广义哈密顿系统理论及其应用2版(李继彬,赵晓华,刘正荣著)思维导图
哈密顿原理
（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事 实，力学的任务是对运动作出正确的描 述。矢量力学的理论是指出一切真实运 动所应服从的规律，并以此为依据，去 论断各个具体运动的特征。可是分析力 学并不这样。分析力学研究约束所允许 的一切可能运动，设法在可能运动所构 成的集合中把真实运动挑选出来。由此 可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一 种数学理论，它是由力学中最 速落径问题的诱导而发展起来 的。由伊凡· 贝努力提出来的最 速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连 接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无 初速的质 点在重力作用下沿哪一条 曲线轨道从A滑到B所需时间最短？ 显然，下滑时间与曲线形状有 关。
欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '
微分几何入门与广义相对论.下册_2版(梁灿彬,周彬[著])PPT模板
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演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
目录
1
下册前言
2
第15章广义相对论的拉氏和哈氏形
式
3
第16章孤立视界、动力学视界和黑
洞(热)力学
4
附录H时空对称性与守恒律
(Noether定理)
5
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
6
附录J德西特时空和反德西特时空
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
§I.2主丛上的联络
0 1 I.2.1主丛联络的三个等价定义 0 2 I.2.2水平提升矢量场和水平提升曲
线
附录I纤维丛及其在规范场论的应用
§I.4物理场的整体规范不变性
02
I.4.2非阿贝尔情况 下的整体规范不变
性
01
I.4.1阿贝尔情况下
的整体规范不变性
3
哈氏理论的几何表述
[选读]
4
§15.4经典场论的哈 氏形式
第15章广义相对论的拉氏和哈 氏形式
§15.7辛几何及其在哈氏理论的 应用[选读]
§15.8从几何动力学到联络动力 学——Ashtekar新变量理论简 介[选读].
习题
第15章广义相对论的拉氏和哈氏形式
§15.1拉氏理论
15.1.2经典 场论的拉氏 形式
第零定律
04 1 6 . 5 . 4 弱孤 立视界
05 1 6 .5 .5 弱孤 立视界
和孤立视界的对称性
第一定律
第16章孤立视 界、动力学视界 和黑洞(热)力学
§16.6弱孤立视界的进一步讨 论[选读]
0 1 16.6.1类光超曲面上的适配“面元” 0 2 16.6.2“度规”和适配“面元”的广
图论-哈密尔顿图-课内专题报告
{n-3,n-1},{n-1,1}组成。这条哈密顿圈与第一条圈没有公共边。当n ≥7时，按照这种
k 2 方法把图？中的圈旋转角度 n 1 ，其中2 ≤k ≤(n-3)/2，就得到总数为(n-1)/2条哈密顿
圈，它们满足任意两个圈没有公共边。所以这17名学生在此科学营地中一直可以共进 (17-1)/2=8天午餐，直到某些同学不得再次坐在其它人旁边。 5 5 7 n-2 3 3 2 4 1 n 2 1 n n-1 (b)
2014-4-14 图论之哈密尔顿图 16
Xi’an Jiaotong University
定理 3 设G =(V,E)是一个无环图并且|V| 2。如果对于所有的x,y V并且x y 都有deg(x)+deg(y) n-1,则G中有哈密顿路径。 使得x是C1中的一个顶点，y是C2中的一个顶点。设Ci具有n i 个顶点，其中i=1,2。 则deg(x) n1 1， deg( y ) n2 1, 从而有 deg( x) deg( y) ( n1 n2 ) 2, 这就与定理中 给出的条件矛盾。因此,G是连通的。 现在构造G中的一条哈密顿路径。对于m 2，pm是长度为m 1的路径
2
Xi’an Jiaotong University
哈密尔顿周游世界问题
1857年，著名的爱尔兰数学家Sir William Hamilton设计了一个游 戏：它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当 时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游 过的城市 ，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游 过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示。给定世界上20个 城市，用一个代表地球的十二面体的20个顶点分别代表这20个城市。 从某一个顶点出发，沿着十二面体的棱，经过每个顶点恰好一次， 最后回到出发点。
24-哈密尔顿图
F
C
C
E
D
E
D
旅行推销员(TSP)问题 问题 旅行推销员
问题：n个城市间均有道路，但距离不等，旅行推销员从某地出发， 走过其它n-1个城市，且只经过一次，如何选择最短路线？ 数学模型： 构造无向带权图G， VG中的元素对应于每个城市， EG中每个元素 对应于城市之间的道路，道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图， 总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此，问题是如何 从这n!/2条中找出最短的一条。 (给你一点感觉 给你一点感觉：含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约 给你一点感觉 6000万亿条-(1.21645×1017)/2，若机械地检查，每秒处理10万条， 需2万年。)
若v1,vk相邻，结论成立。 若v1,vk不相邻，令T={vj|vj与vk相邻} ，S={vi|v1与vi+1相邻} ； 注意：|S|+|T|= d(v1)+d(vk)≥n-1, |S|+|T|= Qvk∉S⋃T, ∴|S⋃T|≤k-1<n-1, ∴|S⋂T|=|S|+|T|-|S⋃T|>0, 即 ⋃ ⋃ ⋂ ⋃ S⋂T非空，令vi∈S⋂T, 则vi+1与v1相邻，vi与vk相邻。于是 C=v1…vivkvk-1…vi+1v1是包含Γ中所有顶点的初级回路。
闭合图与哈密尔顿图的判定
图G是哈密尔顿图当且仅当C(G)是哈密尔顿图。 只须证明在构造闭合图(加边)过程中的每一步，图的哈密 过程中的每一步，
尔顿性质均双向保持
若u,v∈VG, u,v不相邻，且d(u)+d(v)≥|VG|，则G是哈密尔顿 图当且仅当G+e(u,v)是哈密尔顿图。 必要性显然。 反之，若G+{uv}是哈密尔顿图，但G不是，则G是半哈 密尔顿图，且uv-路径是哈密尔顿通路，由 d(u)+d(v)≥|VG|，可以将uv-路径改造成哈密尔顿回路， 矛盾。
经典力学的哈密顿理论课件
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
广义哈密顿原理书籍-概述说明以及解释
广义哈密顿原理书籍-概述说明以及解释1.引言概述部分介绍了文章的整体内容和目的。
可以根据广义哈密顿原理的概念和研究领域，给出以下内容：概述部分（1.1 概述）：广义哈密顿原理作为经典力学的重要原理之一，是描述物理系统运动的一种数学工具。
该原理由数学家和物理学家威廉·哈密顿于1834年首次提出，并在之后的几个世纪里得到了广泛的应用和发展。
本文旨在探讨广义哈密顿原理的基本概念、历史发展以及应用领域，并深入阐述其在物理学研究中的重要性。
通过对广义哈密顿原理的深入理解和探索，有助于我们更好地理解物理系统的运动规律和宏观现象的涌现。
在本文的正文部分，我们将首先介绍广义哈密顿原理的定义，包括其数学形式和基本假设。
接着，我们将回顾广义哈密顿原理的历史发展，了解其在物理学研究中的重要里程碑和贡献。
然后，我们将探讨广义哈密顿原理的应用领域，包括经典力学、量子力学、相对论以及其他学科领域中的应用案例。
最后，我们将总结广义哈密顿原理的关键要点，并展望其未来的发展方向。
通过本文的研究，我们将深入了解广义哈密顿原理的数学和物理背景，掌握其在物理学中的重要性和应用方法。
同时，我们也将思考广义哈密顿原理对于理解和解释自然界中各种现象的意义和启示。
总之，本文将为读者提供一份关于广义哈密顿原理的综合介绍和分析，希望能对物理学和科学研究的发展做出一定的贡献。
文章结构是撰写一篇长文的基本框架，它有助于读者更好地理解文章的内容和思路。
本文按照以下结构来组织：一、引言部分1.1 概述：对广义哈密顿原理进行简要介绍，包括其定义、起源和重要性。
1.2 文章结构：本节内容1.3 目的：说明本文撰写的目的，即通过介绍广义哈密顿原理的书籍，向读者推荐一些值得阅读的文献，帮助读者更好地理解和应用广义哈密顿原理。
二、正文部分2.1 广义哈密顿原理的定义：详细介绍广义哈密顿原理的概念和基本原理，包括其在物理学领域的应用以及数学表达方式等方面。
第5章 分析力学
等时变分
分 微 fi (rrj ,t) = 0 等时变分
∑N j
∂∂rfrij
⋅ drrj
+
∂fi ∂t
dt
=
0
∑N j
∂∂rfrij ⋅δ rrj = 0
等时变分运算与微分运算类似，但δt = 0。
将向径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方 程进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。
例：
x θ l 刚性杆
给定了某一时刻质点的坐标和速度, 由动力学方程原 则上单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下 一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。
以此类推, 当知道某一时刻的状态，就知道了体系在 任一时刻的状态。
2. 约束
约束是对物体运动位置或速度的限制。
几乎所有的力学系统都存在着约束。
例如，刚体内任意两质点间距离不变； 两个刚体用铰链连接；轮 子无滑动地滚动；两个质点用不可伸长的绳连接等。
牛顿定律
变分原理
牛顿力学
分析力学
以力、加速度等向 量为基本物理量— 向量力学
以功、能量等 标量为基本物 理量。
本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为 两个并列的理论基础。
拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的 运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.
哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立 变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.
如前例: 圆环在地面上作纯滚动，如果θ = θ (t ) ，则4个
坐标相互独立，但xc、yc的微分
dxc = R cosθ dϕ , dyc = R sinθ dϕ ,
并不独立。因此， 广义坐标数为4， 自由度为2。
对偶求解体系
课程名称：现代计算力学课程编号：课程类型：非学位课考核方式：考试、考查学科专业：结构工程年级：研一姓名：邢晨鹏学号： 10076130065河北工程大学 2013～2014 学年第二学期研究生课程论文报告对偶求解体系及其精细积分法学院：土木工程学院专业：结构工程姓名：邢晨鹏学号： 10076130065摘要：本文主要介绍了哈密顿体系的求解步骤，将哈密顿求解体系推广应用于弹性地基上的铁摩辛柯梁问题。
首先导出了梁的总是能，然后采用拉格朗日函数导出拉格朗日方程，最后提出哈密顿函数及哈密顿正则方程。
弹性地基上的梁的哈密顿理论成果将为研究铁摩辛柯里梁解析解和有限元解提供新的有效工具。
关键词：哈密顿求解体系；拉格朗日方程；对偶方程；变分原理；精细积分法；正则方程Abstract:This paper mainly introduces the solution procedure of Hamiltonian system, the Hamiltonian solution system is applied to the elastic foundation on elastic Timoshenko problem. Firstly deduced beam can always, then the Lagrange function to derive the Lagrange equation , the final Hamiltonian and Hamiltonian canonicalequation is proposed. Hamiltonian theory . Hamiltonian theory of beam on elastic foundation for the study of the Timoshenko beam analytical solution provides a new effective tool and finite element solution 。
理论力学-哈密顿理论在物理学中的应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
E1 t
j1
0
1 o
B1 x3
B3 x1
o
E2 t
j2
0
1 o
B2 x1
B1 x2
o
E3 t
j3
0
将它们结合起来写成矢
E
量形式
:
B oo t o j
这就证明了电磁场的运 动方程确定可纳入到
拉格朗日方程的理论体 系中去。
第10页
§8.3 薛定谔波动力学方程建立
采取经典力学哈密顿理论，加上电子含有波粒二 象性假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。 氢原子哈密顿函数为
和时间无关，F(x, y, z)就是莫培督作用函数。
2、把(1)式看作是哈密顿原理变 形而来。
S t2 Ldt 0 t2 Ldt 0 L 0
t1
t1
即L L(x, y, z)dxdydz 0，这就是(1)式。
作这样的理解，(1)式中的函数F(x, y, z)就是电子
的拉格朗日密度。
1、考虑广义坐标 所对应的拉格朗日方程
L
,
L
/ xi
o
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
/
t)
i
oE
，
j
L
0，代入拉格朗日方程得
：
o
i
Ei 0 xi
将上式写成矢量形式就 是 E / o
第8页
d
dt
L k
3 j1
d dx j
L
(k / xj )
L k
0
L (oE2 B2 / o ) / 2 j A
q1
q1 q1
q1
Q1 q2
Qs P1 q2 q2
《哈密顿原理》PPT课件
则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s
q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如
哈密顿量和广义能量
哈密顿量和广义能量1.引言1.1 概述概述部分将介绍哈密顿量和广义能量的概念，并提供一些背景信息。
哈密顿量是物理学中一个重要的概念，用来描述系统的能量和运动的演化。
广义能量则是与哈密顿量密切相关的一个概念，它更加普遍地描述系统的能量和动力学性质。
在物理学中，哈密顿量是描述系统所有位置和动量的函数，它是描述经典力学和量子力学中系统演化的核心数学工具之一。
哈密顿量的求解可以帮助我们理解物理系统的行为，并在广泛的领域中找到应用，如粒子物理学、动力学、电磁学等。
通过哈密顿量，我们可以获得系统的能量、守恒定律、运动方程等重要信息。
然而，哈密顿量的应用不仅限于经典力学和量子力学，它在相对论物理中也扮演着重要的角色。
相对论物理中的广义能量概念将在本文中详细讨论。
广义能量是描述系统的能量和动力学行为的理论框架，它包含了相对论效应和引力的影响，可以更准确地描述引力场中物体的运动和能量变化。
本文将探讨哈密顿量和广义能量的定义、性质以及它们在物理学中的应用。
我们将详细讨论哈密顿量的意义以及与系统能量和运动之间的关系。
同时，我们还将介绍广义能量的概念和背景，并探讨它在相对论物理中的应用。
通过对哈密顿量和广义能量的分析，我们可以更深入地理解系统的动力学性质和能量变化规律。
同时，我们也可以展望一些未来对哈密顿量和广义能量的研究方向，以推动物理学领域的进一步发展。
随后的正文将细分为2.1节和2.2节，分别讨论哈密顿量和广义能量的定义、性质以及应用。
最后，在结论部分，我们将总结哈密顿量和广义能量的关系，并展望未来对它们的研究方向。
通过文章的阐述，我们希望读者能够更加深入地理解和应用哈密顿量和广义能量在物理学中的重要性。
1.2文章结构1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。
具体结构如下：引言部分将对整个文章的背景和目的进行概述，确立研究的重要性和必要性。
首先，将简要介绍哈密顿量和广义能量的概念，阐明它们在物理学和相关领域的重要性。
哈密顿力学
§5-3 正则方程
1.从拉格朗日方程到正则方程
统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的 描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。
根据哈密顿函数的定义
d H d L s p q & s(q & a d p a p a d q & a ) d L
1
a 1
d dt q & L q L =0
d dx
f y
'
f y
0
欧勒方程
例：求最速落径方程
解：已知
f
1 y '2 ， 2gy
根据欧勒方程
d f
dx
y
-
f 0. y
f 1 1 y '2 y 3 / 2 ; f 1 (1 y '2 ) 1/ 2 y
y 2 2g
y 2gy
d
dx
1 2gy
(1
y
'2 ) 1/ 2
Q qt1 qt2 0
t1 t2s1qL d dtq & L qdt0
Qq 是 任 意 的
d dt q & L q L 0
(1,2...s)
三. 哈密顿原理的意义
➢哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义, 它是建立在描述 体系运动总体效果----积分形式的基础之上，与采用什么样的 广义坐标（坐标系）无关，因此只要适当引进拉格朗日函数 （对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉 格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建 立整个分析力学的体系.
T [ y ( x ) ] x2 f ( y , y ', x ) d x 可 以 证 明 泛 函 T [ y ( x ) ] 取 极 值 的 条 件 是 其 x1
一类4维Lotka-Volerra系统的Hamilton结构及动力学
一类4维Lotka-Volerra系统的Hamilton结构及动力学赵晓华;戴灿华【摘要】It was studied a four dimensional Lotka-Volterra (LV) system with Hamiltonian structure. The results showed that the LV system had at least three different families of periodic solutions for generic parameters , and it was nonintegrable for small a23 ≠0 and Hamiltonian chaos might occur.%运用动力系统的方法研究了一类具有Hamilton结构的4维保守型Lotka-Volterra系统.结果显示:这类系统具有很复杂的动力学性质,相空间包含至少3族周期轨道；对一般参数,这个系统是不可积的,会出现Hamilton混沌.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)003【总页数】5页(P241-245)【关键词】Lotka-Volterra系统;Hamilton结构;周期解;Lyapunov指数;Hamilton混沌【作者】赵晓华;戴灿华【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华 321004【正文语种】中文【中图分类】O19;O75.140 引言本文涉及的Lotka-Volterra系统是指下面的常微分方程组:式(1)中:xj表示第j个物种的种群密度;A=(ajk)称为作用矩阵，表示物种间的相互作用关系;εj是与环境相关的参数．自19世纪20年代Lotka和Volterra分别在研究化学反应和生物问题时提出上述Lotka-Volterra(LV)系统以来，方程组(1)已经被广泛应用于物理、化学、生物、动态博弈论、经济和其他的社会科学中，成为应用数学领域中一个重要的微分方程模型，还被应用于许多热门学科，如神经网络、生物反应、细胞演化和病毒传播等［1-6］，LV系统受到数学及其他学科领域的关注越来越多．在过去的80多年里，对LV系统的理论及应用研究成果大量涌现［7-8］．但是，除了2维的Lotka-Volterra系统的动力学性质和一些特殊类型的高维Lotka-Volterra系统已分析清楚外，一般的高维Lotka-Volterra系统的动力学性质还远远没有弄清楚，有待深入研究．研究表明，Lotka-Volterra系统的动力学性质和它的作用矩阵的代数性质有着密切的关系．根据作用矩阵A的不同性质，Lotka-Volterra系统可分为3类［5］(定义1)．定义1 具有作用矩阵A=(aij)的Lotka-Volterra系统称为:1)合作型(或竞争型)，如果对任意i≠j，aij≥0(aij≤0);2)保守型，如果存在一个正对角矩阵D＞0，使得AD是反对称的;3)耗散型，如果存在一个正对角矩阵D＞0，使得在二次型意义下AD≤0．对于耗散型系统，考虑到模型的实际应用，更值得研究的是稳定耗散系统，即作用矩阵A及其对非零元素的小扰动所得的矩阵˜A均为耗散型．以往的研究主要涉及合作(或竞争)型LV系统，对保守型和耗散型系统的研究相对较少［5-7］．其中特别值得注意的是1998年Duarte等在文献［5］中对这两类系统的研究，他们证明:保守型LV系统若存在正平衡点，则它具有广义Hamilton 结构，可以表示为Poisson流形上的广义Hamilton系统;而具有正平衡点的稳定耗散LV系统存在一个整体吸引集，其上的动力学控制方程是一个较低维数的具有广义Hamilton结构的保守型LV系统．关于Hamilton和广义Hamilton系统的相关知识可参阅文献［9-10］．根据Duarte等的这些结论可以得出，若这个吸引集是单点集，则原LV系统是全局渐进稳定的;若吸引集不是单点集，则需进一步研究吸引集上的子系统的轨道性质．因此，为了弄清稳定耗散系统在吸引集上的动力学性质，本质上就是要研究具有广义Hamilton结构的保守型LV系统的动力学性质．本文研究了一类具有广义Hamilton结构的4维保守型LV系统，这个系统包含至少3族周期轨道，而对一般的参数是不可积的，并且会出现Hamilton混沌．进而也表明:一般而言，稳定耗散LV系统吸引集的结构可能非常丰富而复杂，值得深入系统地研究．1 Hamilton结构及平衡点稳定性分析本文考虑如下的4维Lotka-Volterra系统:对应的作用矩阵为式(3)中:已被标出的元素aij≠0;aijaji＜0．考虑到系统(2)的特殊结构及实际应用背景，只对不变区域在假设条件aijaji＜0下，系统(2)实际上是一个保守型系统，因为可取对角矩阵D=diag(d1，d2，d3，d4)的对角元素为则可使DA为反对称矩阵．进一步，容易验证变换xj→djxj保持系统(2)的形式不变，但作用矩阵变为DA，为反对称矩阵．因此，不失一般性，直接假定系统(2)的作用矩阵(3)满足以下条件:容易验证，若参数 bj(j=1，2，3，4)满足条件则系统(2)存在唯一正平衡点另一方面，在光滑函数空间C∞(R4+)上定义Poisson括号{·，·}为式(8)中，A=(ajk)是满足条件式(5)的系统(2)的作用矩阵．根据辛流形及其上定义的Hamilton系统的理论［9］，直接验证可知{R4+，{·，·}}构成一个4维辛流形，并且有命题1成立．命题1 在假设式(5)和式(6)成立的情况下，LV系统(2)是4维辛流形{R4+，{·，·}}上的 Hamilton系统，可将系统(2)改写为如下Hamilton形式:作为Hamilton系统的重要性质之一，Hamilton函数H(x)是LV系统(2)的首次积分，即H沿着系统DH(q)=0，并且Hess矩阵D2H(q)正定，从而根据Dirichlet稳定定理［10］可证得命题2．命题2 在假设式(5)和式(6)成立的条件下，LV系统(2)的正平衡点q是Lyapunov稳定的．最后，利用 Morse引理［11］得:对任意 h＞0，水平集Mh={x∈R4+|H(x)-H(q)=h}拓扑等价于一个3维球面S3．2 周期轨道为进一步研究系统(2)的周期解，先介绍下面的Lyapunov中心定理［10］．引理1(Lyapunov中心定理) 设(M，Ω)是一个2n维辛流形，XH是定义在M上的Hamilton向量数，则存在XH的一个过平衡点q的2维不变流形，其上充满围绕q的周期轨道，它们的周期随着轨道逼对于系统(2)的唯一正平衡点q，简单计算即可得到其相应的特征方程为式(10)中:由式(5)和式(6)知 P ＞0，Q ＞0，Δ =P2-4Q ＞0．于是可得命题3．命题3 在式(5)和式(6)成立的条件下，系统(2)在正平衡点q处的特征方程(10)有2对简单共轭纯虚根，分别为:由上述命题看出，在式(5)和式(6)成立的条件题2，可以得定理1和定理2．定理1 在式(5)和式(6)成立的条件下，系统(2)至少存在1个过平衡点q的2维不变子流形Π1，数，则存在另一个过q的2维不变流形Π2，其上充满围绕q的周期解，随着这些周期解收缩到q，其相应系统(2)除了以上周期解外，还可能存在其他周期解．容易验证，若系统(2)中的a23=0，但式(5)和式(6)中的其他式子仍满足，则系统变为2个独立的2维LV系统:此时系统是可积的，并有2个独立的首次积分:而且在平衡点q处的特征值为2对简单纯虚根:因此，系统(12)的轨道由2个子系统的轨道(均为周期轨道)组合而成，分布于I1(x)和I2(x)确定的水平集上，这个水平集由轨道的初值确定，拓扑等价于2维环面S1×S1，仅当2个子系统解的周期之比为有理数时，对应的4维系统(12)的解才是周期解，否则为拟周期环面解．特别地，若(φ1(t，I1)，φ2(t，I1))和(φ3(t，I2)，φ4(t，I2))分别是 2 个子系统的周期解，则(φ1(t，I1)，φ2(t，I1)，q3，q4)和(q1，q2，φ1(t，I2)，φ2(t，，I2))就是对应 4 维系统(12)的 2 个周期解，而且易证它们都是Hamilton系统(2)在参数a23=0时的椭圆型周期解．根据Hamilton系统的性质，当a23≠0充分小时，Hamilton系统(2)仍然存在2个与它们对应的周期解．定理2 在式(5)和式(6)成立的条件下，当a23≠0充分小时，系统(2)存在2族分别对应于(φ1(t，，I1)，φ2(t，I1)，q3，q4)和(q1，q2，φ1(t，I2)，φ2(t，，I2))的周期解．3 不可积性与Hamilton混沌根据Hamilton系统中的Liouville完全可积性定义［9-10］，若4维系统(2)还存在一个独立于Hamilton函数H(x)的首次积分I(x)，则它的解均在H(x)和I(x)确定的水平集上，而这个水平集是紧致的(H(x)的水平集拓扑等价于3维球面)．故由完全可积性定理知，该水平集拓扑等价于2维不变环面，其上若存在周期解，则必属于定理1中那两族之一．另一方面，对充分小的a23≠0，系统(2)在式(5)和式(6)成立的条件下至少有3族非退化的周期轨道．因此，可得定理3．定理3 对充分小的a23≠0，系统(2)在Liouville意义下是不可积的．下面用Lyapunov指数来数值论证系统(2)是否出现Hamilton混沌．Lyapunov指数是反映一个动力系统是否存在混沌的主要工具［12］．若所考虑的动力系统存在正的Lyapunov指数，则可认为系统是混沌的．对于系统(2)，若取参数a12=a23=a34=1，b1=b3=-1，b2=b4=1，则用数学软件Maple计算该系统的最大Lyapunov指数，结果如图1所示．图1 Lyaounov指数从图1可看到，系统(2)的4个Lyapunov指数中有2个为0，另外2个Lyapunov指数为±0．445．因此，此系统是混沌的．参考文献:［1］Hofbauer J，Sigmund K．Evolutionary games and population dynamics［M］．Cambridge:Cambridge University Press，1998．［2］Xia Yonghui．New results on the global asymptotic stability of a Lotka-Volterra system［J］．Appl Math Comput，2011，36(1/2):117-128．［3］Svirezhev Y M．Nonlinearities in mathematical ecology:Phenomena and models:Would we live in Volterra's world?［J］．Ecological Modelling，2008，216(2):89-101．［4］Upadhyay R K．Observability of chaos and cycles in ecological systems:Lessons from predator-prey models［J］．International Journal of Bifurcation and Chaos，2009，19(10):3169-3234．［5］Duarte P，Fernandes R L，Oliva W M．Dynamics of the attractor in the Lotka-Volterra equations［J］．Journal of Differential Equations，1998，149(1):143-169．［6］Zhao Xiaohua，Luo Jigui．Classification and dynamics of stably dissipative Lotka-Volterra systems［J］．International Journal of Nonlinear Mechanics，2010，45(6):603-607．［7］赵晓华，吴红颖．保守型Lotka-Volterra系统的Hamilton结构与周期解［J］．浙江师范大学学报:自然科学版，2007，30(3):246-250．［8］Picard G，Johnstone T W．Instabillity cascades，Lotka-Volterra population equations，and Hamilton chaos［J］．Physical Review Letters，1982，48(23):1610-1613．［9］李继彬，赵晓华，刘正荣．广义哈密尔顿系统理论及其应用［M］．2版．北京:科学出版社，2007．［10］Meyer K R，Hall G R，Offin D．Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem［M］．2nd ed．NewYork:Springer，2009．［11］Milnor J．Morse theory［M］．New Jersey:Princeton University Press，1969．［12］Ott E．Chaos in dynamical systems［M］．2nd ed．Cambridge:Cambridge University Press，2002．。
广义动量定理与系统思考概论(PDF 30页)
广义动量定理与系统思考——战争、管理学与经济学通论第五篇管理学通论2.8 广义速度V与管理理论广义动量定理Fαt=MV中，增加广义速度V，可以增加成果MV。
有三大生产方法可以增加广义速度V，分别为福特的流水线生产，大野耐一的丰田生产方式和高德拉特的TOC制约理论。
加快产出速度V是工厂的主要目标，高德拉特说：“加快流动（或缩短生产所需时间）是工厂的主要目标。
”；大野耐一说：“我们所做的，其实就是注意从接到顾客订单到向顾客收帐这期间的作业时间，由此剔除不能创造价值的浪费，以缩短作业时间。
”三种生产理论是广义动量定理与系统思考的结合，广义动量定理用来产生成果MV，系统思考用来指导何时产生，产生多少，产生什么样的成果才能使系统的产出最大化。
在三大生产理论中，以广义动量定理所阐述的工业工程来增加成果，以系统思考的负反馈来指导生产。
2.8.1 福特的流水线生产流水线生产，指劳动对象按一定的工艺路线和统一的生产速度，连续不断地通过各个工作地，按顺序地进行加工并生产出产品的一种生产组织形式。
它是对象专业化组织形式的进一步发展，是劳动分工较细、生产效率较高的一种生产组织形式。
亨利•福特(Henry Ford)于1913年在密歇根州的Highland Park，建立的生产系统。
1913年，福特应用创新理念和反向思维逻辑提出在汽车组装中，汽车底盘在传送带上以一定速度从一端向另一端前行。
前行中，逐步装上发动机，操空系统，车厢，方向盘，仪表，车灯，车窗玻璃、车轮，一辆完整的车组装成了。
在手工生产时代，每装配一辆汽车要728个人工小时，而福特的简化设计，标准部件的T型车把这缩短为12.5个小时。
进入汽车行业的第十二年，亨利福特终于实现了他的梦想，他的流水线的生产速度已达到了每分钟一辆车的水平，五年后又把进一步缩短到每十秒钟一辆车，生产效率提高了4488倍。
流水线是怎样提高速度的？流水线把生产工序被分割成一个个的子过程，每个子过程可以和其他子过程并行运作提高速度。
3-2哈密顿函数和正则方程
y
ω
x
mg
o x
V mgy
y
x
2
y
xx 2a
4a
L T V
1 2
2 2 2 2 2 m x ( 1 x / 4 a ) x mgx
2
/ 4a
H T2 To V
正则方程
p H 2 p ml H p mgl sin
g sin 0 消去 p 得： l
当 5 时 ， sin
为简谐振动
g 0 l
例5：如图所示，匀质绳质量为 m ，长为 l ，一半放在光滑桌面上， 另一半垂挂于桌外，绳无初速下落，问绳全部离开桌面的瞬间，速 度多大？ （用正则运动方程求解） 解：建立如图坐标系，取x为广义坐标，以桌面为重力势能零点。
j1
j
s
j
d q j q j dp j） dL
L
其中
L dL dq j1 q j
（ p
j1 s j
L dq j dt q j t
L t dt
dq
j
p j d q j）
dH （ p j d q j q j dp j） dL , dL
L T V
由 px
动能 T
1 2
mx
2
mgx 2l px
m
2
yห้องสมุดไป่ตู้
x x
L x
1 2
m x 得： x