平面向量知识小结

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平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0）2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur的单位向量是u A u B ur ）；| AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有r0）；④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r.举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B uru D u C u r，则ABCD是平行四边形 .（4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur.（5）若a r b r，b r c r，则a r c r.（6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如 a r ，b r ， c r 等；3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i r , r j 为基底，则平面内的任一向量 a r 可表示为 a r xi r y r j （x, y ），称（ x, y ）为向量 a r 的坐标， a r （x, y ）叫做向量 a r 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设e r 1,e r 2同一平面内的一组基底向量， a r 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对（ 1, 2），使 a r 1e r 1 2e r 2.1）定理核心： a rλ1e r 1 λ2er 2；（2）从左向右看，是对向量 a r的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a r的合成 .（3）向量的正交分解：当 e r 1,e r 2时，就说 a r λ1r e 1 λ2r e 2为对向量 a r的正交分解．举例 3 (1)若 a r(1,1)， b r(1, 1)， c r( 1,2) ，则 c r. 结果：1r 3 r a b.22(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B A. e r 1(0,0) ， e r 2(1, 2) B. r e 1( 1,2) ， e r 2(5,7) C. r e 1(3,5) ， e r 2(6,10)（1）模：| a r | | | |a r |；（2）方向：当 0时， a r 的方向与 a r 的方向相同，当D. e r 1(2, 3) ， 1, 3 ,24（3）已知u A u D ur ,u B u E ur分别是可用向量 a r,b r表示为 . （4）已知 △ABC 中，点值是 . 结果： 0 四、实数与向量的积实数与向量 a r 的积是下： △ABC 的边 BC ，AC 上的中线 ,且 u A u D ura r4r a2果结上边B u u r Bu u u u ru u ru u u u r C u 的u u r u u 个向量，记作 a r ，它的长度和方向规定如方向与a r的方向相反，当0时，a r r0，注意：a r 0.五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r，）称为向量a r，b r的夹角. uuur r作OAa r，u ru u把r bAOB (0当 0时， a r ， b r 同向；当时， a r ， b r 反向；当 2时，a r ，b r 垂直. 2. 平面向量的数量积：如果两个非零向量 a r ， b r ，它们的夹角为，我们把数量 | a r || b r | cos 叫做 a r 与b r 的数量积（或内积或点积），记作： a r b r ，即 a r b r |a r | |b r |cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量举例 4（1）△ ABC 中，| u A uu B r| 3 ，|u A uu C r| 4 ，|u B u C ur| 5 ，则 9.uuur uuur AB BC果：结果：2）已知a r1,21，b r0, 12，c ra rkb r，d ra rb r，c r与d r的夹角为 4，则k1. 3）已知 |a r| 2，|b r| 5， a rb r3，则 |a rb r| ___ . 结果： 23. 4）已知 ra, rb 是两个非零向量，且| a r| |b r| |a rb r|，则a r与a rb r的夹角为 30o . 结果： 3.向量b r 在向量 a r上的投影： |b r | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0. 举例 5 已知|a r| 3，|b r| 5，且 a rb r12 ，则向量 a r在向量 b r上的投影为 ___ . 结果： 152.54. a r b r 的几何意义：数量积 a r b r 等于a r 的模|a r |与b r 在a r 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质：设两个非零向量 a r ，（ 1） a r b a r b 0 ；（2）当 a r 、 b 同向时， a r b |a r | |b|，特别地， a r b r |a r | | b r |是a r 、 b r同向的充要分条件；当a r 、 b r 反向时， a r b r |a r | |b r |，a r b r |a r | 件；当为锐角时， a r b r 0，且 a r 、b r 不同向，充分条件；当为钝角时， a r b r 0 ，且 a r 、 b r 不反向；充分条件 .（3）非零向量 a r ， b r 夹角b r ，其夹角为，则：a r 2|b r |是a r 、 b r 反向的充要分条 ab ab 的计算公式： cos 0 是为锐角的必要不 0 是为钝角的必要不 | a r a ||b b r | ；④ a r b r |a r ||b r | . 举例 6 取值范1）已知 a r（ ,2 ）， b r（3 ,2），如果 a r与b r的夹角为锐角，则的 3或 0且 3；(2)已知△OFQ 的面积为 S ，且u O u F ur u F u Q ur 1，若12 S 23，则u O u F ur， u F u Q ur夹角的取值范围是 _____ . 结果： 4, 3；43①用 k 表示 a rb r；②求 a rb r的最小值，并求此时 a r与b r的夹角的大小. 结果：① a rb r k 4k 1(k 0) ；②最小值为 12， 60o. 六、向量的运算1. 几何运算 (1)向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则 . r 运算形式：若 u A uu B r a r ， u B uu C r b r ，则向量u A uu C r 叫做 a r与b 的和，即 r r uuur uuur uuur a b AB BC AC ；作图：略 . 注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .(2)向量的减法运算法则：三角形法则 . 运算形式：若 u A uu B r a r ， u A u C ur b r ，则 a r b r u A u B ur u A uu C r C uu A ur ，即由减向量的终点指向被减向量的终点 .作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同 .举例 7( 1)化简：①u A u B uru B u C urC uuD ur；② u A uu B ru A u D uru D uu C ur；③uuur uuur uuur uuur uuur uuur r (AB CD) (AC BD) . 结果：① AD ；② CB ；③ 0；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，u A u B ura r，u B u C urb r，u A u C ur rc ，则 |a rb rc r|.结果： 2 2 ；(3)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足 O uu B urO uu C ur u O u B urO uu C ur2u O u A ur，则△ABC 的形状为 . 结果：直角三角形；( 4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点， △ ABC 所在平面内有一点 P ，满足 u P u A ur u B u P urC uu P ur r0，设 || u u PAu u DuP ur r || ，则的值为 . 结果：2；(5)若点O 是 △ABC 的外心，且 u O u A ur u O uu B r u C uu O r r0 ，则△ABC 的内角 C 为 . 结果： 120o.2. 坐标运算：设 a r (x 1,y 1) ，b (x 2,y 2) ，则(1)向量的加减法运算：a r b (x 1 x 2,y 1 y 2)，a r b (x 1 x 2,y 1 y 2) . 举例 8 (1)已知3)已知 a r(cos x,sin x) ， rb (cos y,sin y) ，且满足 |k ra b | 3|a rkb|其中 k 0 )点A(2,3) ，B(5,4) ，C(7,10) ，若u A uu P r u A uu B ru A uu C r( R) ，则当 ______ 时，点P在第一、三象限的角平分线上 . 结果：21；(2)已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且21 u A u B ur (sin x,cos y)， x, y ( 2,2)，则 x y . 结果： 6 或2；(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力 F 1(3,4) ，F 2(2, 5) ， F 3(3,1) ，则合力 F u r u Fur 1u F ur 2 u F ur 3的终点坐标是 . 结果： (9,1) .(2)实数与向量的积： a r (x 1,y 1) ( x 1, y 1).(3)若 A(x 1, y 1) ， B(x 2, y 2) ，则 u A u B ur (x 2 x 1,y 2 y 1) ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .举例 9 设A(2,3) ， B( 1,5) ，且 u A uu C r 13u A u B ur， u A u D ur 3u A u B ur，则 C,D 的坐标分别是3举例 10 已知向量 a r(sin x,cos x ) ， b (sin x ,sin x) ， c r( 1,0) .(1)若 x 3，求向量 a r、 c r的夹角；3(2)若x [38 , 4]，函数 f(x) a rb r的最大值为 12，求的值.结果：(1)150o；8 4 22) 21或 2 1.5)向量的模： a r2 |a r |2 x 2 y 2 |a r | x 2 y 2 . 举例 11 已知 a r ,b r 均为单位向量，它们的夹角为 . 结果： 13 .位向量，则 P 点斜坐标为 (x,y) .1)若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 |PO| ；2)求以O 为圆心， 1为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程.结果：( 1) 2；(2) x 2y 2xy 1 0 . 七、向量的运算律 1. 交换律： a r 2. 结合律： a r 3. 分配律： ( r b rr arr a)r b rr a r a rr a r c )r br b r( r b r b( r ar ) r b r r a(r r 举例 13 给出下列命题：ar (b c r ) a r b a r c r a r (b c r ) (a r b) c r结果： (1,131),( 7,9).4)平面向量数量积yxx r b60o，那么 |a r3b r|6)两点间的距离：若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2)，则|AB| (x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 . 举例 12 如图，在平面斜坐标系于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 u O u P urxe r 1方向的单 xOy 中， xOy 60o，平y 面上任一点 P关ye r 2，其中 e r 1,e r 2分别为60o与 x 轴、④ 若a rb r0，则 a r0r或b r r0；⑤若 a r b r c rb r则a r c r；⑥ |a r |2 a r 2；⑦ ar a r2bb a r ； ⑧ (a rb r )2 a r 2 b r 2；⑨ (a rb r )2 a r 22a rb rb r 2. 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨ . 说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 ( 相约) ； (2)向量的“乘法”不满足结合律，即八、向量平行 (共线) 的充要条件 a r //b a r b (a r b)2 (|a r ||b|)2 举例 14 (1) 若向量 a r (x,1) ，相同. 结果： 2. ( 2)已知 a r (1,1) ，b (4,x) ，u r果：4. uuur uuur (3)设 PA ( k,12) ， PB (4,5) ，果： 2 或 11. 九、向量垂直的充要条件0. (4,x) ，当 x x 1 y 2 y 1 x 2r br br rrb ar r 2b ， uu urPC r v ar (b c r) (a rb) c r，为什么？时， a r 与b r共线且方向 2a r b ，且 u r //v r，则 x(10, k) ，则k时， A,B,C 共线 . y 1 y 2 0.|AB AC AB AC特别地 uuur uuuruuur uuur .|AB | |AC | |AB | | AC |举例 15 (1)已知 u O u A ur( 1,2) ，O uu B ur(3,m) ， (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 B 的坐标是 .结果： (1,3) 或( 3，－1))； (3)已知 n r(a,b)向量 n rm r，且|n r| |m r| ，则m r的坐标是 ( b,a) . 十、线段的定比分点1. 定义：设点 P 是直线 P 1P 2上异于 P 1、 P 2的任意一点，若存在一个实数，使 u P u 1P ur u P u P ur 2 ，则实数叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比， P 点叫做有向线段 u P u 1u P ur 2的以定比为的定比分点 . 2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 (1) P 内分线段 P 1P 2 ，即点P 在线段 P 1P 2上 0； (2) P 外分线段 u P u 1u P u 2r 时，①点 P 在线段 P 1P 2的延长线上 P 在线段 P 1P 2的反向延长线上 1 0.x 1x 2 uuuruuur uuur 若OA OB ，则 m. 结果： OAB ， B 90 ，则点 32；结果： (b, a)或1，②点比为 1.举例 16 若点 P 分u A u B ur所成的比为 43，则 A 分u B u P ur所成的比为 .结果： 73.33. 线段的定比分点坐标公式：设 P 1(x 1, y 1) ， P 2( x 2, y 2) ，点P(x, y)分有向线段 u P u 1u P u 2r 所成的比为，则定比分x 1 x 21 y 1 y 2x 1时，就得到线段 P 1P 2的中点坐标公式y说明：(1) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 . (2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比举例 17 (1)若 M( 3, 2) ，N(6, 1)，且结果： ( 6, 37) ；3(2)已知 A(a,0) ， B(3,2 a)，直线 y 1ax 与线段 AB 交于M ，且u A u M uur 2u M uu B ur，则 a r. 结果：２或 4 .十一、平移公式如果点 P(x,y)按向量 a r (h,k) 平移至 P(x,y) ，则 x x h,；曲线 f(x,y) 0按 y y k.向量 a r (h,k) 平移得曲线 f(x h,y k) 0.说明：( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？( 2) 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 (1)按向量 a r 把(2, 3)平移到(1, 2) ，则按向量 a r把点( 7,2)平移到点 ________ . 结果： ( 8,3) ；(2)函数 y sin 2x 的图象按向量 a r平移后，所得函数的解析式是点坐标公式为特别地，当1).x 1 x 2 , 2 y 1 y 2 .2 在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (x,y) ，(x 1,y 1)、(x 2,y 2)13uM uuN ur，则点 P 的坐标为 uuu ury cos2x 1 ，则a r _________ . 结果：( ,1) .4 十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：|a r| |b r| |a r b r| |a r| |b r|.(1)右边等号成立条件： (2)左边等号成立条件： (3)当 a r 、b r 不共线 |a r | 3. 三角形重心公式在 △ABC 中，若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2) ， C(x 3,y 3) ，则其重心的坐标为举例 19 若△ABC 的三边的中点分别为心的坐标为 . 结果： 32,34.335. 三角形“三心”的向量表示G 为△ ABC 的重心，特别地 u P uu A r u P u Bur u P u C ur 0r G为△ ABC 的重心 .uuur uuur uuur uuur uuur uuur(2)PA PB PB PC PC PA P 为△ ABC 的垂心 .uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur( 3 ) |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P 为 △ ABC 的内心；向量 uuur uuur uu A u B ur uu A u C ur ( 0)所在直线过 △ ABC 的内心. |AB | | AC |6.点 P 分有向线段 u P 1uu P ur 2所成的比向量形式设点 P 分有向线段 P 1P 2所成的比为，若 M 为平面内的任一点，则 uuuur uuuur uuuur uuuur u M uu P r MP 1MP 2，特别地 P 为有向线段 u P u 1u P ur 2的中点 u M uu P r MP 1MP 2. 127. 向量 u P u A ur ,u P u B ur ,u P u C ur 中三终点 A,B,C 共线存在实数 , ，使得 uuuruuur uuur PA PB PC 且1．举例 20 平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ，B( 1,3)，若点 C满足 OC 1OA 2OB ,其中 1, 2R 且 1 21, 则点 C 的轨迹是 . 结果：直线 AB .a r 、b 同向或a r 、b a r 、b r 反向或r rr rrG(x 1 x 2 x 3 3y 1y 2y 3 ) 3)A(2,1) 、B( 3,4)、C( 1, 1)，则 △ ABC 的重 uuur 1 uuur uuur uuur1) PG (PA PB PC)r。

(完整版)平面向量知识点及方法总结总结

平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1。

平面向量的基本定理 2.共线向量定理.二、平面向量的数量积1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0.2。

a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。

（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。

四、向量平行(共线）的充要条件221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=.五、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。

六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +===+七、向量中一些常用的结论1.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。

2.三角形“三心"的向量表示(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。

(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ±七．向量问题中常用的方法(一）基本结论的应用1。

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。

本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。

一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。

通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。

2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。

设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。

3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。

4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。

二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。

2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。

3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。

4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。

高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

第六章平面向量知识点总结

第六章平面向量知识点总结一、平面向量的概念平面向量是指平面上具有大小和方向的量。

它是由起点和终点确定的有向线段。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a表示横坐标的增量，b表示纵坐标的增量。

二、平面向量的表示1. 平面向量的概念平面向量是由两个向量确定的，即它的坐标是有序对(x, y)。

例如平面向量a=(1, 2)，其中1表示横坐标的增量，2表示纵坐标的增量。

2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的对应坐标相加，即(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)。

（2）数乘对于平面向量a=(x, y)和实数k，数乘ka=(kx, ky)。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括：平面向量的加法、数乘、模长和方向角。

1. 平面向量的加法设平面向量a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 数乘设平面向量a=(x, y)，实数k，则ka=(kx, ky)。

3. 模长平面向量的模长表示向量的长度，它的计算公式是：|a| = √(x² + y²)。

4. 方向角平面向量的方向角表示向量与x轴的夹角。

它的计算公式是：θ = arctan(y/x)。

四、平面向量的线性运算1. 向量的共线如果平面向量a=λb，则a和b共线。

2. 向量的线性组合设有向量a、b，向量a' = λa，b' = μb，如果a' + b' = 0，那么向量a和b线性无关。

也就是说，向量a和向量b不是平行的，且不是共线的。

3. 平面向量线性运算的性质（1）结合律(a+b)+c=a+(b+c)（2）交换律a+b=b+a（3）数乘结合律k(la)=(kl)a五、平面向量的坐标位置关系1. 向量的平行平面向量a和b平行的充要条件是a=λb。

2. 向量的垂直平面向量a和b垂直的充要条件是a·b=0。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。

例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。

向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。

模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。

模为1的向量叫做单位向量。

2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。

例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。

字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。

3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

若a=b，则a=b且a与b方向相同。

例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定零向量与任意向量平行。

若a与b是平行向量，则记作ab。

例如，在梯形ABCD中，ADBC。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。

例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。

平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。

运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。

三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。

平面向量知识点归纳总结

平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。

例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。

二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。

三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。

设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。

新的线段即为向量A + B。

2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。

设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。

即A - B = A + (-B)。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。

任何向量与零向量相加等于该向量本身。

四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。

2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。

3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。

4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。

5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。

6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。

五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。

平面向量知识点归纳总结图

平面向量知识点归纳总结图一、平面向量的定义1.1 平面向量的概念在平面上任意选定一个起点和一个终点之间的有序对称就称为平面向量，记作。

平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点就是平面向量的起点，终点就是平面向量的终点。

1.2 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，设平面向量的起点为原点O，终点为点A(x, y)，则平面向量记作。

1.3 平面向量的相等两个平面向量相等指的是它们的模相等，并且方向相同，即两个平面向量相等当且仅当。

二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法设和，平面向量+的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。

2.2 平面向量的减法设，平面向量-的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。

2.3 数乘设，数的积是一个新的平面向量，其长度是向量的倍数，方向与向量相同。

三、平面向量的运算性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律四、平面向量的应用4.1 平面向量的线段设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量的终点减去起点的坐标差即为该线段的平面向量表示。

4.2 平面向量的位置关系(1) 共线若向量平行，则它们共线。

(2) 垂直若，则它们垂直。

4.3 平面向量的运动学应用若一个物体在平面内的任意两点A、B之间作平移运动，其位矢向量表示。

五、平面向量的数量积5.1 定义设，，则积。

5.2 计算（1）坐标法（2）数量积的几何意义5.3 性质（1）交换律（2）结合律（3）分配律5.4 应用（1）判断共线若，则共线。

（2）判断垂直若，则垂直。

（3）夹角公式若，则夹角α的余弦值是的数量积。

六、平面向量的叉乘6.1 定义设，把数视为数乘6.2 计算6.3 性质6.4 应用七、平面向量的混合积7.1 定义设、，则混合积7.2 计算7.3 性质7.4 应用八、几何向量8.1 平面向量的模8.2 单位向量8.3 平行四边形法则8.4 平面向量的夹角公式8.5 平面向量的坐标表示8.6 平面向量的位置关系总结平面向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅有着丰富的几何意义，还具有广泛的物理意义。

平面向量知识点归纳总结

平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。

●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。

2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。

3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。

●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。

4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。

●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。

●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。

5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。

●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。

●点积满足交换律：a ·b = b ·a。

●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。

●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。

●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。

●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。

●共线向量指在同一直线上的向量。

●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。

8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。

●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0 的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式： a b a b a b⑷运算性质：①交换律：a ；②结合律：(a b c a b c ③aCaBbAa b C -AB=B C⑸坐标运算：设a =x y )，b =(x , y )，则a +b =x +x , y +y )．1 2 1 21 12 23、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设a x y )，b =(x , y )，则a b x -x , y -y )．1 12 2 1 2 1 2μ) a a aa b a be b = λa ．设A 、B 两点的坐标分别为( x , y ) ， ( x , y ) ，则 - x , y - y )．4、向量数乘运算：1122212⑴实数λ 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 λa ① λaa②当λ > 0 时， λa 的方向与a 的方向相同；当λ < 0 时， λa 的方向与a 反；当λ = 0时， λa⑵运算律：① λ (μa a⑶坐标运算：设 ax y ，则λax y ) = (λx ,λ y ) ．5、向量共线定理：向量 a a b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使设a = x y )， b = ( x , y ) ，其中b ≠ 0 ，则当且仅当 x y - x y= 0 时，向量 a11 2 2 1 22 1b (b ≠ 0 )共线．6、平面向量基本定理：如果e 1 、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ 、λ ，使 a = e + λ e ．（不共12 1 1 2 2线的向量、 12作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段P P 上的一点， P 、P 的坐标分别是(x , y ) ，1 2⎛ x + λ x 121 1y + λ y ⎫( x , y ) ，当P P = λPP 时，点P 的坐标是 1 2 , 1 + λ λ 2 ⎪ ． 2 2 1 2⎝ 1 1+ ⎭ 8、平面向量的数量积： ⑴ a ba ba b 0 ≤ θ ≤ 180 ．零向量与任一向量的数量积为 0 ．⑵性质：设 ab是非零向量，则① a b a b②当 ab向时，⑷坐标运算：设两个非零向量 a = x y )，b = ( x , y ) ，则a ⋅b = x x + y y ． 11221 21 2AB = ( x 1a b a b a b向时， a ba b a ⋅ a = a = a a = a ⋅aa ⋅b ≤ a b⑶运算律：① a b b a λa ⋅ b = λ a ⋅ b = a ⋅ λb(a + b ⋅ c = a ⋅c + b ⋅ ce若a x y ，则a x y2 ，或a x y2 ．设a =x y )，b =(x , y )，则a b x x +y y = 0 ．1 12 2 1 2 1 2设a 是非零向量，a x y )，b =(x , y )，θ是a 与b 的夹角，则cosθ=1 12 2．aa bx +y y2 1 2x2 +y2 x2 +y21 12 2。

平面向量的数学知识点总结

平面向量的数学知识点总结一、向量的定义及基本性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

在平面坐标系中，向量可以用有序数对表示。

向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

2. 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。

即向量a=b当且仅当|a|=|b|且a与b的方向相同。

3. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

4. 向量的数乘向量的数乘满足结合律和分配律。

即k*(a+b)=k*a+k*b，(k+m)*a=k*a+k*m。

5. 向量的减法向量的减法可以用加法和数乘表示。

即a-b=a+(-1)*b。

6. 向量的数量积向量的数量积（又称点积、内积）是向量的一种乘法。

定义为a·b=|a|*|b|*cos(θ)，其中θ为a和b之间的夹角。

7. 向量的性质（1）向量的模长：|a|=√(a1²+a2²)；（2）向量的共线：如果向量a与向量b共线，那么它们的数量积为0，即a·b=0；（3）向量的夹角：cos(θ)=a·b/(|a|*|b|)。

二、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示。

如向量a可以表示为(a1,a2)。

2. 平面向量的坐标运算（1）向量的加法：a+b=(a1+b1,a2+b2)；（2）向量的数乘：k*a=(k*a1,k*a2)；（3）向量的减法：a-b=a+(-1)*b。

三、向量的线性运算1. 向量的线性相关性如果存在不全为0的实数λ1、λ2，使得λ1a+λ2b=0，则向量a与向量b线性相关。

2. 向量的线性无关性如果向量a与向量b线性无关，那么不存在不全为0的实数λ1、λ2，使得λ1a+λ2b=0。

3. 向量的线性表示对于线性无关的n个向量a1、a2、…、an，可以表示任意向量b的线性组合。

即存在唯一的实数λ1、λ2、…、λn，使得b=λ1a1+λ2a2+…+λnan。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。

在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。

本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。

1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。

它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。

平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。

2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。

向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。

向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。

3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。

设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。

4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。

否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。

线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。

5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。

向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。

向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。

6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。

设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。

7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。

根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是解析几何中的重要概念，是用来表示平面上的点的有方向的量。

平面向量的运算和性质有很多，下面将对其进行详细总结。

一、平面向量的定义平面向量是一个有方向的量，可以用有序数对表示。

通常使用大写的字母如A、B、C等来表示平面向量。

二、平面向量的表示平面向量可以用有序数对(a, b)表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

表示为AB(a, b)。

三、向量的长度和方向角向量的长度就是向量的模，用||AB||表示，可以根据勾股定理计算向量的模。

向量的方向角指向量与x轴的夹角，用α表示，可以根据三角函数来计算。

四、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点，连成一个新的向量。

2. 向量的减法：向量的减法相当于加上一个负向量，即将向量取负后进行加法运算。

3. 向量与常数的乘法：向量与常数相乘，即将向量的每个分量都乘以该常数。

4. 向量的数量积：数量积也叫点积或内积，表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosα，其中α为向量A与向量B的夹角。

5. 向量的向量积：向量积也叫叉积或外积，表示为A×B，计算公式为A×B=|A||B|sinαn，其中α为向量A与向量B的夹角，n为向量A与向量B所在平面的法向量。

五、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即A+B=B+A。

2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。

3. 数乘结合律：向量与常数的乘法满足数乘结合律，即k(A+B)=kA+kB。

4. 分配律：向量的加法对乘法满足分配律，即(k+m)A=kA+mB。

5. 向量的相等性：向量的相等性表示向量的模和方向都相等。

六、平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等学科中，常用于求解平面上的几何问题和运动问题。

例如，可以利用平面向量求解线段的垂直、平行及相交关系，求解角平分线、边中垂线等几何问题；还可以运用平面向量解决速度、加速度等物理问题。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是代数学中的一个概念，它是描述平面上的位置和方向的量。

平面向量的知识点主要包括向量的定义和表示、向量的基本运算、向量的共线和平行、向量的数量积和叉积等。

下面是对这些知识点的详细总结：1.向量的定义和表示：平面向量是有大小和方向的量。

用有向线段来表示向量，线段的起点代表向量的作用点，线段的长度代表向量的大小，线段的方向代表向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如向量a用符号→a表示。

向量可以用坐标表示法来表示。

在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个具有两个分量的有序数对，如向量→a可以表示为→a=(a₁,a₂)，其中a₁和a₂称为向量→a的分量。

2.向量的基本运算：平面向量有加法和乘法运算。

(1)向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量的运算。

即，如果→a=(a₁,a₂)，→b=(b₁,b₂)，则→a+→b=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

(2)向量的乘法：向量的乘法有数量乘法和数量积的概念。

-数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个实数得到一个新的向量的运算。

即，如果→a=(a₁,a₂)，k为实数，则k×→a=(k×a₁,k×a₂)。

- 数量积：向量的数量积，也叫点积或内积，是两个向量的数量积的值等于这两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积，即→a·→b= ，→a，，→b，cosθ。

其中，θ为两个向量的夹角，→a，和，→b，为两个向量的模。

3.向量的共线和平行：两个向量共线的标准是它们的方向相同或相反。

换言之，如果有两个非零向量→a和→b，存在一个实数k，使得→a=k×→b，则→a与→b共线。

两个向量平行的标准是它们的方向相同。

换言之，如果有两个非零向量→a和→b，存在一个实数k，使得→a=k×→b，则→a与→b平行。

4.向量的数量积：向量的数量积，也叫点积或内积，是两个向量的数量积的值等于这两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

平面向量的计算知识点总结

平面向量的计算知识点总结一、基本概念1. 平面向量的定义在二维空间中，若给定两个不平行的线段AB和CD，其起点O重合，那么可以确定一个平面向量a，记作a=→AB。

平面向量a表示由有向线段AB所确定的量，它的大小为线段AB的长度，方向为从A指向B。

2. 平面向量的表示平面向量可以用有向线段来表示，也可以用坐标表示。

若O为坐标原点，i为x轴正向单位向量，j为y轴正向单位向量，那么平面向量a可以表示为a=xi+yj，其中x为a在x轴上的投影，y为a在y轴上的投影。

3. 平行向量与相等向量如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的方向相同，则称它们为平行向量；如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的大小和方向均相同，则称它们为相等向量。

4. 向量的模和方向角给定平面向量a=xi+yj，它的模记作|a|，定义为平面向量a的长度，即|a|=sqrt(x^2+y^2)；它的方向角记作θ，定义为平面向量a与x轴正向的夹角，即tanθ=y/x。

二、平面向量的运算1. 平面向量的加法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的和记作c=a+b，c=→AC，其中C为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，即将起点O作为共同点，以a和b为两条边作平行四边形或三角形的第三边。

2. 平面向量的减法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的差记作c=a-b，c=→AD，其中D为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的减法可以理解为将向量b取反后与向量a进行加法运算。

3. 数乘运算给定平面向量a=xi+yj和实数k，那么ka=kxi+kyj，它的模为|ka|=|k||a|，它的方向与向量a的方向相同（k>0）或相反（k<0），即乘积ka为向量a的长度的k倍或-k倍。

4. 数量积给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的数量积记作a·b，定义为|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模，θ为向量a和b之间的夹角。

高中平面向量知识点总结

高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。

2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。

（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。

（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。

2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。

3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。

4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。

（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。

2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。

《平面向量》知识点归纳总结

第一章平面向量2.1向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．2.2平面向量的基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作baCBAa b C C-=A -AB =B为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳平面向量是二维空间内的向量，由两个有大小和方向的向量组成，可以用于描述平面内的位移、速度、加速度等物理量。

平面向量的知识点总结如下：一、平面向量的定义1. 平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示，记作→AB。

2. 平面向量的大小称为模，记作|→AB|或AB，表示向量的长度。

3. 平面向量的方向可以用与x轴的夹角来表示，记作θ。

二、平面向量的表示方法1. 基底表示法：使用坐标系中的两个非零向量作为基底，根据向量分解的原理将向量表示为基底的线性组合。

2. 基底表示法的基底选择：通常选择单位向量i和j作为基底，i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。

三、平面向量的运算1. 加法：向量相加的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的和，方向等于两个向量的夹角的平分线方向。

2. 减法：向量相减的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的差，方向等于两个向量的夹角的平分线反方向。

3. 数乘：向量乘以一个标量得到的是一个新的向量，新向量的大小等于标量与原向量大小的乘积，方向与原向量相同（正向量）或相反（负向量）。

4. 内积：向量的内积是两个向量的大小之积与它们夹角的余弦值之积，可以用于求夹角、判断垂直和平行等。

5. 外积：向量的外积又称为叉乘，结果是一个新的向量，大小等于两个向量的大小之积与它们夹角的正弦值之积，方向垂直于这两个向量构成的平面。

6. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，大小等于原向量与投影方向的夹角的余弦值与原向量大小之积，方向与投影方向相同。

四、平面向量的性质1. 平面向量相等的充要条件是它们大小相等且方向相同。

2. 平面向量相反的充要条件是它们大小相等且方向相反。

3. 平面向量与其负向量的和等于零向量。

4. 平面向量的模可以为零，只有零向量的模为零，其它向量的模都大于零。

5. 平面向量与标量相乘，改变的是向量的大小，不改变其方向。

平面向量及其应用知识点总结

平面向量及其应用知识点总结
一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平
面向量。

2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。

（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。

（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。

二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。

2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。

三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。

2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。

3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。

4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。

5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。

四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。

2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作
用力等物理量，通过分解力求解问题。

3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。

4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。