电动力学第三版答案---郭硕鸿著

(
x)
的
增量为
( p2 ) ( p1 )
若下列极限
lim lim ( p2 ) ( p1)
l0 l l0
l
存的在方，向l 则导该数极。限值记作
，称之为标量场
l Pl
在(px)1处沿
3、梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 (在x) 一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过 该点沿某一确定方向取得 (在x)该点的最大方向导数，
向。
p
nˆ
0
θ
p
p2
l
1
等值面 等值面 c2
c1
显见， 当p1 p2 0 , p1 p0 0时 ,
p1 p2
p1 p0
cos
.
p
p
nˆ
0
θ
p2
l
所以 lim ( p2 ) ( p1) 1
l
P1
p1 p0 0
cos
lim
p1
p2 ( p0
)
(
p1
等值面
) c1
p1 p0 0
读作“del”，或“nabla”
在直角坐标系中的表示
i
x
j
y
k
z
二 矢量场的散度 高斯定理
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 v方向通过 ds
积的，流即量是ddNN，而dNv是c以osds为ds底，以v v
cosθ为高的斜柱体的体 ds
称为矢量 v通过面元 ds 的通量。
a
cx cy cz
满足旋转定律
b
c
3、三重矢积
a (b c) (a c)b (a b)c
a (b c) (b c) a
不满足交换定律
4、矢量求导法则
(1) d ( f a) f d a d f a
dt
dt dt
(2) d(a b) d a b a d b
dt dt
dt
若 a b 则有 d(a b) d(a2) 2a d a 2a d a
向l上移动线元距离dl，的增量d 称为方向微分，即
d dx dy dz dl dl
x
y
z
l
( i j k ) (dxi dyj dzk )
x y z
( i j k ) (dxi dyj dzk ) (dxi dyj dzk )
x y z
来自百度文库
收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作
A ds
divA A lim s
V 0 V
称为矢量场
A(
x)在该点的散度(div是divergence的缩写)。
散度的重要性在 于，可用表征空间各点矢量场发散的
强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量的正源；
当div
A
0
，表示该点有吸收通量的负源；当div
p1 p0
等值面 c2
cos lim
n0 n
p1
cos
n
p1
即 cos
l
n
该式表明：
cos
nˆ
l
grad
l
l
n n
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。
梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 (x)
在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。
5、 算符（哈密顿算符）
算符既具有微分性质又具有矢量性质。在任意方
A
0，
表示该点为无源场。
3、高斯定理
A ds AdV
s
V
它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体
积分，反之亦然。
4、散度的运算法则：
(a b) a b
(F(a))dF
a
a
d
例1：求 (rc)。其中r
x2 y2 z2 ，c c1i c2 j c3k
dt
dt
dt
dt
(3) d(a b) d a b a d b
dt dt
dt
§0-2 场论分析
一、标量场的梯度， 算符 1、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常 要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理 量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确 定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。 如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小 和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若 场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否 则，称为不稳定场。
2、方向导数 方向导数是标量函数 (在x)一点P处沿任意方向
对距离的变化率，它的数值与所取的方向 l有关，
一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但 它并不是矢量。如图所示， l为l场P 中的任意方向，P1
是这个方向线上给定的一点，P2为同一线上邻近的一
点。
P2
l
P1
为l p2和p1之间的距离，从p1沿l到p2标量函数
第0 章
数学预备知识—矢量、场论
本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念 及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之 间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem，以及二阶微分运 算和算符 运算的重要公式。
本章主要内容
●矢量运算 ●标量场的梯度 算符 ●矢量场的散度 高斯定理 ●矢量场的旋度 斯托克斯定理 ●在正交曲线坐标系中 算符的表达式 ●二阶微分算符 格林定理
§0-1 矢量运算
1、两矢量标量积与矢量积
a b axbx ayby azbz
a b (aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k i jk
ax ay az bx by bz
2、混合积
ax ay az
a (b c) b (c a) c (a b ) bx by bz
nˆ
够小的对面于元有向ds，曲于面s是，通总过可曲以面将ss的分通成量许N多为足
v
θ
每一面元通量之和
N v ds
ds
s
对于闭合曲面s，通量N为 N v ds
2、散度
s
设封闭曲面s 所包围的体积为V，则 A ds / V
就散是量矢。量当场闭合A(曲x) 面在s及V中其单所位包体围积的的体平积均通V向s量其，内或某者点平均M (发x)
则称可之引为进(梯x在)度该概点念的。梯记度作（grgardad是 gradient缩n 写nˆ ），
它是一个矢量，其大小|
grad|
(
l
，)ma其x 方n
向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向,即 nˆ
方向。
4.方向导数与梯度的关系：
nˆ是等值面 上cp1 1点法线方
向单位矢量 。它指向 增加的 方向。 表l示过p1点的任一方
为常矢量
解： (rc) ( i x
y
j
z
k ) (rc1i
rc2
j
rc3k )
(rc1) x
(rc2 ) y