =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，所以sin sin()2sin cos A A B A B =+-，得sin sin()A B A =-，由220b a ac -=>知b a >，故B A >，所以A B A =-或()A B A π+-=（舍去）所以2B A ⋯=，（2）3C A π=-，由0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<得64A ππ<<，sin sin sin sin sin sin3sin(2)sin cos2cos sin 2A A A AC A A A A A A A===++，32sin 11(,1)3sin 4sin 34sin 2A A A A ==∈--．题型三利用正弦定理和三角函数值域求三角形边长有关的最值、范围问题例3．（2021•汕头三模）在①22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，②22cos c a B b =+，③cos cos 2cos 0b C c B a A +-=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆是锐角三角形，且2b =，求边长c 的取值范围．【解答】解：（1）选条件①．因为22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，所以222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，根据正弦定理得，222b c a bc +-=，由余弦定理得，1cos 2A =，因为A 是ABC ∆的内角，所以3A π=选条件②，因为1cos 2c a B b =+，由余弦定理222122a c b c a b ac +-=⨯+，整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得，1cos 2A =，因为A 是ABC ∆的内角，所以3A π=．选条件③，因为cos cos 2cos 0b C c B a A +-=， sin cos sin cos 2sin cos 0B C C B A A ∴+-=．sin()2sin cos B C A A ∴+=，即sin 2sin cos A A A =因为0A π<<，sin 0A ≠．∴1cos 2A =， ∴3A π=；（2）因为3A π=，ABC ∆为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<在ABC ∆中，2sin sin c C B=，所以212sin()sin )322sin sin B B B c B B π-+===，即1c ．由62B ππ<<可得，tan B >，所以10tan B<<，所以14c <<．方法点拨：本题第一问考查正余弦定理的变形及应用，第二问边长范围问题考查正弦定理的边角互化，结合锐角三角形角度的范围和三角函数值域求解出角度的范围.巩固训练：1．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且220c a ab --=．（1）求证：2C A =；（2）若2a =，求c 的取值范围．【解答】解：（1）证明：因为220c a ab --=，结合余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以22cos ab b ab C =-，即2cos a b a C =-，由正弦定理，得sin sin 2sin cos sin()2sin cos A B A C A C A C =-=+- sin cos sin cos sin()C A A C C A =-=-，因为ABC ∆为锐角三角形，所以A C A =-，即2C A =；（2）由（1）2C A =，由正弦定理，得sin sin a cA C=，所以2cos 4cos c a A A ==，由题意，得02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得64A ππ<<，所以4cos c A =∈．2．（2021春•慈溪市期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m 、n 满足：(2,6)m a =，(,2sin )n b B =，且//m n ．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆是锐角三角形，且2a =，求b c +的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为//mn ，所以2a Bb =，2sin a B=，由正弦定理得：2sin sin A B B =，因为sin 0B≠，所以sin A ，所以3A π=或23π．（Ⅱ）因为2a =，所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====，得：b B ，c C =，所以21sin )sin()]sin ]4sin()326b c B C B B B B B B ππ++=+-=++=+，因为ABC ∆是锐角三角形，所以02B π<<，且2032B ππ<-<，可得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin()16B π<+，所以4b c <+．3．（2021春•青山湖区校级期中）在ABC ∆中，3B π=，AC ，则2AB BC +的最大值为( )A．B．C ．3 D ．4【解答】解：因为3B π=，AC由正弦定理得2sin sin sin a c bA C B===，所以2sin a A =，22sin 2sin()3c C A π==-，由则222sin()4sin 5sin )3AB BC A A A A A πϕ+=-++=+，其中ϕ为辅助角，根据正弦函数的性质得)A ϕ+的最大值故选：B ．4．（2021•B 卷模拟）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且有2b =．在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cos (cos )cos 0C B B A +-=；②2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-．（1）求A 的大小；（2）求2a c +的取值范围．【解答】解：（1）若选择①，因为cos (cos )cos 0C B B A +-=，所以cos()cos cos cos 0A B B A B A -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，所以sin sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，可得sin A A =，所以tan A =，可得3A π=；若选择②，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-．所以222222a b bc c bc =-+-，所以222bc b c a =+-，可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=．（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，则有22sin sin b R B B==，可得222122(2sin sin )sin )sin())sin )1sin sin sin 2a c R A C C A B B B B B B +=+==+=+=，因为ABC ∆为锐角三角形，可得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得62B ππ<<，所以sin B 在(6π，)2π单调递增，cos B 在(6π，)2π(6π，)2π单调递减，所以21a c +∈，4)．5．（2021•肥城市模拟）已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ；（2）求bca的取值范围．【解答】解：（1）2224)S c b =+-，∴222)4a b c S +-=，∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C =，cos 0C ∴≠，tan C又(0,)C π∈∴3C π=，（2）ABC ∆的外接圆半径为1，∴2sin cC=，又正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴21sin()sin)3322sin sin2tanA A Abca A A Aπ-+======+，又因为ABC∆是锐角三角形，∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<，∴tan A>，1tan A<<，32tan A<<∴bca<<6．（2021春•庐阳区校级期末）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1cos)cosa b C c B++=．（1）求角C的大小；（2）若c=，求ABC∆周长的取值范围．【解答】解：（1）因为(1cos)cosa b C c B++=，所以由正弦定理得sin sin(1cos)sin cosA B C C B++=，又sin()sin()sinB C A Aπ+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos0B C B B C C B+++-=，所以2sin cos sin0B C B+=，因为(0,)Bπ∈，所以sin0B≠，所以1cos2C=-，又(0,)Cπ∈，所以23Cπ=．（2）因为c=，23Cπ=，所以由正弦定理得2sin sin sin3b aB A===，则2sinb B=，2sina A=，故ABC∆的周长2sin2sin2sin2sin()3L B A B Bπ+=+-2sin2(sin cos cos sin)33B B Bππ=+-sin B B=+2sin()3B π=++，因为03B π<<，所以(33B ππ+∈，2)3π，sin()3B π+∈1]，2sin()3B π+∈2+，故ABC ∆周长的取值范围为2．7．（2021春•淮安期末）从①(2)cos cos 0b c A a B -+=；②222b c a +-=；③(tan tan )2tan b A B c B +=这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，b =ABC ∆的周长的取值范围．【解答】解：（1）若选①，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B -+=，因为A B C π++=，A ，B ，(0,)C π∈，所以sin 2sin cos 0C C A -=，且sin 0C ≠，因此1cos 2A =，(0,)A π∈，可得3A π=；若选②，在ABC ∆中，由余弦定理得12cos sin 2bc A bc A ，所以sin A A ，因为sin 0A ≠，因此tan A =，且(0,)A π∈，故3A π=；若选③，在ABC ∆中，2tan sin cos cos sin sin 1tan cos sin cos sin c A A B A B Cb B A B A B+=+==，且sin 0C ≠，由正弦定理得：22sin sin sin cos sin c C Cb B A B==，故1cos 2A =，可得3A π=；（2）因为ABC ∆为锐角三角形，所以(0,)2B π∈，(0,)2C π∈，因此(,)62B ππ∈，sin sin c a C ==，可得c =3sin a B=，所以ABC∆的周长为)31cos 333sin sin tan 2B B a c b B B B π+++++=+++，由于(,)62B ππ∈，可得(212B π∈，)4π，可得tan (22B∈，所以ABC ∆的周长取值范围为(3++．8．（2021•烟台模拟）在条件①222sin sin sin sin A B C B C --=，②1cos 2b a Cc =+，③(cos )cos cos 0C C A B +=中，任选一个补充在下面问题中并求解．问题：在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1c =，____．（1）求A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）若选①222sin sin sin sin A B C B C --=，由正弦定理得222a b c --=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，由A 为三角形内角得6A π=；（2）14ABC S b ∆=，由正弦定理得51sin()cos sin 1622sin sin sin 2tan C C Cc Bb CC C C π-====，由题意得02506C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32C ππ<<，所以tan Cb <ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围；（1）若选②1cos 2b a Cc =+，由正弦定理得1sin sin cos sin 2B AC C =+，所以1sin()sin cos sin 2A C A C C +=++，所以1sin cos sin cos sin cos sin 2A C C A A C C +=+，化简得1sin cos sin 2C A C =，因为sin 0C >，所以1cos 2A =，由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ，故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围；（1）若选③(cos )cos cos 0C C A B +=，所以(cos )cos cos()0C C A A C -+=，化简得sin sin cos A C C A =，因为sin 0C >，所以tan A =，由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ，故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围．题型四利用三角形三边关系求解范围问题例4．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==，可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >， cos2sin cos 222B B B ∴=，若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=，由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a π=，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，解得122a <<，可得ABC ∆面积13sin 234S a π==∈．方法点拨：本题求解三角形面积的取值范围，由于一边和角度已知，可转化为求边长的范围，利用锐角三角形三边关系列出不等关系，从而求解出面积范围. 巩固训练：1．（2021•新高考Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：()2sin 3sin I C A =，∴根据正弦定理可得23c a =，1b a =+，2c a =+， 4a ∴=，5b =，6c =，在ABC ∆中，运用余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯，22sin cos 1C C +=，sin C ∴===∴11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯=()II c b a >>，ABC ∴∆为钝角三角形时，必角C 为钝角， 222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+==<+，2230a a ∴--<， 0a >， 03a ∴<<，三角形的任意两边之和大于第三边， a b c ∴+>，即12a a a ++>+，即1a >， 13a ∴<<，a 为正整数，2a ∴=．。

专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+网例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当时，由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦．例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小；（2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析：（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的．例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-．（1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围．【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷（五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。

高考数学热点必会题型第12讲-解三角形中的最值问题(原卷及答案)

高考数学热点必会题型第12讲解三角形中的最值问题——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求三角形中的边长有关的最值【题型】二、求三角形中的周长有关的最值【题型】三、求三角形中的面积有关的最值【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值【题型】五、化角为边判断三角形的形状【题型】六、化边为角判断三角形的形状【题型】七、利用不等式求范围问题【题型】八、利用三角函数值域求范围问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值A B C所对的三边分别为例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC中，角,,，若ABC的面积为1，则BC的最小值是（）,,,2a b c c bDA．2 B．3 C例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（）A B ．2 C 1 D ．例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（）A ．7B ．C ．D ．5【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC cos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（）AB ．C ．D ．例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（）A ．8+B ．8+C ．16+D ．16+例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（） A ．8B ．10C ．12D ．14第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（） A ．23B ．1C ．43D ．2例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1BC ．2D ．例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（）A B C D ．例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B C ．D ．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（）A 43B C 43D 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（） A ．6 B ．3C ．D ．【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（）A B ．32C ．D ．2+例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD 由ACD 与等边ABC 拼接而成，其中22AD CD ==，则平面四边形ABCD 面积的最大值为______.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________. 第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．等腰或直角三角形例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B ++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．3B ．C ．9D ．例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6B ．12C ．18D ．24例28．（2023·全国·高三专题练习）设()2πsin cos cos 4f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a =，则ABC 面积的最大值为（）A BC D 例29．（2023·全国·高三专题练习）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE 的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A 与湖对岸B ，F 点，设宝塔底部E 点和这三个点在同一直线上，无人机从A 点沿AD 直线飞行200米到达宝塔顶部D 点后，然后再飞到F 点的正上方，对山脚的江天禅寺EB 区域进行拍照.现测得从A 处看宝塔顶部D 的仰角为60°，sin ABD ∠=100BF =米.若无人机在C 点处获得最佳拍照角度时（即BCE ∠最大），该无人机离地面的高度为（）A ．B ．C ．D ．200米例30．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1B C ．2D ．例31．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，cos B =2AC =，AB k =，则（）A ．△ABC 外接圆面积为定值，且定值为9πB ．△ABC 的面积有最大值，最大值为3+C ．若k =60C =︒D ．当且仅当02k <≤或6k =时，△ABC 有一解例32．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A ．若A ＝30°，3a =，4b =，则△ABC 有两解B ．若()3AB AC CB -⊥，则角A 最大值为30° C ．若222a b c +>，则△ABC 为锐角三角形D ．若AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，则直线AP 必过△ABC 内心【题型】八、利用三角函数值域求范围问题例33．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，若222a b c kab +-=，则实数k 的取值范围是（） A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0,1例34．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，cos cos ()sin sin A CA B C a c+=，cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（）A ．(4⎤⎦B ．(2,C ．(]0,4D ．(]2,4例35．（2022·全国·高三专题练习）已知在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60B ︒=，ABC b 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．C ．)D ．[)2,6例36．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱柱111ABC A B C 的外接球的表面积为36π，球心为O ，则（） A ．1OA BC ⊥B ．该三棱柱所有棱长之和的最大值为36C ．该三棱柱侧面积的最大值为12D ．三棱锥O ABC -的体积是该三棱柱的体积的16答案第一天学习及训练【题型】一、求三角形中的边长有关的最值例1．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（） A ．2 B ．3 CD【答案】C【分析】由三角形面积公式得到21sin b A=，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A -=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=，设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44AA A A -=--表示点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PA k APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC ，所以||3BC ，即BC故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，60BAC ∠=，3BC =，且有2CD DB =，则线段AD 长的最大值为（）A B ．2 C 1 D ．【答案】C【分析】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，利用正弦定理得出b B =，c C =，利用平面向量数量积的运算性质得出222924AD b bc c =++，利用三角恒等变换思想化简得出2224AD B =+，利用正弦型函数的有界性可得出线段AD 长的最大值.【详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，由正弦定理可得3sin sin sin 3b c B C π===b B =，c C =， ()()1112333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，即32AD AB AC =+，所以，()()22222229324444cos3AD ADAB ACAC AB AB AC b c cb π==+=++⋅=++22224212sin 48sin 24sin sin b c bc B C B C =++=++1cos 21cos 2124824sin sin 22B CB C --=⋅+⋅+ 224sin sin 6cos 224cos 23033BB B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124sin sin 6cos 224cos 223022B B BB B B ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 212cos 6cos 212cos 22302BB B B B B -=⋅+-+++ 236B =+，所以，2224AD B =+，203B π<<，则4023B π<<，当22B π=时，即当4B π=时，AD 取最大值，即max 1AD =. 故选：C.【点睛】思路点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为（） A ．7B ．C ．D ．5【答案】B【分析】设A θ=，结合正弦定理得22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ2sin BC θ=，然后结合化简整理得到关于θ的函数，进而结合函数的图象与性质即可求出结果.【详解】设A θ=，由正弦定理知22sin sin 3AB BC ===⎛⎫- ⎪⎝⎭θπθ，因此22sin ,3AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ 2sin BC θ=，故222sin 4sin 3AB BC ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭πθθ222sin cos cos sin 4sin 33⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πθπθθsin 4sin =++θθθ5sin =+θθ()=+θϕ，其中tan ϕ 所以当()sin 1θϕ+=时，，取得最大值，且最大值为故选：B.【题型】二、求三角形中的周长有关的最值例4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3B π∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+，三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =∴a b c ++≤ABC的周长最大值为故选：D例5．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（）A．8+B．8+C．16+D．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===，因为ABCABDCBDSSS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠，所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=，所以4ac a c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12，故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.第二天学习及训练【题型】三、求三角形中的面积有关的最值例7．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+，即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c=，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max 996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max 142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例8．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，所以222b bc c a -+=，所以1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b bc ab ac+-+-+=，所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC故选：B.例9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin()2sin cos 0B C A B ++=.若2b =，则ABC 面积的最大值为（）ABCD．【答案】A【分析】由已知条件，结合三角形内角性质得12cos 0B +=，进而可得角B ，应用正弦定理有033c A A ππ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角形面积公式、三角恒等变换得26ABCSA π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC 面积的最大值. 【详解】由sin()2sin cos 0B C A B ++=，得sin 2sin cos 0A A B +=， ∴sin (12cos )0A B ⋅+=，又sin 0A ≠， ∴12cos 0B +=，即1cos 2B =-，又(0,)B π∈，∴2,33B C A B A πππ==--=-，又sin sin c bC B=，∴2sin sin 302sin 33sin3A b C c A A B ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 211sin sin sin sin 2sin cos sin 2232ABCSbc A A A A A A A A A A π⎫⎛⎫==-=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2226A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由03A π<<，有52666A πππ<+<，则sin 2sin 162A ππ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC故选：A.【点睛】关键点点睛：由已知等量关系求角，利用三角形内角性质、正弦定理及三角形面积公式得到ABC 面积关于内角A 的函数式，根据内角的范围求最值.例10．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点,2,6D BD DC BC ==，则ABC ∆的面积的最大值为（）A ．6B ．C ．12D ．【答案】C【分析】设AC x =，BAC θ∠=，则2AB x =，结合正弦定理表示得1sin 2ABCSAB AC BAC =⋅⋅∠，由余弦定理可得x 与θ的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解【详解】如图，设设AC x =，BAC θ∠=，则由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠①，sin sin CD ACCAD ADC=∠∠②，又ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，①②式联立可得21AB AC =，则2AB x =，则211sin 2sin sin 22ABC S AB AC BAC x x x θθ=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅△，对ABC ，由余弦定理可得22222536cos 24AB AC BC x BAC AB AC x +--∠==⋅，则()22422242424425362536036sin 1cos 1416x x x S x x x x x θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪=⋅=⋅-=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2422422199********+14420256161616x x x x x ⎡⎤=--+=--=---⎢⎥⎣⎦，当220x =时，2S 有最大值，()2max 925614416S =⨯=，所以max 12S =，故选：C【点睛】本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，本题中的角平分线性质可当结论进行识记：AD 为ABC 的角平分线，则AB BDAC CD= 例11．（2022·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，AB =1，AD =4，BC =CD =2，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B C ．D ．【答案】A【分析】通过余弦定理分别表示BD ，从而找到角A ，C 的关系，将四边形的面积用角A ，C 表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在ABD △中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2214214cos 178cos A A =+-⨯⨯⋅=-，在BCD △中，有2222cos BD CB CD CB CD C =+-⋅2222222cos 88cos C C =+-⨯⨯⋅=-，则9178cos 88cos cos cos 8A C A C -=-⇒-=，由四边形ABCD 的面积=三角形ABD 的面积+三角形BCD 的面积，故1111sin sin 14sin 22sin 2222S AB AD A CB CD C A C =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯ 2(sin sin )A C =+，在三角形中，易知,(0,)A C π∈，sin ,sin 0A C >，()22sin sin (cos cos )A C A C ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2cos cos A C A C A C A C =++++-22cos()4A C =-+≤，当且仅当A C π+=时等号成立，此时229(sin sin )4sin sin 8A C A C ⎛⎫++≤⇒+≤ ⎪⎝⎭，故2(sin sin )2S A C =+≤=故选：A.【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足:2:1DB DC =，则三角形ABD 面积的最大值是（） A43BC43D【答案】C【分析】建立直角坐标系，设(,)D x y ，写出,,A B C 的坐标，利用:2:1DB DC =列式得关于,x y的等式，可得点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算AB和点D 距离直线AB 的最大距离d r +，代入三角形面积公式计算.【详解】以BC 的中点O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B C -，设(,)D x y ，因为:2:1DB DC =，所以()()22221414++=-+x y x y ，得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以点D 的轨迹为以5(,0)3为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大，已知直线AB0y -=，2AB =，点D 距离直线AB 的最大距离为：4433+=d r ，所以ABD △面积的最大值为1442233⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭ABD S △. 故选：C【点睛】解答本题的关键在于建立直角坐标系，设点(,)D x y ，通过:2:1DB DC =得关于,x y 的等式，从而判断出点D 的轨迹，数形结合分析得当点D 距离直线AB 距离最大时，ABD △面积最大.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（） A ．6 B ．3C ．D ．【答案】D【解析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=.若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=，当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.【题型】四、正余弦定理与三角函数性质结合最值例14．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinc A=，λ=b a，则实数λ的最大值是（）AB．32C．D．2+【答案】D【分析】根据余弦定理和sinc A=得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，进而得22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质求解即可得答案.【详解】解：由余弦定理，得2222cosa cb b A=+-，结合sinc A=，得222212sin2sin cosa b A b b A A=+-⋅，解得22212sin12aA Ab=+-，即22723aAbπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则当12Aπ=时，222max(2ba⎛⎫=⎪⎝⎭．max max()2baλ==故选：D．【点睛】本题考查余弦定理与三角函数的性质求最值，考查运算能力，是中档题.例15．（2020·全国·高三专题练习（文））已知平面四边形ABCD由ACD与等边ABC拼接而成，其中22AD CD==，则平面四边形ABCD面积的最大值为______.【答案】2【解析】设D θ∠=，利用余弦定理求出AC ，利用面积公式将ACD 与等边ABC 的面积用θ表示，利用三角函数的性质即可求解.【详解】设D θ∠=，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos 54cos AC AD CD AD CD θθ=+-⨯=- ，所以)21sin 54cos 23ABCSAC πθ=⨯=-，因为1sin sin 2ACDSAD CD θθ=⨯⨯=，所以)sin 54cos ABC ACDS SSθθ=+=+-sin 2sin 3πθθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()0,θπ∈，所以2,333πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以max 2S =，故答案为：2【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，求面积的最值，考查余弦定理、辅助角公式，属于中档题.例16．（2020·全国·高三阶段练习（理））在边长为ABC 中，G 是中心，直线l 经过点G 且与AB ，AC 两边分别交于P ，Q 两点，则11GP GQ+的最大值为__________.【分析】设AGP θ∠=，在,APG AQG 中由正弦定理，用θ表示出,PG GQ ，再利用正余弦的和角公式，将11GP GQ+表示为 θ的函数，求该函数的最值即可. 【详解】设BC 中点为D ，AGP θ∠=，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，如下图所示：因为G是重心，所以22233AG AD AC =⋅=⨯=. 在AGP 中，由正弦定理得，sin sin GP AGPAG APG=∠∠，所以sin165sin sin 66AG GP πππθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理在AGQ △中，由正弦定理得1sin 6GQ πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以11sin sin 2sin cos 666GP GQ πππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=++-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2πθ=时，max112GP GQ π⎛⎫+== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，第三天学习及训练【题型】五、化角为边判断三角形的形状例17．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos a b c A B +=+，则角C 的大小为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】B【分析】利用余弦定理进行边化角222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理可得()()2220a b c a b ab +--+=即2220c a b ab --+=，再用余弦定理可得1cos 2C =．【详解】因为()2cos cos a b c A B +=+，则222222222b c a a c b a b c bc ac ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，整理得()()2220a b c a b ab +--+=，所以2220c a b ab --+=即222a b c ab +-=，则2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ∵()0,πC ∈，所以π3C =. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，()22a abc a ca c c==+++⋅，a a c =+，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．法二：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．故选：B例19．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos c B a =，则这个三角形的形状为（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由条件和余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，然后化简可得答案. 【详解】因为cos c B a =，所以由余弦定理可得2222a c b a acc +-=⋅，即22222a c b a +-= 所以222+c a b ，所以三角形的形状为直角三角形故选：A例20．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）在ABC ，下列说法正确的是（） A ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若40,20,25a b B ===︒，则ABC 必有两解 C ．若ABC 是锐角三角形，则sin cos A B >D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC 为锐角三角形【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A ；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B ；由已知得022A B ππ>>->，结合正弦函数性质可判断C ；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A ，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或22180A B +=即90A B +=，ABC ∴为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，1sin 40sin 2540sin3040202a B =<=⨯=，即sin a Bb a <<，ABC ∴必有两解，故B 正确；对于C ，ABC 是锐角三角形，2A B π∴+>，即022A B ππ>>->，由正弦函数性质结合诱导公式得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式知22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，cos 0C ∴>，即C 为锐角，不能说明ABC 为锐角三角形，故D 错误. 故选：BC【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；例21．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A ．若a b >，则cos2cos2A B <B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形C ．若4a =，5b =，6c =，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD【分析】对于A ，利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简判断，对于B ，利用余弦定理统一成边化简进行判断，对于C ，先利用余弦定理求出cos A ，从而可求出sin A ，再利用正弦定理可求出ABC 外接圆半径，对于D ，利用三角函数的性质结合三角形内角进行判断【详解】解：对于A ，因为a b >，所以由正弦定理得sin sin 0A B >>，所以22sin sin A B >，所以1cos 21cos 222A B-->，所以cos2cos2A B <，所以A 正确，对于B ，因为cos cos a B b A c -=，所以22222222a c b b c a a b c ac bc+-+-⋅-⋅=，即22222222a c b b c a c +---+=，所以222a b c =+，所以ABC 一定为直角三角形，所以B 正确，对于C ，由余弦定理得2222536163cos 22564+-+-===⨯⨯b c a A bc ，因为(0,)A π∈，所以sin A ==2sin a R A ===ABCC 错误，对于D ，因为在ABC 中，()()()cos ,cos ,cos (1,1]A B B C C A ---∈-，()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，所以()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以ABC 一定是等边三角形，所以D 正确，故选：ABD【题型】六、化边为角判断三角形的形状例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b cc+=，则ABC 的形状一定是（） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据降幂公式，先得到1cos 22A c bc+=+，化简整理，再由正弦定理，得到sin cos 0A C =，推出cos 0C =，进而可得出结果. 【详解】因为2cos22A b c c +=，所以1cos sin sin sin 122sin 2sin 2A B C B C C ++==+，所以sin cos sin B A C= 即()cos sin sin sin sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0C =，因为()0,C π∈，所以2C π=，即ABC 是直角三角形.故选：B例23．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理得到A B =或2A B π+=，即可判断.【详解】在ABC 中，对于 cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+= 即A B =或2A B π+=.所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D例24．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos b A c B a B =-，则ABC 是（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式、结合诱导公式求出sin B 的值，结合角B 的范求得角B ，即可求解.【详解】因为cos sin cos b A c B a B =-由正弦定理化边为角可得：sin cos sin sin sin cos B A C B A B =-，所以()()sin sin sin cos sin cos sin sin πsin C B A B B A A B C C =+=+=-=，因为sin 0C ≠，所以sin 1B =，因为0πB <<，所以π2B =，所以ABC 是直角三角形，故选：C.例25．（2022·江苏·海安市立发中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列的结论中正确的是（） A ．若cos cos A B >，则sin sin A B ++D ．已知ABC 不是直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ 【答案】ACD【分析】结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．【详解】解：因为A ，0πB ∈（，），且cos y x =在0π（，）上单调递减，故由cos cos A B >，得A B <，故a b <，结合正弦定理得sin sin A B <,故A 正确；sin cos sin cos A A B B =⇒ sin 2sin 2A B =,故22A B =，或22πA B +=，即=A B ，或π2A B +=，故三角形ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；若三角形ABC 为锐角三角形，则π2A B +>π02A B ⇒>->，故πsin sin()cos 2A B B >-=，同理可得sin cos B C >,sin cos C A >，三式相加得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，故C 正确；ABC 不是直角三角形，即A ，B ，C 都不是直角，因为tan tan[π()]tan()C B C B C =-+=-+=tan tan tan tan 1A BA B +⋅-,整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，故D 正确．故选：ACD ．第四天学习及训练【题型】七、利用不等式求范围问题例26．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC 中，sin A =3sin C cos B ，且AB =2，则△ABC 的面积的最大值为（）A ．3B ．C ．9D ．【答案】A【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到tan =2tan B C ，画出图形，作出辅助线，设,AD h BD x ==，得到22+=4x h ，利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】法一：由正弦定理得：=3cos =6cos a c B B ， ()11=sin =6cos 2sin =3sin2322ABCSac B B B B ⋅⋅≤ 法二：由正弦定理得：sin cos +cos sin =3sin cos B C B C C B ，所以sin cos =2cos sin B C B C故tan =2tan B C ，如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设,AD h BD x ==，则2CD x =，由勾股定理得：22+=4x h ，所以()2213313=3=+=4=322224ABCSx h xh x h ⋅⋅⋅≤⨯当且仅当=x h 故选：A.例27．（2023·全国·高三专题练习）在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（） A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值．【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：112322S BC n =⨯224362n n +-=⨯=，。

2022届高考数学解三角形综合满分突破专题四三角形中的最值(范围)问题(解析版)

专题四三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 答案 C 解析因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．(2)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 答案 A 解析因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． (3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 B 解析法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4．法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c 22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． (4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案 6－24解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2 ⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． (5)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan C tan A ＝_____；tan B 的最大值为________．答案－3 33 解析由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos A cos C ，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝－1＋tan C tan A 1tan A －tan C ＝23－tan C＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C )≥23－tan C×(－tan C )＝23(当且仅当tan C ＝－3时取等号)，从而tan B ≤223＝33，即tan B 的最大值为33． (6)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．63解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan A tan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．【对点训练】1．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，π2 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤π6，2π3B ．⎣⎡⎦⎤π6，π4C ．⎝⎛⎦⎤0，π6D ．⎣⎡⎭⎫π6，π3 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，满足cos A sin B sin C ＋cos B sin A sin C ＝2cos C sin A sin B ，则C 的最大值为________．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cos C 的最小值为( )A ．32B ．22C ．12D ．－126．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( ) A ．2 B ．98 C ．1 D ．787．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B 的最大值是__________．9．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．11．(2016江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是________．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A－1tan B的取值范围是________． 13．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________．考点二三角形中与边或周长有关的最值(范围)【例题选讲】[例2](1)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．答案 2 解析 ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4．设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2．(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2) 解析通法：依题意作出四边形ABCD ，连结BD ．令BD ＝x ，AB ＝y ，∠CDB ＝α，∠CBD ＝β．在△BCD 中，由正弦定理得2sin α＝x sin 75．由题意可知，∠ADC ＝135°，则∠ADB＝135°－α．在△ABD 中，由正弦定理得x sin 75°＝y sin(135°－α)．所以y sin(135°－α)＝2sin α，即y ＝2sin(135°－α)sin α＝2sin[90°－(α－45°)]sin α＝2cos(α－45°)sin α＝2(cos α＋sin α)sin α．因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，当α＝90°时，易得y ＝2；当α≠90°时，y ＝2(cos α＋sin α)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1．又tan 30°＝33，tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°tan 45°＝－2－3，结合正切函数的性质知，1tan α∈(3－2，3)，且1tan α≠0，所以y ＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．综上所述：y ∈(6－2，6＋2)．提速方法：画出四边形ABCD ，延长CD ，BA ，探求出AB 的取值范围．如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE ．在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－2．在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2<AB <6＋2．(3)在△ABC 中，若C ＝2B ，则c b的取值范围为________．答案 (1，2) 解析因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1．因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<c b<2． (4) (2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；c a 的取值范围是__________．答案 60° (2，＋∞) 解析由已知得34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ，所以3(a 2＋c 2－b 2)2ac＝sin B ，由余弦定理得3cos B ＝sin B ，所以tan B ＝3，所以B ＝60°，又C ＞90°，B ＝60°，所以A <30°，且A ＋C ＝120°，所以c a ＝sin C sin A ＝sin (120°－A )sin A ＝12＋32tan A ．又A <30°，所以0＜tan A <33，即1tan A >3，所以c a >12＋32＝2． (5)在△ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，且满足sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，则2ab c 的最大值为__________．答案 32解析由sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，得sin (sin cos cos sin )sin sin cos A B C B C B C A -=，由正弦定理可得cos cos cos ab C ac B bc A -=，由余弦定理可得22222222a b c a c b ab ac bc ab ac +-+--=2222b c a bc+-，化简得2223a b c +=，又因为22232c a b ab =+≥，当且仅当a b =时等号成立，可得232ab c ≤，所以2ab c 的最大值为32． (6)在△ABC 中，若C ＝60°，c ＝2，则a ＋b 的取值范围为________．答案 (2，4] 解析由题意，得c ＝2．由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2，得a ＋b ≤4．又由三角形的性质可得a ＋b >2，综上可得2<a ＋b ≤4． (7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1，32B ．⎝⎛⎭⎫32，32C ．⎝⎛⎭⎫12，32D ．⎝⎛⎦⎤12，32 答案 B 解析在△ABC 中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A 是△ABC 的内角，所以A ＝60°．因为a ＝32，所以由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝c sin (120°－B )＝1，所以b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋30°)．因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＞0，所以cos B ＜0，B 为钝角，所以90°＜B ＜120°，120°＜B ＋30°＜150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，所以b ＋c ＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32． (8) (2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9 解析因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥5＋2c a ·4a c＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．(9)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．答案 12 解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A ．又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3．∵0<A <π，∴A ＝π3．由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12．(10)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________．答案 1＋22 解析设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ，由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12．又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝⎛⎭⎫c ＋12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1．l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a －1)×12(a －1)＋43＋12，当且仅当a －1＝12(a －1)时，△ABC 的周长最短，此时a ＝1＋22，即BC 的长是1＋22．【对点训练】1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2D ．32．已知△ABC 中，AB ＋2AC ＝6，BC ＝4，D 为BC 的中点，则当AD 最小时，△ABC 的面积为________．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B ，C 为钝角，则c b的取值范围是________． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则a b的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(1，3) C ．(0，1] D ．(1，2]5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，其面积满足S △ABC ＝14a 2，则c b的最大值为( ) A ．2－1 B ．2 C ．2＋1 D ．2＋26．在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________．7．在外接圆半径为12的△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则b ＋c 的最大值是( )A ．1B ．12C ．3D ．328．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则2a ＋c 的最大值为________．9．在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则3a ＋b 的最大值为( ) A ．7 B ．27 C ．37 D ．4710．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3B ．2213C ．32D ．35211．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且BC 边上的高为36a ，则c b ＋b c取得最大值时，内角A 的值为( )A ．π2B ．π6C ．2π3D ．π312．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5，6]B ．(3，5)C ．(3，6]D ．[5，6]13．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．14．凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在(a ，b )上的函数f (x )是凸函数，则对任意的x i ∈(a ，b )(i ＝1，2，…，n )，必有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ≥f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n 成立．已知y ＝sin x 是(0，π)上的凸函数，利用凸函数的性质，当△ABC 的外接圆半径为R 时，其周长的最大值为________．考点三三角形中与面积有关的最值(范围)【例题选讲】[例3](1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan A ＝43，a ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案 C 解析因为tan A ＝43，所以sin A cos A ＝43．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos 2A ＝925，解得cos A ＝35或cos A ＝－35(舍去)，故sin A ＝45．又16＝b 2＋c 2－2bc ×35≥2bc －65bc ，所以bc ≤20，当且仅当b ＝c ＝25时取等号，故△ABC 的面积的最大值为12×20×45＝8． (2)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝⎛⎭⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________．答案 33 解析因为⎝⎛⎭⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin B b ，又sin B b ＝sin A a ，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12，当且仅当b ＝c ＝23时取等号，从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝33． (3)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8 解析由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得，2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8．(4)若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且S ＝c 2－(a －b )2，a ＋b ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．答案 417解析 S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －(a 2＋b 2－c 2)，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴c 2－(a －b )2＝2ab (1－cos C )，即S ＝2ab (1－cos C )．∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝4(1－cos C )．又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，∴17cos 2C －32cos C ＋15＝0，解得cos C ＝1517或cos C ＝1(舍去)，∴sin C ＝817，∴S ＝12ab sin C ＝417a (2－a )＝－417(a －1)2＋417．∵a ＋b ＝2，∴0<a <2，∴当a ＝1，b ＝1时，S max ＝417． (5)已知△ABC 的外接圆半径为R ，且满足2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )·sin B ，则△ABC 面积的最大值为________．答案 2＋12R 2 解析由正弦定理得a 2－c 2＝(2a －b )b ，即a 2＋b 2－c 2＝2ab ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab 2ab ＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4．∴S ＝12ab sin C ＝12×2R sin A ·2R sin B ·22＝2R 2sin A sin B ＝2R 2sin A sin ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2R 2sin A ⎝⎛⎭⎫22cos A ＋22sin A ＝R 2(sin A cos A ＋sin 2A )＝R 2⎝⎛⎭⎫12sin 2A ＋1－cos 2A 2＝R 2⎣⎡⎦⎤22sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4＋12，∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，5π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，∴S ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2＋12R 2，∴面积S 的最大值为2＋12R 2． (6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A．若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，如图所示，则四边形OACB 面积的最大值是( )A ．4＋534B ．8＋534C ．3D ．4＋52答案 B 解析由b a ＝1－cos B cos A及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ，因为A ，C ∈(0，π)，所以C ＝A ，又b ＝c ，所以A ＝B ＝C ，△ABC 为等边三角形．设△ABC的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534．【对点训练】1．(2014·全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．2．在△ABC 中，若AB ＝2，AC 2＋BC 2＝8，则△ABC 面积的最大值为( )A ．2B ．2C ．3D ．33．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．21B ．3214C ．212D ．321 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝a 2－(b －c )2，且b ＋c ＝8，则 S 的最大值为________．5．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( )A ．22B ．32C ．23D ．32 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin A －sin B ＝13sin C ，3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A ．529B ．729C ． 2D ．9287．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a2的最大值为________．专题四三角形中的最值(范围)问题三角形中最值(范围)问题的解题思路任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围(最值)问题也不例外．三角形中的范围(最值)问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．考点一三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)【例题选讲】[例1](1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π3，π2D ．⎝⎛⎭⎫0，π2 答案 C 解析因为a 2＜b 2＋c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，所以A 为锐角．又因为a ＞b ＞c ，所以A 为最大角，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．(2)在△ABC 中，若AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎭⎫0，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎦⎤π6，π2 答案 A 解析因为c ＝AB ＝1，a ＝BC ＝2，b ＝AC ．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1<b <3，根据余弦定理cos C ＝12ab (a 2＋b 2－c 2)＝14b (4＋b 2－1)＝14b (3＋b 2)＝34b ＋b 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3b －b 2＋32≥32．所以0<C ≤π6．故选A ． (3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠π2，sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤0，π6B ．⎝⎛⎦⎤0，π4C ．⎣⎡⎦⎤π6，π4D ．⎣⎡⎦⎤π6，π3 答案 B 解析法一：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得，b ＝2a ，所以A 为锐角，又sin B ＝2sin A ∈(0,1]，所以sin A ∈⎝⎛⎦⎤0，22，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4．法二：在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，即2sin B cos A ＝22sin A cos A ，因为A ≠π2，所以cos A ≠0，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12b 2＋c 22bc ≥2 12b 2·c 22bc ＝22，当且仅当c ＝22b 时等号成立，所以A ∈⎝⎛⎦⎤0，π4． (4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．答案6－24 解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c ．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－(a ＋2b )242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24． (5)设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，已知a 2＋2b 2＝c 2，则tan Ctan A ＝_____；tan B 的最大值为________．答案－333 解析由正弦定理可得tan C tan A ＝sin C sin A ·cos A cos C ＝c a ·cos A cos C ，再结合余弦定理可得tan C tan A ＝c a ·cos A cos C＝c a ·b 2＋c 2－a 22bc ·2ab a 2＋b 2－c 2＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2．由a 2＋2b 2＝c 2，得tan C tan A ＝b 2＋a 2＋2b 2－a 2a 2＋b 2－a 2－2b 2＝－3．由已知条件及大边对大角可知0＜A ＜π2＜C ＜π，从而由A ＋B ＋C ＝π可知tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－1＋tan Ctan A 1tan A －tan C ＝23－tan C ＋(－tan C )，因为π2＜C ＜π，所以3－tan C ＋(－tan C )≥23－tan C×(－tan C )＝23(当且仅当tan C ＝－3时取等号)，从而tan B ≤223＝33，即tan B 的最大值为33．(6)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．33C ．8D ．63解析：由a ＝2b sin C 得sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，即tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．又三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，∴tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2，令tan A －2＝t ，得tan A tan B tan C ＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4 时，取等号．【对点训练】1．在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，π2B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2C ．⎝⎛⎭⎫π6，π3D ．⎝⎛⎭⎫π3，π2 1．答案 D 解析由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，再由正弦定理得a 20．则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2．又a 为最大边，∴A >π3．因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2．2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤π6，2π3B ．⎣⎡⎦⎤π6，π4C ．⎝⎛⎦⎤0，π6D ．⎣⎡⎭⎫π6，π3 2．答案 C 解析在△ABC 中，由正弦定理化简已知的等式得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即 sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4a 2＋c 2－a 24ac＝3a 2＋c 24ac ≥23ac 4ac ＝32(当且仅当c 2＝3a 2，即c ＝3a 时取等号)，因为A 为△ABC 的内角，且y ＝cos x在(0，π)上是减函数，所以0＜A ≤π6，故角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π6． 3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，满足cos A sin B sin C ＋cos B sin A sin C ＝2cos C sin A sin B ，则C 的最大值为________．3．答案 π3 解析由正弦定理，得bc cos A ＋ac cos B ＝2ab cos C ，由余弦定理，得bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2＋b 2－12(a 2＋b 2)2ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时，取等号．∵0<C <π，∴0<C ≤π3，∴C 的最大值为π3． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________． 4．答案 12 解析因为b 2＋c 2＝2a 2，则由余弦定理可知a 2＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 22bc ＝12×b 2＋c 22bc ≥12×2bc 2bc＝12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，即cos A 的最小值为12． 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，则cos C 的最小值为( )A ．32 B ．22 C ．12 D ．－125．答案 C 解析因为cos2A ＋cos2B ＝2cos2C ，所以1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＝2－4sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ≥a 2＋b 22a 2＋b 2＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选C ．6．在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A ．2B ．98C ．1D ．786．答案 B 解析 ∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝⎛⎭⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98． 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．7．答案 π6 解析由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，易得tan A >0，tan B >0．所以tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝21tan B ＋3tan B ≤223＝33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，所以B ＝π6．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B ＝c sin C －2a sin B ，则sin2A tan 2B 的最大值是__________．8．答案 3－22 解析依题意得a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，则2ab cos C ＝－2ab ，所以cos C ＝－22，所以C ＝3π4，A ＝π4－B ，所以sin2A tan 2B ＝cos2B tan 2B ＝(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ．令1＋tan 2B ＝t ，其中t ∈(1,2)，则有(1－tan 2B )tan 2B 1＋tan 2B ＝(2－t )(t －1)t ＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋3≤3－22，当且仅当t ＝2时取等号．故sin 2A tan 2B 的最大值是3－22．9．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 9．答案2＋12解析解法1 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以，sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B ＝2，cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5．因为分母(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B ＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4t t 2－8t ＋32＝4t ＋32t－8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)．解法2 由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2（t 2＋2）（t 2＋2）2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A ＋cos 2B ＝2d d 2－4d ＋8＝2d ＋8d－4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立．解法3 因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B 2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin(2C ＋π4)≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号． 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．10．答案 34解析在△ABC 中，因为3a cos C ＋b ＝0，所以C 为钝角，由正弦定理得3sin A cos C ＋sin(A＋C )＝0，3sin A cos C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝0，所以4sin A cos C ＝－cos A ·sin C ，即tan C ＝－4tan A ．因为tan A >0，所以tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－3tan A－4tan 2A －1＝34tan A ＋1tan A≤324＝34，当且仅当tan A ＝12时取等号，故tan B 的最大值是34． 11．(2016江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是________． 11．答案 8 解析因为sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，因此tan A tan B tan C＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥2 2 tan A tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ≥8．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A－1tan B的取值范围是________． 12．答案 ⎝⎛⎭⎫1，233 解析思路一，根据题意可知，本题可以从“解三角形和三角恒等变换”角度切入，又因已知锐角和边的关系，而所求为正切值，故把条件化为角的正弦和余弦来处理即可；思路二，本题所求为正切值，故可以构造直角三角形，用边的关系处理．解法1 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B ．由b 2－a 2＝ac 得，b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a ＝c －2a cos B ，也就是sin A ＝sin C －2sin A cos B ，即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A )，由于△ABC 为锐角三角形，所以有A ＝B －A ，即B ＝2A ，故1tan A －1tan B ＝1sin B ，在锐角三角形ABC 中易知，π3a ，即ca >1，在锐角三角形ABC 中有b 2＋a 2>c 2，则a 2＋a 2＋ac >c 2，即⎝⎛⎭⎫c a 2－c a －2<0，解得－1<c a <2，因此，1<c a <2．而1tan A －1tan B ＝AD －BD CD＝a a 2－⎝⎛⎭⎫c －a 22＝11－14⎝⎛⎭⎫c a －12∈⎝⎛⎭⎫1，233．13．在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．13．答案132解析解法1 因为2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2，由余弦定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A ，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝cos C 4＋sin C4tan C，可得tan C ＝3tan A ，代入tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A 3tan 2A －1，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A ，因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan A >0，所以3tan A 4＋1312tan A ≥23tan A 4×1312tan A ＝132，当且仅当3tan A 4＝1312tan A，即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132．解法2 过点B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，DC ＝y ，BD ＝h ，则tan A ＝h x ，tan C ＝hy ．同解法1可得tan C ＝3tan A ，tan B ＝4tan A 3tan 2A －1 则h y ＝3h x ，即x ＝3y ，tan B ＝4hx 3⎝⎛⎭⎫h x 2－1＝4hx 3h 2－x 2，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝x h ＋3h 2－x 24hx ＋y h ＝3y h ＋3h 2－9y 212hy ＋y h ＝13y 4h ＋h 4y ≥132．当且仅当13y 4h ＝h 4y ，即y ＝113h 时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132．考点二三角形中与边或周长有关的最值(范围) 【例题选讲】[例2](1)已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．答案 2 解析 ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4．设角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2得ac ＝2(2＋2)，由余弦定理及a 2＋c 2≥2ac ，得b 2≥(2－2)ac ，即b 2≥(2－2)×2(2＋2)，∴b ≥2(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为2．(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2) 解析通法：依题意作出四边形ABCD ，连结BD ．令BD ＝x ，AB ＝y ，∠CDB ＝α，∠CBD ＝β．在△BCD 中，由正弦定理得2sin α＝x sin 75．由题意可知，∠ADC ＝135°，则∠ADB＝135°－α．在△ABD 中，由正弦定理得x sin 75°＝y sin(135°－α)．所以y sin(135°－α)＝2sin α，即y ＝2sin(135°－α)sin α＝2sin[90°－(α－45°)]sin α＝2cos(α－45°)sin α＝2(cos α＋sin α)sin α．因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，当α＝90°时，易得y ＝2；当α≠90°时，y ＝2(cos α＋sin α)sin α＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1．又tan 30°＝33，tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°tan 45°＝－2－3，结合正切函数的性质知，1tan α∈(3－2，3)，且1tan α≠0，所以y ＝2⎝⎛⎭⎫1tan α＋1∈(6－2，2)∪(2，6＋2)．综上所述：y ∈(6－2，6＋2)．提速方法：画出四边形ABCD ，延长CD ，BA ，探求出AB 的取值范围．如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE ．在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－2．在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋2．∴6－2<AB <6＋2．(3)在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．答案 (1，2) 解析因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1．因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2． (4) (2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝__________；ca的取值范围是__________．答案 60° (2，＋∞) 解析由已知得34(a 2＋c 2－b 2)＝12ac sin B ，所以3(a 2＋c 2－b 2)2ac ＝sin B ，由余弦定理得3cos B ＝sin B ，所以tan B ＝3，所以B ＝60°，又C ＞90°，B ＝60°，所以A <30°，且A ＋C ＝120°，所以c a ＝sin C sin A ＝sin (120°－A )sin A ＝12＋32tan A ．又A <30°，所以0＜tan A <33，即1tan A >3，所以c a >12＋32＝2．(5)在△ABC 中，角, , A B C 所对的边分别为, , a b c ，且满足sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，则2abc 的最大值为__________．答案32解析由sin sin()sin sin cos A B C B C A -=，得sin (sin cos cos sin )sin sin cos A B C B C B C A -=，由正弦定理可得cos cos cos ab C ac B bc A -=，由余弦定理可得22222222a b c a c b ab ac bcab ac+-+--=2222b c a bc+-，化简得2223a b c +=，又因为22232c a b ab =+≥，当且仅当a b =时等号成立，可得232ab c ≤，所以2ab c的最大值为32．(6)在△ABC 中，若C ＝60°，c ＝2，则a ＋b 的取值范围为________．答案 (2，4] 解析由题意，得c ＝2．由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥14(a ＋b )2，得a ＋b ≤4．又由三角形的性质可得a ＋b >2，综上可得2<a ＋b ≤4．(7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1，32B ．⎝⎛⎭⎫32，32 C ．⎝⎛⎭⎫12，32 D ．⎝⎛⎦⎤12，32 答案 B 解析在△ABC中，b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因为A是△ABC 的内角，所以A ＝60°．因为a ＝32，所以由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝csin (120°－B )＝1，所以b ＋c ＝sin B ＋sin(120°－B )＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋30°)．因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＞0，所以cos B ＜0，B 为钝角，所以90°＜B ＜120°，120°＜B ＋30°＜150°，故sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫12，32，所以b ＋c＝3sin(B ＋30°)∈⎝⎛⎭⎫32，32．(8) (2018·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．答案 9 解析因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1×sin 60°＋12c ×1×sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c ＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9，当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a ＋c 的最小值为9．(9)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．答案 12 解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A ．又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3．∵0<A <π，∴A ＝π3．由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12．(10)在△ABC 中，∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是________．答案 1＋22 解析设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，△ABC 的周长为l ，由b ＝c ＋12，得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12．又cos 60°＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，即ab ＝a 2＋b 2－c 2，得a ⎝⎛⎭⎫c ＋12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋122－c 2，即c ＝a 2－12a ＋14a －1．l ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)2＋43()a －1＋12a －1＋12＝3⎣⎡⎦⎤(a －1)＋12(a －1)＋43＋12。

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解三角形中的最值问题
1、在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，求cos C 的最小值。

【解析】由余弦定理知2
14242)
(21
2cos 2222222
2
2
=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，
2、在ABC ∆中，60,3B AC ==，求2AB BC +的最大值。

3、在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为a ,b ,c ，且,sin 32sin a b A A B ≥+=。

（1）求角C 的大小；（2）求
a b
c
+的最大值。

解析：（1）由sin 32sin A A B +=得2sin 2sin 3A B π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin sin 3A B π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，因为,a b ≥则A B ≥，所以3
A B π
π+
=-，故2,33
A B C ππ+=
=。

（2）由正弦定理及（1）得sin sin =sin sin 3cos 2sin sin 363a b A B A A A A A c C ππ++⎤⎛⎫⎛
⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦
所以当3
A π
=
时，
a b
c
+取得最大值2. 4、△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (1)求B ;(2)若2b =,求△ABC 面积的最大值.
【答案】
5、在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解：
6、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且满足2)a c BA BC cCB CA -⋅=⋅。

（1）求角B 的大小；
（2）若||6BA BC -=，求ABC ∆面积的最大值。

答案：（1）)cos cos c B b C -=，由正弦定理得sin )cos sin cos ,A C B B C -=
cos sin()A B C B =+cos sin A B A =，所以cos 2B =
，即4
B π
=。

（2）因为||6BA BC -=
||6CA =，即b =
2
2
2
2(2b a c ac ac =+≥-=-，即3(2ac ≤+
13
sin 242
S ac B =
=≤ 7、已知()
()2cos 23sin ,1,,cos a x x b y x =+=，且a ⫽b 。

（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）记()f x 的最大值为M ，,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若2A f M ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且2a =，求bc 的最大值。

答案：（1）由a ⫽b 得2
2cos cos 0,x x x y +-=即
2
2cos cos cos 2212sin 216y x x x x x x π⎛
⎫=+=+=++ ⎪⎝
⎭
所以()2sin 216f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，所以函数()f x 的最小正周期为π。

（2）由（1）易得3M =，于是有3,2A f M ⎛⎫==
⎪⎝⎭即2sin 136A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以sin 16A π⎛
⎫+= ⎪
⎝
⎭，故3A π=。

由余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-得2
2
42b c bc bc bc bc =+-≥-=解得4bc ≤
8、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，不等式2
cos 4sin 60x C x C ++≥对于一切实数x 恒成立。

（1）求角C 的最大值；（2）当角C 取得最大值时，若2a b +=，求c 的最大值。

答案：（1）因为max
2
cos 01
cos ,16sin 24cos 0
23
C C C
C C π
>⎧⇒≥∴=
⎨
∆=-≤⎩
（2）222
2cos ,c a b ab C =+-由（1）得2
2
2
()34312a b c a b ab +⎛⎫=+-≥-= ⎪⎝⎭
，所以c 的最小值为1.。

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