18年高考真题——理科数学(全国1卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（全国I 卷）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设121iz i i-=++，则||z =（ ） （A ）0 （B ）12 （C ）1 （D ）22．已知集合{}2|20A x x x =-->，则RA =（ ）（A ）{}|12x x -<< （B ）{}|12x x -≤≤（C ）{}{}|1|2x x x x <->（D ）{}{}|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如右饼图。

则下面结论中不正确的是（ ）（A ）新农村建设后，种植收入减少（B ）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 （C ）新农村建设后，养殖收入增加了一倍（D ）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ） （A ）12- （B ）10- （C ）10 （D ）125．设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为（ ） （A ）2y x =- （B ）y x =- （C ）2y x = （D ）y x =6．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） （A ）3144AB AC - （B ）1344AB AC - （C ）3144AB AC + （D ）1344AB AC + 7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） （A ）334 （B ）233 （C ）324 （D ）328．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅=（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）89．已知函数()()()0ln 0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =++。

若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） （A ）[)1,0- （B ）[)0,+∞ （C ）[)1,-+∞ （D ）[)1,+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。

此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC 。

ABC ∆的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III 。

在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为123,,p p p ，则（ ） （A ）12p p = （B ）13p p = （C ）23p p = （D ）123p p p =+11．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N 。

若OMN ∆为直角三角形，则||MN =（ ） （A ）32（B ）3 （C ）23 （D ）4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） （A ）334 （B ）233 （C ）324 （D ）32二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________。

14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________。

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种。

（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是__________。

三．解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分。

17．（本小题12分）在平面四边形ABCD 中，090ADC ∠=，045A ∠=，2AB =，5BD =。

⑴求cos ADB ；⑵若22DC =，求BC 。

18．（本小题12分）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别 为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥。

⑴证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；⑵求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值。

19．（本小题12分）设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M的坐标为()2,0。

⑴当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠。

20．（本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。

检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立。

⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的0p 作为p 的值。

已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．（本小题12分）已知函数()1ln f x x a x x=-+。

⑴讨论()f x 的单调性；⑵若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+。

以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=。

⑴求2C 的直角坐标方程；⑵若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。

23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知()|1||1|f x x ax =+--。

⑴当1a =时，求不等式()1f x >的解集；⑵若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷）解答一．选择题 CBABD AADCA BA 二．填空题 13．6；14．63-；15．16；1617．解：⑴在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =，故052sin 45sin ADB=，得sin ADB =。

由题设知，090ADB ∠<，所以cos ADB ==⑵由题设及⑴知，cos sin 5BDC ADB ==。

在BCD ∆中，由余弦定理得 2222cos 25BC BD DC BD DC BDC =+-⋅=，所以5BC =。

18．证明：⑴由题BF PF ⊥，BF EF ⊥，又PF EF F =，故BF ⊥平面PEF 。

又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD ；⑵作PH EF ⊥，垂足为H 。

由⑴得，PH ⊥平面ABFD 。

以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，||BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -。

由⑴知DE PE ⊥，又2DP =，1DE =，故PE =又1PF =，2EF =，故PE PF ⊥。

可得PH =，32EH =。

则()0,0,0H，P ⎛ ⎝⎭，31,,02D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2DP ⎛= ⎝⎭，且HP ⎛= ⎝⎭为平面ABFD 的法向量。

设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则34sin ||4||||3HP DP HP DP θ⋅===⋅为所求。

19．解：⑴由已知得()1,0F，l ：1x =。

由题可知()A 或()1,A ，故2AM k =±，所以AM 的方程为()22y x =±-； ⑵当l 与x 轴重合时，00OMA OMB ∠=∠=；当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠；当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则1x <2x <,MA MB 的斜率之和为()()12121212112222MA MB k x k x y yk k x x x x --+=+=+=----()()()12121223422x x x x k x x -++⋅--。

由()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=，故2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+，因此()2212122222423423402121k k x x x x k k --++=⋅-⋅+=++，从而0MA MB k k +=，故,MA MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠。

综上，OMA OMB ∠=∠。

20．解：⑴由题可知()()1822201f p C p p =-，因此()()()1817222021181f p C p p p p ⎡⎤'=---=⎣⎦()()1722021101C p p p --。

令()0f p '=，得0.1p =。

当()0,0.1p ∈时，()0f p '>；当()0.1,1p ∈时，()0f p '<。

所以()f p 的最大值点为00.1p =；⑵由⑴知0.1p =。

①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()180,0.1YB ，202254025X Y Y =⋅+=+，所以()40254025490EX E Y EY =+=+=；②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元。