二次曲线方程的化简与分类

x
1 ( x 2 y ) 5
y
1
(2 x y)
5
代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
5x225x55y10
利用配方使上式化为 (x 5)2 5y 0
5
再作移轴
x x
5,
5
y y
曲线方程化为最简形式 x2 5y 0
或写成标准方程为 x2 5 y
这是一条抛物线，它 的顶点是新坐标系
解 因为二次曲线的方程含有 x y 项，因此 我们总可以先通过转轴消去 x y 项。设旋转角为 ，
那么由（5.6-8）得：
ctg 2
3,
4
即
1 tg 2 3
,
2tg
4
所以
2tg23tg20,
从而得
tg1 或 2 。
2
取 tg 2 ，那么 sin 2 ， c o s 1 ，所以得
5
5
转轴公式为
解出 a13 , a23 得
a13 a13cosa23sin, a23 a13sina23cos,
可以进一步看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的
一次项系数 a13 , a23 的变换规律是与点的坐标 x , y 的
变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转 轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通 过转轴也不会产生一次项。
二次曲线方程的化简与分类
转轴公式为
xxcosysin yxsinycos
（5.6-2）
y
或
xxcosysin yxsinycos（5.6-2′）
o
x
式中的 为坐标轴的旋转角。
而在一般情形，由旧坐标系 O xy 变成新坐
标系 O xy ，总可以分两步来完成，
先移轴使坐标原点与新坐标系的原点 O重合,变成坐
平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原
点的坐标 ( x 0 , y 0 ) 与坐标轴的旋转角 决定的。
确定坐标变换公式，除了上
面的这种情况外，还可以有
其它的方法。
y
例如给出了新坐标系 的两坐标轴在旧坐标
M x/ y/
A2xB2yC20
A1xB1yC10
系里的方程，并规定 了一个轴的正方向等。 o 现在我们就来介绍这
取这两条主直径为新坐标轴，由（5.6-5）得坐标 变换公式为
x
x y, 2
y
x
y4,
2
解出 x 与 y
x
2 x 2
2 y 2, 2
y
2 x 2
2 y 2, 2
代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系
下得方程为
1x2 5y2 10, 22
所以曲线标准方程为 x 2 2
y 2 2
所以
ctg2 a11 a22
2a12
（5.6-8）
因为余切的值可以是任意的实数，所以 总有满
足（5.6-8），也就是说总可以经过适当的转轴消 去（1）的 x y 项。
例 2 化简二次曲线方程 并画出它的图形。
x2 4 xy 4 y2 1 2 xy 1 0
x2 4 xy 4y2 1 2 xy 10
a11 cos2 2a12 sin (a22 a11)sin cos
cos a22 sin2 , a12(cos2 sin2
),
a22 a11 sin2 2a12 sin cos a22 cos2 ,
a13 a13 cos a23 sin,
（5.6-7）
a23 a13 sin a23 cos,
ctg2 0,
从而可取 ，故转轴公式为
4
x
1 ( x y ) , 2
y
1
( x y ) ,
2
经转轴后曲线的方程 1x23y240 22
或写成标准形式
x 2 y 2
1.
8
8
3
这是一个椭圆，它的
图形如图5-4所示。
y/
利用转轴来消去 二次曲线方程的 x y 项， 它有一个几何意义， 就是把坐标轴旋转到 与二次曲线的主方向 平行的位置。
3 o 常数项不变。
二次曲线方程（1）里，如果 a12 0 ，我们往往
使用转轴使新方程中的
a
' 1
2
0
。为此，我们只有取
旋转角 ，使得
a 1 2 ( a 2 2 a 1 1 ) s i n c o s a 1 2 ( c o s 2 s i n 2) 0 ,
即
(a 2 2 a 1 1 )s in 2 2 a 1 2 c o s 2 0 ,
B
2 1
（5.6-5）
为了使新坐标系仍然是右手坐标系，我们来决定（5.6-5）
中的符号, 将（5.6-5）式与公式（5.6-4）比较得
xxcosysin(x0cosy0sin) y xsinycos( x0siny0cos)
（5.6-4）
A 2 co s, B 2 sin,
A 2 2B 2 2
y
/4
o/
x/
o
x
（图5-4）
这是因为如果二次曲线的特征根 确定的主方向为
X : Y ，那么由（5.5-1′）立刻得：
tgY a12 a11, X a22 a12
(aa1211X()aX22a12)YY00,.
ctg 2
1 tg 2 2tg
1 (
2
a12 )2 a22 a12
a22
1 ( a12 )( a11 )
在移轴（5.6-1）即
x y
x y
x0 y0
下，二次曲线（1）的新方程为
F(xx0,yy0)
a11(xx0)22a12(xx0)(yy0)
a22(yy0)22a13(xx0)2a23(yy0)a33
0
化简整理得：
a 1 1 x 2 2 a 1 2 x y a 2 2 y 2 2 a 1 3 x 2 a 2 3 y a 3 3 0
坐标变换公式。
l 1 为O
x
轴，l 2
为O
y
轴，求
解 设 M (x, y) 的新坐标为 ( x, y) ，那么有
xx2y2, y2xy3,
5
5
根据上面的符号选取法则得变换公式为
xyx2x25yy2,3;或
x
－x2y2, 5
y
2xy3
。
5
5
2. 二次曲线方程的化简与分类
设二次曲线的方程为
F(x,y)a11x22a12xya22y2 2a13x2a23ya330, （1）
因为 x 是点 M (x, y) 到O y 轴的距离，也就是M 点
到l 2 的距离，因此我们有
x A2xB2yC2
同理可得
y A1xB1yC1
A22 B22
A12 B12
于是在去掉绝对值符号以后，便有
x
A2 x B2 y C 2
A
2 2
B
2 2
y
A1 x
B1 y
C1
A12
O xy 的原点。原 方程的图形可以根据 它在坐标系 Oxy 中的标准方程作出，
y
y/
x/ (x//)
y//
ox o/
它的图形如图5 - 3所
示。 利用坐标变换化简二
（图 5 - 3）
次曲线的方程，如果曲线
有中心，那么为了计算方便，往往先移轴后转轴。
例 3 化简二次曲线方程 x2xyy22x4y0
因此，二次曲线方程的化简 ，只要先求 出曲线（1）的主直径， 然后以它作为新坐标轴， 作坐标变换即可。
例 4 化简二次曲线方程
x 2 3 x y y 2 1 0 x 1 0 y 2 1 0 ,
并作出它的图形。
解 已知二次曲线的矩阵是
1
3 2
3 2 1
5
5
,
I1 112, I2
5
5
2
1
所以曲线的特征方程是 2 2
1
3 2
5 0,
3wk.baidu.com2 1
5, 4
4
解得两特征根为
1
1, 2
2
5, 2
因而曲线的两个主方向为
X1
: Y1
3 2
:
(
1 2
1)
1:1,
X2
: Y2
3 2
:(5 2
1)
1:1;
曲线的两条主直径为
(x3y5)(3xy5)0
2
2
与
(x3y5)(3xy5)0,
2
2
即
x y 0与 x y 4 0 .
a22
a12
a11 a22
2 a12
2 a12
a22
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二 次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二 次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。
如果是中心曲线， 坐标原点与曲线的中心重合 ； 如果是无心曲线， 坐标原点与曲线的顶点重合 ； 如果是线心曲线， 坐标原点可以与曲线的任何一个中 心重合。
a33 a33.
因此，在转轴下，二次曲线方程（1）的系数变换 规律为：
1o 二次项系数一般要改变。新方程的二次
项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而
与一次项系数及常数项无关。
2o 一次项系数一般要改变。新方程的一次
项系数
a13 a13cosa23sin, a2 3 a13sina23cos,
现在我们要选取一个适当的坐标系，也就是要确 定一个坐标变换，使得曲线（1）在新坐标系下的 方程最为简单，这就是二次曲线方程的化简。 为此，我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的 系数是怎样变化的。 因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成，所以我们 分别考察在移轴与转轴下，
二次曲线方程（1）的系数的变换规律。
o/
x//
由上两式得一般坐标变
换公式为
o
x
xxcosysinx0
（图5-1）
yxsinycosy0 （5.6-3）
由（5.6-3）解出 x , y 便得逆变换公式
x y x c xo ss in yy sic n o s (x (0 cx o 0 ss in y 0sy i0 n c o)s) （5.6-4）
A 2 2B 2 2
A 1 sin , B 1 co s.
A 1 2B 1 2
A 1 2B 1 2
因此（5.6-5）中的第一式右端的 x 的系数应与第二 式的右端 y 的实数相等，所以（5.6-5）的符号选取 要使得这两项的系数是同号的。
例 1 已知两垂直的直线 l1: 2xy30 与
l2: x2y20，取
把转轴公式（5.6-2）即
xxcosysin yxsinycos
代入（1），得在转轴（5.6-2）下二次曲线（1）的 新方程为
a 1 1 x 2 2 a 1 2 x y a 2 2 y 2 2 a 1 3 x 2 a 2 3 y a 3 3 0
这里
a11 a12
（5.6-6）
2a23 y0 a33 F (x0, y0 ) .
因此在移轴（5.6-1）下，二次曲线方程系数的变 换规律为：
1o 二次项系数不变； 2o 一次项系数变为 2F1(x0, y0) 与 2F2(x0, y0) ；
3 o 常数项变为 F (x0, y0 ) 。
因为当 ( x 0 , y 0 ) 为二次曲线（1）的中心时，有 F 1 (x 0 ,y 0 ) 0 , F 2 (x 0 ,y 0 ) 0，所以当二次曲线有中 心时，作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那 么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。
1,
5
这是一条双曲线。
例 5 化简二次曲线方程 x22xyy22xy0
并作出它的图形。
解 已知二次曲线的矩阵是
1 1 1
1 1
1
,
2
1
1
0
2
11 I1112, I2 1 1 0,
曲线为非中心曲线，它的特征方程为 2 2 0,
特征根为 12, 20,
曲线的非渐近主方向为对应于 1 2 的这方向
并画出它的图形。
解 因为
1 I2 1
2
1
2 1 1 3 0,
1
44
所以曲线为中心二次曲线，解方程组
F1
(
x,
y)
x
1 2
y
1
0,
F2
(x,
y)
1 2
x
y
2
0,
得中心的坐标为 x0,y2 ，取( 0 , 2 ) 为新原点，
作移轴
x x,
y
y
2.
原方程变为 x2xyy240
再转轴消去 x y 项，由（5.6-8）得
a 1 1 x 2 2 a 1 2 x y a 2 2 y 2 2 a 1 3 x 2 a 2 3 y a 3 3 0
这里
aaa112133 a23
a11 , a12 a12 , a22 a22, a11x0 a12 y0 a13 F1(x0, y0 ), a12x0 a22 y0 a23 F2 (x0, y0 ), a11x02 2a12x0 y0 a22 y02 2a13x0
x （图5-2）
情况下的坐标变换公式。
设在直角坐标系x O y 里给定了两条互相垂直的直线
l1: A1xB1 yC1 0
y
l2: A2xB2 yC2 0
其中 A1A2B1B20l 1 横轴 O x
l 2 纵轴 O y ,
o
M x/ y/ l 1
l2
x
M 旧坐标与新坐标分别是
( x , y ), ( x, y ).
标系O xy, 然后由辅助坐标系 O xy. 再转轴而
成新坐标系 O xy.
设平面上任意点 P 的旧坐标与新坐标分别为
( x , y ) 与 ( x, y) 而在辅助坐标系 O xy 中的坐标
( x, y ), 那么有
x x x0
y
y
y0
y//
xxcosysin y
与 yxsinycos