高中数学必修一对数函数课件完美课件
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高一数学对数函数课件
高一数学对数函数课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的关系 • 对数函数的综合题解析
01
对数函数的定义与性质
定义与表示
总结词
对数函数是指数函数的反函数，其定义是指数函数的自变量和因变量互换位置 后得到的函数。
详细描述
对数函数的一般形式为 (y = log_{a}x)（其中 (a > 0) 且 (a neq 1)），其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。对数函数表示的是以 (a) 为底数，(x) 的对数。
计算机科学
在计算机科学中，对数函数常被用 于数据结构和算法设计，如二叉查 找树、哈希表等。
04
对数函数与其他函数的关 系
与指数函数的关系
指数函数和对数函数互为反函数，它 们的图像关于直线y=x对称。
对数函数和指数函数在解决实际问题 中经常一起出现，例如在计算复利、 解决声音强度问题等。
对数函数的定义是基于指数函数的， 即如果a的x次方等于N（a>0，a不等 于1），那么x叫做以a为底N的对数， 记作x=logₐN。
与三角函数的关系
对数函数和三角函数在形式上没有直接的关系，但在一些特定情况下可以相互转化 。例如，对于正弦函数和余弦函数的值可以通过对数函数进行计算。
三角函数和对数函数在解决实际问题中经常一起出现，例如在信号处理、振动分析 等领域。
对数函数和三角函数在一些数学问题中可以相互转化，例如在求解一些复杂的积分 问题时，可以将积分转化为对数函数的求解问题。
综合题类型与解题思路
01
类型三：对数方程求解
02
对数方程是常见的题型，需要掌握解对数方程的方法和步骤。
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的关系 • 对数函数的综合题解析
01
对数函数的定义与性质
定义与表示
总结词
对数函数是指数函数的反函数，其定义是指数函数的自变量和因变量互换位置 后得到的函数。
详细描述
对数函数的一般形式为 (y = log_{a}x)（其中 (a > 0) 且 (a neq 1)），其中 (x) 是自变量，(y) 是因变量。对数函数表示的是以 (a) 为底数，(x) 的对数。
计算机科学
在计算机科学中，对数函数常被用 于数据结构和算法设计，如二叉查 找树、哈希表等。
04
对数函数与其他函数的关 系
与指数函数的关系
指数函数和对数函数互为反函数，它 们的图像关于直线y=x对称。
对数函数和指数函数在解决实际问题 中经常一起出现，例如在计算复利、 解决声音强度问题等。
对数函数的定义是基于指数函数的， 即如果a的x次方等于N（a>0，a不等 于1），那么x叫做以a为底N的对数， 记作x=logₐN。
与三角函数的关系
对数函数和三角函数在形式上没有直接的关系，但在一些特定情况下可以相互转化 。例如，对于正弦函数和余弦函数的值可以通过对数函数进行计算。
三角函数和对数函数在解决实际问题中经常一起出现，例如在信号处理、振动分析 等领域。
对数函数和三角函数在一些数学问题中可以相互转化，例如在求解一些复杂的积分 问题时，可以将积分转化为对数函数的求解问题。
综合题类型与解题思路
01
类型三：对数方程求解
02
对数方程是常见的题型，需要掌握解对数方程的方法和步骤。
对数函数及其性质(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
）
（1）A已．知cab0.3a0.4 ，A．b cB．lobga34ab，cc lBo．g0.a3 4C，b．则b（c a c ）C． b Da．bc c a D．b c a
A． c b a B． a b c
C．b a c
D．b c a
例题讲练
（2）设 a log3 ， b log2 3 ， c log3 2 ，则（
x lxogaloyg（a ya （ 0a且 a0 且 1a），1x），也是x 也以是y以为自y 为变自量变的量函的数函（数其（中其y 中 0y， 0x ， Rx ），R ）， 根据根我据们我的们认的知认习知惯习，惯我，们我把们x 把 lxogaloyg中a 字y 中母字x 母， xy，对调y 对，调， 写成写y成 lyogaloxg（a 其x （中其x 中 0x， 0y， Ry ）．R ）．
例题讲练
【练习习 55】】
（（11））已已知知ff((xx))的的定定义义域域为为[0[,10],1，] ，则函则数函数f [lof g[l1o(g31(3x)] 的x)定] 的义定域义为域___为____________．_____．
22
例题讲练
（2）已知函数 y f [lg(x 1)] 的定义域为 (0,99] ，则函数 y f [log2 (x 2)] 的定义域为__________．
§4.4 对数函数及其性质 (第一课时)
人教版高中数学必修一
课堂引入：
通过前面的学习我们知道，某细胞经过 x 次分裂后，变成的细胞个数 y 2x ,
得由到一由y 个y2指x 数2x函x数x．lo由gglo22gyyy2y2对x 于对任于x意任的意lo细的g2胞细y个胞，数个对数y于，任y 我，意们我的都们细可都胞以可个通以数过通y对过，数对我运数们算运都算可 得到以得唯通到一唯过的一对的数x 与运x 之与算对之得应对到，应唯所，一以所的细以x胞细与分胞之裂分对次裂应数次,所数x以也x细可也胞以可分看以裂出看次以出数细以x胞细也个胞可数个以数y看为y成自为以变自细变胞个 量的数量函的y数函为．数自．变量的函数． 同样同地样，地根，据根指据数指与数对与数对的数关的系关，系由，y由 ayx（aax （ 0a且 a0 且 1a）可1）以可得以到得：到：
【高中数学】2023-2024学年北师大版必修第一册对数函数y=logax的图象和性质课件(22张)
例7 比较下列各题中两个数的大小：
（1）log25.3，log24.7； （2）log0.27，log0.29； （3）log3π，logπ3； （4）loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)．
解:（1）因为底数2＞1,所以对数函数y＝log2x在定义域（0,+∞） 是增函数，由5.3>4.7,得 log25.3>log24.7．
解 因为 14C 的半衰期大约是 5730 年，所以由衰减规律，
得
. 1 e5730r
2
解得
r ln 2 . 5730
因此，14C 的衰减规律服从指数型函数
ln2 t
t
C t C0e 5730 C0 2 . 5730
设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时（1950 年），该木炭已
衰减了 t0 年，因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，
一、a变化对图像的影响
对数函数 y loga x ，当 a>1 时,a 的值越大，函数图像越靠 近 x 轴，当 0<a<1 时,a 的值越小，图像越靠近 x 轴.
底数互为倒数的两个对数函数图像，关于 x 轴对称.
1( ．设)a．＝log3π，Ab＝log2 ，c＝log3 ，3则
2
A．a＞b＞c C．b＞a＞c
底数互为倒数的两个对数函数图象，关于 x 轴对称.
例 8 人们早就发现了放射性物质的衰减现象，在考古工 作中，常用 14C 的含量来确定有机物的年代，已知放射性物质 的衰减服从指数规律：C(t) C0ert ，其中 t 表示衰减的时间， C0 表示放射性物质的原始质量，C（t），表示经衰减了 t 年后 剩余的质量.
（2）因为底数0<0.2<1,所以函数y＝log0.2x在定义域（0,+∞）
高中数学必修1课件：2.2.2《对数函数及其性质》 (共22张PPT)
值域: R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是： 增函数
列
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
表 y log 2 x … -2 -1 0 1 2 …
y log 1 x … 2
2
1 0 -1 -2 …
y
描
2
点
1 11
这两个函数 的图象有什
42
0 1 23 4
x 么关系呢？
连 线
-1
-2
关于x轴对称
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质 Nhomakorabea复习回顾
1 指数函数的概念；
复 习
2 指数函数的图像与性质：
3 对数的概念和基本运算法则
对数函数的概念
一般地,函数y =
(a＞0,且a≠1)
叫做对数函数.其中 x是自变量.
注意：
1.对数函数对底数的限制条件：a＞0,且a≠1
2.函数的定义域是（0,+∞）.
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
值域 : R
过定点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数
质 当x>1时，y>0
当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
作y=log2x的图象
列
x
1/4 1/2 1 2
表 y=log2x -2 -1 0 1
人教版高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数的图像及其性质(共20张PPT)
y=0.5x 和y= log0.5x 的图象画在一个坐标内 ，观察图象的特点！
（书面作业）
•P73 2,3
19
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
20
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
２.比较真数值的大小；
0<a<1时为减函数）
结
３.根据单调性得出结果。
14
•（3） loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
16
函数 yloga x,ylogb x,ylogc x,ylogd x
C 的图像如图,则 所下 示列式子中正( 确) 的
y ylogb x A .0 a b 1 c d
yloga x B .0 b a 1 d c
x
O
ylogd x C .0 d c 1 b a
2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
1
（一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量， 定义域是(0,＋∞)
想 对数函数解析式有哪些结构特征？ 一 ①底数：a>0,且 a≠1 想 ②真数: 自变量x ？ ③系数函数？（导学与评价P53） ① y log a x 2 ; ② y log 2 x 1; ③ y 2 log 8 x ; ④ yloxga(x0,且x1); ⑤ ylo5gx.
（书面作业）
•P73 2,3
19
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
20
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
２.比较真数值的大小；
0<a<1时为减函数）
结
３.根据单调性得出结果。
14
•（3） loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
16
函数 yloga x,ylogb x,ylogc x,ylogd x
C 的图像如图,则 所下 示列式子中正( 确) 的
y ylogb x A .0 a b 1 c d
yloga x B .0 b a 1 d c
x
O
ylogd x C .0 d c 1 b a
2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
1
（一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量， 定义域是(0,＋∞)
想 对数函数解析式有哪些结构特征？ 一 ①底数：a>0,且 a≠1 想 ②真数: 自变量x ？ ③系数函数？（导学与评价P53） ① y log a x 2 ; ② y log 2 x 1; ③ y 2 log 8 x ; ④ yloxga(x0,且x1); ⑤ ylo5gx.
对数函数PPT课件
04 对数函数与其他函数的比 较
与指数函数的比较
指数函数和对数函数是互为反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
当a>1时，指数函数和对数函数都是 增函数，但它们的增长速度不同，对 数函数的增长速度更慢。
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图 像总是经过点(0,1)，而对数函数 y=log_a x（a>0且a≠1）的图像则 总是经过点(1,0)。
对数函数和三角函数的应用领域也不同。对数函数主要用于解决与对数运算相关的问题，如 对数的换底公式、对数的运算性质等；而三角函数则主要用于解决与三角形的边角关系、周 期性等问题相关的问题。
05 对数函数的学习方法与技 巧
学习方法
1 2 3
理解对数函数的定义
首先需要理解对数函数的基本定义，包括对数函 数的定义域、值域以及其变化规律。
对数函数ppt课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数的学习方法与技巧
01 对数函数的定义与性质
定义
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其中e是自然对数的底数，约等于 2.71828。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx。
当0<a<1时，指数函数和对数函数都 是减函数，但它们的下降速度也不同， 对数函数的下降速度更快。
与幂函数的比较
幂函数y=x^n（n为实数）的图像在 第一象限和第三象限都存在，而对数 函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像 只存在于第一象限。
幂函数的增长速度与指数和对数函数 不同，当n>0时，幂函数的增长速度 比对数函数更快；当n<0时，幂函数 的增长速度比对数函数更慢。
高中数学新人教A版必修一对数函数课件31张
- 3<a< 3).
(2)∵函数 f(x)的值域为 R,∴u=g(x)的值域应包含(0,+∞).因此
Δ=4a2-12≥0,即 a≥ 3或 a≤- 3.故实数 a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞).
(3)∵题干中命题等价于 x2-2ax+3>0 的解集为{x|x<1 或 x>3},
∴x2-2ax+3=0 的两根为 1 和 3.故 2a=1+3,即 a=2.
【解】设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax
恒成立,只需函数 f1(x)=(x-1)2 在区间(1,2)上的图象在函数 f2(x)=logax 的图象
的下方即可.
当 0<a<1 时,显然不成立;
当 a>1 时,如图,
要使函数 f1(x)=(x-1)2 的图象在函数 f2(x)=logax 的图象下方,只需
且 3.2<3.6<12.96,∴a>c>b.
T 题型五简
单的反函数问题
例 5 若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经
过点( a,a),则 f(x)等于(
A.log2x
)
B.lo1x
C.
2
1
2x
【答案】B
【解析】由题意知函数 f(x)=logax 的图象经过点( a,a),
A.
2a+b
1+a
B.
2a+b
1-a
D.
C.
)
a+2b
1+a
(2)∵函数 f(x)的值域为 R,∴u=g(x)的值域应包含(0,+∞).因此
Δ=4a2-12≥0,即 a≥ 3或 a≤- 3.故实数 a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,+∞).
(3)∵题干中命题等价于 x2-2ax+3>0 的解集为{x|x<1 或 x>3},
∴x2-2ax+3=0 的两根为 1 和 3.故 2a=1+3,即 a=2.
【解】设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax
恒成立,只需函数 f1(x)=(x-1)2 在区间(1,2)上的图象在函数 f2(x)=logax 的图象
的下方即可.
当 0<a<1 时,显然不成立;
当 a>1 时,如图,
要使函数 f1(x)=(x-1)2 的图象在函数 f2(x)=logax 的图象下方,只需
且 3.2<3.6<12.96,∴a>c>b.
T 题型五简
单的反函数问题
例 5 若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经
过点( a,a),则 f(x)等于(
A.log2x
)
B.lo1x
C.
2
1
2x
【答案】B
【解析】由题意知函数 f(x)=logax 的图象经过点( a,a),
A.
2a+b
1+a
B.
2a+b
1-a
D.
C.
)
a+2b
1+a
高中数学必修一(人教版)《4.4.2 对数函数的图象和性质》课件
3
3
3
(2)因为函数 y＝log1.5x 是(0，＋∞)上的增函数，且 1.6>1.4，所以 log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为 0>log70.6>log70.5，所以log170.6<log170.5，即 log0.67<log0.57.
(4)因为 log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以 log3π>log20.8.
(3)取中间值 1，因为 log23>log22＝1＝log55>log54，所以 log23>log54.
[方法技巧] 比较对数值的大小的策略
(1)比较两个底数为同一常数的对数的大小，首先要根据对数的底数来判断对 数函数的单调性，然后比较真数的大小，再利用对数函数的单调性判断．
(2)比较两个对数值的大小，对于底数是相同字母的，需要对底数进行讨论． (3)若不同底但同真，则可利用图象的位置关系与底数的大小关系解决或利用 换底公式化为同底后再进行比较． (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．
综上所述，当 a>1 时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当 0<a<1 时，原不等式的解集为x52<x<4
.
[方法技巧] 对数不等式的三种考查类型
(1)形如logam>logan的不等式，借助y＝logax的单调性求解． (2)形如logam>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)， 再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底 公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 提醒：底数中若含有参数，一定要注意底数大于0且不等于1，同时要注意对 底数是大于1还是大于0且小于1进行分类讨论．
4.4 对数函数(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册(共38张PPT)
解：
（1）根据对数的运算性质，有
pH
lg[H
]
lg[H
] 1
lg
1 [H
]
.在
(0,
)
上，随着
[H
]
的增大，
1 [H
]
减小，相应地，
lg
1 [H
]
也减小，即
pH
减小.所以，随着[H
]
的
增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当[H] 10 7 时， pH lg10 7 7 .所以，纯净水的 pH 是 7.
对数函数的图像和性质
0 a 1
a 1
图象
定义域 值域
单调性 过定点
(0， )
R
减函数
增函数
过定点 (1，0) ，即 x 1 时， y 0
例 3 比较下列各题中两个值的大小： （1） log2 3.4 ， log2 8.5 ； （2） log0.3 1.8 ， log0.3 2.7 ； （3） loga 5.1 ， loga 5.9 (a 0 ，且 a 1) .
例 2 假设某地初始物价为 1，每年以5% 的增长率递增，经过 t 年后的物价为 w .
（1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
物价 w
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数 t
0
解：
（1）由题意可知，经过 t 年后物价 w 为 w (1 5%)t ，即 w 1.05t (t [0, )) .由对
4.4 对数函数
学习目标
1.了解对数函数的概念 2.了解对数函数的单调性和特殊点 3.了解指数函数和对数函数互为反函数
对数函数的图像和性质课件人教A版高中数学必修第一册(共32张PPT)
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
y o1
y=logax (a>1)
x
y=logax (0<a<1) (1)定义域： (0,+∞) (2)值域：R
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1 (4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0
⑴定义域：
性 ⑵值域：
（0，+∞） R
质 ⑶过特殊点： 过点（1，0），即x=1时y=0 ⑷单调性 ： 在（0，+∞）上是增函数 ⑷单调性：在（0，+∞）上是减函数
记忆口诀
对数函数的性质的助记口诀:
对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行; 底数若是大于1, 图象从下往上增; 底数0到1之间, 图象从上往下减; 无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
解（2）：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
例题解析
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（3） log a 5.1与 log a 5.9 （a＞０，且a≠１）
解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的 两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1， 因此需要对底数a进行讨论
线
-2
y=log1/2x
关于x轴对称
问题探究
对数函数课件(共19张PPT)
即约经过4年，该放射性物质的剩留量是原来的一 半.
在②式中，对应任意一个“剩留量y”，都可求出 唯一的“经过的年数x"，如果以“剩留量”作为自变量， 则依函数的定义，“经过的年数”与“剩留量”之间具 有函数关系.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
情感目标 通过本节课学习，使学生，提升学生数学的直观想象、数学抽象、数学运算、 数学建模的核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
通常我们用x表示自变量，用y表示因变量，于是上 述的函数关系，可表示为
x=log0.84y· 一般地，函数
y=logax(a＞0，且a≠1，x＞0). 称为对数函数.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
一般地，对数函数 y=logax(a＞0，且a≠1)
具有下列性质： (1)定义域是（0,+∞)，值域是R； (2)当x=1时，y=0，即函数的图象都经过点(1,0)； (3)在其定义域内，当a＞1时这个函数是增函数，
数学
基础模块（上册）
第四章 指数函数 与对数函数
4.2.4 对数函数
人民教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.4 对数函数
在②式中，对应任意一个“剩留量y”，都可求出 唯一的“经过的年数x"，如果以“剩留量”作为自变量， 则依函数的定义，“经过的年数”与“剩留量”之间具 有函数关系.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
情感目标 通过本节课学习，使学生，提升学生数学的直观想象、数学抽象、数学运算、 数学建模的核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
通常我们用x表示自变量，用y表示因变量，于是上 述的函数关系，可表示为
x=log0.84y· 一般地，函数
y=logax(a＞0，且a≠1，x＞0). 称为对数函数.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
一般地，对数函数 y=logax(a＞0，且a≠1)
具有下列性质： (1)定义域是（0,+∞)，值域是R； (2)当x=1时，y=0，即函数的图象都经过点(1,0)； (3)在其定义域内，当a＞1时这个函数是增函数，
数学
基础模块（上册）
第四章 指数函数 与对数函数
4.2.4 对数函数
人民教育出版社
第四章 指数函数与对数函数 4.2.4 对数函数
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5. 函数值分布:
当x=1时，y=0。 减函数
0<a<1:
0<a<1:
23.03.2022
Hale Waihona Puke 当:x>1, 图像在y轴下方； 当:x>1, 则y<0
当 0<x<1, 图像在对轴数函上数方; 当0<x<1, 则y>0;
11
图像的特征
函数性质
1．图像位于y轴右侧；
定义域：x>0
2. 图像在y轴的投影占
满了整个y轴；
对数函数
2
现在有一张纸，我把这张纸对折一次就变成了两层； 我对折两次纸就变成了四层；如果我们设把纸对折的次 数为x,对折后纸的层数为y，那么，试建立y关于x的函数 关系式。
解：y 2x
提问：如果我发现对折后的纸有4层，那么我对折了多少次？ 2次
如果我发现对折后的纸有8层，那么我对折了多少次？ 3次
x<0, y>1
y ax
y loga x
23.03.2022
对数函数
y loga x
(0, )
(,)
a>1, 增函数 0<a<1, 减函数 a>1: x>1, y>0
0<x<1, y<0 0<a<1: x>1, y<0
0<x<1, 14
按要求回答问题 (1) y=log3 (x- 2） (2) y=log2(x2 +1)
23.03.2022
对数函数
7
Y
5
Y=X
4
3
●
2● ●
1●
-1 O -1
● ●yax(0a1) 12 3 4 5 6 ●
7X
-2
●ylogax(0a1)
23.03.2022
对数函数
8
y 2x yx
y log2 x
1
1
y (1)x 2
1 1
yx
y log 1 x
2
a>1
0<a<1
请同学们：
根据对数函数的图象描述对数函数的性质：
3. 过（1.0）点
值域： R 当x=1时，y=0。
4. 单调性: a>1时,图像上升;
增函数
0<a<1时,图像下降;
减函数
5. 函数值分布:
a>1:
a>1:
当:x>1时, 图像在y轴上方;
当x>1,
则 y>0，
当0<x<1时,图像在下方;
当0<x<1, 则y<0;
0<a<1:
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方； 当:x>1, 则y<0
对数函数
(0, )
R
(1, 0 )
减函数
当x>1, 则y<0; 当0<x<1, 则y>0:
13
名称
指数函数与对数函数对比
指数函数
对数函数
一般形式 定义域
y ax
(,)
值域 单调性
函数值 变
化情况
(0, )
a>1, 增函数 0<a<1, 减函数 a>1: x>0, y>1
x<0, 0<y<1 0<a<1: x>0, 0<y<1
……
16层呢，32层呢 … …
我们可以发现：x关于y也可以建立一个函数。
你能写出这个X关于Y的函数的关系表达式吗?
解： y 2x 指数式化对数式
23.03.2022
xlog2 y 这个就是我们要的函数关系
ylog2 x 交换X和Y,以符合习惯
对数函数
3
对数函数的定义
一般地，函数 ylo gax(a0 ,a1 ) 就叫做对数函数。x为它的自变 量，函数的定义域为 (0,).
y log5 x, y log1 x
3
以上两个函数也是对数函数！
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对数函数
4
我们知道，函数 y 2x 和 ylog2 x互为反函数。 提问：
函数 y a x 和 y loga x 是什么关系呢？ 函数 y a x 和 y loga x 互为反函数！
23.03.2022
对数函数
5
2.利用对称性画图.
因为指数函数y=ax (0<a≠1) 与对数函数y=logax(0<a≠1)的图 象关于直线y=x对称.
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对数函数
6
Y
Y=ax (a>1)
5
Y=X
● 4
3
●
2
●
●
● 1●
●
●
-1 O -1
●1
2
3
● Y=logax (a>1) 4 5 6 7X
-2
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对数函数
16
课堂小结:
1. 对数函数是指数函数的反函数，对数 函数的定义域、值域分别为相应的指数函数的值
域和定义域，它们的图象关于y x 成轴对称.
2. 当a>1, y loga x 在 (0, ) 为增函数. 当0<a<1, y loga x 在 (0, ) 为减函数.
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对数函数
1
回顾指数函数图象及性质
a>1
0<a<1
图
象
1.定义域：R
2.值域：（0，+∞）
性
3.过定点（0，1），即x=0时，y=1
质 4. 当x>0时， y>1;
当x<0时，0<y<1； 5.在 R上是增函数
当x>0时，0<y<1; 当x<0时，y>1；
在R上是减函数
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当 0<x<1, 图像在轴上方; 当0<x<1, 则y>0;
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对数函数
12
对数函数图像及性质
a 1
0 a 1
图
y loga x
y loga x
象
x 1
x 1
性 质
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定义域： 值域： 特殊点：
单调性：
函 数值 的
分布
(0, )
R
(1, 0 )
增函数
当x>1, 则y>0; 当0<x<1, 则y<0 :
23.03.2022
对数函数
17
作业：
习题2.8 第1题.(2),(4),(6),(8). 第2题.
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对数函数
18
23.03.2022
对数函数
19
以下函数是对数函数吗？
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对数函数
9
a 1
y loga x
x 1
图像的特征
函数性质
1．图像位于y轴右侧；
定义域：x>0
2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 值域： R
3. 过（1.0）点
当x=1时，y=0。
4. 单调性: a>1时,图像上升;
增函数
5. 函数值分布:
a>1:
a>1:
当:x>1时, 图像在y轴上方;
当x>1, 则 y>0，
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当0<x<1时,图像在对数y轴函数下方;
当0<x<1, 则y<0; 10
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征
函数性质
1．图像位于y轴右侧；
定义域：x>0
2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 值域： R
3. 过（1.0）点
4. 单调性: 0<a<1时,图像下降;
(1)以上函数的定义域。
（2）以上函数如果底数为 a（a>0且a ≠1)时，函数必过那一点。
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对数函数
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例二：判断下列各组数中两个 值的大小：
(1) log30.8, (2) log0.54.2, (3) loga5.9,
log33.7 log0.52.9 loga3.1 (0<a≠1)
当x=1时，y=0。 减函数
0<a<1:
0<a<1:
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Hale Waihona Puke 当:x>1, 图像在y轴下方； 当:x>1, 则y<0
当 0<x<1, 图像在对轴数函上数方; 当0<x<1, 则y>0;
11
图像的特征
函数性质
1．图像位于y轴右侧；
定义域：x>0
2. 图像在y轴的投影占
满了整个y轴；
对数函数
2
现在有一张纸，我把这张纸对折一次就变成了两层； 我对折两次纸就变成了四层；如果我们设把纸对折的次 数为x,对折后纸的层数为y，那么，试建立y关于x的函数 关系式。
解：y 2x
提问：如果我发现对折后的纸有4层，那么我对折了多少次？ 2次
如果我发现对折后的纸有8层，那么我对折了多少次？ 3次
x<0, y>1
y ax
y loga x
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对数函数
y loga x
(0, )
(,)
a>1, 增函数 0<a<1, 减函数 a>1: x>1, y>0
0<x<1, y<0 0<a<1: x>1, y<0
0<x<1, 14
按要求回答问题 (1) y=log3 (x- 2） (2) y=log2(x2 +1)
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对数函数
7
Y
5
Y=X
4
3
●
2● ●
1●
-1 O -1
● ●yax(0a1) 12 3 4 5 6 ●
7X
-2
●ylogax(0a1)
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对数函数
8
y 2x yx
y log2 x
1
1
y (1)x 2
1 1
yx
y log 1 x
2
a>1
0<a<1
请同学们：
根据对数函数的图象描述对数函数的性质：
3. 过（1.0）点
值域： R 当x=1时，y=0。
4. 单调性: a>1时,图像上升;
增函数
0<a<1时,图像下降;
减函数
5. 函数值分布:
a>1:
a>1:
当:x>1时, 图像在y轴上方;
当x>1,
则 y>0，
当0<x<1时,图像在下方;
当0<x<1, 则y<0;
0<a<1:
0<a<1:
当:x>1, 图像在y轴下方； 当:x>1, 则y<0
对数函数
(0, )
R
(1, 0 )
减函数
当x>1, 则y<0; 当0<x<1, 则y>0:
13
名称
指数函数与对数函数对比
指数函数
对数函数
一般形式 定义域
y ax
(,)
值域 单调性
函数值 变
化情况
(0, )
a>1, 增函数 0<a<1, 减函数 a>1: x>0, y>1
x<0, 0<y<1 0<a<1: x>0, 0<y<1
……
16层呢，32层呢 … …
我们可以发现：x关于y也可以建立一个函数。
你能写出这个X关于Y的函数的关系表达式吗?
解： y 2x 指数式化对数式
23.03.2022
xlog2 y 这个就是我们要的函数关系
ylog2 x 交换X和Y,以符合习惯
对数函数
3
对数函数的定义
一般地，函数 ylo gax(a0 ,a1 ) 就叫做对数函数。x为它的自变 量，函数的定义域为 (0,).
y log5 x, y log1 x
3
以上两个函数也是对数函数！
23.03.2022
对数函数
4
我们知道，函数 y 2x 和 ylog2 x互为反函数。 提问：
函数 y a x 和 y loga x 是什么关系呢？ 函数 y a x 和 y loga x 互为反函数！
23.03.2022
对数函数
5
2.利用对称性画图.
因为指数函数y=ax (0<a≠1) 与对数函数y=logax(0<a≠1)的图 象关于直线y=x对称.
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对数函数
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Y
Y=ax (a>1)
5
Y=X
● 4
3
●
2
●
●
● 1●
●
●
-1 O -1
●1
2
3
● Y=logax (a>1) 4 5 6 7X
-2
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对数函数
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课堂小结:
1. 对数函数是指数函数的反函数，对数 函数的定义域、值域分别为相应的指数函数的值
域和定义域，它们的图象关于y x 成轴对称.
2. 当a>1, y loga x 在 (0, ) 为增函数. 当0<a<1, y loga x 在 (0, ) 为减函数.
23.03.2022
对数函数
1
回顾指数函数图象及性质
a>1
0<a<1
图
象
1.定义域：R
2.值域：（0，+∞）
性
3.过定点（0，1），即x=0时，y=1
质 4. 当x>0时， y>1;
当x<0时，0<y<1； 5.在 R上是增函数
当x>0时，0<y<1; 当x<0时，y>1；
在R上是减函数
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当 0<x<1, 图像在轴上方; 当0<x<1, 则y>0;
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对数函数
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对数函数图像及性质
a 1
0 a 1
图
y loga x
y loga x
象
x 1
x 1
性 质
23.03.2022
定义域： 值域： 特殊点：
单调性：
函 数值 的
分布
(0, )
R
(1, 0 )
增函数
当x>1, 则y>0; 当0<x<1, 则y<0 :
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对数函数
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作业：
习题2.8 第1题.(2),(4),(6),(8). 第2题.
23.03.2022
对数函数
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23.03.2022
对数函数
19
以下函数是对数函数吗？
23.03.2022
对数函数
9
a 1
y loga x
x 1
图像的特征
函数性质
1．图像位于y轴右侧；
定义域：x>0
2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 值域： R
3. 过（1.0）点
当x=1时，y=0。
4. 单调性: a>1时,图像上升;
增函数
5. 函数值分布:
a>1:
a>1:
当:x>1时, 图像在y轴上方;
当x>1, 则 y>0，
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当0<x<1时,图像在对数y轴函数下方;
当0<x<1, 则y<0; 10
0 a 1 y loga x
x 1
图像的特征
函数性质
1．图像位于y轴右侧；
定义域：x>0
2. 图像在y轴的投影占满了整个y轴； 值域： R
3. 过（1.0）点
4. 单调性: 0<a<1时,图像下降;
(1)以上函数的定义域。
（2）以上函数如果底数为 a（a>0且a ≠1)时，函数必过那一点。
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对数函数
15
例二：判断下列各组数中两个 值的大小：
(1) log30.8, (2) log0.54.2, (3) loga5.9,
log33.7 log0.52.9 loga3.1 (0<a≠1)