高等数学：BIT7-7 方向导数、偏导数、连续性关系

方向导数、偏导数、 连续性关系
等值线
在几何上 z f ( x, y)表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得zz
f c
( x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影 如图
y f (x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f (x, y) c 等值线
f (x, y) c1
而梯度的模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数．
此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方向导 数为
f n
fx
fx
f
2 x
f
2 y
fy
fy
f
2 x
f
2 y
gradf 0
故应从数值较低的等高线指向 数值较高的等高线.
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域G 内具有
x x0 y y0 z z0 .
(t0 ) (t0 ) (t0 )
切向量： 切线的方向向量称为曲线的切向量.
T (t0 ), (t0 ),(t0 )
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1
•
f l
grad f
el
梯度在方向 l 上的投影.
第七节
第七章
微分学在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、一元向量值函数
一、空间曲线的切线与法平面
x (t)
设空间曲线的方程
y
(t
)
z (t )
(1)式中的三个函数均可导.
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
导数最大？方向导数最大值是多少？沿哪个方向z
减小得最快？沿哪个方向z的变化率为零？
解：z z cos z cos 3cos 3cos
l (1,1) x (1,1)
y (1,1)
当cos cos 时，z 0
l
而，分别为l与x轴正向和y轴正向夹角，
当 时或 5 时，z 0
4
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
0.
Fx Gx
(y
0
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
(
0
z
z0
)
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
4 l
即沿( 2 , 2 )和( 2 , 2 ), z的变化率为零
22
22
事实上,沿与梯度垂直的方向函数变化率为零.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
方向: f 变化率最大的方向 • 梯度的特点 模: f 的最大变化率之值
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
2.空间曲线方程为
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
切线方程为
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
M( x0 x, y0 y, z0 z)
对应于 t t0 t.
x
(1)
z • M
•M
o
y
割线 MM 的方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0
•M
x
y
z x o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
t
t
t
当M M ,即t 0时 , 曲线在M处的切线方程
x y
grad z(1,1) {3, 3}
沿梯度方向{3, 3}，z的方向导数最大，
z | grad z(1,1) | 3 2 l 最大
沿负梯度方向{3, 3}，z减小得最快，
若l的方向角为，，z z cos z cos
l x
y
例：函数z x2 xy y2在(1,1)沿哪个方向z的方向
求曲线
:xt0 Nhomakorabeae
u
cos
udu
，
y
2sin
t
cos t ,z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程.
解 当t 0时， x 0, y 1, z 2,
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t ,
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3,
故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k.
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)处梯度为
0.
例6：函数z x2 xy y2在(1,1)沿哪个方向z的方向
导数最大？方向导数最大值是多少？沿哪个方向z
减小得最快？沿哪个方向z的变化率为零？
解：
grad z
z {
,
z }
{2x y, 2 y x}
一阶连续偏导数，则对于每一点 P( x, y, z) G，
都可定义一个向量(梯度)
gradf
( x,
y, z)
f
i
f
j
f
k.
x y z
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
梯度的基本运算公式
(2) grad(cu) cgrad u 或 (cu) c u
(4) grad(u v) u grad v vgrad u 或(uv) u v v u
例 5 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(
x,
y,
z)
u
i
u
j
u
k
x y z
(2x 3)i (4 y 2) j 6zk,
o
x
等值线定义：f (x, y) c 切线斜率
利用隐函数求导
yx'
f
' x
f
' y
i
y' j或
f
' y
i
f
' x
j是等值线
在点（x,y)处的切线方向
则法线方向:
fx'i
f
' y
j
梯度方向
梯度与等高(值)线的关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y) 的梯度的方向与点 P 的等 高线 f ( x, y) c 在这点的法 线的方向相同.
切线方程 x 0 y 1 z 2 ,
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0,
即 x 2 y 3z 8 0.
特殊地：
1.空间曲线方程为
y z
( (
x) ,
x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,