对基尼系数计算方法的比较与思考

图%
XH/Q+,, 和 Y-G+K-’1$8Z 年 V 在 他 们 的 /9QS+/LHQ [NH.KE .R Y-+-BP-BLP$ 一 书 中
提出基尼系数等于基尼相对平均差的一 半 " 这一个重要结论使基尼系数的计算 方法又向前迈进了一步 % 基尼绝对平均
/ B = 1C = 1 EB?ECD " 连续分布表达 式 为 -! =\DEB?ECD " 其 中 DEB?ECD 表 示 任 何 一 对 样 本 的 收 入 差 的 绝对值 "/ 是样本数量 % 基尼相对平均差 表达式为 ! " 所以基尼 系 数 为 -<= ! = GE %GE
,L-
有相同的基尼系数值 & 这是因为尽管两 者离散程度差异很大 " 但组 (/ % 的每个数 都是组 (2% 的 266 倍 " 也就是说组中的每 个数与均值的相对程度是一样的" 组( / % 仅是组 (2 % 按一定比例的扩大 & 然 而 ST=UV S)J).T 在 现 实 中 是 凸 的 ( 见 图 @ 中 的 W 曲 线 %" 即 收 入 开 始 增 长很慢 " 然后收入的绝对数逐渐增加 " 最 后 收 入 增 长 速 度 也 不 断 增 快 "W 比 < 分 配更加不公平 & % 四 & 矩阵法 矩 阵 法 是 S$)BB,2>PL- 提 出 的 " 他 定 义基尼系数的表达式为两项的比率 " 即 !
%
B = 2
!’U
/
B:1
?UBV’WB:1:WBV "
其中 UB 是人口累积百分比 " 当收入 E=EB 的概率为 RB= 1 " 则 MB= B ,WB 是收入累积
! 三 " 协方差法 Y-G+K- ’1$87V 提 出 基 尼 绝 对 平 均 差 可以表示为变量值 EB 和序号 #E ) 按收入 大小从低到高排列 " 最贫穷的单位赋值 为 $E=1 " 最 富 裕 的 单 位 赋 值 为 $E=^ * 的 协方差的函数 " 但是把这个关系与计算 基尼 系 数 联 系 在 一 起 还 是 由 后 来 9/+/Q 提出的 % 离 散 分 布 -< =
在 16"23 之 间 的 分 布 " 其 均 值 为 2 " 所 以
( %F &2 !$ ! #$ / @ ,)K( FK2 % / ! %F &2 ! ( %F &2 FK2 / % @ ,( - % @ ,FK2/ ! %,FK2-,F&2- ! 2 % @ ,FK2%@ 2 ’ %@ 联立 (> % 和 (N%! :!
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[% !25" 是 由 "%’ 组 成 的 E OE 矩 阵 ""%’ !" ,\)%=#% (’- +[!,[25[/5 , 5[E-U 为 由 [% 组 成 的 EO2 矩阵 "X!,X25X/5 , 5XE-U 为每一组 收 入 的 均 值 组 成 的 EO2 矩 阵 & 所 以 XU[!
E
"X [ !; "SU"S 为总的 收 入 差 距 "
% % $ % ! 2
基尼
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其中"
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Βιβλιοθήκη Baidu
F ,FK2-/ ,FK2-/ -! %/& " " % ! 2 4 ,FK2%K " % ! 2 4 % ! 2 / / F,FK2F,FK2F,FK2-,/FK2& K ! L / 4 / F,F &2! 2/
自的优点和适用范围 " 而且它们是相互 统一和相互一致的 % ! 一 " 几何法 如 果 收 入 的 分 布 为 离 散 型 分 布 "那 么 洛 伦 兹 曲 线 以 下 部 分 即 -; 区 域 的 面 积 可 以 表 示 为 -;= 1
/?1
%/ GE
=
1 /%
/
/ B C
!!J+T’5&E ?E V
!=
1 !!DEB?ECD"5F!F%"E />/?10 B = 1 C = 1
/
/
"W’UVQ "基尼系数=1?% "W’MVQ %
M M 2 2
1
1
! 二 " 基尼平均差法
!"
统计与决策
!"#"$
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式 ! 因为在连续分布中基尼绝对平均差 可以表达为 !!!"#$%&$’#!
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!""# !" $ # $ %" %&& #&
对
!"#$%&’( 的比较与思考
谢 萌 丁 勇
其 中 &DEB?ECD 表 示 任 何 一 对 样 本 的 收 入 差 的 绝 对 值 &/ 是 样 本 数 量 &"E 是 收 入 均值 % 经过后人的改造 & 现在常用的基尼 系数即相对基尼系数的一般计算公式可
/ / B C
#刘 颖
一 ! 基尼系数的概念 意 大 利 统 计 学 家 !" 基 尼 在 其 #$#% 年 发 表 的 一 书 中& 首 次 提 出 了 一 种 不 均 等指数及其计算方法 ! 此后 " 英国收入分 配专家达尔顿 ’()*+,-./0 在 1$%2 年的 # 收 入不均等的测量 $ 一文中首次在英文文 献 中 介 绍 基 尼 的 不 均 等 指 数& 并 把 它 称 之 为 平 均 差 指 数& 而 且 认 为 该 指 数 可 以 用来研究收入分配问题 % 从此以后 & 基尼 的不均等指数逐步受到更多人的重 视& 被后人称为基尼系数 " 并且成为反映社 会分配不平等程度 & 一国国民收入分配 差距的重要指标 ! 基尼系数对评估宏观 经 济 形 式 &调 整 政 策 &调 节 社 会 关 系 "具 有重要的 ’ 决策依据 ( 价值 % ! 一 " 几何意义 美国统计学 家 3)4) 洛 伦 兹 在 #$56 年提出了著名的洛伦兹曲线 % 洛伦兹首 先将一国总人口按收入由低到高排队" 然后考虑收入最低的任意人口百分比所 得到的收入百分比 " 最后将这样得到的 人口累积百分比和收入累积百分比的对 应关系描绘在图形上 " 即得到洛伦兹曲 线 ) 如图 # *% 横轴表示人口 ) 按收入由低 到高分组 * 的累积百分比 " 纵轴表示收入 的累积百分比 % 洛伦兹曲线的弯曲程度 反映了收入分配的不平等程度 % 洛伦兹 曲线越向横轴凸出 " 与完全平等线之间 的面积就越大 " 收入分配程度越不平等 % 因此 " 可以将洛伦兹曲线与 78 度线 之间的部分 9 叫做 + 不平等面积 (,9:; 就是 + 完全不平等面积 (% 不平等面积与 完全不平等面积之比" 称为基尼系数"
以 表 示 如 下 -<= ! = B
!!DE ?E D
= #C = # %
%"E
"其
%/ GE
中 &DEB?ECD 表示任何一对 样 本 的 收 入 差 的 绝对值 &/ 是样本数量 & "E 是收入均值 % 二 ! 基尼系数计算方法 现在 " 经济学家已经掌握了多种计 算 基 尼 系 数 的 方 法 " 例 如 - 几 何 法 )<H.I JH-KBL +MMK.+LN*& 基 尼 平 均 差 法 )<B/BOP
/
百 分 比 " 如 果 收 入 的 平 均 数 为 GE= 1
/
%L.S>EB &$E V 是 由 JGE
/
/
!
B = 1
EB" 那么 WB= 1 /GE
/
!E % B 为第 B 个样本 "且
C C = 1 /?1 B = 2
9/+/Q 于 #$Z@ 年提出 " 因为 $E = # !B= / B=# /:# "L.S>E &$ V= # $ E ? /:# G " 所以可 B E B E % / E %
’ ! 2 % ! 2
/ ! !4789,$50,$-- # 由 第 二 种 方 法 定 义 基 尼 系数 :! ! ! /789,$50,$-- # ;$ /;$ <=)=. $2>?@ % 和 A%BCD)E $2>?4 % 用 不
同的方法得到了一致的结果 & 协方差法 已经被编写成程序 " 可以直接用统计软 件包来计算基尼系数 & 基于协方差法 " 下面介绍一种计算 基尼系数的简单方法 & $2 % :! /789,$%5"$- & F#$ $/ % 因为 GHI,$%5"$-!$$$"$%,$%5"$$$ 是个体收入标准差 "$J$ 是个体 序 号的标准差 "%,$%5J$- 是 $% 和 $$ 相关系数 &
以 写 成 <=
B=1&%& . / % 所以基尼系数 "<=1?!’UB:1? UBV’WB:1:WBV %
如 果 收 入 分 布 是 连 续 型 的 " 则 ;=
%L.S>EB &$E V = % /GE /%GE
/
!$
B = #
E
EB ?
/:# " 基尼系数为任意收入与其序号的 /
协方差的函数 % 连 续 分 布 -WHKJ+/ 和 _B-‘N+aB 于 #$Z7 年 提 出 了 关 于 连 续 分 布 的 计 算 公
%
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M$"$ ! M:!
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/789,$%5"$ - /$$ %F &2 %,$%5"$ ! ! F#$ %2/ F#$
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如果 F 足够大 "
&2 ’2/ F $$ %,$ 5" 所以 ":’ 2 % $ % @ #$
%F
可得 "$$! ( %F &2 %2/ 又 Q#$!)K("$!)K(O FK2
$P %
-+,$-.$ " !$,0,$-& 2 /
)
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$? %
图 @$ST=UV [)J).T" 列队分布 #4 N
E
/
令 +,$-.$!0,$- " 变 积 分 区 域 1(5)3 为 16"23 " 原式变为 !!4
/ / B C
差 ) 离 散 分 布 * 表 达 式 为 -! = 1%
/
/
!!D
!!DE ?E D
图# 洛化兹曲线
B = 1C = 1 %
JH+/ QBRRHKH/LH +MMK.+LN*& 协 方 差 法 )!.S+KB+/LH +MMK.+LN * 和 矩 阵 法 )3+-KBT R.KJ +MMK.+LN*% 每一种方法都有它们各
由 $P %’(?% 联立可得
!$ ! ( %F &2 R %2/ ! ( %F &2 #$ )K(O,FK2- R / / % @ ,)K( FK2 / 若令 ) 显著小 " 则简化为 !
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有 %,$%5"$ -!2" $$!($J$" 由 $4 %"$"$!
! !#$&*#+,*-+,$) )
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!0,*-12&0,*-3.*" 其 中 0 为 绝 对
)
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平均数的分布 # 经过部分积分和变量替 换 后 可 以 写 成 ! !4
B = 1C = 1
GE
) 离 散 分 布 *"<= ! = \DEB?ECD =1? 1 %GE GE %GE ’1?]’EVV%QE) 连续分布 *%
"
5
1
<= 9 %9=%> # ?;0=1?%; % 当 9=5 时 " 9:; % 基 尼 系 数 为 5" 表 示 收 入 分 配 绝 对 平 等 , 当 ;=5 时 " 基尼系数为 1 " 表 示 收 入 分 配 绝对不平等 % 基尼系数是 5?1 之间的数
值 "基 尼 系 数 越 大 "不 均 等 程 度 越 高 ,基 尼系数越小 " 收入分配越平等 % 衡量收入 差 距 的 一 般 标 准 为 - 基 尼 系 数 在 5)% 以 下 表 示 高 度 平 均 ,5)%?5)@ 之 间 表 示 相 对 平 均 ,5)@?5)7 之 间 表 示 较 为 合 理 ,5)7? 5)8 之 间 表 示 差 距 偏 大 ,5)8 以 上 为 差 距 悬殊 % ! 二 " 计算公式 根据新帕雷格拉夫 经 济 学 辞 典&基 尼系数的原始计算公式是 A
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F
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2 !$ % ,$ 5" - %F &2 ! % $ F % @ #$ 2 O 2 O F&2 F/&2 ! 2 F @ FK2 %@ %@ F&2 ’ 2 F @ 结论 ! 若 ST=UV S)J).T 为线性 " 基 尼系数 ! 2 # 当 F 足够大 $ @ 初看此结论可能很奇怪" 假如有 / 个 这 样 的 序 列 " (2"/ "@ "4 "N % 和 (266 " /66"@66 "466"N66 %" 但这 两 个 序 列 却 具