全国初中数学竞赛试题及答案
全国 初中数学联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 2、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ） （A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ） （A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定 5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ） （A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( x 22008x -y 22008y -) = 2008， 则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1CBFDA E二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a 512-5432322a a a a a a a +---+-= 。
2、如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5∠MAN = 135°，则四边形AMCN 的面积为 。
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。
点 P的坐标即为 (7, 8)。
10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. 根号2C. 1/3D. 4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，其周长是多少？A. 16B. 18C. 20D. 22答案：C3. 一个数的平方等于16，这个数是多少？A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案：C4. 以下哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - x - 6 = 0答案：B5. 一个圆的直径为10，其面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，其斜边长为________。
答案：52. 如果一个数的立方等于-8，那么这个数是________。
答案：-23. 一个数的绝对值是5，这个数可能是________或________。
答案：5 或 -54. 一个圆的周长是2πr，如果周长是12π，那么半径r是________。
答案：65. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac小于0，那么这个方程的解是________。
答案：无实数解三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个二次函数y=ax^2+bx+c，其中a=1，b=-3，c=2，求这个函数的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(3/2, -1/4)。
2. 一个长方形的长是宽的两倍，如果周长是24，求长方形的长和宽。
答案：长为8，宽为4。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：略2. 证明平行四边形的对角线互相平分。
答案：略。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。
如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。
A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。
而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。
2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。
现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。
则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。
而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。
所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。
因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。
而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。
所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。
3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。
现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。
A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。
其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。
最新全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及参考答案一．选择题（5×7'=35'）1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．A ．0B ．1C ．3D ．5【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ．2.已知关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2116.-≤≤-t D 【分析】2023235352<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ．注意到15=x 时，只有4个整数解．所以2116152314-≤<-⇒<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程xx x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】422222222+-=⇒--=-+-x x a xx x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）；ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）；再考虑等根：ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84=→=--=∆a a ，当21,272,1==x a . 故27,8,4=a ，21,1,1-=x 共3个.本题选C ．4.如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】设ABC ∆底边BC 上的高为h ，则DE CF CF BC h 121244848====，)(2121212121h h DE h DE h DE S S BDE ADE +⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+∆∆本题选D ．6122121=⋅⋅=⋅⋅=DE DE h DE5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( )．41.A 92.B 185.C 367.D 【分析】9236811291214==+++=C C C P 本题选B ．二．填空题（5×7'=35'）6.设33=a ，b 是a 2的小数部分，则3)2+b （的值为 ． 【分析】考虑到33=a ，则33333332292,29,327982，93=+-==<<===b b a 则9)9()2333==+b （7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 ．【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有612⨯，而总次数是666⨯⨯次，则其概率为31666612=⨯⨯⨯=P .8.已知正整数a 、b 、c 满足a +b 2-2c -2=0,3a 2-8b +c=0，则abc 的最大值为 ．【分析】先消去c ，再配方估算．24166)8()121(621662222+=-++⇒=-++b a b b a a 观察易知上式中3≤a ，故3,2,1=a ，经试算，2,1=a 时，b 均不是整数；当3=a 时，11,5=b ，于是有)61,11,3(),13,5,3(),,(=c b a ，故201361113m ax =⨯⨯=abc ．9. 实数a 、b 、c 、d 满足：一元二次方程x 2+cx +d=0的两根为a 、b ，一元二次方程x 2+ax +b=0的两根为c 、d ，则所有满足条件的数组（a 、b 、c 、d ）为 ．【分析】由根与系数关系知b cd d ab d b a d c c b a ===⇒=++=++,,0，然后可得 （a 、b 、c 、d ）=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔．【分析】设4元的卖x 支，7元的卖y 支，则350,201374<+=+y x y x4125031820124201374++-=⇒++-=⇒=+y y x y y x y x 令1441-=⇒=+k y k y ，则k k k x 7505)14(2503-=+--=，又350≤+y x ，即523151350147505≥−−→−≥⇒≤-+-∈k k k k N k ，207152414=-⨯≥-=k y 即他至少卖了207支圆珠笔．三．解答题（4×20'=80'）11．如图，抛物线y =ax 2+bx -3，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC=3OA ．直线131+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC -∠CBE ．【分析】易知4)1(3222--=--=x x x y ，)4,1()3,0()0,3(),0,1(---D C B A ，，，作EF ⊥C O 于F ，连CE ，易知△OBC 、△CEF 都是等腰直角三角形，则△CBE 是直角三角形．分别在Rt△OBD 、Rt △BCE 中运用正切定义，即有31232tan 31tan =====BC CE ，OB OD βα，则βα= 从而可得∠DBC -∠CBE=45º．12．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D为线段OB 内一点(不是端点)，满足CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，E 为垂足，若CE =10，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．【分析】设圆O 半径为r ，则由相似或三角函数或射影定理可知，)10(1022-=⇒⋅=r DE OE CE DE ，又r r DE CE CD 10)10(10102222=-+=+=由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC 、BC 用相似或三角函数，易知r CD BD AD 102==⋅①，而r BD AD 2=+②令y BD x AD ==,，①/②即155210-=⇒==+y x y r r y x xy ，显然有x y <<0，则10<<x y ，即1051150<<⇒<-<y y ，y 为正整数，故9,8,7,6=y ，又x 也为正整数，经逐一试算，仅当30,6==x y 这一组是正整数，故30=AD .13．设a 、b 、c 是素数，记c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,，当2,2=-=y x y z 时，a 、b 、c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论． 【分析】281102222a z a z z y z a z y c b a z b a c y +±-=⇒=-+−−−→−==+⇒⎩⎨⎧-+=-+=a 、b 、c 是素数，则z c b a =-+为整数，则1281+=+k a ，k 为正整数．化简整理后，有a k k 2)1(=+⎩⎨⎧=+==+==⇒=+==+=⇒3121,2(121121,1a k k ）a a k k 非质数 2,332811-=−−→−=+±-=z a a z ⅰ)112,2529,9,3=⇒=-=⇒=-==b b z x x x y z ,c b a b =<=+=+=1720173,17不能围成三角形;ⅱ)是合数9,16,4,2====b x y z综上所述，以a 、b 、c 不能围成三角形．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a 1，a 2，．．．，a n ，满足对任意一个正整数m ，在a 1，a 2，．．．，a n 中都至少有一个为m 的“魔术数”．【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a 1，a 2，．．．，a n 互不相等，不妨设n a a a <<<...21，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设t k a i i +=7，（6,5,4,3,2,1,0;,...,3,2,1==t n i ），至少有一个为m 的“魔术数”．因为m a k i +⋅10（k 是m 的位数)，是7的倍数，当6≤i 时，而k i a 10⋅除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当7=i 时，而ki a 10⋅除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当7=i 时，依抽屉原理，k i a 10⋅与m 二者余数的和至少有一个是7，此时m a k i +⋅10被7整除，即n =7．。
2024年全国初中数学知识竞赛试题及答案
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(a d )(b c) ≤0 ？请说明理由. （2 ）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数1 ，
2 ，…，2 0 0 3 ，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连 的 4 个数a ，b ，c ，d ，都有(a d )(b c) ≤0 ？请说明理由.
1 0 ．已知二次函数y ax2 bx c （其 中 a 是正整数）的图象经 过点 A （ － 1 ，4 ） 与点 B （ 2 ，1 ），并且与x 轴有两个不同的交点，则 b+c 的 最大值为 . 三、解答题（共 4 题，每小题 15 分，满分 60 分）
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1 1 ．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，B C 是⊙O 的切线，O C 平行于
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注：1 3 B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与 前面的12 个题组成考试卷.后面两页13A 和14A 两题可留作考试后的研究题 。
1 3 A ．如图所示，⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2 2(k 2) x k 0
（k是整数）的最大整数根. P 是⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA
和割线 P B C ，其中 A 为切点，点 B ，C 是直线 PBC 与⊙O 的交点.若
PA ，P B ，P C 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数，求 PA2 PB2 PC2 的 值.
A O
解：
P
B
C
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(第 13A 题图)
1 4 A ．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a，b，c，d 满 足不等式(a d )(b c) >0，那么就可以交换 b，c 的位置，这称为一次操 作.
初中数学全国竞赛试题及答案
初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8，这个数是：A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根等于它本身，这个数是______。
7. 如果一个数的绝对值等于5，那么这个数可以是______。
8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
9. 一个数的平方是25，这个数可以是______。
10. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体的体积。
12. 一个圆的半径是r，求圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a，底边长为b，求三角形的面积。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
15. 证明：如果一个角的余弦值等于1/2，那么这个角是60°。
五、应用题（每题20分，共20分）16. 某工厂生产一种零件，每个零件的成本是5元，售价是10元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少个这种零件？初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。
数学竞赛初中试题及答案
数学竞赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，那么这个等腰三角形的周长是：A. 18B. 21C. 26D. 282. 一个数的平方等于它的4倍，这个数是：A. 0B. 2C. -2D. 0或23. 一个长方形的长是宽的2倍，如果宽增加2厘米，长减少2厘米，那么面积不变。
设长方形的宽为x厘米，根据题意可得方程：A. 2x(x+2) = x(x-2)B. 2x(x-2) = x(x+2)C. 2x^2 = x^2 - 4x + 4D. 2x^2 = x^2 + 4x - 44. 一个数列的前四项依次为1, 2, 4, 8，那么第五项是：A. 16B. 32C. 64D. 1285. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是：A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 314平方厘米D. 785平方厘米6. 一个数的相反数是-4，那么这个数是：A. 4B. -4C. 0D. 87. 一个分数的分子比分母小3，且这个分数等于1/2，那么这个分数是：A. 1/3B. 2/5C. 3/6D. 4/78. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 09. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1或-110. 一个等差数列的前三项依次为2, 5, 8，那么第四项是：A. 11B. 12C. 13D. 14二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方根是它本身的数是______。
2. 如果一个三角形的两个内角分别是45度和45度，那么第三个内角是______度。
3. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。
4. 一个数的平方等于16，这个数是______。
5. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和4，求这个等腰三角形的周长。
2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版)
专题分式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上的点，且AE 、BF 、CD 相交于点G ，如果AG GE +BG GF +CG GD =2014，那么AG GE ⋅BG GF ⋅CGGD的值为．【答案】2016【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，得出AG GE =a +b c ，BG GF =a +c b ，CG DG =b +c a ，根据AG GE +BG GF +CG GD=2014，得出a +b c +a +cb +b +c a =2014，将a +b c ⋅a +c b ⋅b +c a 化简为a +b c +a +c b +a +b c +2即可得出答案．【详解】解：设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，则AG GE=S △ABG S △BEG =S △ACG S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BEG +S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BCG =a +bc ，同理可得：BG GF =a +c b ，CG DG=b +ca ，∵AG GE +BG GF +CG GD =2014，∴a +b c +a +c b +b +c a =2014，∴AG GE ⋅BG GF ⋅CG GD =a +b c ⋅a +c b⋅b +c a =a +b a +c b +c abc=a 2b +a 2c +abc +ac 2+ab 2+abc +b 2c +bc 2abc=a +b c +a +c b +a +b c +2=2014+2=2016．故答案为：2016．2(2024·全国·八年级竞赛)设a 、b 、c 是互不相等的实数，且a +4b=b +4c =c +4a ，则abc =．【答案】±8【分析】本题考查分式的化简求值，由a +4b =b +4c 可得bc =4b -c a -b ，同理可得ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a，由此三式相乘即可解答．【详解】解：∵a +4b=b +4c =c +4a ，∴a -b =4c -4b =4b -c bc ，b -c =4a -4c =4c -a ac ，c -a =4b -4a =4a -b ab ，∴bc =4b -c a -b ，ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a ，∴a 2b 2c 2=4(b -c )a -b ⋅4(c -a )b -c.4(a -b )c -a =64，∴abc =±8．故答案为：±8．3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2其中A 、B 、C 、D 为常数，则A ⋅B ⋅C ⋅D =．【答案】-24【分析】此题主要考查了分式的加减运算，先对Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2进行计算，然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题，解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用．【详解】解：6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +D x 2-1 x 2-2 Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2=Ax +B x 2-2 x 2-1 x 2-2 +Cx +D x 2-1 x 2-1 x 2-2=A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +Dx 2-1 x 2-2，∵6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2，∴A +C =6，B +D =2，2A +C =8，2B +D =1，解得A =2，B =-1，C =4，D =3，∴A ⋅B ⋅C ⋅D =2×-1 ×4×3=-24，故答案为：-24．4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足条件1x -1y =2x +y ，则代数式y 2x -x2y=．【答案】1【分析】本题主要考查代数式求值，先将1x -1y =2x +y 变形为2xy =y -x y +x ，再把y 2x -x2y变形为y -x y +x2xy，然后代入计算即可．【详解】解：∵1x -1y =2x +y，∴2xy =y -x y +x ，∴y 2x -x 2y=y2-x2 2xy=y-xy+x2xy=y-xy+xy-xy+x=1，故答案为：1．5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015，且2a+b-c=8050，则a-b+12c+1=．【答案】2014【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令a2013=b2014=c2015=k求出a、b、c的值．令a2013=b2014=c2015=k，求得a=2013k，b=2014k，c=2015k，结合题意求出a、b、c的值，代入即可求解．【详解】解：设a2013=b2014=c2015=k，故a=2013k，b=2014k，c=2015k，则2a+b-c=2×2013k+2014k-2015k，即2×2013k+2014k-2015k=8050，解得：k=2；∴a=4026，b=4028，c=4030，∴a-b+12c+1=4026-4028+12×4030+1=2014．故答案为：2014．6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式：xyx+y =1b-1，yzy+z=1b，xzx+z=1b+1，那么代数式xyzxy+xz+yz的值为．【答案】1 6【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键．根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可．【详解】由题意知xy、yz、xz都不为零，∴x+yxy=b-1 y+zyz=bx+zxz=b+1，即1x+1y=3 1y+1z=4 1x+1z=5，∴1x +1y +1z =6，即xy +yz +xz xyz =6，∴xyz xy +xz +yz =16．故答案为：16．7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x ，y ，z 满足xy x +y =2015，yz y +z =43，zx z +x =-43，则xyzxy +yz +zx 的值为．【答案】4030【分析】本题考查分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则是解答的关键．将所有分式的分子和分母颠倒位置，然后利用分式的混合运算法则化简求解即可．【详解】解：将所有分式的分子和分母颠倒位置，则由xy x +y =2015得x +y xy =1x +1y =120151 ，由yz y +z =43得y +z yz =1y +1z =342 ，由zx z +x =-43得x +z xz =1x +1z =-343 ，三式相加得21x +1y +1z=12015，则1x +1y +1z =xy +yz +zx xyz =12⋅12015=14030，∴xyzxy +yz +zx=4030．8(2024·全国·八年级竞赛)如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若S ①:S ③=1:5，则a :b =．【答案】2∶3【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，求比值，解题的关键是理解题意，根据S ①:S ③=1:5，得出S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，求出AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，得出a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，求出3a =2b ，即可求出结果．【详解】解：如图所示，∵S ①:S ③=1:5，∴S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，∴a +b ⋅AE a +b ⋅ED=15，∴AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，∴a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，整理得：3a =2b ，∴a :b =2:3．故答案为：2:3．9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x ，规定f x =x x +1，例如f 1 =11+1=12,f 2 =22+1=23,f 12 =1212+1=13，则f 12017 +f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =．【答案】40332【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案．【详解】解：∵f x =xx +1，∴f x +f 1x =x x +1+1x1x+1=x x +1+1x +1=1，∴f 12017+f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =f 12017 +f 2017 +f 12016 +f 2016 +⋯+f 12 +f 2+f 1 =2016+11+1=40332．故答案为：40332．10(2024·全国·八年级竞赛)若x 为正数，且x -1x =3，则x x 2-x +1=．【答案】13+112【分析】先求出x 2+1x 2=11，再求出x +1x =13，最后整体代入x x 2-x +1=1x -1+1x进求解即可，此题考查了分式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键．【详解】解：∵x 为正数，且x -1x=3，∴x -1x 2=9，x +1x >0，即x 2+1x 2=11，∴x +1x 2=x 2+1x 2+2=13，∴x +1x =13，∴x x 2-x +1=1x -1+1x =113-1=13+112，故答案为：13+11211(2024·全国·八年级竞赛)已知x =2y +33y -2，则3x -2 3y -2 的值为．【答案】13【分析】本题考查了分式的混合运算，多项式乘以多项式，根据x 的值和题中式子即可求解，根据解题的关键是明确它们各自的计算方法．【详解】解：∵x =2y +33y -2，∴3x -2=6y +93y -2-2=6y +9-6y +43y -2=133y -2，∴3x -2 3y -2 =133y -2×3y -2 =13，故答案为：13．12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小：22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”)．【答案】>【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．设a =22000，根据22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0作答即可．【详解】解：设a =22000，∴22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0，故答案为：>．13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a ．则a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=．【答案】-31111/-31111【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再求出a 的值，然后代入化简后的结果计算即可．【详解】解：a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=a -3 2a +3 a +4 ×a +4a -3-a a +3=a -3a +3-a a +3=-3a +3，∵3<11<4，∴11的整数部分3，∴a =11-3．∴-3a +3=-31111．故答案为：-31111．14(2024·全国·八年级竞赛)函数y =x -4-2-x -3x -5的自变量x 的取值范围是．【答案】x ≥3且x ≠4且x ≠5【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据题意得不等式组x -3≥0x -4≠0，x -5≠0求解即可．【详解】解：根据题意，得x -3≥0x -4≠0，x -5≠0∴x ≥3且x ≠4且x ≠5．故答案为：x ≥3且x ≠4且x ≠5．15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，则m 的取值范围是．【答案】m <4【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键．由存在两个数使分式没有意义，则对于x 2+4x +m =0的判别式Δ>0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，∴x 2+4x +m =0有两个解，∴Δ=42-4m >0，解得：m <4，∴当m <4时，存在两个实数使原式没有意义．故答案为m <4．二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x +6x有意义，则x 的取值范围是()A.x ≥-6B.x ≠0C.x >6D.x ≥-6且x ≠0【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握概念是解题的关键．分子上的二次根式要有意义，根号里面的式子为非负数，且分母不为零，分别求解满足条件的x 值．【详解】∵式子x +6x有意义，∴x +6≥0，x ≠0，∴x ≥-6且x ≠0．故选：D ．17(2024·全国·八年级竞赛)已知1x +1y =2，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的值为()A.74B.72C.5D.12【答案】A【分析】本题考查分式的化简求值，根据1x +1y =2得x +y =2xy ，再将2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的分子分母变形为含xy 的式子，即可解题．【详解】解：由1x +1y=2得x +y =2xy ，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y =2x +y +3xy 3x +y -2xy =7xy 4xy =74．故选：A ．18(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足x +y =2，xy =-5，则xy +y x 的值为( )．A.65B.-145C.-65D.-45【答案】B【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将xy +y x通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含x +y ，xy 的代数式，最后将x +y ，xy 的值代入并计算即得答案．【详解】xy +y x =x 2+y 2xy=x 2+2xy +y 2-2xy xy=(x +y )2xy -2，当x +y =2，xy =-5时，原式=22-5-2=-145．故选B．19(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数，则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组．【详解】解：∵分式x-1x -2的值为正数，∴x -2>0x-1>0或x -2<0x-1<0，解得：-2<x<1或x>2.故选：C．20(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，可逐步求得上下坡的总时间，最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间，计算即得答案．【详解】设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，上坡时间为S80，下坡时间为S80×3=S240，总时间为S80+S240=S60，所以平均速度为2S÷S60=120(米/分)．故选D．21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15，则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4 D.14【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据xx2+x+1=15得出x+1x=4，再将x2x4+x2+1变形为1x+1x2-1，将x+1x=4整体代入求值即可．【详解】解：∵xx2+x+1=1x+1x+1=15，∴x+1x=4，∴x2x4+x2+1=1x2+1x2+1=1x+1x2-1=142-1=115，故选B．22(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0，则x2x4+x2+1的值是( )．A.8B.110C.18D.14【答案】C【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，换元法，由x2-3x+1=0得到x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，得到1A=x2+1x2+1，代入即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：由x2-3x+1=0知x≠0，∴x+1x=3，∴x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，则1A=x2+1x2+1=8，∴A=18，即x2x4+x2+1=18，故选：C．三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x-3x-2=13+2+1，求1-1x-2÷x-4+1x-2的值．【答案】3+2【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及整体代入法；先化简分式，再由x-3x-2=13+2+1，得到x-2 x-3=3+2+1，变形为1+1x-3=3+2+1，即可求得1x-3的值．关键是由已知变形求得1x-3．【详解】解：1-1 x-2÷x-4+1x-2=x-3 x-2÷x2-6x+9x-2=x-3 x-2·x-2 x-3 2=1x-3；∵x-3 x-2=13+2+1，∴x-2x-3=3+2+1，∴1+1x-3=3+2+1，∴1x-3=3+2，即原式=3+2．24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0，求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值．【答案】-22017．【分析】此题考查了分式的化简求值，先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2+2a -2016=0进行配方，得到a +1 2=2017的值，再把它整体代入即可求出答案，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤．【详解】解：由a 2+2a -2016=0可得(a +1)2=2017，a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1=(a -1)2a +1 a +4 ×a +4a -1 a +1-1a +1，=a -1(a +1)2-1a +1，=-2(a +1)2，=-22017．25(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ，其中x =2．【答案】1x -1，2+1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化，解答时，先进行分式运算，再代入求值即可．【详解】解：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 =x -1 x +1 x x +1 ÷x 2+1-2x x =x +1 x -1x x +1÷x -12x =x +1 x -1 x x +1 ⋅x x -1 2=1x -1，当x =2时，原式=12-1=2+1．26(2024·全国·八年级竞赛)如图1，有一个高为hcm 的瓶子，瓶中水面的高度为acm ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm ，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a =9,b =15,h =21时，求出这个比值．【答案】a a +h -b ，35【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积×9+底面积×21-15 ，也就是底面积×15；水的体积为底面积×9，即可得到答案．【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，设瓶子的底面积为S ，即Sa +S h -b ；水的体积为Sa ，∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为Sa Sa +S h -b=aa +h -b ，∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×21-15 =底面积×15，水的体积=底面积×9，∴瓶中水的体积：瓶子容积=(底面积×9)：(底面积×15)=35，答：这个比值是35．27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证：1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2；(2)计算：1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172．【答案】(1)证明见解析(2)201620162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值，数字规律的运算；对于(1)，先将等式左边通分，再根据完全平方公式整理可得答案；对于(2)，先根据(1)整理得1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 =1+1n -1n +1，再计算加减即可得出答案．【详解】(1)解：1+1n 2+1n +12=n 2n +1 2+n +1 2+n 2n 2n +1 2=n 2n +1 2+2n n +1 +1n 2n +1 2=n n +1 +1n n +12=1+1n 2+n2；(2)由(1)可知1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1=1+1n -1n +1，则原式=1+11-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12016-12017=1×2016+1-12017=201620162017．28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0；(2)先化简，再求值：x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy，其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0．【答案】(1)2(2)化简得：x y ；原式=33【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键，(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果；(2)直接利用括号里面因式分解进行化简，再利用分式乘除运算法则化简，再根据二次根式、绝对值的性质得出x 、y 的值，进行代入求出答案．【详解】解：(1)原式=26×33-4×24×1=22-2=2；(2)原式=x -y x +y x -y2+x y -x ×x x -y y 2=x +y x -y -xx -y×x x -y y 2=yx -y ×x x -y y 2=x y．∵x +1+(y -3)2=0，∴x -1=0，y -3=0，∴x =1，y =3，故原式=x y =13=33．29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数，且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数．求a +b +c 的值．【答案】10【分析】本题考查异分母分式的加减，先得出1<1a +1b+1c <3c ，求出c =2，进而得出a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc=1，进而可得出答案．【详解】解：因为1a +1b +1c -1abc 为正整数，且a 、b 、c 为大于1的正整数，1a <1b <1c ，所以1<1a +1b+1c <3c ，得1<c <3，所以c =2，∴1a +1b >1-1c =12，得12<1a +1b <2b ，所以c <b <4,∴b =3．∴1a >1-1b -1c =16，得b <a <6，所以a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b+1c -1abc=1，所以a +b +c =5+3+2=10．30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，求1a +1b+1c 的值．【答案】-15【分析】本题考查分式的求值，根据a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，得到a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根，进而得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，推出abc =-15，ab +bc +ac =3，即可得出1a +1b+1c 的值．解题的关键是得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ．【详解】解：1a +1b +1c =ac +bc +acabc，∵a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，∴a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根．∴x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，∴abc =-15，ab +bc +ac =3．∴1a +1b+1c =3-15=-15．31(2024·全国·八年级竞赛)求值：12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+【答案】1【分析】本题考查了繁分式的计算，设1+13+14+1⋯+12007=x ，变形计算即可．【详解】解：设1+13+14+1⋯+12007=x ，则原式=11+x +11+1x=11+x +x x +1=1+x1+x =1．32(2024·全国·八年级竞赛)设a ，b ，c 都是实数，若(a -2b +c )2+(a -2c +b )2+(b -2a +c )2=(a -b)2+(b-c)2+(c-a)2，求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值．【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的性质．设a-b=x,b-c=y,c-a =z，得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①，x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②，由①+②得x2+y2+z2=0，求出x=y=z=0，则a=b=c，代入进行变形求值即可．【详解】解：设a-b=x,b-c=y,c-a=z，由已知得：(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2，故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0，①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，②①+②得x2+y2+z2=0，故x=y=z=0，则a=b=c，∴原式=22a3+7a2+32a3+7a2+3=2．。
全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b+=+ （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1a b c（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则DO OB= （ ） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3第4题图 第5题图5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上， 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE ＝ （ ） A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1232001111...a a a a ++++=（ ） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1．使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _．2．如图，平行四边形ABCD 中，072ABC ∠=，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则AED ∠=______．3．设m,n 是正整数，且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同，则m-n 的最小值为 ．4．若实数x,y满足3331+的最小值为．x y++=，则22x y xy第一试(B)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定．2．题目与（A）卷第1 题相同.3. 题目与（A）卷第3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0，6a b2 c 0，则a2 b2c2＝（）A. 424B. 430C. 441D. 460．5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BAD ACB 180，且BC 3，AD 4，AC 5，AB 6，则DO/OB＝（）A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96．题目与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目与（A）卷第1 题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠=∠，则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与（A ）卷第3 题相同.4. 题目与（A ）卷第4 题相同第二试 （A ）一、（本题满分20 分）已知实数x,y 满足x+y=3，221112x y x y +=++ ，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC ，BAC 45，E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1，BF 5，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a, b)，使得34938b a =⨯+第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤，++=16a b c ，2221+++=1284a b c abc ， 求c 的值.二、（本题满分25 分）求所有的正整数m ，使得212-2+1m m -是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ，OA OD ，OB OC .求证： AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。
全国初中数学联合竞赛试题含答案
( ) 2.满足等式 2 − m m2 −m−2 = 1 的所有实数 m 的和为（A）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， CAB = 15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，若 CD = 3 ，则 AB=（A） （A）2 （B） 6 （C） 2 2 （D）3
等式 (at + m)(bt + m) = 17m 即 abt2 + m(a + b)t + m2 = 17m,
( ) ( ) 即 ab 3 − 2 2 + m(a + b) 2 −1 + m2 = 17m ，
整理得 m(a + b) − 2ab 2 + 3ab − m(a + b) + m2 −17m = 0
3.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， CAB = 15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，若 CD = 3 ，则 AB=（ ） （A）2 （B） 6 （C） 2 2 （D）3
4.不定方程 3x2 + 7xy − 2x − 5y −17 = 0 的全部正整数角（x,y）的组数为（ ）
于是可得
a + b = 2(17 −
ab
=
17m
−
m2
m .
)
,
因此，a,b 是关于 x 的一元二次方程 x2 + 2(m −17)x +17m − m2 = 0 ……○1 的两个整数根，
( ) 方程○1 的判别式 = 4(m −17)2 − 4 17m − m2 = 4(17 − m)(17 − 2m) 0.
分式—2024年全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编含参考答案
专题分式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC上的点，且AE、BF、CD相交于点G，如果AGGE +BGGF+CGGD=2014，那么AGGE⋅BGGF⋅CGGD的值为．2(2024·全国·八年级竞赛)设a、b、c是互不相等的实数，且a+4b=b+4c=c+4a，则abc=．3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x3+2x2-8x-1x2-1x2-2=Ax+Bx2-1+Cx+Dx2-2其中A、B、C、D为常数，则A⋅B⋅C⋅D=．4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x，y满足条件1x-1y=2x+y，则代数式y2x-x2y=．5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015，且2a+b-c=8050，则a-b+12c+1=．6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式：xyx+y =1b-1，yzy+z=1b，xzx+z=1b+1，那么代数式xyzxy+xz+yz的值为．7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x，y，z满足xyx+y=2015，yzy+z=43，zxz+x=-43，则xyzxy+yz+zx的值为．8(2024·全国·八年级竞赛)如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若S①:S③=1:5，则a:b=．9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x，规定f x =xx+1，例如f1 =11+1=12,f2 =22+1=2 3,f12=1212+1=13，则f12017+f12016+⋯+f12 +f1 +f2 +⋯+f2016+f2017=．10(2024·全国·八年级竞赛)若x为正数，且x-1x=3，则xx2-x+1=．11(2024·全国·八年级竞赛)已知x=2y+33y-2，则3x-23y-2的值为．12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小：22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”)．13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a．则a2-6a+9a2+7a+12÷a-3a+4-aa+3=．14(2024·全国·八年级竞赛)函数y=x-4-2-x-3x-5的自变量x的取值范围是．15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x2+4x+m，存在两个数使分式没有意义，则m的取值范围是．二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x+6x有意义，则x的取值范围是()A.x≥-6B.x≠0C.x>6D.x≥-6且x≠017(2024·全国·八年级竞赛)已知1x+1y=2，则2x+3xy+2y3x-2xy+3y的值为()A.74B.72C.5D.1218(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x，y满足x+y=2，xy=-5，则xy+yx的值为( )．A.65B.-145C.-65D.-4519(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数，则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<220(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15，则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4D.1422(2024·全国·八年级竞赛)若x 2-3x +1=0，则x 2x 4+x 2+1的值是( )．A.8 B.110 C.18 D.14三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x -3x -2=13+2+1，求1-1x -2 ÷x -4+1x -2 的值．24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0，求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值．25(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ，其中x =2．26(2024·全国·八年级竞赛)如图1，有一个高为hcm 的瓶子，瓶中水面的高度为acm ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm ，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a =9,b =15,h =21时，求出这个比值．27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证：1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2；(2)计算：1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172．28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0；(2)先化简，再求值：x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy，其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0．29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数，且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数．求a +b +c 的值．30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，求1a +1b+1c 的值．31(2024·全国·八年级竞赛)求值：12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+32(2024·全国·八年级竞赛)设a，b，c都是实数，若(a-2b+c)2+(a-2c+b)2+(b-2a+c)2=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值．专题分式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上的点，且AE 、BF 、CD 相交于点G ，如果AG GE +BG GF +CG GD =2014，那么AG GE ⋅BG GF ⋅CGGD的值为．【答案】2016【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，得出AG GE =a +b c ，BG GF =a +c b ，CG DG =b +c a ，根据AG GE +BG GF +CG GD=2014，得出a +b c +a +cb +b +c a =2014，将a +b c ⋅a +c b ⋅b +c a 化简为a +b c +a +c b +a +b c +2即可得出答案．【详解】解：设S △ABG =a ，S △ACG =b ，S △BCG =c ，则AG GE=S △ABG S △BEG =S △ACG S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BEG +S △CEG =S △ABG +S △ACG S △BCG =a +bc ，同理可得：BG GF =a +c b ，CG DG=b +ca ，∵AG GE +BG GF +CG GD =2014，∴a +b c +a +c b +b +c a =2014，∴AG GE ⋅BG GF ⋅CG GD =a +b c ⋅a +c b⋅b +c a =a +b a +c b +c abc=a 2b +a 2c +abc +ac 2+ab 2+abc +b 2c +bc 2abc=a +b c +a +c b +a +b c +2=2014+2=2016．故答案为：2016．2(2024·全国·八年级竞赛)设a 、b 、c 是互不相等的实数，且a +4b=b +4c =c +4a ，则abc =．【答案】±8【分析】本题考查分式的化简求值，由a +4b =b +4c 可得bc =4b -c a -b ，同理可得ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a，由此三式相乘即可解答．【详解】解：∵a +4b=b +4c =c +4a ，∴a -b =4c -4b =4b -c bc ，b -c =4a -4c =4c -a ac ，c -a =4b -4a =4a -b ab ，∴bc =4b -c a -b ，ac =4c -a b -c，ab =4a -bc -a ，∴a 2b 2c 2=4(b -c )a -b ⋅4(c -a )b -c.4(a -b )c -a =64，∴abc =±8．故答案为：±8．3(2024·全国·八年级竞赛)已知6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2其中A 、B 、C 、D 为常数，则A ⋅B ⋅C ⋅D =．【答案】-24【分析】此题主要考查了分式的加减运算，先对Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2进行计算，然后根据题意列出关于A 、B 、C 、D 的方程组即可解决问题，解题的关键是熟练掌握分式的运算及法则的应用．【详解】解：6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +D x 2-1 x 2-2 Ax +B x 2-1+Cx +Dx 2-2=Ax +B x 2-2 x 2-1 x 2-2 +Cx +D x 2-1 x 2-1 x 2-2=A +C x 3+B +D x 2-2A +C x -2B +Dx 2-1 x 2-2，∵6x 3+2x 2-8x -1x 2-1 x 2-2 =Ax +B x 2-1+Cx +D x 2-2，∴A +C =6，B +D =2，2A +C =8，2B +D =1，解得A =2，B =-1，C =4，D =3，∴A ⋅B ⋅C ⋅D =2×-1 ×4×3=-24，故答案为：-24．4(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足条件1x -1y =2x +y ，则代数式y 2x -x2y=．【答案】1【分析】本题主要考查代数式求值，先将1x -1y =2x +y 变形为2xy =y -x y +x ，再把y 2x -x2y变形为y -x y +x2xy，然后代入计算即可．【详解】解：∵1x -1y =2x +y，∴2xy =y -x y +x ，∴y 2x -x 2y=y2-x2 2xy=y-xy+x2xy=y-xy+xy-xy+x=1，故答案为：1．5(2024·全国·七年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a2013=b2014=c2015，且2a+b-c=8050，则a-b+12c+1=．【答案】2014【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令a2013=b2014=c2015=k求出a、b、c的值．令a2013=b2014=c2015=k，求得a=2013k，b=2014k，c=2015k，结合题意求出a、b、c的值，代入即可求解．【详解】解：设a2013=b2014=c2015=k，故a=2013k，b=2014k，c=2015k，则2a+b-c=2×2013k+2014k-2015k，即2×2013k+2014k-2015k=8050，解得：k=2；∴a=4026，b=4028，c=4030，∴a-b+12c+1=4026-4028+12×4030+1=2014．故答案为：2014．6(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x、y、z满足下列等式：xyx+y =1b-1，yzy+z=1b，xzx+z=1b+1，那么代数式xyzxy+xz+yz的值为．【答案】1 6【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键．根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可．【详解】由题意知xy、yz、xz都不为零，∴x+yxy=b-1 y+zyz=bx+zxz=b+1，即1x+1y=3 1y+1z=4 1x+1z=5，∴1x +1y +1z =6，即xy +yz +xz xyz =6，∴xyz xy +xz +yz =16．故答案为：16．7(2024·全国·八年级竞赛)已知三个数x ，y ，z 满足xy x +y =2015，yz y +z =43，zx z +x =-43，则xyzxy +yz +zx 的值为．【答案】4030【分析】本题考查分式的化简求值，灵活运用分式的运算法则是解答的关键．将所有分式的分子和分母颠倒位置，然后利用分式的混合运算法则化简求解即可．【详解】解：将所有分式的分子和分母颠倒位置，则由xy x +y =2015得x +y xy =1x +1y =120151 ，由yz y +z =43得y +z yz =1y +1z =342 ，由zx z +x =-43得x +z xz =1x +1z =-343 ，三式相加得21x +1y +1z=12015，则1x +1y +1z =xy +yz +zx xyz =12⋅12015=14030，∴xyzxy +yz +zx=4030．8(2024·全国·八年级竞赛)如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若S ①:S ③=1:5，则a :b =．【答案】2∶3【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，求比值，解题的关键是理解题意，根据S ①:S ③=1:5，得出S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，求出AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，得出a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，求出3a =2b ，即可求出结果．【详解】解：如图所示，∵S ①:S ③=1:5，∴S 矩形ABFE :S 矩形EFCD =1:5，∴a +b ⋅AE a +b ⋅ED=15，∴AE ED=15，设AE =x ，则ED =5x ，∴a +b x +5x =b ⋅5x +5x ，整理得：3a =2b ，∴a :b =2:3．故答案为：2:3．9(2024·全国·八年级竞赛)对于正数x ，规定f x =x x +1，例如f 1 =11+1=12,f 2 =22+1=23,f 12 =1212+1=13，则f 12017 +f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =．【答案】40332【分析】本题考查代数式求值，分式的加法以及数字类规律探究，理解新定义函数的意义，掌握数字所呈现的规律是解决问题的关键．利用加法结合律以及探究所得规律得出答案．【详解】解：∵f x =xx +1，∴f x +f 1x =x x +1+1x1x+1=x x +1+1x +1=1，∴f 12017+f 12016 +⋯+f 12 +f 1 +f 2 +⋯+f 2016 +f 2017 =f 12017 +f 2017 +f 12016 +f 2016 +⋯+f 12 +f 2+f 1 =2016+11+1=40332．故答案为：40332．10(2024·全国·八年级竞赛)若x 为正数，且x -1x =3，则x x 2-x +1=．【答案】13+112【分析】先求出x 2+1x 2=11，再求出x +1x =13，最后整体代入x x 2-x +1=1x -1+1x进求解即可，此题考查了分式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键．【详解】解：∵x 为正数，且x -1x=3，∴x -1x 2=9，x +1x >0，即x 2+1x 2=11，∴x +1x 2=x 2+1x 2+2=13，∴x +1x =13，∴x x 2-x +1=1x -1+1x =113-1=13+112，故答案为：13+11211(2024·全国·八年级竞赛)已知x =2y +33y -2，则3x -2 3y -2 的值为．【答案】13【分析】本题考查了分式的混合运算，多项式乘以多项式，根据x 的值和题中式子即可求解，根据解题的关键是明确它们各自的计算方法．【详解】解：∵x =2y +33y -2，∴3x -2=6y +93y -2-2=6y +9-6y +43y -2=133y -2，∴3x -2 3y -2 =133y -2×3y -2 =13，故答案为：13．12(2024·全国·八年级竞赛)比较大小：22000+122001+1-22001+122002+10(填“>”、“=”或“<”)．【答案】>【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．设a =22000，根据22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0作答即可．【详解】解：设a =22000，∴22000+122001+1-22001+122002+1=a +12a +1-2a +14a +1=a 8a 2+6a +1>0，故答案为：>．13(2024·全国·八年级竞赛)已知11的小数部分为a ．则a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=．【答案】-31111/-31111【分析】本题考查了分式的混合运算，无理数的估算，分母有理化，先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再求出a 的值，然后代入化简后的结果计算即可．【详解】解：a 2-6a +9a 2+7a +12÷a -3a +4-aa +3=a -3 2a +3 a +4 ×a +4a -3-a a +3=a -3a +3-a a +3=-3a +3，∵3<11<4，∴11的整数部分3，∴a =11-3．∴-3a +3=-31111．故答案为：-31111．14(2024·全国·八年级竞赛)函数y =x -4-2-x -3x -5的自变量x 的取值范围是．【答案】x ≥3且x ≠4且x ≠5【分析】本题考查确定函数自变量取值范围．熟练掌握负整指数幂有意义的条件，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．根据题意得不等式组x -3≥0x -4≠0，x -5≠0求解即可．【详解】解：根据题意，得x -3≥0x -4≠0，x -5≠0∴x ≥3且x ≠4且x ≠5．故答案为：x ≥3且x ≠4且x ≠5．15(2024·全国·八年级竞赛)如果对于分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，则m 的取值范围是．【答案】m <4【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，理解分式有意义的条件是解题的关键．由存在两个数使分式没有意义，则对于x 2+4x +m =0的判别式Δ>0，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵分式3x 2+4x +m，存在两个数使分式没有意义，∴x 2+4x +m =0有两个解，∴Δ=42-4m >0，解得：m <4，∴当m <4时，存在两个实数使原式没有意义．故答案为m <4．二、单选题16(2024·全国·九年级竞赛)要使式子x +6x有意义，则x 的取值范围是()A.x ≥-6B.x ≠0C.x >6D.x ≥-6且x ≠0【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握概念是解题的关键．分子上的二次根式要有意义，根号里面的式子为非负数，且分母不为零，分别求解满足条件的x 值．【详解】∵式子x +6x有意义，∴x +6≥0，x ≠0，∴x ≥-6且x ≠0．故选：D ．17(2024·全国·八年级竞赛)已知1x +1y =2，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的值为()A.74B.72C.5D.12【答案】A【分析】本题考查分式的化简求值，根据1x +1y =2得x +y =2xy ，再将2x +3xy +2y 3x -2xy +3y的分子分母变形为含xy 的式子，即可解题．【详解】解：由1x +1y=2得x +y =2xy ，则2x +3xy +2y 3x -2xy +3y =2x +y +3xy 3x +y -2xy =7xy 4xy =74．故选：A ．18(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x ，y 满足x +y =2，xy =-5，则xy +y x 的值为( )．A.65B.-145C.-65D.-45【答案】B【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将xy +y x通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含x +y ，xy 的代数式，最后将x +y ，xy 的值代入并计算即得答案．【详解】xy +y x =x 2+y 2xy=x 2+2xy +y 2-2xy xy=(x +y )2xy -2，当x +y =2，xy =-5时，原式=22-5-2=-145．故选B．19(2024·全国·八年级竞赛)若分式x-1x -2的值为正数，则x的取值范围是()A.1<x<2或x<-2B.x<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组．【详解】解：∵分式x-1x -2的值为正数，∴x -2>0x-1>0或x -2<0x-1<0，解得：-2<x<1或x>2.故选：C．20(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()A.160米/分B.140米/分C.60米/分D.120米/分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，可逐步求得上下坡的总时间，最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间，计算即得答案．【详解】设上坡的路程为S，则上、下坡的总路程为2S，上坡时间为S80，下坡时间为S80×3=S240，总时间为S80+S240=S60，所以平均速度为2S÷S60=120(米/分)．故选D．21(2024·全国·八年级竞赛)若xx2+x+1=15，则x2x4+x2+1=()A.5B.115C.4 D.14【答案】B【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，根据xx2+x+1=15得出x+1x=4，再将x2x4+x2+1变形为1x+1x2-1，将x+1x=4整体代入求值即可．【详解】解：∵xx2+x+1=1x+1x+1=15，∴x+1x=4，∴x2x4+x2+1=1x2+1x2+1=1x+1x2-1=142-1=115，故选B．22(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0，则x2x4+x2+1的值是( )．A.8B.110C.18D.14【答案】C【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，换元法，由x2-3x+1=0得到x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，得到1A=x2+1x2+1，代入即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键．【详解】解：由x2-3x+1=0知x≠0，∴x+1x=3，∴x2+1x2=7，设x2x4+x2+1=A，则1A=x2+1x2+1=8，∴A=18，即x2x4+x2+1=18，故选：C．三、解答题23(2024·全国·九年级竞赛)若x-3x-2=13+2+1，求1-1x-2÷x-4+1x-2的值．【答案】3+2【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及整体代入法；先化简分式，再由x-3x-2=13+2+1，得到x-2 x-3=3+2+1，变形为1+1x-3=3+2+1，即可求得1x-3的值．关键是由已知变形求得1x-3．【详解】解：1-1 x-2÷x-4+1x-2=x-3 x-2÷x2-6x+9x-2=x-3 x-2·x-2 x-3 2=1x-3；∵x-3 x-2=13+2+1，∴x-2x-3=3+2+1，∴1+1x-3=3+2+1，∴1x-3=3+2，即原式=3+2．24(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a 满足a 2+2a -2016=0，求a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1的值．【答案】-22017．【分析】此题考查了分式的化简求值，先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a 2+2a -2016=0进行配方，得到a +1 2=2017的值，再把它整体代入即可求出答案，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤．【详解】解：由a 2+2a -2016=0可得(a +1)2=2017，a 2-2a +1a 2+5a +4×a +4a 2-1-1a +1=(a -1)2a +1 a +4 ×a +4a -1 a +1-1a +1，=a -1(a +1)2-1a +1，=-2(a +1)2，=-22017．25(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 ，其中x =2．【答案】1x -1，2+1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化，解答时，先进行分式运算，再代入求值即可．【详解】解：x 2-1x 2+x÷x +1x -2 =x -1 x +1 x x +1 ÷x 2+1-2x x =x +1 x -1x x +1÷x -12x =x +1 x -1 x x +1 ⋅x x -1 2=1x -1，当x =2时，原式=12-1=2+1．26(2024·全国·八年级竞赛)如图1，有一个高为hcm 的瓶子，瓶中水面的高度为acm ，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为bcm ，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当a =9,b =15,h =21时，求出这个比值．【答案】a a +h -b ，35【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积×9+底面积×21-15 ，也就是底面积×15；水的体积为底面积×9，即可得到答案．【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，设瓶子的底面积为S ，即Sa +S h -b ；水的体积为Sa ，∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为Sa Sa +S h -b=aa +h -b ，∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×21-15 =底面积×15，水的体积=底面积×9，∴瓶中水的体积：瓶子容积=(底面积×9)：(底面积×15)=35，答：这个比值是35．27(2024·全国·八年级竞赛)(1)求证：1+1n 2+1(n +1)2=1+1n 2+n2；(2)计算：1+112+122+1+122+132+⋯+1+120162+120172．【答案】(1)证明见解析(2)201620162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值，数字规律的运算；对于(1)，先将等式左边通分，再根据完全平方公式整理可得答案；对于(2)，先根据(1)整理得1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 =1+1n -1n +1，再计算加减即可得出答案．【详解】(1)解：1+1n 2+1n +12=n 2n +1 2+n +1 2+n 2n 2n +1 2=n 2n +1 2+2n n +1 +1n 2n +1 2=n n +1 +1n n +12=1+1n 2+n2；(2)由(1)可知1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1=1+1n -1n +1，则原式=1+11-12+1+12-13+1+13-14+⋯+1+12016-12017=1×2016+1-12017=201620162017．28(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×13-4×18×(2015-2016)0；(2)先化简，再求值：x 2-y 2x 2-2xy +y 2+xy -x÷y 2x 2-xy，其中x 、y 满足x +1+(y -3)2=0．【答案】(1)2(2)化简得：x y ；原式=33【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键，(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果；(2)直接利用括号里面因式分解进行化简，再利用分式乘除运算法则化简，再根据二次根式、绝对值的性质得出x 、y 的值，进行代入求出答案．【详解】解：(1)原式=26×33-4×24×1=22-2=2；(2)原式=x -y x +y x -y2+x y -x ×x x -y y 2=x +y x -y -xx -y×x x -y y 2=yx -y ×x x -y y 2=x y．∵x +1+(y -3)2=0，∴x -1=0，y -3=0，∴x =1，y =3，故原式=x y =13=33．29(2024·全国·七年级竞赛)已知a 、b 、c 均为大于1的正整数，且1a <1b <1c ,1a +1b +1c -1abc为正整数．求a +b +c 的值．【答案】10【分析】本题考查异分母分式的加减，先得出1<1a +1b+1c <3c ，求出c =2，进而得出a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc=1，进而可得出答案．【详解】解：因为1a +1b +1c -1abc 为正整数，且a 、b 、c 为大于1的正整数，1a <1b <1c ，所以1<1a +1b+1c <3c ，得1<c <3，所以c =2，∴1a +1b >1-1c =12，得12<1a +1b <2b ，所以c <b <4,∴b =3．∴1a >1-1b -1c =16，得b <a <6，所以a =4或5，当a =4,b =3,c =2时，1a +1b +1c -1abc =2524(舍)．当a =5,b =3,c =2时，1a +1b+1c -1abc=1，所以a +b +c =5+3+2=10．30(2024·全国·八年级竞赛)如果a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，求1a +1b+1c 的值．【答案】-15【分析】本题考查分式的求值，根据a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，得到a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根，进而得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，推出abc =-15，ab +bc +ac =3，即可得出1a +1b+1c 的值．解题的关键是得到x 3+3x +15=x -a x -b x -c ．【详解】解：1a +1b +1c =ac +bc +acabc，∵a 、b 、c 是不同的实数，且a 3+3a +15=b 3+3b +15=c 3+3c +15=0，∴a 、b 、c 都是方程x 3+3x +15=0的根．∴x 3+3x +15=x -a x -b x -c ，∴abc =-15，ab +bc +ac =3．∴1a +1b+1c =3-15=-15．31(2024·全国·八年级竞赛)求值：12+13+14+15+1⋯+12007+11+11+13+14+15+1⋯+【答案】1【分析】本题考查了繁分式的计算，设1+13+14+1⋯+12007=x ，变形计算即可．【详解】解：设1+13+14+1⋯+12007=x ，则原式=11+x +11+1x=11+x +x x +1=1+x1+x =1．32(2024·全国·八年级竞赛)设a ，b ，c 都是实数，若(a -2b +c )2+(a -2c +b )2+(b -2a +c )2=(a -b)2+(b-c)2+(c-a)2，求分式2ab2+7(2ab+6)2bc2+7(bc+3)的值．【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的性质．设a-b=x,b-c=y,c-a =z，得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①，x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②，由①+②得x2+y2+z2=0，求出x=y=z=0，则a=b=c，代入进行变形求值即可．【详解】解：设a-b=x,b-c=y,c-a=z，由已知得：(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2，故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0，①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0，②①+②得x2+y2+z2=0，故x=y=z=0，则a=b=c，∴原式=22a3+7a2+32a3+7a2+3=2．。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
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中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2 （C ）2 （D ）22（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围OAB CE6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ． 7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
根分别为8（甲）. 如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 ．8（乙）．设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .9（甲）. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 . 9（乙）．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则ac的取值范围是 . 10（甲）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的xyO ECABD10（乙）．已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11（甲）．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴负半轴上，点B 、C 分别在x 轴正、负半轴上，48,,sin 5AO AB AC C ==∠AB =。
点D 在线段AB 上，连结CD 交y 轴于点E ，且COE ADE S S ∆∆=。
试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式。
12（甲）. 如图，⊙O 的直径为AB ，1O 过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与1O 交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与1O 交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.13（甲）. 已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.13（乙）．给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．14（甲）. 求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，， ，，满足122012x x x <<<，且122012122012n x x x +++=. 14（乙）．将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， （可以相同），使得b a c =，求n 的最小值．参考解答一、选择题1(甲) .C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知b a c<<<，且b c>，所以||||()()()a b b c a a b c a b c++=-+++--+a=-．1（乙）．B解：1111111223a+=+=++++111===．2（甲）．D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y ， 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，； 22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，； 22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，； 22(1)1(1) 1.x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，； 12x y =⎧⎨=⎩，； 10x y =⎧⎨=⎩，； 01x y =⎧⎨=⎩，； 00x y =⎧⎨=⎩，； 02x y =⎧⎨=⎩，； 21x y =⎧⎨=⎩，； 20x y =⎧⎨=⎩，； 22.x y =⎧⎨=⎩， 以上共计9对x y （，）. 3（甲）．D解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=.3（乙）．B解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE . 由于AC = BC ，CD = CE ，∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE ， 所以△BCD ≌△ACE ， BD = AE .又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒. 在Rt △ADE 中，53AE AD ==，， 于是DE 224AE AD -=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩，，消去x 得 (2y －7)n = y +4， 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q -<，故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知，当3x =时，0y >，所以2330p q -->，即 39p q +<. 由于p q ，都是正整数，所以1p =，1≤q ≤5；或 2p =，1≤q ≤2，此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意． 5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636p p p p ====，，，，因此3p 最大． 5（乙）．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=++++， 解得 1101x +=，100x =．二、填空题6（甲）．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487， 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x ≤19．6（乙）.7解：在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c7（甲）．8解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以21AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以23AN AF =.在Rt △ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以225AF AB BF a =+=，于是 25cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB ∠=∠，0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25cos AM AE BAF =⋅∠， 2453MN AN AM AF AM =-=-=，415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=，所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =8MND S ∆=.7（乙）.285解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为22201216OB -=，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===， 22366455CM OC OM BM =-==，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8（甲）．32-解：根据题意，关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0，由此得 (k －3)2≤0．又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0，解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-．8（乙）.1610解：()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此45|(9)n +，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1610个数9（甲）．8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知23130a b +=，由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，87≤(1)(2)m m ++≤130，由此得 8m =，或9m =.当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，5522a b a +>=，不合题设. 故8m =． 9（乙）.1253≤<-ca解：依题意得：(1)111(2)a b c b c a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩，所以a c b ->，代入（2）得c a c c b a 11111+-<+<，两边乘以a 得 c a a c a +-<1，即a c ac a c -<-，化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得 23()10a a c c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤ca综合得1253≤<-c a 另解：可令ak c=，由（1）得(1)b k c >-，代入（2）化简得2310k k -+<，解得 353522k -<<，另一方面：a ≤b ≤c ，所以1k ≤， 综合得3512k <≤． 10（甲）．223解：如图，连接AC ，BD ，OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ， 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，， 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =22AD ，故ADCF BCBA =⋅=2=. 10（乙）.12解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数，即4n k =，当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，），则： 2k p k p ==或，其中p 是素数，因此，k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n 有12个。