参数方程的定义,互化

注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t, t为参数
1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有
限个还是无限个？
无限个
2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？
如何区分？
两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.
16
)
B
( 25 , 0); 16
2、方程
x y
sin cos
(为参所数表）示的曲线上一点的坐标是
（）
D
A、（2，7）；B、
(1 C, 、2); 33
11 (D、, （)1;，0） 22
3.参数方程和普通 方程的互化
由参数方程
x
y
cos sin
3,
( 为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
x
y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,
因此M1在曲线C上。
把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，
因此M2不在曲线C上。
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
类型二：普通方程化为参数方程
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t, t为参数
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。 （2）设y 2t,t为参数
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,
1.参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例1:
已知曲线C的参数方程是
与参数方程等价的普通方程为：
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
2 o 2 x
三角变换消元法
将下列参数方程化为普通方程：
x t
(2)
y
t
2
x sin t
(3)
y
sin
2
t
(4)
x y
1 2 1 2
(t (t
1) t 1) t
(5)
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x
t
1 t
y 2
(2) y x2
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos x 3 sin y ,
sin2 cos2 x2 y2 1
(x 3)2 y2 1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
类型一：参数方程化为普通方程
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？
（1）x t 1 (t为参数) y 1 2 t
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。
解得：t=2,a=9
∴a=9
6 3t,
a
2t
2
1.
例1:
已知曲线C的参数方程是
x
y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,
D、x
1 1
cos cos
2t 2t
(t为参数)
y tan t
D
解:(1)把x 3cos代入椭圆方程,得:9 cos2 y2 1,
94
y2 4(1 cos2 ) 4sin2 ,
即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin,
椭圆 x2 y2 1的参数方程是
94
x 3cos
y
2 sin
(为参数)
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
练习： 将下列参数方程化为普通方程：
x 2 3cos
(1)
y
3sin
x sin
(2)
y
c
os2
x=t+1/t
步骤：（1）消参；
(3)
（2）求定义域。
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1） （3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
练习：
因此M1在曲线C上。
把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，
因此M2不在曲线C上。
（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。
解得：t=2,a=9
∴a=9
6 3t,
a
2t
2
1.
训练1：
1、曲线
x
1t2
(t为参数与）x轴的交点坐标是(
y 4t 3
A、（1，4）；B、
C(、25 , 0);
D、(1, 3);
A 、
x y
t2 t4
B 、
x y
sin t sin2
t
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0，
C、x t y t
D、x y
t t
2
在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
而在Ｄ中，
x t
且以
y
t
2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t t
(t为参数)
求它与曲线 xy
2 cos 2 sin
(为参数)的交点。
(2,0),(0,2)
6.下列参数方程与方程y2 x表示同一曲线的是
A、
x y
t t
2
(t为参数)
B、x sin2 t (t为参数) y sin t
C、x t y
(t为参数) t
(3) y x2 (1 x 1)
(4)x2 y2 1
(5) y 2(x 2或x 2）
参数方程化为普通方程的步骤
步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角变形，配 方消元,常用结论)
2、写出定义域（x的范围） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y前后的取值范围保持一致。
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
（1）设x 3cos,为参数。 （2）设y 2t,t为参数
解:(2)把y 2t代入椭圆方程，得 x2 4t2 1 94
于是x2 9(1 t2 ), x 3 1 t2
椭圆 x2 y2 1的参数方程是: 94
x 3 1 t2
(t为参数)和x 3 1 t2
(t为参数)
y 2t
y 2t
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救
援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的
轨迹方程？
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
500
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
2.（g=9.8m/s2
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明各表示什么曲线？
（1）x t 1 (t为参数) y 1 2 t
（2)
x
y
sin cos 1 sin 2
(为参数）
解：(2)把x sin cos平方后减去y 1 sin 2得到x2 y,
又x sin cos 2 sin( ),
y
4
x [ 2, 2],
（2)
x
y
sin cos 1 sin 2
(为参数）
解:(1)由x t 1 1 有 t x 1
代入y 1 2 t , 得到y 2x 3
与参数方程等价的
y (1,1)
普通方程是y 2x 3(x 1)
这是以(1,1)为端点的
o
一条射线(包括端点)
x
代入消元法
类型一：参数方程化为普通方程
在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立
y
平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线， y轴经过点A.
A
记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资
的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量，
y表示物资距地面的高度。
由于水平位移量x与高度y 是两种不
同的运动得到的，因此直接建立x,y
所要满足的关系式并不容易。
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救 援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的 轨迹方程？
y 500
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。
)
o
x
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
1.参数方程的概念
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在A点，离地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 现在向地面投放救援 物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹方程？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以
100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放 救援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动 的轨迹方程设？飞机在点A将物资投出机舱，