7-4-1简单地排列问题.教师版

教学目标

1.使学生正确理解排列的意义；

2. 了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

3•掌握排列的计算公式；

4•会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力; 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.

知识要点

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题•在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.

一般地，从n个不同的元素中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中

取出m个元素的一个排列.

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同•如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.

排列的基本问题是计算排列的总个数.

从n个不同的元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做巳：

根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：

步骤1 :从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；

步骤2 :从剩下的(n 1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n 1)种方法；

步骤m :从剩下的［n (m 1)］个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n (m 1 n m 1(种)方法；

由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n (n 1(n 2) L (n m 1)，即卩

R m n(n 1).( n 2)L ( n m 1),这里，m n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘.

二、排列数

一般地，对于m n的情况，排列数公式变为P n n (n 1) (n 2) L 3 2 1 .

表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列. 式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为n!, 读做n的阶乘，贝U F n n还可以写为：P n n n!，其中n! n (n 1) (n 2) L L 3 2 1.

例题精讲

模块一、排列之计算

【例i 】计算：⑴ P

55 ；⑵p 4

P T 3

.

【考点】简单排列问题 【难度】1

【解析】由排列数公式P n m

n( n 1).(n 2)

L ⑴ P 5

2 5 4

20

⑵ P 74

7 6 5 4

840 ,P 73

7 6

【答案】⑴20

⑵630

星 【题型】解答

n m 1 知： 5 210，所以 P74

P ；

840 210

630 .

【考点】简单排列问题 【解析】⑴P 32

3 2 6

【答案】⑴6

【答案】⑴2002

模块二、排列之排队问题

【例2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他 3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ （

照

相时3人站成一排）

【考点】简单排列问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有

3人，可以看成有3个位置由这3人来站.由

于要选一人拍照，也就是要从四个人中选

3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选

3人，排在3

个位置中的排列问题•要计算的是有多少种排法. 由排列数公式，共可能有：

P/ 4 3 2 24 （种）不同的拍照情况.

也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：

P 44

4 3 2 1 24 （种）不同的拍照情况.

【答案】24

【巩固】4名同学到照相馆照相•他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 【考点】简单排列问题

【难度】2星

【题型】解答

【解析】4个人到照相馆照相，那么 4个人要分坐在四个不同的位置上•所以这是一个从

4个元素中选4个，

排成一列的问题.这时 n 4, m 4 .

【巩固】 计算：⑴ P 32

；2）

P ；

P 2

. 【巩固】 计算：⑴ P 2

；

⑵ 3P 65 P 33

. 【考点】 简单排列问题

【难

度】

1星

【解析】

3

2

⑴ P 4 P 4

14 13 12 14 13

2002

；

⑵ 3P ； P 33

3 (6 5

4 3 2) 3 2 1 【题型】解答

2154 .

【难度】1星

⑵ P/ P 2

【题型】解答

6 5 4 10 9 120 90 30

⑵30

⑵ 2154

由排列数公式知，共有P^4 4 3 2 1 24（种）不同的排法. 【答案】24

【巩固】9名同学站成两排照相，前排 4人，后排5人，共有多少种站法？ 【考点】简单排列问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】如果问题是9名同学站成一排照相， 则是9个元素的全排列的问题，

有P 99

种不同站法.而问题中，9

个人要站成两排，这时可以这么想，把

9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后

排，所以实质上，还是 9个人站9个位置的全排列问题. 方法一：由全排列公式，共有

P 9

987654321 362880 （种）不同的排法.

方法二：根据乘法原理，先排四前个，再排后五个.

4

5

P 9P 5

987654321 362880

【答案】362880

【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？ 【考点】简单排列问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列

问题，且n 4•由全排列公式，共有 P 44

4 3 2 1 24（种）不同的站法.

【答案】24

【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”

，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少

种不同的站法？

【考点】简单排列问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排 列问题，且

n =4 .

由全排列公式，共有 P 4

4 3 2 1 24（种）不同的站法.

【答案】24

【例3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有 _____________ 申？ 【考点】简单排列问题

【难度】3星 【题型】填空

【关键词】学而思杯，4年级，第8题

【解析】5个人全排列有5! 120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是 60种

【答案】60种

【例4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠 不同

的车票.

【考点】简单排列问题 【难度】3星

【解析】P ； 14 13 182（种）.

【答案】182

【例5】 班集体中选出了 5名班委，他们要分别担任班长, 有多少种不同的分工方式？

【考点】简单排列问题 【难度】3星

【解析】P 5

120（种）.

14个车站（包括北京和上海）,这条铁路线共需要多少种

【题型】解答

学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问

【题型】解答