三角形的所有性质

之袁州冬雪创作

三角形的性质

1.三角形的任何双方的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意双方的差一定小于第三边.

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合

一.

4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

5.三角形共有六心：三角形的心坎、外心、重心、垂心、欧拉线心坎：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.性质：到三边间隔相等.外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.性质：到三个顶点间隔相等.重心：三条中线的交点.性质：三条中线的三等分点，到顶点间隔为到对边中点间隔的2倍.垂心：三条高所在直线的交点.性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的间隔相等.界心：颠末三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点.性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点.欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线.

6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另外一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和.

7.一个三角形最少有2个锐角.

8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边.

10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那末a??+b??=c??那末这个三角形就一定是直角三角形.三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形双方之和大于第三边，双方之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的心坎，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的间隔相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的间隔相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每一个顶点的间隔等于它到对边中点的间隔的2倍.（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2.注意：①三角形的心坎、重心都在三角形的外部.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部.

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上.（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点.）④锐角三角形垂心、外心在三角形外部.特殊三角形

1.相似三角形（1）形状相同但大小分歧的两个三角形叫做相似三角形（2）相似三角形性质相似三角形对应边成比例，对应角相等相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相

似比的平方相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等（3）相似三角形的断定【1】三边对应成比例则这两个三角形相似【2】双方对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似【3】两角对应相等则两三角形相似

2.全等三角形（1）可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形的性质.全等三角形对应角（边）相等.全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等.（3）全等三角形的断定

① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形)

3.等腰三角形等腰三角形的性质：（1）两底角相等；（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；等腰三角形的断定：（1）等角对等边；（2）两底角相等；

4.等边三角形等边三角形的性质：（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；（2）等边三角形的各角都相等，而且都等于60°.等边三角形的断定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三角形的面积公式

(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）

(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，拜见三角函数）

(3)S△=√〔s*（s-a）*（s-b）*（s-c）〕【s=1/2(a+b+c)】

(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】

(5)S△=1/2*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】

(6) | a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 | 【| a b 1 |

| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC

| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开端取，因为这样取得出的成果一般都为正值，如果不按这个规则取，可以会得到负值，但不妨，只要取相对值便可以了，不会影响三角形面积的大小！】生活中的三角形物品雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边沿线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、浮图、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等.三角形全等的条件注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”.（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”.（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”.（4）双方和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”.（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”.全等三角形的性质全等三角形的对应角相等，对应边也相等.三角形中的线段中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形.高：顶点到对边垂足的连线.角平分线：顶点到双方间隔相等的点所构成的直线.中位线：任意双方中点的连线.三角形相关定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的间隔是它到对边中点间隔的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.心坎定理三角形的