第四章 周期信号频域分析
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周期信号：给定连续信号f(t), 若存在一个正常数T0 , 使得
f (t T0 ) f (t0 ), t R
则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。
0 2 / T0 : f (t )的基波角频率(Fundamental Angular Frequency) ;
8A f (t ) 2 2 sin(n / 2)sin(n t ) n 1 n 8A 1 1 1 2 [sin( t ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) ]. 9 25 49
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 Fourier级数的部分和为 f N (t ) 在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
A sin(n0 / 2) A Sa(n0 / 2) T0 n0 / 2 T0
9
4.1 连续周期信号的Fourier级数
因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为
f (t )
jn0 t ( A / T )Sa( n / 2) e . 0 0
0 2 / 2 .
f(t)在区间(-1/2, 3/2)的表达式为
| t | 1 / 2 2 At , f (t ) 2 A(1 t ), 1 / 2 t 3 / 2 由 f(t) 的波形知，C0=0。
取t0= -1/2, 则Fourier系数为
图4-2 周期三角形脉冲
n 1
易知
2 an T0
T0 t0
t0
f (t ) cos( n0t )dt ,
(4.15)
2 T0 t0 bn f (t )sin(n0t )dt , (4.16) t T0 0
7
4.1 连续周期信号的Fourier级数
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
3
4.1 连续周期信号的Fourier级数
根据{en(t)} 的正交性，有
T0
0
en (t )e (t )dt e j( n k ) 0 t dt T0 [n k ]
* k 0
T0
1 因此，得： Ck T0
T0
0
f (t )e -j k 0 t dt.
(4.4)
结论 : 如果一个周期信号f (t )的Fourier级数表示式成立, 则其系数可由(4.4)计算.
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
n 1
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
20
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2)，则 称为半波重叠信号。例如，图4-6。
图4-6 半波重叠信号 易知，这种信号的基波周期T1=T0/2, 对应的角频率为
f 0 1/ T0 : f (t )的基波频率(Fundamental Frequency)
虚指数信号 f (t ) e j0t
(4.1)
( 联想单位圆)
是周期信号, 其基波频率为f0 0 / 2 , 基波周期为T0 1/ f0 。 将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号
f (t ) C0
n
j n 0 t j n 0 t C e C e n n n 1 -j n 0 t
1
C0 (C ne
n 1
Cne
jn 0 t
)
(4.10)
注意到，上式中括号内两项是共轭的，因此
f (t ) C0 2 Re(Cne j n 0 t )
n 1
公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。 注: 对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；
三角形式的Fourier 级数的系数是实数；
分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。
8
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-1 求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。 解: 在(4.6)中取t0 T0 / 2,则有
11
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj jn t f (t ) sin( n / 2) e . 2 2 n , n 0 n 其三角形式的Fourier级数为
n
其三角形式的Fourier级数为
f (t ) ( A / T0 ) (2 A / T0 )Sa(n0 / 2)cos(n0t ).
n1
10
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-2 求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数 表示式。 解: 由图4-2 可知T0=2, 所以
13
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 注： 在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且
在信号的连续点处， Fourier级数收敛于信号真值；在信号
不连续点处， Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如 图4-3所示。
14
4.1 连续周期信号的Fourier级数
n 1
(4.11)
6
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由于Fourier级数的系数Cn一般为复数， 记 an jbn a0 Cn , C0 , 2 2
将上式代入(4.11), 得
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
f (t ) a0 / 2 an cos(n0t )
n 1
注:实偶对称信号的Fourier级数中只含直流项和余弦项。
18
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号
周期为T0的奇对称信号f(t), 具有关系 f (t ) f (t ) ，见图4-5。 在(4.6)中，取t0=-T0/2, Fourier级数的系数有 1 T0 /2 1 T0 /2 jn0t Cn f (t )e dt [ f (t )cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt T0 T0 /2 T0 T0 /2
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
j n 0 t C e , n
(4.5)
1 Cn T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt.
(4.6)
4
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数
结论: 若f(t)为实函数，则指数Fourier级数展开式中的 系数满足
T0 /2
T0 /2 T0 /2
f (t )e jn0t dt [ f (t ) cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt f (t ) cos(n0t )dt.
1 T0
T0 Fra Baidu bibliotek2 T0 /2
1 T0
T0 /2
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
第四章 周期信号的频域分析
主 要 内 容
1. 连续周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质 2. 连续周期信号的频谱分析
3. 离散周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质*
4. 基于Matalab软件的周期信号频谱的计算方法
1
4.1 连续周期信号的Fourier级数
一、指数形式的Fourier级数
f (t )e
-j k 0 t
n
j( n k ) 0 t C e (等式两边都是周期为T0的周期信号) n
T0 j( n k ) 0 t
T0
0
f (t )e
-j k 0 t
dt ( Cn e
0 n
)dt
n
C
n
T0
0
e j( n k ) 0 t dt
en (t ) e jn0t , n 0, 1, 2, (4.2)
易知， en (t（ ) 0）是周期信号，它的基波频率为nf0 , 基波周期为T0 / n。
2
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由这些信号的线性组合构成的信号
是一个周期为T0的信号。
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
(4.3)
在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量； n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量 或一次谐波分量； n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波 分量； n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。 周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。 Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。
N 0
n N
N
Cn e jn0t ,
lim | f (t ) f N (t ) |2 dt 0.
T0
周期信号f(t)的Fourier 级数存在条件 1. f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：
T0 t0
t0
| f (t ) | dt 0.
2. f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极 小值点的个数有限(强Dirichlet条件)
j T0 /2 f (t )sin(n0t )dt. T /2 T0 0
图4-5 奇对称信号
19
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号 Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有
Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为
f (t ) bn sin(n0t )
Cn C .
* n
(4.7)
证明:
1 T0 t0 1 T0 t0 j n 0 t * C n f (t )e dt C n f (t )e-j n 0 t dt T0 t0 T0 t0
* Cn C n.
5
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数 注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是 共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。
1 T0 /2 Cn f (t )e jn0t dt T0 T0 /2
图4-1 周期矩形脉冲
1 /2 jn0t A /2 Ae dt e jn0t |tt /2 T0 /2 T0 ( jn0 ) A (e jn0 /2 e jn0 /2 ) T0 (n0 / 2)(2 j )
图4-4 偶对称信号
17
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 1 偶对称信号 周期为T0的偶对称信号f (t), 具有关系 f (t ) f (t ) 见图4-4。 在(4.6)中，取t0= -T0/2, Fourier级数的系数有
Cn 1 T0
f (t T0 ) f (t0 ), t R
则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。
0 2 / T0 : f (t )的基波角频率(Fundamental Angular Frequency) ;
8A f (t ) 2 2 sin(n / 2)sin(n t ) n 1 n 8A 1 1 1 2 [sin( t ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) ]. 9 25 49
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 Fourier级数的部分和为 f N (t ) 在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
A sin(n0 / 2) A Sa(n0 / 2) T0 n0 / 2 T0
9
4.1 连续周期信号的Fourier级数
因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为
f (t )
jn0 t ( A / T )Sa( n / 2) e . 0 0
0 2 / 2 .
f(t)在区间(-1/2, 3/2)的表达式为
| t | 1 / 2 2 At , f (t ) 2 A(1 t ), 1 / 2 t 3 / 2 由 f(t) 的波形知，C0=0。
取t0= -1/2, 则Fourier系数为
图4-2 周期三角形脉冲
n 1
易知
2 an T0
T0 t0
t0
f (t ) cos( n0t )dt ,
(4.15)
2 T0 t0 bn f (t )sin(n0t )dt , (4.16) t T0 0
7
4.1 连续周期信号的Fourier级数
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
3
4.1 连续周期信号的Fourier级数
根据{en(t)} 的正交性，有
T0
0
en (t )e (t )dt e j( n k ) 0 t dt T0 [n k ]
* k 0
T0
1 因此，得： Ck T0
T0
0
f (t )e -j k 0 t dt.
(4.4)
结论 : 如果一个周期信号f (t )的Fourier级数表示式成立, 则其系数可由(4.4)计算.
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
n 1
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
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4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2)，则 称为半波重叠信号。例如，图4-6。
图4-6 半波重叠信号 易知，这种信号的基波周期T1=T0/2, 对应的角频率为
f 0 1/ T0 : f (t )的基波频率(Fundamental Frequency)
虚指数信号 f (t ) e j0t
(4.1)
( 联想单位圆)
是周期信号, 其基波频率为f0 0 / 2 , 基波周期为T0 1/ f0 。 将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号
f (t ) C0
n
j n 0 t j n 0 t C e C e n n n 1 -j n 0 t
1
C0 (C ne
n 1
Cne
jn 0 t
)
(4.10)
注意到，上式中括号内两项是共轭的，因此
f (t ) C0 2 Re(Cne j n 0 t )
n 1
公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。 注: 对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；
三角形式的Fourier 级数的系数是实数；
分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。
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4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-1 求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。 解: 在(4.6)中取t0 T0 / 2,则有
11
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj jn t f (t ) sin( n / 2) e . 2 2 n , n 0 n 其三角形式的Fourier级数为
n
其三角形式的Fourier级数为
f (t ) ( A / T0 ) (2 A / T0 )Sa(n0 / 2)cos(n0t ).
n1
10
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-2 求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数 表示式。 解: 由图4-2 可知T0=2, 所以
13
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 注： 在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且
在信号的连续点处， Fourier级数收敛于信号真值；在信号
不连续点处， Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如 图4-3所示。
14
4.1 连续周期信号的Fourier级数
n 1
(4.11)
6
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由于Fourier级数的系数Cn一般为复数， 记 an jbn a0 Cn , C0 , 2 2
将上式代入(4.11), 得
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
f (t ) a0 / 2 an cos(n0t )
n 1
注:实偶对称信号的Fourier级数中只含直流项和余弦项。
18
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号
周期为T0的奇对称信号f(t), 具有关系 f (t ) f (t ) ，见图4-5。 在(4.6)中，取t0=-T0/2, Fourier级数的系数有 1 T0 /2 1 T0 /2 jn0t Cn f (t )e dt [ f (t )cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt T0 T0 /2 T0 T0 /2
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
j n 0 t C e , n
(4.5)
1 Cn T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt.
(4.6)
4
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数
结论: 若f(t)为实函数，则指数Fourier级数展开式中的 系数满足
T0 /2
T0 /2 T0 /2
f (t )e jn0t dt [ f (t ) cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt f (t ) cos(n0t )dt.
1 T0
T0 Fra Baidu bibliotek2 T0 /2
1 T0
T0 /2
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
第四章 周期信号的频域分析
主 要 内 容
1. 连续周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质 2. 连续周期信号的频谱分析
3. 离散周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质*
4. 基于Matalab软件的周期信号频谱的计算方法
1
4.1 连续周期信号的Fourier级数
一、指数形式的Fourier级数
f (t )e
-j k 0 t
n
j( n k ) 0 t C e (等式两边都是周期为T0的周期信号) n
T0 j( n k ) 0 t
T0
0
f (t )e
-j k 0 t
dt ( Cn e
0 n
)dt
n
C
n
T0
0
e j( n k ) 0 t dt
en (t ) e jn0t , n 0, 1, 2, (4.2)
易知， en (t（ ) 0）是周期信号，它的基波频率为nf0 , 基波周期为T0 / n。
2
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由这些信号的线性组合构成的信号
是一个周期为T0的信号。
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
(4.3)
在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量； n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量 或一次谐波分量； n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波 分量； n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。 周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。 Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。
N 0
n N
N
Cn e jn0t ,
lim | f (t ) f N (t ) |2 dt 0.
T0
周期信号f(t)的Fourier 级数存在条件 1. f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：
T0 t0
t0
| f (t ) | dt 0.
2. f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极 小值点的个数有限(强Dirichlet条件)
j T0 /2 f (t )sin(n0t )dt. T /2 T0 0
图4-5 奇对称信号
19
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号 Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有
Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为
f (t ) bn sin(n0t )
Cn C .
* n
(4.7)
证明:
1 T0 t0 1 T0 t0 j n 0 t * C n f (t )e dt C n f (t )e-j n 0 t dt T0 t0 T0 t0
* Cn C n.
5
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数 注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是 共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。
1 T0 /2 Cn f (t )e jn0t dt T0 T0 /2
图4-1 周期矩形脉冲
1 /2 jn0t A /2 Ae dt e jn0t |tt /2 T0 /2 T0 ( jn0 ) A (e jn0 /2 e jn0 /2 ) T0 (n0 / 2)(2 j )
图4-4 偶对称信号
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4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 1 偶对称信号 周期为T0的偶对称信号f (t), 具有关系 f (t ) f (t ) 见图4-4。 在(4.6)中，取t0= -T0/2, Fourier级数的系数有
Cn 1 T0