高数多元函数微分法及其应用

一阶偏导数同时为零的点, 均称为多元函数的驻点.
注意 驻点
极值点
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定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续, 有 一阶及二阶连续偏导数, f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0 令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值, A 0时有极大值, A 0
如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内任一点 (x, y) 处对
x (或y)的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是 x, y
的函数, 称为函数 z = f (x, y) 对自变量 x (或y)的偏
导函数, 记作
z ,
x
f , x
fx (x, y)
z ,
y
f , y
f y (x, y)
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7、高阶偏导数
y
x
z z u ，
x u x
y
z z u z dv
y u y v dy
x z f u f ,
x u x x
y z f u f .
y u y y
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10、全微分形式不变性
无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v
的函数, 它的全微分形式是一样的.
dz z du z dv . u v
定义: 设二元函数 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D,
P0 ( x0 , y0 ) 为 D 的聚点.
如果
P0
D且
lim
P P0
f
(
P
)
f (P0 )
,则称函数 f (x, y)
在点 P0 连续.
如果函数 f (x, y) 在 P0 不连续, 则称 P0 为函数 f (x, y)的间断点.
x, x,
y) y)
x y
( (
x, x,
y) y)
0, 0,
解出
x,
y,
，
( x, y) 0.
其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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9、复合函数求导法则
z
u v
t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
z v
x z z u z v ,
x u x v x
y z z u z v .
y u y v y
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u z
v
u zx
第9章 多元函数微分法及其应用
平面点集 和区域
极限运算
多元函数概念
多元函数 的极限
多元连续函数 的性质
多元函数 连续的概念
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复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数 的极值
高阶偏导数 隐函数
求导法则
2
1、区域
（1）邻域
P0
设 P0 ( x0 ,
y0 )
是平面上的一个点,
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为 z Ax By o( ), 其中 A, B 不依赖于 x, y
而仅与 x, y 有关, (x)2 (y)2 , 则称函数在 点 (x, y) 可微分, Ax By 称为函数在点 (x, y) 的
全微分Baidu Nhomakorabea 记作 dz, 即 dz Ax By.
2、多元函数概念
定义 设 D 是坐标平面上的一个点集, 如果对于每 个点 P( x, y) D , 变量 z 按照一定的法则总有确定 的值和它对应, 则称 z 是变量 x, y 的二元函数, 记为
z = f (x, y) 或 z = f (P) , P D.
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3、多元函数的极限
定义: 设函数 f (P) = f (x, y) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 )
义, 当 y 固定在 y0 而 x 在x0处有增量 x 时, 相应地
函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) , 如果
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在, 则称此极限为
x0
x
函数 z=f (x, y) 在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为
0
.与点
P的 0
距离小于 的点 P( x, y) 的全体, 称为点 P0 的 邻
域, 记为U(P0 , ), 即 U (P0 , ) {P | PP0 | }
{(x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 }
（2）区域 连通的开集称为区域或开区域.
3
（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集, P 是平面上的一个点, 如果点 P 的任何一个去心的邻域内总有无限多个 点属于点集 E, 则称 P 为 E 的聚点.
极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )具有偏导数,在点 ( x0 , y0 )处有极值, 则它在该点的偏导数必然为 零: f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.
lim f ( x, y) A 或 lim f (P) A
( x, y)( x0 , y0 )
P P0
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说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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4、多元函数的连续性
是其聚点. 如果存在常数 A, 对于任意给定的正数 ,
o
总存在正数 , 使得当点 P( x, y) D U(P0 , ) 时,
都有 | f (P) A || f ( x, y) A | 成立, 则称 A 为函
数 f (x, y)当 ( x, y) ( x0 , y0 ) 时的极限, 记为
z ,
x x x0
f ,
x x x0
zx
, x x0
y y0
或
f x (x0 , y0 )
y y0
y y0
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同理可定义函数 z = f (x, y)在点 ( x0 , y0 )处对 y 的
偏导数: z ,
y x x0
f ,
y x x0
zy
, x x0
y y0
或
f y (x0 , y0 )
y y0
y y0
时有极小值;
(2) AC B2 0时没有极值; (3) AC B2 0时可能有极值.
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值A、B、C .
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11、隐函数的求导法则
(1) F( x, y) 0 (2) F( x, y, z) 0
dy Fx dx Fy z Fx , x F
z
z Fy y F
z
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
直接求导法
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12、多元函数的极值
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有 定义, 对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y), 若满 足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 则称函数在( x0 , y0 ) 有极大值; 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 则称 函数在( x0 , y0 )有极小值;
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y),
纯偏导
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
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8、全微分概念
如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全增量
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
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条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法: 要找函数z f ( x, y)在条件
( x, y) 0下的可能极值点, 先构造函数
F ( x, y) f ( x, y) ( x, y), 为某一常数, 可由
f f
x y
( (
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5、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在D上至少取 得它的最大值和最小值各一次. （2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上取 得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值 之间的任何值至少一次.
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6、偏导数概念
定义 设函数 z=f (x, y) 在( x0 , y0 )的某邻域内有定