河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试理数试题

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河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题

2017—2018学年高三一轮复习周测卷（一）理数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列说法正确的是A ．0与{}0的意义相同B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．集合{}(,)|32,x y x y x N +=∈是有限集D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素2、已知集合2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈，则A B =A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}0,1,23、设命题2:"1,1"p x x ∀<<，则p ⌝为A ．21,1x x ∀≥<B ．201,1x x ∃<≥C ．21,1x x ∀<≥D ．201,1x x ∃≥≥ 4、已知集合2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-，则集合AB = A ．1[0,)2 B ．[0,1]C ．1(,1]2D ．1(,)2+∞5、设,a b R ∈，则“22log log a b >”是“21a b ->”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 A ．1(0,)2 B ．1[0,)2 C ．1(0,]2 D ．1[,1)27、已知命题2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，命题2000:,210q x N x x ∃∈--≤，则下列选项中是假命题的为A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝8、已知集合{|A x y A B φ===，则集合B 不可能是 A ．1{|42}x x x +< B ．{(,)|1}x y y x =- C ．φ D ．22{|log (21)}y y x x =-++9、设1,:()[(1)]0p q x a x a ≤---≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是A ．3[1,]2 B ．3(1,)2 C ．3(,1)[,)2-∞+∞ D ．3(,1)(,)2-∞+∞10、已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是A ．{}(,2]1-∞B ．(,2][1,2]-∞C ．[1,)+∞D ．[2,1]-11、对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*”，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n *=+；当,m n 不全为正奇数时，m n mn *=，则在此定义下，集合{(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈ 的真子集的个数是A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421-12、用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩ ，若22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能的取值集合是，则A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知含有三个实数的集合既可表示成{,,1}b a a ，又可表示成2{,,0}a a b +，则20172017a b +等于 14、已知集合2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是15、已知集合{1,1},{|20}A B x ax =-=+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为16、下列说法错误的是 (填序号)①命题“1212,,x x M x x ∃∈≠，有1221[()()]()0f x f x x x -->”的否定是“1212,,x x M x x ∃∉≠，有1221[()()]()0f x f x x x --≤”； ②若一个命题的逆命题，则它的否命题也一定为真命题； ③已知21:230,:13p x x q x +->>-，若()q p ⌝∧为真命题，则实数x 的取值范围是(,3)-∞- (1,2)[3,)+∞④“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知集合2{|3327},{|log 1}x A x B x x =≤≤=> .（1）分别求,()R A B C B A ；（2）已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.18、（本小题满分12分）（1）已知:p ，关于x 的方程240x ax -+=有实数，:q 关于x 的函数224y x ax =++在区间[3,)+∞上是增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围；（2）已知22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19、（本小题满分12分）集合219{|()(3)0},{|ln()0}24A x x x B x x ax a =--==+++=（1）若集合B 只有一个元素，求实数a 的值；（2）若B 是A 的真子集，求实数a 的取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数()41log ,[,4]16f x x x =∈的值域是集合A ，关于x 的不等式31()2()2x a x a R +>∈的解集为B ，集合5{|0}1x C x x -=≥+，集合{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->. （1）若A B B =，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数()f x =A ，集合22{|290}B x x mx m =-+-≤. （1）若[2,3]A B =，求实数m 的值；（2）若12,()R x a x C B ∀∈∃∈，使21x x =，求实数m 的取值范围.22、（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，1212()[()()]0x x f x f x -->，设:p “2(3)(128)0f m f m ++-<”.（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）设:q 集合{|(1)(4)0}A x x x =+-≤与集合{|}B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.。

【全国百强校Word】河北省衡水中学2018届高三9月大联考理数试题

726π2抛物线地对称轴地入射光线经抛物线反射后必过抛物线地焦点．已知抛物线24y x =地焦点为F ,一条平行于x 轴地光线从点(3,1)M 射出,经过抛物线上地点A 反射后,再经抛物线上地另一点B 射出,则ABM ∆地周长为（）A ．712612+B ．926+C ．910+D ．832612+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 地前n 项和分别为n S ,n T ,且0n a >,263n n n S a a =+,*n N ∈,12(21)(21)nnn a n a a b +=--,若*n N ∀∈,n k T >恒成立,则k 地最小值是（）A ．17B ．149C ．49D ．8441第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.已知在ABC ∆中,||||BC AB CB =- ,(1,2)AB =,若边AB 地中点D 地坐标为(3,1),点C 地坐标为(,2)t ,则t = ．14.已知1()2nx x-（*n N ∈）地展开式中所有项地二项式系数之和、系数之和分别为p 、q ,则64p q +地最小值为．15.已知x ,y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>,若sin()x y +地最大值与最小值分别为1,12,则实数t 地取值范围为．16.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形地三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M ABC -中MA ⊥平面ABC ,2MA AB BC ===,则该鳖臑地外接球与内切球地表面积之和为．三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-,x R ∈．（1）求函数()f x 地最小正周期及其图象地对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,已知()1f A =-,3a =,sin sin b C a A =,求ABC ∆地面积．　18.如图,在四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,其中//CD AB ,BC AB ⊥,侧面ABE ⊥平面四边形MNPQ 不可能是菱形．21.已知函数()(1)xf x e a x b =-+-（a ,b R ∈）,其中e 为自然对数地底数．（1）讨论函数()f x 地单调性及极值；（2）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立,求证:(1)324b a +<．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中xOy 中,已知曲线C 地参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >,α为参数）,以坐标原点O 为极点,x 轴地正半轴为极轴,取相同地长度单位建立极坐标系,直线l 地极坐标方程为2sin()34πρθ+=．（1）当1t =时,求曲线C 上地点到直线l 地距离地最大值；（2）若曲线C 上地所有点都在直线l 地下方,求实数t 地取值范围．23.选修4-5:不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()|1|g x f x x =++地值域为M ,若t M ∈,证明:2313t t t+≥+．衡水金卷2018届全国高三大联考理数解析一、选择题1-5:CBCBA 6-10: ACDAD 11、12:BB二、填空题13.1 14.16 15.57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.2482ππ-三、解答题17.解:（1）原式可化为21()cos 3sin cos 2f x x x x =--1cos 231sin 2222x x +=--sin(2)6x π=-sin(2)6x π=--,故其最小正周期22T ππ==,令262x k πππ-=+（k Z ∈）,解得23k x ππ=+（k Z ∈）,即函数()f x 图象地对称轴方程为23k x ππ=+（k Z ∈）．（2）由（1）知()sin(2)6f x x π=--,因为02A π<<,所以52666A πππ-<-<,又()sin(2)6f A A π=--1=-,故262A ππ-=,解得3A π=．由正弦定理及sin sin b C a A =,得29bc a ==,故193sin 24ABC S bc A ∆==．18.解:（1）当12λ=时,//CE 平面BDF ．证明如下:连接AC 交BD 于点G ,连接GF ．∵//CD AB ,2AB CD =,∴12CG CD GA AB ==．∵12EF FA =,∴12EF CG FA GA ==．　∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ,GF ⊂平面BDF ,∴//CE 平面BDF .（2）取AB 地中点O ,连接EO ,则EO ⊥AB ．∵平面ABE ⊥平面ABCD ,平面ABE 平面ABCD AB =,且EO AB ⊥,∴EO ⊥平面ABCD ．∵//BO CD ,且1BO CD ==,∴四边形BODC 为平行四边形,∴//BC DO ．　又∵BC AB ⊥,∴AB OD ⊥．由OA ,OD ,OE 两两垂直,建立如下图所示地空间直角坐标系O xyz -．则(0,0,0)O ,(0,1,0)A ,(0,1,0)B -,(1,0,0)D ,(1,1,0)C -,(0,0,3)E ．当1λ=时,有EF FA = ,∴可得13(0,,)22F ．∴(1,1,0)BD = ,(1,1,3)CE =- ,33(0,,)22BF = ．设平面BDF 地一个法向量为(,,)n x y z = ,则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令3z =,得1y =-,1x =,即(1,1,3)n =-．设CE 与平面BDF 所成地角为θ,则|113|1sin |cos ,|555CE n θ--+=<>==⨯ ,∴当1λ=时,直线CE 与平面BDF 所成地角地正弦值为51．19.解:（1）由列联表可知2K 地观测值22()200(50405060) 2.020 2.072()()()()11090100100n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯,所以不能在犯错误地概率不超过0.15地前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关．（2）①依题意,可知所抽取地5名女网民中,经常使用网络外卖地有6053100⨯=（人）,偶尔或不用网络外卖地有4052100⨯=（人）．　则选出地3人中至少有2人经常使用网络外卖地概率为2133233355710C C C P C C =+=．②由22⨯列联表,可知抽到经常使用网络外卖地网民地概率为1101120020=,将频率视为概率,即从A 市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用网络外卖地市民地概率为1120．由题意得11~(10,)20X B ,∴1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=．20.解:（1）由已知,得12c a =,3b =,又222c a b =-,故解得24a =,23b =,所以椭圆C 地标准方程为22143x y +=．（2）由（1）,知1(1,0)F -,如图,易知直线MN 不能平行于x 轴,所以令直线MN 地方程为1x my =-,设11(,)M x y ,22(,)N x y ,联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩得22(34)690m y my +--=,所以122634m y y m +=+,122934y y m -=+．此时221212||(1)()4MN m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．　同理,令直线PQ 地方程为1x my =+,设33(,)P x y ,44(,)Q x y ,此时342634m y y m -+=+,342934y y m -=+,此时223434||(1)()4PQ m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．　故||||MN PQ =,所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ 是菱形,则OM ON ⊥,即0OM ON ⋅=,于是有12120x x y y +=.又1212(1)(1)x x my my =--21212()1m y y m y y =-++,所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=,整理得22125034m m --=+,即21250m +=,上述关于m 地方程显然没有实数解,故四边形MNPQ 不可能是菱形.令22()ln (0)g x x x x x =->,则'()(12ln )g x x x =-．　令'()0g x >,得0x e <<；令'()0g x <,得x e >,故()g x 在区间(0,)e 内单调递增,在区间(,)e +∞内单调递减,故max ()()ln 2e g x g e e e e ==-=,即当1a e +=,即1a e =-时,max ()2e g x =．所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤,所以(1)24b a e+≤．而3e <,所以(1)324b a +<．22.解:（1）易知曲线C :221x y +=,直线l 地直角坐标方程为30x y +-=．　所以圆心到直线l 地距离33222d ==,∴max 3212d =+．（2）∵曲线C 上地所有点均在直线l 地下方,∴a R ∀∈,有cos sin 30t αα+-<恒成立,∴213t +<．又0t >,∴解得022t <<,∴实数t 地取值范围为(0,22)．23.解:（1）依题意,得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得()3f x ≤1,33,x x ≤-⎧⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤．即不等式()3f x ≤地解集为{}|11x x -≤≤．（2）()()|1||21||22||2122|3g x f x x x x x x =++=-++≥---=,当且仅当(21)(22)0x x -+≤时,取等号,∴[3,)M =+∞．原不等式等价于2331t t t -+≥,∵[3,)t ∈+∞,∴230t t -≥,∴2311t t -+≥.又∵31t ≤,∴2331t t t -+≥,∴2313t t t +≥+.。

河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试数学(理)试题Word版含答案教师版答案

2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷参考答案13．0 14．5- 15．1 16．1．答案：B解析： {}(){}2230{|13},ln 2{|2}A x x x x x B x y x x x =--<=-<<==-=<，所以{|12}A B x x =-<< 2．答案：A解析：z ==3．答案：C解析：cos 2y x =向左平移12个单位，得到1cos 2cos(21)2y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图像 4．答案：C解析：()(1,2),(2,1)(1,2)2(1)1(2)0a b a a b -=--⋅-=-⋅--=-⨯-+⨯-=，()a ab ∴⊥-5．答案：D解析：选项A ，当0c =时不成立；选项B ，举反例，如2,1,2,1a b c d ===-=-，此时a b c d=，选项C ，举反例，如2,1a c b d ====，此时a c b d -=-，选项D ，因为a b >，且0ab >，两边同时除以ab ，得11b a>，即11a b <6．答案：D解析：该几何体为四棱锥，直观图如图所示，底面是边长为21(22)33V =⨯⨯=7．答案：A解析：当1x =-时，得30123(54)1a a a a -+-=-+=-，即()()02131a a a a +-+=-8．答案：C解析：设首项为1a ，显然公比10,0a q >>，当1q =时显然成立，当1q >时，2111a a q a q +>，即210q q --<，解得：112q +<<，当01q <<时，2111a q a q a +>，即210q q +->，1q <<，综上可知，公比q的取值范围是11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 9．答案：B解析：使得90APB ∠=︒的动点P 在以AB 为直径的圆上，即点P 的坐标满足222()x y a x a +=≠±，所以圆222()x y a x a +=≠±与圆22((1)1x y +-=有公共点，圆心距为2，所以121a a -+≤≤，所以13a ≤≤ 10．答案：C 解析：123,,222p p pAF x BF x CF x =+=+=+，因为,,AF BF CF 成等差数列，所以 2BF AF CF =+，所以2132222p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：2132x x x =+，即123,,x x x11．答案：A11122PF r -2ce a=≤12．答案：A解析：因为(f 又()f f x ⎡+⎢⎣3()log 4f b b b ∴=+=，显然3b =，故3()3log f x x =+，3()3log f x x -=，设32 ()6g x x x=-()0,()g x g x'>(1)f a=，个交点，只需满足13．答案：0解析：设圆心(1,2)1d∴==，解得0a=14．答案：5-解析：5,4,3a b c===，所以12(3,0),(3,0)F F-，122210PF a PF PF=-=-，所以12210105PM PF PM PF MF-=+--=-≥，当点P为椭圆与线段2MF的交点时，1PM PF-取得最小值．15．答案：1解析：如图，1,1AB AF CD DF=-=-，设1122(,),(,)A x y D x y，将(1)y k x=-代入24y x=，得2222(24)0k x k x k-++=，则21212224,1kx x x xk++==，则121,1AF x DF x=+=+，()()12111AB CD AF DF x x⋅=--==222cos4522AB AE BEBAE BAEAB BE+-∠===∴∠=︒⋅，过B作BG AE⊥于点G，则AG BG===AB中点F，连接FG并延长交直线l于点O，显然FG是线段AB的垂直平分线，所以点O即为球心，EO GE==AO===A CDBElABEFGO17．（1）由题意知26214a a a=，所以2111(5)()(13)a d a d a d+=++，化简得213a d d=．因为16,0a d=≠，所以2d=，（3分）所以24na n=+（6分）（2）由（1）得2111(1)(24)(1)(n 2)12n b n n n n n ===-++++++ （8分）所以1231111111123344512n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+? 11222(2)nn n =-=++ （12分） 18．（1）证明：由题意知：243ππω=，接的32ω=，（2分）由题意得sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=，所以sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin B A C A A B A C A +=--，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=，所以sin sin 2sin C B A +=，由正弦定理得2b c a += （5分）（2）因为2,b c a b c +==，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形，又21sin 24OAB ABC OACB S S S OA OB AB θ=+=⋅+△△四边形)22sin 2cos 2sin 434OA OB OA OB πθθθ⎛⎫=++-⋅=-+ ⎪⎝⎭，（8分）因为(0,)θπ∈，所以2,233πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取得最大值，且最大值为2+（12分） 19．（1）证明：取AP 的中点M ，连接,DM BM ，因为,DA DP BA BP ==，所以,PA DM PA BM ⊥⊥，因为DM BM M = ，所以PA ⊥平面DMB ，又因为BD ⊂平面DMB ，所以PA BD ⊥ （4分）（2）因为,,,60DA DP BA BP DA DP ABP ==⊥∠=︒，所以DAP △是等腰直角三角形，ABP △是等边三角形．因为2AB BP BD ===，所以1,DM BM =所以222BD MB MD =+，所以MD MB ⊥．（6分）如图，以M 为坐标原点，,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)A B P D -，从而得(1,0,1),(1DP DC AB =-==(1,BP = (1,0,1)BC AD ==．设平面DPC 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111110n DP x z n DC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取11y =，则11x z ==1(,n =．设平面PCB 的法向量2222(,,)n x y z =，由2221220n BC x z n BP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21y =，则22x z =2,n =．所以1212121cos ,7n n n n n n ⋅==⋅，设二面角D PC B --的大小为α，则sin 7α== （12分）20．解：（1）由4A P B P+=，得24a =，所以2a =．又椭圆过点1,2⎛ ⎝⎭，所以213144b +=，解得1b =．故椭圆C 得方程为2214x y += （2分）设点0(,)P x y ，则由GPH APB △～△，得003GHy AB y -=003y y -=，则031GH y ⎫=-⎪⎭，由于001y <≤，得0314GH y ⎫=-⎪⎭≥01y =时取等号，所以线段GH的长度的最小值为（5分）（2）由（1）可知，当线段GH 的长度取得最小值时，01y =，将点0(,1)x 代入2214x y +=，得00x =，故此时点(0,1)P ，则直线AP的方程为1y =+，此时2AP =．当平行于AP 的直线l 与椭圆下方相切且T 为切点时，TPA △的面积取得最大值．设直线:3l y m =+，则由2214y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22712120x m ++-=，所以2247(1212)0m ∆=-⨯-=，解得：m =或m =（舍去）（8分）由平行线间的距离公式，得此时点T 到直线AP的距离2d ==，故()max 11222TPA S AP d =⋅=⨯=即TPA △（12分） 21．解：（1）因为()f x 的定义域为(0,)+∞，且()f x 在定义域内单调递增，所以2()20f x x m x '=+-≥，即22m x x +≤在区间(0,)+∞内恒成立，因为224x x+≥，所以4m ≤，即实数m 的取值范围是(,4]-∞ （4分）（2）由（1）知2222()2x mx f x x m x x-+'=+-=，当1752x <<时，()f x 有两个极值点，此时12120,12mx x x x +=>=，所以1201x x <<<，因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 11142x <<，由于211x x =，于是2212111222()()(2ln )(2ln )f x f x x mx x x mx x -=-+--+ 22221212121212121()()2(ln ln )()2()()4ln x x m x x x x x x x x x x x =---+-=--+-+222211112114ln 4ln x x x x x x =-+=-+．（8分）令221()4ln h x x x x =-+，则2232(1)()0x h x x --'=<，所以()h x 在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，所以11()24h h x h ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即121144ln 2()()168ln 2416f x f x --<-<--，即12()()f x f x -的取值范围是152554ln 2,8ln 2416⎛⎫--⎪⎝⎭．22．解：（1）圆C 得普通放草为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，又cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以圆C 得极坐标方程为2cos ρθ= （4分）（2）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos tan 2ρθθ=⎧⎨=⎩，解得11tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则22222sin cos cos sin 44tan 2ππρθθθ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，解得22tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 由于12θθ=，所以1215PQ ρρ=-=，所以线段PQ的长为15． 23．解：（1）()23f x x +≥，即23x a x ++≥，两边平方并整理得：223(122)90x a x a +-+-≤，所以3,1--是关于x 得方程223(122)90x a x a +-+-=的两根，由根与系数得关系得212243933aa -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩ ，解得0a =．（4分）（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-+--=≥，所以若不等式2()2f x x a a a +--≥恒成立，只需222a a a -≥．当0a ≥时，222a a a -≥，解得04a ≤≤；当0a <时，222a a a --≥，此时满足条件的a 不存在．综上可得实数a 得取值范围是[0,4] （10分）。

2018届河北省衡水中学高三第十七次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2018届河北省衡水中学高三第十七次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合,集合,则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解指数不等式可得集合A，求出函数的定义域可得集合B，然后再求出即可．详解：由题意得，，∴，∴．故选C．点睛：本题考查指数函数单调性的应用，对数函数的定义域及集合的运算，考查学生的运算能力及应用所学知识解决问题的能力，属基础题．2．已知复数 (为虚数单位),若复数的共轭复数的虚部为, 则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先化简复数，根据的共轭复数的虚部为求出复数，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置．详解：由题意得，∴ ，又复数的共轭复数的虚部为，∴，解得．∴，∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数的共轭复数的虚部为求得实数，由此得到复数，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限．3．若,,，的平均数为3，方差为4,且,，则新数据,的平均数和标准差分别为（）A. -4 -4B. -4 16C. 2 8D. -2 4【答案】D【解析】分析：根据样本的平均数、方差的定义计算即可．详解：∵,,，的平均数为3，方差为4，∴，．又，∴，，∴新数据,的平均数和标准差分别为．故选D．点睛：与平均数和方差有关的结论（1）若x1，x2，…，x n的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mx n＋a的平均数为；（2）数据x1，x2，…，x n与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝x n＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；（3）若x1，x2，…，x n的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的方差为a2s2．4．已知双曲线的左焦点为抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为,则实数（）A. 3B.C.D.【答案】C【解析】抛物线的焦点坐标为，则双曲线中，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为，则：，求解关于实数a,b的方程可得：.本题选择C选项.5．运行如图所示程序，则输出的的值为（）A. B. C. 45 D.【答案】B【解析】程序是计算,记,,两式相加得.故,故选.6．已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据同角三角函数关系由求得，于是可得，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．详解：∵，，∴，∴，．∴．故选A．点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．7．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，下部的三棱柱,底面面积为：14362⨯⨯=，高为1，体积为：6；上部的三棱柱,底面面积为：12×2×3=3，高为1，体积为：3；故组合体的体积V=6+3=9，故选：B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8．已知,点在线段上,且的最小值为1,则 ()的最小值为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：由可得点O在线段的垂直平分线上，由结合题意可得当C是的中点时最小，由此可得与的夹角为，故的夹角为．然后根据数量积可求得，于是可得所求．详解：∵，∴点O在线段的垂直平分线上．∵点在线段上,且的最小值为1，∴当C是的中点时最小，此时，∴与的夹角为，∴的夹角为．又，当且仅当时等号成立．∴的最小值为3，∴的最小值为．故选B．点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法(1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式．(2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值．(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值．9．函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：先判断函数为奇函数，可排除选项C；然后求导可得函数在上单调递增，可排除B和D，从而可得答案．详解：由题意可得，∵，∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项C．又，∴当时，单调递增，∴排除选项B和D．故选A．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．10．若抛物线的焦点是,准线是,点是抛物线上一点，则经过点、且与相切的圆共（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个【答案】D【解析】分析：由于圆经过点、且与相切，故圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到点和准线的距离相等，故圆心在抛物线上．结合条件可得满足条件的点有两个，且每条线段的垂直平分线与抛物线都有两个交点，故可得圆心有4个．详解：因为点在抛物线上，所以可求得．由于圆经过焦点且与准线l 相切，所以由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，故圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点．结合图形知对于点M (4,4)和(4,−4)，线段FM 的垂直平分线与抛物线都各有两个交点．所以满足条件的圆有4个．故选D ．点睛：解答本题要抓住两点：一是圆心在线段FM 的垂直平分线上，二是圆心到焦点和准线的距离相等，结合抛物线的定义可得圆心应在抛物线上，故可得圆心的个数取决于点M 的个数，且每条线段FM 的垂直平分线与抛物线都各有两个交点． 11．设函数.若,且，则的取值范围为（）A. B. C.D.【答案】B【解析】分析：采用取特殊值的方法求解，画出函数的图象，根据图象找到使得且的的值，并由此得到所求的范围．详解：（特殊值法）画出的图象如图所示．结合图象可得，当时，；当时，，满足．由此可得当,且时，．故选B ．点睛：本题考查三角函数图象的画法和图象的应用，考查学生运用数形结合解决问题的能力，有一定难度．解题的关键值确定满足条件的临界位置，并在此基础上得到满足条件的最小值，然后将此结论推广可得所求的范围．12．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3【答案】D【解析】试题分析：根据题意，1α=，满足()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”，02β≤≤，又因为函数()23g x x ax a =--+图像恒过定点(1,4)-，要想函数在区间[0,2]上有零点，需22(0)30()30242g a a a a g a =-+≥⎧⎪⎨=--+≤⎪⎩，解得23a ≤≤，故选D ．【考点】新定义，函数零点问题．二、填空题 13．若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列.类比上述性质,若数列是各项都为正数的等比数列,对于时，数列也是等比数列，则【答案】【解析】试题分析：等差数列中的和类别为等比数列中的乘积，是各项的算术平均数，类比等比数列中是各项的几何平均数，因此【考点】归纳类比点评：类比题目要通过比较给定的已知条件与所要类比的结论之间的相似点，通过相似点找到其满足的性质14．函数()y f x =的图象在点()()2,2M f处的切线方程是28y x =-，则()()'22f f =__________．【答案】12-【解析】由导数的几何意义可知()22f '=，又()22284f =⨯-=-，所以()()12f x f x =-'. 15．已知是区间上的任意实数,直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：先画出当和时不等式组表示的平面区域，根据题意可知只要该区域包含在不等式组表示的平面区域内即可满足条件，由此可得的取值范围，进而得到直线的倾斜角的范围．详解：由题意直线直线的方程即为，∴直线的斜率为，且过定点．画出不等式组表示的可行域如图所示．由解得，故点，此时．当时，直线的方程为，即，由解得，故点，如图所示．结合图形可得要使直线与不等式组表示的平面区域总有公共点，只需满足．∴直线的斜率∴直线的倾斜角的取值范围为．点睛：本题考查不等式组表示的平面区域的画法，考查数形结合在解题中的应用以及学生运用所学知识解决问题的能力．解答本题的关键是对题意的正确理解和准确画出图形．16．设锐角三个内角所对的边分别为,若,则的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：由题意得，然后根据正弦定理得，结合为锐角三角形可得，于是可得的取值范围．详解：由及余弦定理得，∴，∴．又为锐角三角形，∴．由正弦定理得，∴．由得，∴，∴．∴的取值范围为．点睛：解答本题时容易出现的错误是忽视“为锐角三角形”这一条件，导致角的取值范围增大而出现错误的结果．三、解答题 17．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列， 23a =，且21log a ， 23log a ， 27log a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1) =1n a n +；(2) ()22n nS n =+.【解析】试题分析：(1)由题意可得数列的公差为1d =，则数列{}n a 的通项公式是=1n a n +； (2)结合(1)中求得的通项公式裂项求和可得数列{}n b 的前n 项和()22n nS n =+.试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d由23a =，且21log a ， 23log a ， 27log a 成等差数列，得2321272log log log a a a =+，即()()()2222log 3log 3log 35d d d +=-++，得()()()2222log 3log 335d d d +=-+，得()()()23335d d d +=-+，解得1d =或0d =（舍去）.所以数列{}n a 的通项公式为()()2=23211n a a n d n n +-⋅=+-⋅=+. （2）因为()()11111=1212n n n b a a n n n n +==-++++，所以1111111111112334451112n S n n n n n n =-+-+-++-+-+--+++ ()112222n n n =-=++. 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18．在测试中,客观题难题的计算公式为,其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度().规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】分析：（1）根据统计表中的数据，可得每道题实测的答对人数及相应的实测难度表，由表可知估计120人中有人答对第题；（2）这人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种，其中恰好有1人答对第题共6种，由古典概型概率公式可得结果；（3）根据方差公式可得,从而可得该次测试的难度预估是合理的.所以,估计120人中有人答对第5题.（2）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种.所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为.（3）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度.因为,所以,该次测试的难度预估是合理的.点睛：本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生；（3）利用组合知识解答.19．四棱锥中，面，底面是菱形，且，，过点作直线，为直线上一动点.（1）求证：；（2）当面面时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）由平面得，又在菱形中有，故得平面，于是得到．（2）结合题意可得平面，故．根据面面得到，然后根据几何图形的计算得到，于是，，又，由此可得所求的三棱锥的体积．详解：（1）∵，∴直线确定一平面.∵平面，平面，∴．由题意知直线在面上的射影为，又在菱形中有，，∴平面，∵平面，∴.（2）由题意得和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为，连接、，则，，又,∴平面．又平面面，平面面，∴面，∴.在菱形中，，，∴.在中，．在中，设，则．∴在中，，又在直角梯形中，，故，解得，即.∴，∴.点睛：（1）用空间中的线面关系的有关定理证明时，要注意解题的规范性，对于定理中的关键词语在证题过程中要体现出来．（2）在求解一些不规则的几何体的体积时，常常需要用到分割法，将不规则的几何体的体积转化为规则的几何体的体积来求解．20．设点、的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积是. （1）求点的轨迹的方程；（2）直线与曲线相交于两点，若是否存在实数，使得的面积为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在.【解析】试题分析：（1）根据题意，得，整理得的轨迹为；（2）联立，化为：，，得到韦达定理，求出弦长，再求出到直线的距离，写出面积方程，解出，但此时直线方程过、，这两点由（1）知是取不到的，所以不存在。

河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(原卷版)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A. B. C. D.4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题5. 已知满足，则（）A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.7. 已知函数，现将的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（）A. B. C. D.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（）A. B. C. D.9. 已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C. D.10. 已知函数，，若对任意的，总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A. B. C. D.11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为_____．14. 二项式展开式中的常数项是_____ ．15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_____ ．16. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，. （1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求.18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份时间代号年销量（亿包/桶）(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测2017 年()方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面,位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.20. 如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.21. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.。

2018年2017～2018学年度河北省衡水中学高三数学三轮复习理科数学周测七试卷

1 3
C. 1,
D. , 2

1
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10.已知向量 OA (3,1) ， OB (1,3) ， OC mOA nOB ( m 0, n 0) ，若 m n [1, 2] ，则 | OC | 的取值范围是（ A． [ 5, 2 5]
2
8．设 F1 ， F2 分别为双曲线 C ：
x2 y2 1 (a 0, b 0) 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点， a 2 b2
）
以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、 N 两点，且满足： MAN 120 ，则该双曲线的离心率为（） B．
B.60
C.120
f ( x1 ) f (0) f ( x2 ) f (1) 恒成立，则实数 x1 的取值范围是（
A． ( , 0)
）
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）已知函数 f x 2a sin x cos x 2b cos x c a 0, b 0 ，满足
2
1 B． (0, ) 2
1 C. ( ,1) 2
D． (1, )
12.已知矩形 ABCD 中， AB 6, BC 4 ， E , F 分别是 AB , CD 上两动点，且 AE DF ，把四边形 BCFE 沿 EF 折起，使平面 BCFE 平面 ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ A. 28 ） B.

河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试理综物理试题(含答案)(解析版)

gR = 2πR
ρG，D 错误．
3π
【点睛】利用行星两极物体所受的万有引力等于重力求出重力加速度，根据万有引力提供向心力结合行星
密度可以求出行星的卫星在星球表面圆周运动的速度，行星同步卫星的周期等于行星自转周期，根据万有
引力提供向心力得到轨道半径，行星运行速率根据v
=
2πR求解．
T
3. 如图所示，B、C 两个小球运动细线悬挂于竖直墙面上的 A、D 两点，两球均保持静止，已知两球的重力
3
表示该时刻的速度，斜率的正负表示速度的方向． 5. 电动机的内电阻 r=2Ω，与 R=8Ω 的电阻串联接在线圈上，如图所示，已知线圈面积为220m2，共 100 匝，线圈的电阻为 2Ω，线圈在B = 2Tπ的匀强磁场中绕OO'以转速 n=600r/min 匀速转动时，在合上开关 S 后电动机正常工作时，电压表的示数为 100V，则下列说法正确的是
A. 电路中电流的最大值为5 2A B. 电路中电流的最大值为10 2A C. 电动机正常工作时的输出功率为 1000W D. 电动机正常工作时的输出功率为800 2W 【答案】B
A. 通过电流计 G 的电流方向由 d 到 c B. 电压 U 增大，光电流 I 一定增大 C. 用同频率的光照射 K 极，光电子的最大初动能与光的强弱无关 D. 光电管两端电压 U 为零时一定不发生光电效应【答案】C 【解析】A、电流方向与逃逸出来的电子运动方向相反，所以通过电流计 G 的电流方向由 c 到 d，故 A 错误； B、光电流的大小与光的强弱有关，遏止电压与光的频率有关，光电流的大小与光的频率无关，故 B 错误； C、用同频率的光照射 K 极，根据爱因斯坦光电效应方程Ek = hν−W，光电子的最大初动能与光的频率有关，与光的强弱无关，故 C 正确； D、光电管两端电压 U 为零时，光电效应照样发生，打出来的电子沿各个方向飞去，故 D 错误；故选 C。 2. 科学家预测在银河系里可能有一个“与地球相似”的行星，这个行星存在孕育生命的可能性，若质量可视为均匀分布的球形“与地球相似”的行星的密度为 ρ，半径为 R，自转周期为T0，万有引力常量为 G，则

2018高考数学模拟试卷衡水中学理科

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷〔理科〕第1卷一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，那么A∩B=〔〕A．∅B．〔0，1〕C．[0，1〕D．[0，1]2．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕设随机变量ξ～N〔3，σ2〕，假设P〔ξ＞4〕=0.2，那么P〔3＜ξ≤4〕=〔〕A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕复数z=〔i为虚数单位〕，那么3=〔〕A．1 B．﹣1 C．D．4．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕过双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，假设∠PFQ=π，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为〔〕A．B．2 C．D．16．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕如图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的结果是〔〕A．2 B．3 C．4 D．57．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，假设b n=，那么数列{b n}的前8项和为〔〕A．B．C．D．8．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕〔x﹣3〕10=a0+a1〔x+1〕+a2〔x+1〕2+…+a10〔x+1〕10，那么a8=〔〕A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其外表积为〔〕A．16 B．8+6C．16D．16+610．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F〔﹣3，0〕，P为椭圆上一动点，椭圆内部点M〔﹣1，3〕满足PF+PM的最大值为17，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕f〔x〕=，假设函数y=f〔x〕﹣kx恒有一个零点，那么k的取值范围为〔〕A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n ﹣4，设c=，假设在数列{c n}中c6＜c n〔n∈N*，n≠6〕，那么p的取值范围〔〕nA．〔11，25〕B．〔12，22〕C．〔12，17〕D．〔14，20〕第2卷二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．〕13．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕假设平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，那么在上的投影为．14．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕假设数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，那么数列{a n}前2n项和S2n=．15．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕假设直线ax+〔a﹣2〕y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两局部，那么的最大值为．16．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕函数f〔x〕=〔a+1〕lnx+x2〔a＜﹣1〕对任意的x1、x2＞0，恒有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≥4|x1﹣x2|，那么a的取值范围为．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+〔a﹣sinB〕cos〔A+B〕=0〔1〕求C的大小；〔2〕求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PCD；〔Ⅱ〕设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕如图是两个独立的转盘〔A〕、〔B〕，在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进展游戏，规那么是：同时转动两个转盘待指针停下〔当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界限时，那么这次转动无效，重新开场〕，记转盘〔A〕指针所对的区域为x，转盘〔B〕指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．〔Ⅰ〕求x＜2且y＞1的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕，倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为〔﹣1，〕．过椭圆E内一点P〔1，〕的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕当λ变化时，k AB是否为定值？假设是，请求出此定值；假设不是，请说明理由．21．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕函数f〔x〕=，曲线y=f〔x〕在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．〔Ⅰ〕假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣ax在〔1，+∞〕上是减函数，求实数a的最小值；〔Ⅱ〕假设函数F〔x〕=f〔x〕﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．〔10分〕〔2018•衡中模拟〕如下列图，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．〔Ⅰ〕求证：DE∥AB；〔Ⅱ〕求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．〔2018•衡中模拟〕在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=〔1〕求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕假设直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．〔2018•衡中模拟〕函数f〔x〕=|x﹣l|+|x﹣3|．〔I〕解不等式f〔x〕≤6；〔Ⅱ〕假设不等式f〔x〕≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，那么A∩B=〔〕A．∅B．〔0，1〕C．[0，1〕D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，那么A∩B=[0，1〕，应选：C．2．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕设随机变量ξ～N〔3，σ2〕，假设P〔ξ＞4〕=0.2，那么P〔3＜ξ≤4〕=〔〕A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N〔3，σ2〕，∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P〔ξ＞4〕=0.2∴P〔3＜ξ≤4〕=0.5﹣0.2=0.3．应选：C3．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕复数z=〔i为虚数单位〕，那么3=〔〕A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．那么3=cos4π+isin4π=1．应选：A．4．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕过双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，假设∠PFQ=π，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图假设∠PFQ=π，那么由对称性得∠QFO=，那么∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，那么双曲线渐近线的方程为y=±x，应选：B5．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为〔〕A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，应选：D．6．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕如图是某算法的程序框图，那么程序运行后输出的结果是〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，应选：B7．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，假设b n=，那么数列{b n}的前8项和为〔〕A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2〔n﹣1〕=2n+1，∴，∴b8=〔1﹣+﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕=应选B．8．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕〔x﹣3〕10=a0+a1〔x+1〕+a2〔x+1〕2+…+a10〔x+1〕10，那么a8=〔〕A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：〔x﹣3〕10=[〔x+1〕﹣4]10，∴，应选：D．9．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其外表积为〔〕A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴外表积为4×=16．应选：C．10．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的左焦点F〔﹣3，0〕，P为椭圆上一动点，椭圆内部点M〔﹣1，3〕满足PF+PM的最大值为17，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F〔﹣3，0〕，可得Q〔3，0〕，由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，那么|PM|+|PF|=2a+〔|PM|﹣|PQ|〕≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，那么e===，应选：A．11．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕f〔x〕=，假设函数y=f〔x〕﹣kx恒有一个零点，那么k的取值范围为〔〕A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f〔x〕﹣kx=0得f〔x〕=kx，作出函数f〔x〕和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f〔x〕和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f〔x〕=ln〔x+1〕的导数f′〔x〕=，那么f′〔0〕=1，当x＜0时，函数f〔x〕=e x﹣1的导数f′〔x〕=e x，那么f′〔0〕=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f〔x〕的切线，那么当0＜k＜1时，函数f〔x〕和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f〔x〕和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，应选：B．12．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n ﹣4，设c=，假设在数列{c n}中c6＜c n〔n∈N*，n≠6〕，那么p的取值范围〔〕nA．〔11，25〕B．〔12，22〕C．〔12，17〕D．〔14，20〕【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，〔1〕当〔2〕当，综上p∈〔14，20〕，应选D．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．〕13．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕假设平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，那么在上的投影为﹣1 ．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕假设数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，那么数列{a n}前2n项和S2n= 2n+n2﹣1 ．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕假设直线ax+〔a﹣2〕y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两局部，那么的最大值为 2 ．【解答】解：由ax+〔a﹣2〕y+4﹣a=0得a〔x+y﹣1〕+4﹣2y=0，那么得，即直线恒过C〔﹣1，2〕，假设将区域分成面积相等的两局部，那么直线过AB的中点D，由得，即A〔1，6〕，∵B〔3，0〕，∴中点D〔2，3〕，代入a〔x+y﹣1〕+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，那么，那么的几何意义是区域内的点到点〔﹣2，0〕的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．〔5分〕〔2018•衡中模拟〕函数f〔x〕=〔a+1〕lnx+x2〔a＜﹣1〕对任意的x1、x2＞0，恒有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≥4|x1﹣x2|，那么a的取值范围为〔﹣∞，﹣2]．【解答】解：由f′〔x〕=+x，得f′〔1〕=3a+1，所以f〔x〕=〔a+1〕lnx+ax2，〔a＜﹣1〕在〔0，+∞〕单调递减，不妨设0＜x1＜x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕≥4x2﹣4x1，即f〔x1〕+4x1≥f〔x2〕+4x2，令F〔x〕=f〔x〕+4x，F′〔x〕=f′〔x〕+4=+2ax+4，等价于F〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减，故F'〔x〕≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：〔﹣∞，﹣2]．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+〔a﹣sinB〕cos〔A+B〕=0〔1〕求C的大小；〔2〕求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：〔1〕cosBsinC+〔a﹣sinB〕cos〔A+B〕=0可得：cosBsinC﹣〔a﹣sinB〕cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin〔C﹣〕=0，C是三角形内角，∴C=．〔2〕由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．〔Ⅰ〕求证：平面PBC⊥平面PCD；〔Ⅱ〕设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：〔1〕取PC的中点E，那么连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．〔2〕以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如下列图：那么A〔0，0，0〕，B〔0，2，0〕，M〔0，1，1〕，P〔0，0，2〕，C〔2，2，0〕，D〔1，0，0〕．∴=〔1，2，0〕，=〔0，1，1〕，=〔1，0，0〕，∴=λ=〔λ，2λ，0〕，=〔λ+1，2λ，0〕，==〔λ+1，2λ﹣1，﹣1〕．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，那么sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕如图是两个独立的转盘〔A〕、〔B〕，在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进展游戏，规那么是：同时转动两个转盘待指针停下〔当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界限时，那么这次转动无效，重新开场〕，记转盘〔A〕指针所对的区域为x，转盘〔B〕指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．〔Ⅰ〕求x＜2且y＞1的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：〔1〕记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P〔A1〕=，P〔A2〕=，P〔A3〕=，P〔B1〕=，P〔B2〕=，P〔B3〕=，P=P〔A1〕P〔1﹣P〔B1〕〕=×〔1﹣〕==．…〔5分〕〔2〕由得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P〔ξ=2〕=P〔A1〕P〔B1〕===，P〔ξ=3〕=P〔A1〕P〔B2〕+P〔A2〕P〔B1〕==，P〔ξ=4〕=P〔A1〕P〔B3〕+P〔A2〕P〔B2〕+P〔A3〕P〔B1〕==，P〔ξ=5〕=P〔A2〕P〔B3〕+P〔A3〕P〔B2〕=+=，P〔ξ=6〕=P〔A3〕P〔B3〕==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…〔12分〕20．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕，倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为〔﹣1，〕．过椭圆E内一点P〔1，〕的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；〔Ⅱ〕当λ变化时，k AB是否为定值？假设是，请求出此定值；假设不是，请说明理由．【解答】解：〔Ⅰ〕设M〔m1，n1〕、N〔m2，n2〕，那么，两式相减，故a2=3b2…〔2分〕当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，那么，解得，故点A〔或C〕的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…〔6分〕〔Ⅱ〕设A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕、C〔x3，y3〕、D〔x4，y4〕由于，可得A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕、C〔x3，y3〕、D〔x4，y4〕，…①同理可得…②…〔8分〕由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕+3〔y1+y2〕〔y1﹣y2〕=0，于是3〔y1+y2〕k AB=﹣〔x1+x2〕…④同理可得：3〔y3+y4〕k CD=﹣〔x3+x4〕，…〔10分〕于是3〔y3+y4〕k AB=﹣〔x3+x4〕〔∵AB∥CD，∴k AB=k CD〕所以3λ〔y3+y4〕k AB=﹣λ〔x3+x4〕…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ〔y3+y4〕]k AB=﹣[〔x1+x2〕+λ〔x3+x4〕]把③代入上式得3〔1+λ〕k AB=﹣2〔1+λ〕，解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…〔12分〕21．〔12分〕〔2018•衡中模拟〕函数f〔x〕=，曲线y=f〔x〕在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．〔Ⅰ〕假设函数g〔x〕=f〔x〕﹣ax在〔1，+∞〕上是减函数，求实数a的最小值；〔Ⅱ〕假设函数F〔x〕=f〔x〕﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由，得，解得m=2，故，那么，函数g〔x〕的定义域为〔0，1〕∪〔1，+∞〕，而，又函数g〔x〕在〔1，+∞〕上是减函数，∴在〔1，+∞〕上恒成立，∴当x∈〔1，+∞〕时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；〔Ⅱ〕由题可得，且定义域为〔0，1〕∪〔1，+∞〕，要使函数F〔x〕无零点，即在〔0，1〕∪〔1，+∞〕内无解，亦即在〔0，1〕∪〔1，+∞〕内无解．构造函数，那么，〔1〕当k≤0时，h'〔x〕＜0在〔0，1〕∪〔1，+∞〕内恒成立，∴函数h〔x〕在〔0，1〕内单调递减，在〔1，+∞〕内也单调递减．又h〔1〕=0，∴当x∈〔0，1〕时，h〔x〕＞0，即函数h〔x〕在〔0，1〕内无零点，同理，当x∈〔1，+∞〕时，h〔x〕＜0，即函数h〔x〕在〔1，+∞〕内无零点，故k≤0满足条件；〔2〕当k＞0时，．①假设0＜k＜2，那么函数h〔x〕在〔0，1〕内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h〔1〕=0，∴h〔x〕在〔0，1〕内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②假设k=2，那么函数h〔x〕在〔0，1〕内单调递减，在〔1，+∞〕内单调递增．又h〔1〕=0，∴当x∈〔0，1〕∪〔1，+∞〕时，h〔x〕＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③假设k＞2，那么函数h〔x〕在内单调递减，在内单调递增，在〔1，+∞〕内也单调递增．又h〔1〕=0，∴在及〔1，+∞〕内均无零点．易知，又h〔e﹣k〕=k×〔﹣k〕﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ〔k〕，那么ϕ'〔k〕=2〔e k﹣k〕＞0，那么ϕ〔k〕在k＞2为增函数，∴ϕ〔k〕＞ϕ〔2〕=2e2﹣6＞0．故函数h〔x〕在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．〔10分〕〔2018•衡中模拟〕如下列图，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．〔Ⅰ〕求证：DE∥AB；〔Ⅱ〕求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：〔Ⅰ〕连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…〔5分〕〔Ⅱ〕因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，那么∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…〔10分〕[选修4-4：坐标系与参数方程]23．〔2018•衡中模拟〕在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=〔1〕求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕假设直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：〔1〕由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为〔t为参数〕，得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…〔5分〕〔2〕将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，所以△AOB的面积是|AB|d==12．…〔10分〕[选修4-5：不等式选讲]24．〔2018•衡中模拟〕函数f〔x〕=|x﹣l|+|x﹣3|．〔I〕解不等式f〔x〕≤6；〔Ⅱ〕假设不等式f〔x〕≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f〔x〕=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如下列图，〔I〕不等式f〔x〕≤6，即①或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．〔Ⅱ〕假设不等式f〔x〕≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，那么函数f〔x〕的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如下列图：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B〔3，2〕，∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．。

河北省衡水中学2017-2018学年高三下学期一模考试数学(理)试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；乙：01a <<，则甲是乙成立的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C考点：必要不充分条件的判定.2.设,a b R ∈且0b ≠，若复数()3a bi +（i 为虚数单位）是实数，则（） A ．223b a = B ．223a b = C ．229b a = D ．229a b = 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()303122233333()()()(a b i Ca C ab i+=+++=-，所以2330a b b -=，即223b a =，故选A.考点：复数概念及二项式定理的应用. 3.等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（） A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 是等差数列，所以设数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-，则21(21)n a a n d =+-，所以121(1)(21)n n a a n da a n d+-=+-，因为2n n a a 是一个与n 无关的常数，所以10a d -=或0d =，所以2n na a 可能是1或12，故选B.考点：等差数列的通项公式. 4.ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据三角形的面积相等11113511a b c ⨯=⨯=⨯，所以可设13,5,11a b c ===，由余弦定理得22251113cos 02511A +-=<⨯⨯，即(,)2A ππ∈，所以三角形为钝角三角形，故选C. 考点：余弦定理的应用.5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足()()'20xf x f x +>，则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}|2011x x >-B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<-D ．{}|20110x x -<< 【答案】C考点：函数单调性的应用及导数的运算.6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=的右焦点，P 是C 上一点，()2,1A -，当APF ∆周长最小时，其面积为（）A ．4B ．8C ．【答案】A考点：椭圆的定义的应用.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 【答案】C 【解析】试题分析：由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+，所以102210143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-，故选C.考点：二项式定理的应用.8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（）A ．1B D ．12【答案】C考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取AD 的中点E ，连接,,BE PE CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，即可求解角的正切值.9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的学生成绩与物理成绩有关系（）A ．99.9%B ． 99.5%C ．97.5%D ．95% 参考数据公式：①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 的值的计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】B考点：独立性检验的应用.10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（） A ．64 B ．65 C ．66 D ．67【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，底层可以16个，然后在底层每4个球之间放一个，第二层能放9个，依次类推，分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个，一共可放置1691691666++++=个，故选C.考点：空间几何体的机构特征.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和.如：1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++，依次类推可得： 11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++，其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤，则21x y x +++的最小值为（）A ．232B ．52C ．87D ．343【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，13,4520m n ==⨯=，则21111x y y x x +++=+++，因为1,1x m y n ≤≤≤≤，所以1,13y x ==时，21111x y y x x +++=+++有最小值，此时最小值为87，故选C.考点：归纳推理.【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到,m n 的值是解答的关键. 12.已知,a b R ∈，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图像在4x π=-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （） A ．有最小值e - B ．有最小值e C ．有最大值e D ．有最大值1e + 【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得,a b 的值，得出函数()g x 的解析式，再判断函数()g x 的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m 的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()2f x x ax =-的图像在点()()1,1A f 处的切线与直线320x y ++=垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 .【答案】6考点：程序框图的计算与输出.14.在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且2OC =，则OC =.【答案】( 【解析】试题分析：由题意得，1,2OA OB ==，设OC 与AB 交于(,)D x y 点，则:1:5AD BD =，即D 分有向线段AB 所成的比为15，所以110(3)14)1355,221155x y +-⨯+⨯==-==++，即13(,)22D -，因为2OC = ，所以2()OD OC OD=⨯=，即点C 的坐标为(. 考点：向量的运算.15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为.【答案】2210x y xy ++-=考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.16.已知ABC ∆的面积为S ，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2s i n ,C A 成等比数列，2213,218322b a c ac =≤+≤241c +的最小值为 .【答案】34考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出c a =，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到a 241c +其单调性确定最值即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()2n n a n N +=∈；（2）()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩.考点：等比数列通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==，又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒. （1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2；（3. （2）在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示设()()()130,0,0,0,,0,1,,0,2222P z CP z AM z z ⎛⎫⎛⎫∴==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 60cos AM CP AM CP AM CP ⋅︒=〈⋅==⋅0z >131,122z AM ⎛⎫=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差.【答案】（1）120种；（2）分布列见解析，38，2164. 【解析】试题分析：（1）若8种口味均不一样，有38C 种，若其中两瓶口味一样，有1187C C 种，若三瓶口味一样，有8种，由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1(3,)8B ξ ，由此能求出小王喜欢的草莓口香糖瓶数ξ的分布列、数学期望和方差.试题解析：（1）若三瓶口味均不一样，有3856C =若其中两瓶口味不一样，有118756C C =，若三瓶口味一样，有8种，所以小王共有56+56+8=120种选择方式考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其短轴的下端点在抛物线24x y =的准线上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的动点，F 为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM为直径的圆2C 相交于,P Q 两点，与椭圆1C 相交于,A B 两点，如图所示.①若PQ 2C 的方程；②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭.试题解析：（1）椭圆短轴下端点在抛物线24x y =的准线上，1b ∴=2c e a ===，a ∴ 所以椭圆1C 的方程为2212x y += （2）①由（1），知()1,0F ，设()2,M t ，则2C 的圆心坐标为1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭2C 的方程为()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，当0t =时，PQ 所在直线方程为1x =，此时2PQ =，与题意不符，不成立，0t ∴≠.∴可设直线PQ 所在直线方程为()()210y x t t=--≠，即()2200x ty t +-=≠ 又圆2C的半径r ==由2222PQ d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()2222114244t ⎛⎛⎫+⨯=+ ⎝⎭解得242t t =⇒=±∴圆2C 的方程为()()22112x y -+-=或()()22112x y -++==，即0t =时取等号又0,t λ≠∴>，当0t =时，直线PQ 的方程为1x =2AB OM ==，212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，12S S λ∴===综上，2λ≥，所以实数λ的取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎣⎭.考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础. 21.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()()211x f x x e a x -=--. （1）当1a =时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值；（2）设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时，总有 ()()'211x g x f x λ≤，求实数λ的值（()'f x 为()f x 的导函数）.【答案】（1）最大值是()11f =；（2）21ee λ≤+.试题解析：（1）当1a =时，()()211xf x x ex -=--则()()21'211221x xx x x e fx x xee-----=--=，令()212x h x x x e -=--，则()'122x h x x e -=--显然()'h x 在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数，又'31042h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭ ，在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内，总有()'0h x <()h x ∴在区间3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，又()10h =∴ 当3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x >，()'0f x ∴>，此时()f x 单调递增；当()1,2x ∈时，()0h x <()'0f x ∴<，此时()f x 单调递减；()f x ∴在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值也即最大值是()11f =①当10x =，11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立，R λ∈；②当()10,1x ∈时，1111210x x eeλ---+≤恒成立，111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x x x e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内的减函数，当()0,1x ∈，()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++ ③()1,0x ∈-∞时，1111210x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由②，当(),0x ∈-∞，()()201e k x k e >=+，即21ee λ≤+ 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时，②当1(0,1)x ∈时，③1(,1)x ∈-∞时的情况是解解答的难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点,P BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==.（1）求证：2AC AB =；（2）求AD DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50.（2）由切割线定理，得2,20PA PB PC PC =⋅∴=，又5,15PB BC ==又AD 是BAC ∠的平分线，2AC CD AB DB∴== 由相交弦定理，得50AD DE CD DB ⋅=⋅=.考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化12,C C 的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为,2t Q π=为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线332:2x t C y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值.【答案】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2）5.试题解析：（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是()4,3-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当2t π=时，()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-，故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭3C 的普通方程为270x y --=，M 到3C 的距离3sin 13d θθ=--所以当43cos ,sin 55θθ==-时，d 取得最小值5. 考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（1）当3a =时，求函数()f x 的最大值；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥.【答案】（1）2；（2）当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x =当1a <，不等式的解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1）当3a =时，()()()()1,332135,131,1x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩所以当1x =，函数()f x 取得最大值2.（2）由()0f x ≥，得21x a x -≥- 两边平方，得()()2241x a x -≥-即()2232440x a x a +-+-≤ 得()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 当1a =时，不等式的解集为{}|1x x = 当1a <，不等式的解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 考点：绝对值不等式的求解.。

河北省衡水中学2017-2018学年高三9月摸底联考(全国卷)理数试题01 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A =，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A.考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．2 B ． 2- C ．12 D ．12-【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=，故选C. 考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（）A ．57B ．61C ．62D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（） A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（）A ．1B ．32C ．34D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形A O D ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C 【解析】考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥===，二面角S AC B --的余弦值是）A ．B ．6πC ．24πD 【答案】B11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为（）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个【答案】D 【解析】考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的. 12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x += ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数【答案】B 【解析】故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为．【答案】2 【解析】试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14【解析】试题分析：抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离152pd =+=,所以8p =，抛物线方程为216y x =，点(1,4)M ，点(1,0)A -，4021(1)AM k -==--，所以12=-，即14a =，故应填14.考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,M A N C∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】15016. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是．【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x +>∴==+≥，当且仅当1x =时取等号，所以min()(1)2f x f ==，即()2m i n211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时， ()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e ==，所以()1max1g x k ke ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099.（1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.【解析】10500.99n n a -=⨯因此，新政策实施后第n 年的人口总数n a （单位：万）的表达式为()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式.【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由; （2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23. 【解析】试题分析：(1)由题意可知PB ⊥平面ABCD ,所以只要构造直线//MN PB 即可，连接BD ，取BD 中点N ，构造三角形PBD 的中位线即可；(2) 以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系,求出平面DPE 与平面APE 的法向量，利用空间向量相关知识求解即可.试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆的中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPEPB BC ⊥∴，又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望()16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性. 【解析】由① ② 得0.30.2a b =⎧⎨=⎩（2）由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布列如下：所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期一调考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<，则AB =（）A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e 【答案】B考点：集合的运算2.设0.90.8 1.1log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b << 【答案】C 【解析】试题分析：由对数函数和指数函数的性质可得0.90.80.8 1.1log 0.9log 0.81,log 0.90, 1.11a b c =<==<=>故b a c <<，选C考点：对数函数和指数函数的性质3.已知1a >，()22x xf x a+=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（）A ．10x -<<B ．21x -<<C ．20x -<<D ．01x << 【答案】A 【解析】试题分析：1,x a y a >∴=在R 上为增函数，故()222202112020xxxxf x a a a x x x ++<⇔<⇔<⇔+<⇔-<<，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是10x -<<考点：指数函数的性质，充分不必要条件4.已知函数()20,1,01,0x f x x x ππ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩，则()()()1f f f -的值等于（）A ．21-πB ．21+πC ．πD ．0 【答案】C考点：由函数解析式求函数值 5.曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围图形的面积为（） A ．4 B ．2 C ．52D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围图形的面积为322232cos cos sin sin 3202S xdx xdx x x ππππππ=-=-=⎰⎰考点：倒计时的几何意义及其运算 6.函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像与函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（） A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴【答案】A考点：三角函数的对称轴，对称中心7.已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()3121f x x x =--B ．()3121f x x x =+- C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =++ 【答案】A 【解析】试题分析：由图可知，函数的渐近线为12x =，排除C ，D ，又函数在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，而函数121y x =-在在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，3y x =-在R 上单调递减，则()3121f x x x =--在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，选A 考点：函数的单调性，渐近线8.设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，则()f x 在区间[],a b 上（）A ．有最小值()f aB ．有最大值()f aC ．有最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭ D ．有最小值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B考点：函数的单调性9.已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则()f x 的单调递增区间是（） A ．[]6,63,k k k Z +∈ B ．[]6,63,k k k Z ππ+∈ C ．[]63,6,k k k Z -∈ D ．无法确定【答案】A 【解析】试题分析：因为函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以函数的周期为6，所以263ππω==，并且函数的3x =时取得最大值，所以函数的单调增区间为[]6,63,k k k Z +∈ ．故选A ．考点：由()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性10.若不等式()()1213lg 1lg33x xa x ++-≥-对任意(),1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．[)0,+∞ 【答案】C考点：函数恒成立问题11.设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>，()02015f =，则不等式()2014xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()(),00,-∞+∞B ．()0,+∞C ．()2014,+∞D ．()(),02014,-∞+∞【答案】B【解析】试题分析：设()()()()(),()()1xxxxxg x e f x e g x e f x eef x f x '''=-=-=+-⎡⎤⎣⎦，()()'1f x f x +>()0g x '>，函数()g x 在定义域上单调递增，()2014()2014,x x e f x e g x >+∴>，又()00(0)020*******,()(0)0g e f e g x g x =-=-=∴>⇒>，选B考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，属于中档题．解题时结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，这里主要还是构造新函数，通过新函数的单调性解决问题，这种方法要注意体会掌握12.设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（） A ．()(),22,-∞-+∞ B ．()(),44,-∞-+∞ C ．()(),66,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞【答案】A考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，属中档题.其中关键点有两个，一是由0x 为()f x 的极值点，可得到0f x =（），另一个就是由()22200x f x m+<⎡⎤⎣⎦可得当2m 最小时，0||x 最小，而0||x 最小为12m ，进而得到不等式，解之即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.若非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量b 与a b +的夹角为【答案】6π【解析】试题分析：如图所示，设AB ,a AD b ==，∵两个非零向量满足||||2||a b a b a +=-=，则四边形ABCD 是矩形，且1 236AB cos BAC BAC OAB OAD AC ππ==∠∴∠=∠=∴∠=，，．而向量b 与a b +的夹角即为OAD ∠，故向量b 与a b +的夹角为6π考点：向量的夹角的计算14.设函数()y f x =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x pf x p f x p≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”，若给定函数()221,2f x x x p =--=，则下列结论不成立的是： .①()()00p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ②()()11p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ③()()22p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ④()()33p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 【答案】②考点：分段函数15.已知()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，()2122f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是【答案】102，⎛⎫ ⎪⎝⎭考点：根的存在性及根的个数判断．16.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，且()()()2sin sin b A B c b sinC +-=-，则ABC ∆面积的最大值为【解析】试题分析：由题意ABC ∆中，2a =，()()()2sin sin b A B c b sinC +-=-由正弦定理可得，()()()22222224124cos 2222b c a b c bc b a b c b c b c bc A bc bc bc +-+-+-=-⇒+-=∴====()0,3A A ππ∈∴=.再由224b c bc +-=，利用基本不等式可得 42bc bc bc ≥-=4bc ∴≤，当且仅当2b c ==时，取等号，此时，ABC ∆为等边三角形，它的面积为 11sin 22222S bc A ==⨯⨯⨯=考点：正弦定理，余弦定理，三角形的面积，基本不等式【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．由条件利用正弦定理可得224b c bc +-=．再由余弦定理可得3A π=，利用基本不等式可得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，此时，ABC ∆为等边三角形，从而求得它的面积 1sin 2S bc A =的值．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知a R ∈，[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥，2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=.（1）若p 为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）a ≤1（2）1a >或21a -<<.考点：复合的真假；函数单调性的性质．18.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin 2,2C B A A A π+-=≠.(1)求角A 的取值范围；(2)若1a =，ABC ∆的面积S =C 为钝角，求角A 的大小. 【答案】（Ⅰ）0,4π⎛⎤⎥⎝⎦(2) 6A π=（2）由（Ⅰ）及1a =得b =S =11sin 2C ⋅=，从而sin C =，因为C 为钝角，故712C π=.由余弦定理，得271221cos 1221212c π⎛=+-⋅=+-⋅=+ ⎝⎭，故c =.由正弦定理，得1sin 1sin 22a CA c===，因此6A π=.考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数 19.已知函数()1xf x e ax =+-（e 为自然对数的底数）.（1）当1a =时，求过点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）若()2f x x ≥在（0,1）上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()121e +（2）2a e ≥-（Ⅱ）由()2f x x ≥得21xx e a x--≥，令()()()()()2222111111,'1x x x xx x e e x x e e h x x h x x x x xxx-+----==+-=--=令()()()()1,'1,0,1,'10,xxx k x x e k x e x k x e =+-=-∈∴=-<()k x 在()0,1x ∈为减函数，∴()()00k x k <=，又∵()()()221110,0,'0x x x e x x h x x -+--<>∴=>.∴()h x 在()0,1x ∈为增函数，()()12h x h e <=-，因此只需2a e ≥- 考点：利用导数研究函数的性质20.已知函数()f x 满足()()22f x f x =+，且当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求实数a 的值；（2）设0b ≠，函数()()31,1,23g x bx bx x =-∈.若对任意()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使()()12f x g x =，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）1a =-（2）33ln 22b ≤-+或33ln 22b ≥-.考点：利用导数研究函数的性质21.已知函数()()323257,ln 22f x x x ax bg x x x x b =+++=+++，（,a b 为常数）. （1）若()g x 在1x =处的切线过点（0，-5），求b 的值；（2）设函数()f x 的导函数为()'f x ，若关于x 的方程()()'f x x xf x -=有唯一解，求实数b 的取值范围；（3）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)32b =(2) 71,,548⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()4,+∞ 【解析】试题分析：（1）由求导公式和法则求g x '（），利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把1x =代入求出切点坐标，代入()g x 求出b 的值； (2)求出方程()()'f x x xf x -=的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b 的取值范围；（3）求函数()F x 以及定义域，求()F x '出，利用导数和极值之间的关系将条件转（Ⅲ）()2ln F x ax x x =--，所以()221'x a F x x-+=-.因为()F x 存在极值，所以()221'0x a F x x-+=-=在()0,+∞上有限，即方程2210x ax -+=在()0,+∞上有限，则有280a ∆=-≥.显然当0∆=时，()F x 无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程2210x ax -+=的两根12,x x ，则12121022+=x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪⎪⎩，()()()()()22221212121211ln ln 1ln 5ln 2422a a F x F x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-，解得216a >，满足0∆>，又1202+=ax x >，即0a >，故所求a 的取值范围是()4,+∞. 考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等. 22.已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意的1x >，恒有()ln 11x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；（3）证明：()()2222ln 2ln3ln 21,24123++n n n n N n n n+--+⋅⋅⋅<∈≥+.【答案】（1）见解析（2）1k ≥（3）见解析试题解析：（1）()2ln 'xf x -=，由()'01f x x =⇒=，列表如下：因此增区间()0,1，减区间()1,+∞，极大值()11f =，无极小值. （2）因为1x >，()()()ln 11ln 1111x x k kx k f x k x -+-++≤⇔≤⇔-≤-，所以()max 11f x k k -=∴≥，考点：利用导数研究函数的性质，数列求和【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，数列求和等知识，属难题．解题时利用到恒成立问题的等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法，利用研究证明的结论证明不等式，同时应用到“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”等方法，要求有较高推理能力与计算能力，。

专题09 概率统计(解析版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)专题09 概率统计一、选择题1.【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A⨯=⨯⨯⨯=种，所以恰有一个地方未被选中的概率为1449 25616=.故选：B2.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为,故选D.3.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.4. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.5. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（） A ．72 B ．56 C ．57 D ．63 【答案】A【解析】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有种，然后将新的4个语文老师分给两个学校种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校种，所以共有=72种分配方法。

【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试理数试题

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数37iz i+=集合的实部和虚部分别是（） A ．7，3- B ．7，3i - C ．7-，3 D ．7-，3i 2.已知集合{1,0,2}P =-，Q {sin ,R}y y θθ==∈，则P Q =（） A ．∅ B ．{0} C ．{1,0}- D ．{1,0,2}-3.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.84.下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”B ．命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得2210x -<”的否定是“x R ∀∈，都有2210x -<”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题 5.已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（） A ．718 B ．2518C.718- D ．2518- 6.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ．2163π-B ．216 4.5π- C.2166π- D ．2169π- 7.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，现将()y f x =的图形向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在5[0,]24π上的值域为（） A ．[1,2]- B ．[0,1] C.[0,2] D ．[1,0]-8.我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a =，2046b =，输出的a =（）A ．66B ．12 C.36 D ．1989.已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩若不等式2(1)2a x xy -+2(42)0a y +-≥恒成立，则实数a 的最大值为（） A ．73 B ．53C 5.D 6． 10.已知函数()ln f x x =，()(23)g x m x n =++，若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记(23)m n +的最小值为(,)f m n ，则(,)f m n 最大值为（）A ．1B ．1e C. 21eD ．1e11.设双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点A ，B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）A ．52 B ．102C.52 D 5．12.已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当(0,4]x ∈时，ln(2)()x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>在区间[200200]-，上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．1(ln 2ln6)3--， B ．1(ln 2ln6]3--， C.13ln 2(ln6)34--， D ．13ln 2(ln6)34--，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量a ，b ，1a =，2b =且1a b ⋅=，若e 为平面单位向量，则()a b e +⋅的最大值为． 14.二项式651()x x x+展开式中的常数项是．15.已知点A 是抛物线C ：22x py =（0p >）上一点，O 为坐标原点，若A ，B 是以点(08)M ，为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO △为等边三角形，则p 的值是． 16.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，1AB AC ==，12AA =，若1AA 棱在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为θ（3060θ︒≤≤︒），设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n （*n ∈N ）项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶，，为数为数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .18. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，点E 、F 分别为BC 、PD 的中点，设直线PC 与平面AEF 交于点Q.（1）已知平面PAB 平面PCD l =，求证：AB l ∥；（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.19.作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近5年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011年之前,方便面销量在中国连续18年保持两位数增长,2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩；但2013年以来,方便面销量却连续3年下跌,只剩385亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据来源：世界方便面协会）年份 2013 2014 2015 2016时间代号t 1 2 3 4 年销量y （亿包/桶）462444404385(1)根据上表，求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+.用所求回归方程预测2017 年(5t =)方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查,其中5位受访者表示超过1年未吃过方便面,3位受访者认为方便面是健康食品；而9位受访者有过网络订餐的经历，现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.参考公式：回归方程：y bt a =+，其中121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-.参考数据：41()()135.5i i i t t y y =--=-∑.20.如图，设抛物线1:C 24y mx =-（0m >）的准线l 与x 轴交于椭圆2C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点2F ，1F 为2C 的左焦点，椭圆的离心率为12e=，抛物线1C 与椭圆2C 交于x 轴上方一点P ，连接1PF 并延长其交1C 于点Q ，M 为1C 上一动点，且在P ，Q 之间移动.（1）当32a b+取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F △的边长恰好时三个连续的自然数，当MPQ △面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程.21.已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数，2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与y 轴垂直. （1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+⋅<+. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(10)F ，的直线l 与1C 交于A ，B 两点，与2C 交于M ，N 两点，求FA FB FM FN的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知()11f x x =-+，()3()1233f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩，，，，（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.参考答案及解析一、选择题1-5:ACBBA 6-10:DAAAC 11、12：BD二、填空题13.7 14.5 15.2316.33 三、解答题17.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=， ∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩， ∴2d =，2q =， ∴21n a n =+，12n n b -= （2）由（1）知(321)(2)2n n n S n n ++==+ ∴11122n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩奇偶，，为数为数∴211111(1)3352121n T n n =-+-++--+13521(2222)n -+++++21121321n n ++=-+18.解：（1）∵AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PCD l =， ∴AB l ∥.（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，2AB =， ∴1BE =，3AE =，AE BC ⊥， ∴AE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE AD 、AP 分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.则(020)D ，，，(002)P ，，，(310)C ，，，(300)E ，，， ∴(011)F ，，，(300)AE =，，，(011)AF =，，，(310)DC =-，，，(022)DP =-，，，设平面PCD 的法向量为()n x y z =，，，得(133)n =，，.设(1)AQ AC AP λλ=+-，则(32(1))AQ λλλ=-，，，AQ mAE nAF =+，则332(1)m n n λλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，，解得23m n λ===， ∴222(3)333AQ =，，，设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos 35n AQ α=<>=， ∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为31053519.解：（1） 2.5t =，423.75y =，241()5i i t t =-=∑，135.527.15b -==-，423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以27.1491.5y t =-+当5t =时，27.15491.5356y =-⨯+=（2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以373107(0)24C P C ξ===；123731021(1)40C C P C ξ===；21373107(2)40C C P C ξ===；333101(3)120C P C ξ===，ξ 0123P72421407401120721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m = 所以32a b+取最小时值时1m =，此时抛物线1C ：24y x =-，此时2a =，23b =，所以椭圆2C 的方程为22143x y +=. （2）因为c m =，12c e a ==，则2a m =，3b m =，设椭圆2222143x y m m +=，00()P x y ，，11()Q x y ，由222221434x y m m y mx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22316120x mx m --=，所以023x m =-或06x m =（舍去），代入抛物线方程得0263y m =，即226()33m mP -，，于是153m PF =，21723m PF a PF =-=，12623mF F m ==，又12PF F △的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m =，此时抛物线方程为212y x =-，1(30)F =-，，(226)P -，，则直线PQ 的方程为26(3)y x =+，联立226(3)12y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得192x =-或12x =-（舍去）于是9(36)2Q --，所以22925(2)(2636)22PQ =-+++=，设2()12t M t -，（(3626)t ∈-，）到直线PQ 的距离为d ，则26675()3022d t =⨯+- 当62t =-时，max 675563024d =⨯=，所以MPQ △的面积最大值为12556125622216⨯⨯=，MP ：426633y x =--. 21.解：（1）因为1ln 2()x x kx f x e-+'=（0x >），由已知得12(1)0k f e +'==，所以12k =-，所以1ln 1()x x x f x e--'=，设1()ln 1k x x x=--，则211()0k x x x'=--<在(0)+∞，上恒成立，即()k x 在(0)+∞，上单调递减，由(1)0k =知，当01x <<时，()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时，()0k x <，从而()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(01)，，单调递减区间是(1)+∞，，（2）因为0x >，要证原式成立即证2()11x g x e e x -+<+成立.当1x ≥时，由（1）知2()01g x e -≤<+成立；当01x <<时，1x e >，且由（1）知，()0g x >，所以1ln ()1ln xx x xg x x x x e --=<--.设()1ln F x x x x =--，(01)x ∈，，则()(ln 2)F x x '=-+，当2(0)x e -∈，时，()0F x '> 当2(1)x e -∈，时，()0F x '<，所以当2x e -=时，()F x 取得最大值22()1F e e --=+，所以2()()1g x F x e -<≤+，即当01x <<时，2()1g x e -<+，①综上所述，对任意0x >，2()1g x e -<+恒成立，令()1x G x e x =--（0x >），则()10x G x e '=->恒成立，所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，()(0)0G x G >=恒成立，即10x e x >+>，即1101x e x <<+.② 当1x ≥时，有2()101x g x e e x -+≤<+；当01x <<时，由①②式，2()11x g x e e x -+<+. 综上所述，当0x >时，2()11x g x e e x -+<+成立，故原不等式成立. 22.解：（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线22:4C y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=，可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，则12211sin FA FB t t α⋅==+，联立直线l 与曲线2C ：24y x =，可得22sin 4cos 40t t αα--=. 则1224sin FM FN t t α⋅==，即2221111sin 4141sin sin FA FB FM FN ααα+==⋅+108⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 23.解：（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+.当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为(1)123x x --+≤+，解得13x ≥-，此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1[)3-+∞，. （2）113()1233x x F x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，，，即21()131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是(13)，.。

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2017-2018 学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A. ，B. ，C. ， D. ，2. 已知集合，，则（A.B.C.D.3. 已知随机变量服从正态分布，且，A.B.C.D.4. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若，则 ”的否命题为“若，则 ”B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有D. 命题“若，则 ”的逆否命题为真命题），”等于（）5. 已知满足，则（）A.B.C.D.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A.B.7. 已知函数C. ，现将D. 的图形向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的值域为（）A.B.C.D.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的（）A.B.C.D.9. 已知实数，满足约束条件若不等式恒成立，则实数的最大值为（）A.B.C.D.10. 已知函数，，若对任意的最小值为，则最大值为（）A.B.C.D.，总有恒成立，记的11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若A.B.，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（）C.D.12. 已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）在区A.B.C.D.第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量，，，且，若为平面单位向量，则的最大值为_____ ．14. 二项式展开式中的常数项是_____ ．15. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若，是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_____ ．16. 已知直三棱柱中，，，,若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为，设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列的前（）项和为，数列是等比数列，，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，设数列的前项和为，求 .18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点、分别为、的中点，设直线与平面交于点 .（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011 年之前,方便面销量在中国连续年保持两位数增长,2013 年的年销量更是创下亿包的辉煌战绩；但 2013 年以来,方便面销量却连续 3 年下跌,只剩亿包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据：世界方便面协会）年份时间代号年销量（亿包/桶）(1)根据上表，求关于的线性回归方程.用所求回归方程预测 2017 年( )方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的位朋友做了一次调查,其中位受访者表示超过年未吃过方便面, 位受访者认为方便面是健康食品；而位受访者有过网络订餐的经历，现从这人中抽取人进行深度访谈，记表示随机抽取的人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望 .参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.20. 如图，设抛物线（）的准线与轴交于椭圆：（）的右焦点，为的左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长其交于点，为上一动点，且在，之间移动.（1）当取最小值时，求和的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.21. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的单调区间；（2）设，对任意，证明：.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.23. 选修 4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式（2）若方程；有三个解，求实数的取值范围.。

精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A. C. ， D.【答案】A.的实部是，虚部是 A.点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.2. ）【答案】C..C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.3. ）【答案】B对称，且.详解：对称，且B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1（24. 下列有关命题的说法正确的是（）A. ”的否命题为“若B.C.D. ，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：“的否命题为“逆命题是“的否定是““，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， B.点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.5. ）C. D.【答案】AA.6. 某几何体的三视图如图所示，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）【答案】D，故体积为D.7.倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在）A. B. C. D.【答案】A，可得对应的函数解析式为，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式为:，故选A点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）则所得图像对应的解析式为遵循“左加右减”；（2，那么所得图像8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入）【答案】A【解析】依次运行程序框图中的程序．a=6402，b=2046，执行循环体，r=264，a=2046，b=264；不满足条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198；不满足条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66；不满足条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0．满足条件r=0，退出循环．输出a的值为66．选A．9. 若不等式恒成立，则实数为（）【答案】A，即，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：令，则，令，则在区间上单调递减，在区间，据此可得，当取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：本题选择A选项.10.）A. C. D.【答案】C【解析】，当时，时，，从而，因为，所以当C.或；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．11. ：，，过，且的一个四等分点，则双曲线）【答案】B，则可设再由双曲线的定义，得到，这与所以是直角三角形，且,故选B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，立，经过分析，是直角三角形，之间的关系，的值，综合分析发现得到是直角三角形是解决问题的关键.12. 时，的取值范围是（）A. D.【答案】D的值，结合函数图象列不等式，即可得出.上含有上单调递增，在，，个正整数，分别为D.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺得到结论.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. _____．【解析】分析：，求出向量平面向量，然后利用向量的坐标运算求解.设出面:(1)求向量的夹角，；（2上的投影是（3;(4)求向量.14. _____．【答案】5展开式中的常数项是.15. 已知点是抛物线）上一点，是以点的两个公共点，且_____ ．【解析】由题意，可知，所以，所以。

河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测数学(理)试题

2017—2018学年高三一轮复习周测卷（一）理数第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列说法正确的是A ．0与{}0的意义相同B ．高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C ．集合{}(,)|32,x y x y x N +=∈是有限集D ．方程2210x x ++=的解集只有一个元素2、已知集合2{|60,},{|4,}A x x x x R B x x Z =+-≤∈=≤∈，则A B =IA ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}0,1,23、设命题2:"1,1"p x x ∀<<，则p ⌝为A ．21,1x x ∀≥<B ．201,1x x ∃<≥C ．21,1x x ∀<≥D ．201,1x x ∃≥≥ 4、已知集合2{|0},{|lg(21)}A x x x B x y x =-≥==-，则集合A B =IA ．1[0,)2B ．[0,1]C ．1(,1]2D ．1(,)2+∞5、设,a b R ∈，则“22log log a b >”是“21a b ->”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设221:0,:(21)(1)01x p q x a x a a x -≤-+++<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27、已知命题2:,10p m R x mx ∀∈--=有解，命题2000:,210q x N x x ∃∈--≤，则下列选项中是假命题的为A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝8、已知集合{|A x y A B φ===I ，则集合B 不可能是A ．1{|42}x x x +<B ．{(,)|1}x y y x =-C ．φD ．22{|log (21)}y y x x =-++9、设1,:()[(1)]0p q x a x a ≤---≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是A ．3[1,]2B ．3(1,)2C ．3(,1)[,)2-∞+∞UD ．3(,1)(,)2-∞+∞U10、已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是A ．{}(,2]1-∞UB ．(,2][1,2]-∞UC ．[1,)+∞D ．[2,1]-11、对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“*”，法则如下：当,m n 都是正奇数时，m n m n *=+；当,m n 不全为正奇数时，m n mn *=，则在此定义下，集合{(,)|16,,}M a b a b a N b N ++=*=∈∈ 的真子集的个数是A ．721-B ．1121-C ．1321-D ．1421-12、用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩ ，若22{1,2},{|()(2)0}A B X x ax x ax ==+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能的取值集合是，则A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知含有三个实数的集合既可表示成{,,1}b a a ，又可表示成2{,,0}a a b +，则20172017a b +等于 14、已知集合2{|230},{|1}A x R x x B x R x m =∈--<=∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是15、已知集合{1,1},{|20}A B x ax =-=+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为16、下列说法错误的是 (填序号)①命题“1212,,x x M x x ∃∈≠，有1221[()()]()0f x f x x x -->”的否定是“1212,,x x M x x ∃∉≠，有1221[()()]()0f x f x x x --≤”；②若一个命题的逆命题，则它的否命题也一定为真命题； ③已知21:230,:13p x x q x+->>-，若()q p ⌝∧为真命题，则实数x 的取值范围是(,3)-∞-U(1,2)[3,)+∞U④“3x ≠”是“3x ≠”成立的充分条件三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）已知集合2{|3327},{|log 1}x A x B x x =≤≤=> .（1）分别求,()R A B C B A I U ；（2）已知集合{|1}C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值范围.18、（本小题满分12分）（1）已知:p ，关于x 的方程240x ax -+=有实数，:q 关于x 的函数224y x ax =++在区间[3,)+∞上是增函数，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围；（2）已知22:(43)1,:(21)(1)0p x q x a x a a -≤-+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19、（本小题满分12分）集合219{|()(3)0},{|ln()0}24A x x x B x x ax a =--==+++=（1）若集合B 只有一个元素，求实数a 的值；（2）若B 是A 的真子集，求实数a 的取值范围.20、（本小题满分12分）已知函数()41log ,[,4]16f x x x =∈的值域是集合A ，关于x 的不等式31()2()2x a x a R +>∈的解集为B ，集合5{|0}1x C x x -=≥+，集合{|121}(0)D x m x m m =+≤≤->. （1）若A B B =U ，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围.21、（本小题满分12分）已知函数()f x =A ，集合22{|290}B x x mx m =-+-≤.（1）若[2,3]A B =I ，求实数m 的值；（2）若12,()R x a x C B ∀∈∃∈，使21x x =，求实数m 的取值范围.22、（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当12x x <时，1212()[()()]0x x f x f x -->，设:p “2(3)(128)0f m f m ++-<”.（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）设:q 集合{|(1)(4)0}A x x x =+-≤与集合{|}B x x m =<的交集为{}|1x x ≤-，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围.。

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