§3.6气体分子平均自由程
气体分子平均自由程
气体分子平均自由程气体分子平均自由程，又称为“气体分子平均运动距离”，是指一定条件下的气体的分子在一段时间内的平均随机运动距离。
它表明气体分子随机运动的平均距离，是预测和理解气体特性的重要参数之一。
气体的物理性质受到气体分子的大小和运动状态的影响，而气体分子的运动状态可以用气体分子平均自由程来表征。
气体分子的运动是由气体分子间的相互作用引起的，气体分子平均自由程反映了气体分子之间存在的相互作用。
气体分子平均自由程可以从宏观物理学的角度来理解，它表示在一定温度下，气体分子的平均随机运动量，并由此而决定气体特性，例如密度、扩散速度、粘度等。
具体而言，气体分子的平均自由程是指在一定温度和压强下，气体分子在某一时刻回归到原点，以及在一段时间内平均随机运动的距离。
气体分子平均自由程是由气体分子之间的相互作用来决定的，而不同的气体分子会有不同的相互作用，从而使它们具有不同的气体分子平均自由程。
比如，氢分子和氦分子的相互作用较弱，它们的气体分子平均自由程也就较大；而氧分子和氮分子的相互作用较强，它们的气体分子平均自由程也就较小。
气体分子平均自由程的大小受多种因素的影响。
首先，气体分子的大小会影响它们的平均自由程。
一般来说，气体分子越小，它们的平均自由程就越大。
其次，气体分子之间的相互作用也会影响气体分子平均自由程。
一般情况下，气体分子间的相互作用越强，气体分子平均自由程就越小。
最后，温度也会影响气体分子平均自由程，即温度越高，气体分子平均自由程就越大。
气体分子平均自由程是气体物理性质的重要参数，它可以用来预测和理解气体的性质。
它可以用来计算气体的密度、扩散速度、粘度等特性，也可以用来计算温度和压强的变化对气体的影响，以及气体的运动规律。
气体分子平均自由程
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
分子运动的平均自由程
分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体或液体中运动时，与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
它是分子间碰撞频率与分子运动速度之比的倒数。
分子间碰撞频率取决于分子的浓度和分子的直径。
根据动力学理论，分子运动速度与温度有关，分子运动速度在气体中服从玻尔兹曼分布，而在液体中服从麦克斯韦分布。
对于气体分子运动的平均自由程，可以根据分子间碰撞的概率来计算。
考虑一个气体分子在单位时间内与周围分子发生的碰撞次数，可以用分子的体积与单位时间内碰撞次数的乘积来表示。
这个体积称为碰撞体积。
假设分子的直径为d，则两个分子之间的碰撞体积为πd²。
假设单位体积内气体分子的数目为n，那么单位时间内一个分子完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²/4V，其中V为气体的体积。
分子运动速度的分布函数称为速度分布函数或速度概率密度函数，用f(v)来表示。
根据玻尔兹曼和麦克斯韦的理论，f(v)与速度v的关系为f(v) = 4πv² (m/2πkT)^(3/2) * exp(-mv²/2kT)，其中m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
平均自由程λ可以通过碰撞体积与速度分布函数的积分来计算。
当速度为v的分子在单位时间内完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²v * f(v)dv。
所以，单位时间内分子完成的平均碰撞数为∫(nπd²v * f(v))dv。
根据定义，平均自由程为碰撞体积与平均碰撞数之比的倒数，即λ = (4V/πd²) / (∫(nπd²v * f(v))dv)。
根据上述公式可以看出，平均自由程与分子间碰撞频率及分子运动速度有关。
当浓度增加或分子直径减小时，分子间碰撞频率增加，平均自由程减小。
当温度增加时，分子运动速度增加，平均自由程也会增加。
总之，分子运动的平均自由程是分子在气体或液体中运动时与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
气体平均自由程
气体平均自由程
气体平均自由程是指气体分子在单位时间内在碰撞前直线路径上能够自由运动的平均距离。
它是描述气体分子运动的重要参数之一，与气体的密度、温度和分子直径等因素有关。
根据气体动理论，气体分子之间的碰撞是完全弹性碰撞，即在碰撞过程中没有能量损失。
在两个碰撞间隔期间，气体分子可以自由运动。
当气体分子之间的碰撞频率很高时，其平均自由程就很短。
相反，如果碰撞频率很低，其平均自由程就很长。
根据运动学原理，气体分子的平均自由程可以通过下式计算：
平均自由程 = 1 / (根号2 * 分子数密度* π * 分子直径^2)
分子数密度是单位体积中气体分子的数量，分子直径是气体分子的直径。
气体的平均自由程决定了气体的输运性质。
当气体分子的平均自由程远大于其他物体的尺度（如容器大小、障碍物等），气体可以被视为连续介质，可以使用流体力学的方法来描述气体的运动。
相反，当气体分子的平均自由程接近于容器或障碍物的尺度时，气体分子的运动会受到分子间相互作用和碰撞的影响，需要使用分子动力学的方法来描述。
气体分子的平均自由程
z0 0
df dS df’
u=u(z)
P
x
在流体内部z=z0处有一分界平面ds,ds上下相邻流 在流体内部z=z 处有一分界平面ds,ds上下相邻流 ds,ds 体层之间由于速度不同通过ds ds面互施大小相等方向 体层之间由于速度不同通过ds面互施大小相等方向 相反的作用力，称为内摩擦力或粘滞力。 相反的作用力，称为内摩擦力或粘滞力。 实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及ds的大 实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及ds的大 df与该处流速梯度及ds 小成正比。 小成正比。 du df = η ds 叫做流体的内摩擦系数或粘滞系数。 η 叫做流体的内摩擦系数或粘滞系数。 dz z0 微观机制（只讨论气体） 微观机制（只讨论气体） 气体的内摩擦现象在微观上是分子在热运动中输 运定向动量的过程。 运定向动量的过程。 1 根据分子运动论可导出 η = nmvλ 3
扩散 两种物质混合时，如果其中一种物质在各处的密度不均 两种物质混合时， 这种物质将从密度大的地方向密度小的地方散布， 匀，这种物质将从密度大的地方向密度小的地方散布， 这种现象叫扩散。 这种现象叫扩散。 宏观规律 只讨论最简单的单纯扩散 过程： 过程：混合气体的温度和 压强各处相同。 压强各处相同。两种组分 的化学性质相同如CO 气体。 的化学性质相同如CO2气体。 但一种有放射性如14C，另一 种无放射性如12C。
A
σ
Hale Waihona Puke 叫做分子的碰撞截面。 圆柱体的截面积为σ ，叫做分子的碰撞截面。 σ = πd2 在t 内，A所走过的路程为 u t， 相应圆柱体的 所走过的路程为 体积为 ， σut 设气体分子数密度为 。则 设气体分子数密度为n。 中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在 时间 中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在t时间 内与A相碰的分子数为 内与 相碰的分子数为 nσu t 。 平均碰撞频率为
气体分子平均自由程表达式
气体分子平均自由程表达式在物理学中，气体分子的平均自由程(也称平均自由路径)是一个重要的物理量，它指的是气体分子在碰撞前后所移动的平均距离。
在理想气体中，分子之间的距离相对较小，因此自由程相对较长。
但是在实际气体中，气体分子之间的距离往往比较大，分子间的碰撞比较频繁，因此自由程也较短。
那么，气体分子平均自由程的表达式是什么呢？在这里，我们将详细讲解。
首先，我们需要确定一个基本概念——平均自由时间。
平均自由时间指的是气体分子运动中两次相邻碰撞之间的平均时间间隔。
与平均自由时间相关的是气体分子平均自由程，两者之间有如下关系：平均自由程=平均速度×平均自由时间接下来，我们需要进一步求解平均自由时间和平均速度。
首先，我们可以通过热力学的方法推导平均自由时间的表达式。
根据玻尔兹曼方程，假设气体分子的碰撞为完全弹性碰撞，即气体分子之间没有损失或转化的能量。
此时，可以得到分子平均自由时间的表达式：τ = [(1/√2)×π×d2×N]/(4π×d2×P×v)其中，τ为平均自由时间，d为分子直径，N为单位体积中的分子数，P为气体压强，v为分子平均速度。
接下来，需要对上式进行简单的推导。
我们可以通过分析气体中的分子运动状态，发现当分子的平均自由程大于等于分子直径时，分子之间的碰撞才可能发生。
因此，我们可以得到下式：π×(d/2)2×n×v×τ = 1其中，n为单位体积中的分子数。
通过上述推导过程，我们可以推导出平均自由程的表达式：λ = v×τ此时，将平均自由时间的表达式代入上式中，得到：λ = [(1/√2)×d2×N]/(4P)该公式是分子平均自由程的表达式。
根据该公式，可以发现分子平均自由程与分子直径、气体压强以及分子数等因素有关。
此外，还需要注意的是，该公式只适用于弹性碰撞情况下的气体分子。
气体分子的平均自由程输运过程的宏观规律输运过程的微观解释
一.热传导现象的宏观规律
热传导是热传递的三种方式(热传导.对流.热辐射)之一,它是当气体各处温度不均匀时 热量由温度高处向温度低处输运的过程.
1. dQ dS 2. dQ dt 3. dQ dT dz z0
2
2
在 T = 300K 时：
气体 J (10-46kgm2 )
2 kT
J
(s1)
H2 O2 N2 CO 2
0.0407 1.94 1.39 1.45
3.19× 1013 4.62 × 1012 5.45 × 1012
5.34× 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
§2. 输运过程（transport process）
vt v 1
p nkT
Zt Z 2d 2n
二. 平均碰撞频率与平均自由程的关系
理想气体，在平衡态下，并假定：
kT
2d 2 p
（1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球； （3）被考虑的分子以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
3
dz z0
3
例5-2.实验测得标准状态下氢气的粘滞系数为 的平均自由程和氢气分子的有效直径.
8.5 .试10 求6 kg氢m气1s 1
解:根据
1 v 解出 ,并将, v的有关公式代入, 得
3
3 3 RT 3 RT 1.66107 (m)
气体的黏度随温度升高而增加，液体的黏度随温度升高而减少。
根据动量定理:dk=fdt,有:
dk du dSdt
dz z0
由于动量沿流速 减小的方向
热学气体分子平均自由程
气体分子的碰撞截面
碰撞截面
截面对平均自由程的影响
气体分子间的碰撞截面决定了分子间 的相互作用和碰撞概率。
碰撞截面越大，分子间的碰撞概率越 高，平均自由程越短。
截面大小
不同气体分子间的碰撞截面大小不同， 与分子间的距离和相互作用力有关。
气体分子的能量损失
能量损失
01
气体分子在碰撞过程中会损失能量，导致平均自由程的变化。
特性
与气体分子的速度、气体分子的分布、气体分子的碰撞频率等因素有关。
平均自由程与气体分子碰撞频率的关系
碰撞频率
气体分子在单位时间内所发生的碰撞 次数。
关系
平均自由程与气体分子碰撞频率成反 比，碰撞频率越高，平均自由程越小。
平均自由程在热学中的重要性
热传导
平均自由程是影响气体热传导的重要因素之一，通过 改变平均自由程可以调节气体的热传导性能。
总结词
在高温高压条件下，气体分子间的相互 作用力减弱，分子间的碰撞频率降低， 因此平均自由程较大。
VS
详细描述
在高温高压条件下，气体分子间的平均距 离增大，分子间的碰撞频率减少，导致气 体分子的平均自由程增大。这种情况下， 气体分子的运动受到的相互碰撞的限制较 小，运动路径较长。
04 气体分子平均自由程的影 响因素
探索气体分子平均自由程在极端条件下的行为
研究高温、高压、高密度等极端 条件下气体分子平均自由程的变 化规律，揭示其与温度、压力、
密度的关系。
探讨极端条件下气体分子与障碍 物的相互作用，以及气体分子间 的相互作用，以理解其行为特性。
研究极端条件下气体分子输运性 质的变化，为相关领域的应用提
供理论支持。
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3.6气体输运系数的导出
1
T 2
T 0.5
η当温度 T 时，比刚性分子增加得还要多。实验验证：
T 0.7
3) 利用η与σ关系，可以估计或测量σ或d。
2
km
T
1 2
3
（3.25）
利用（3.24）式可以测定气体分子碰撞截面及气体分 子有效直径的数量级。在三个输运系数中，实验最易精 确测量的是气体的黏性系数，利用黏性系数的测量来确 定气体分子有效直径是较简便的。
4）黏性系数公式的适用条件为 d L （3.26）
5）采用不同近似程度的各种推导方法的实质是相同的。
对η的推导中采用了如下近似:
①
n v
6
②平均说来从上（或下）方穿过z0平面的分子都是在
z0 (或z0 )
处经受一次碰撞的；
③未考虑分子在从上（或下）方穿过z0平面时的碰撞概率。
2
1 nv 1 ( t r 2s )k
32
1 3
N V
v
M N
1 2
(
t
r
2s
)k
N M
1 3
v cv
（3.29）
3、讨论：
（1）在（3.27）式中没有考虑到由于温度梯度不同，会在
z0 及z处0 产生气体分子数密度的差异及平均速率的差异，故在
✓ 分子间相互碰撞：碰撞频率越高，路程越曲折。分 子由一处转移到另一处的时间越长，分子“搅拌”进 行越缓慢。相互碰撞频繁程度直接决定着输运过程的 强弱。
重要说明： （1）这里的“输运过程都是近平衡的非平衡”过程，空 间不均匀性（如温度梯度、速度梯度、分子密度数梯度 ）都不大，因而不管分子以前的平均数值如何，它经过 一次碰撞后就具有在新的碰撞地点的平均动能、平均定 向动量及平均粒子数密度。 （2）在这里所讨论的气体是既足够稀薄（分子间平均距 离比起分子的大小要大得多，这里理想气体的特征）， 但又不是太稀薄（它不是“真空”中气体的输运现象） 。
3.5气体分子平均自由程
4． 1/ 4． 1/ 4 ． 4．
f(v) a b
p O 2
p O 2
O
1
4
v
p O 2
p H 2
2. 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们 平均动能 都处于平衡状态，则它们 (A) 温度相同、压强相同． (B) 温度、压强都不相同．
(C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强． (D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强．
例：标况下பைடு நூலகம்气分子的平均自由程:
v 446 m 6.9 108 m 9 Z 6.5 10
与分子直径3.5×10-10m相比，标况下是其d的200倍。
第二章复习小结
一、概率的基本性质及求平均值的方法 1等概率性
2运算法则
3平均值公式 4概率分布函数
二、麦克斯韦速率、速度分布
1两种分布曲线 2三种统计速率 3速度空间、代表点 三、重力场中自由粒子分布、等温大气压强公式
3. 在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来 的2倍，则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍．
(B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍．
(C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍． (D)温度和压强都为原来的4倍． 4.
5. 压强为p、体积为V的氢气（视为刚性分子理想气体）的内能为(
v v12 2 作如下近似： v12 v1 2 2 v2 v 2
2 12 2
v12 2 v
3、分子平均自由程
平均自由程▬▬分子两次碰撞之间所走过的平均路程。
Z 2nv
vt 1 kT 2n 2 p Zt
上式表明：自由程与平均速率无关，但与n成反比，若T不变， 则与p成反比。 说明：分子平均自由程主要应用于解释输运现象及经典物理量 的近似估算。
3.5气体分子平均自由程详解
3. 在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来 的2倍，则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍．
(B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍．
(C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍． (D)温度和压强都为原来的4倍． 4.
v 446 m 6.9 108 m 9 Z 6.5 10
与分子直径3.5×10-10m相比，标况下是其d的200倍。
第二章复习小结
一、概率的基本性质及求平均值的方法 1等概率性
2运算法则
3平均值公式 4概率分布函数
二、麦克斯韦速率、速度分布
1两种分布曲线 2三种统计速率 3速度空间、代表点 三、重力场中自由粒子分布、等温大气压强公式
经上述分析，存在一个以分子A的质心 为圆心、d为半径垂直于射线束的圆： 所有射向圆区的分子都有不同程度的散 射，而圆外区域分子轨迹不发生偏折。
定义：分子散射截面: d 2
对两个分子有效直径分别为d1和d2的分子，其碰撞截面：
d1 d 2 1 2 d d 1 2 2 4
2
(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v p O
v (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v
2
2
p H 2 p H 2 p H 2
2
2、分子间平均碰撞频率
分子间平均碰撞频率▬▬单位时间内一个分子的平均碰撞次数。 转换研究对象，现在假设B分子束相对静止，A分子以相对速度v12 运动，其运动发生碰撞的轨迹如图： A分子每碰到一个视为质点的B分子就 改变一次运动方向。
分子运动平均自由程
分子运动平均自由程一、什么是分子运动平均自由程？分子运动平均自由程是指在气体中，分子间相互碰撞的距离的平均值。
它是描述气体分子间相互作用的一个重要物理量。
分子运动平均自由程与气体密度、温度以及分子直径等因素有关。
二、如何计算分子运动平均自由程？1. 根据气体密度计算根据气体密度可以计算出单位体积内的分子数，从而可以得到两个相邻分子之间的平均距离，即为分子运动平均自由程。
2. 根据碰撞概率计算假设一个气体中有N个粒子，其中n个粒子在t时间内发生了碰撞，则n/N即为单位时间内发生碰撞的概率。
设一个粒子的有效碰撞面积为S，则该粒子在t时间内发生有效碰撞的概率为nS/N。
因此，一个粒子在t时间内没有发生有效碰撞的概率为1-nS/N。
设该粒子速度大小为v，则它在t时间内走过的路程为vt，因此该粒子在t时间内没有发生有效碰撞的概率等于它走过的路程与平均自由程之比，即：1-nS/N = vt/λ解出平均自由程λ即可。
三、分子运动平均自由程与气体密度的关系分子运动平均自由程与气体密度成反比关系。
当气体密度增大时，单位体积内的分子数增多，分子间的距离变小，所以分子运动平均自由程会减小。
四、分子运动平均自由程与温度的关系分子运动平均自由程与温度成正比关系。
当温度升高时，气体内部的粒子速度增大，分子间碰撞发生频率变快，但是每次碰撞时间变短，所以分子运动平均自由程会增大。
五、分子直径对于分子运动平均自由程的影响在相同条件下，直径较大的分子通常具有较小的碰撞概率和较长的平均自由程。
这是因为直径较大的粒子在碰撞时受到更强烈的斥力作用，从而使得它们之间发生有效碰撞的概率减小。
六、应用领域1. 汽车工业在汽车工业中，分子运动平均自由程被用于研究气体的流动和传热。
例如，在发动机中，燃料和空气混合后需要进行燃烧，而分子运动平均自由程的大小会影响到混合的速度和效率。
2. 材料科学在材料科学中，分子运动平均自由程可以用来描述气体与固体表面的相互作用。
气体分子的平均自由程
气体分子的平均自由程
气体分子的平均自由程是物理和化学研究中一个重要的概念，它描述了气体分子在单位时间内移动的平均距离。
这个概念被广泛用于研究气体的性质和行为，预测气体的渗透率、汽液平衡、传热和传质等。
它也可以用于研究分子结构、分子间相互作用、催化反应等诸多领域。
气体分子的平均自由程可以用技术来度量，也可以由实验数据来得出。
一般来说，它是由温度、压力和分子质量等参数来决定的，具体表示为：
l=√(2RT/M)
其中，l表示气体分子的平均自由程，R是气体常数，T是温度，M是分子质量。
由此可知，气体分子的平均自由程随着温度、压力以及分子质量的变化而变化。
随着压力的增加，气体分子的平均自由程会减小；随着温度的升高，气体分子的平均自由程会增大；随着分子质量的增大，气体分子的平均自由程会减小。
除了以上的定义以外，气体分子的平均自由程还可以通过一些复杂的计算方法来得出。
例如可以研究分子碰撞频率来估算气体分子的平均自由程，也可以通过粒子实验模拟的方法来估算气体分子的平均自由程。
此外，气体分子的平均自由程也可以用来计算气体分子的相互作用。
比如，可以通过计算两个气体分子之间的平均自由程来估算它们之间是否会碰撞、结合合并，从而通过考察它们之间的相互作用来研
究气体的物理性质和化学性质。
因此，气体分子的平均自由程是物理和化学研究中一个重要的概念，它在描述气体的性质和行为、预测气体的渗透率、汽液平衡、传热和传质等方面有着重要的作用，也可以用来研究分子结构、分子间相互作用、催化反应等多个领域。
另外，气体分子的平均自由程也可用来计算气体分子之间的相互作用，从而帮助我们研究气体的性质和行为。
气体的平均自由程
气体的平均自由程1.引言气体是一种物质的状态，其分子间距离较大，分子之间互相碰撞，从而导致气体的压力和体积的变化。
在气体中，分子的运动方式主要是直线运动，分子之间的相互碰撞也起到了调控气体性质的作用。
而气体的平均自由程指的是气体分子在连续碰撞之间所行走的平均距离。
2.气体分子的运动在气体状态下，分子以高速无规则运动，具有自由度较大的特点。
气体分子之间存在着各向异性的吸引力和排斥力，这是由分子之间的相互作用力所决定的。
在气体中，分子的运动可以分为两种，即传递运动和总动量守恒运动。
传递运动是指气体分子在各个方向上的直线运动，分子之间不停地互相碰撞。
这种运动是混沌的，难以预测，但总体上表现为均匀分布。
总动量守恒运动是指在两个分子碰撞时总动量守恒不变。
当两个分子相撞时，它们之间会发生弹性碰撞，即动能的转移，但总动量保持不变。
这种运动保证了气体分子的整体运动特性。
3.气体分子的平均自由程定义气体分子之间的碰撞是气体宏观性质（如压力、温度等）的基础。
气体分子的平均自由程是指在连续碰撞之间，气体分子在气体中走过的平均距离。
对于一般气体的分子，它们的平均自由程与气体分子的直径、气体分子的密度以及气体的压力有关。
可以通过下面的公式来计算气体分子的平均自由程（λ）：λ = 1 / (2 * √2 * π * d^2 * N/V)其中，d是分子直径，N是纳瓦特数（即单位体积中分子的数量），V是气体的体积。
需要注意的是，以上公式仅适用于稀薄气体，即气体分子之间的平均距离远大于气体分子的直径的情况。
对于高密度气体（如气体接近液体状态），平均自由程的计算需要考虑分子之间的相互作用力。
4.气体分子的平均自由程与气体性质的关系气体分子的平均自由程是气体性质的重要参数，它与气体的压力、温度以及分子之间的相互作用力密切相关。
在相同温度下，当气体分子的平均自由程较小时，分子之间的碰撞频率较高。
这会导致气体的压力增大，因为分子碰撞对容器壁施加了较大的冲击力。
气体分子的平均碰撞频率和平均自由程
气体动理论
第9讲 气体分子的平均碰撞频率 和平均自由程
一、分子的平均碰撞频率
平均碰撞频率和平均自由程
平衡态宏观性质的维持 非平衡态向平衡态过渡
依靠分子间的频繁碰撞实现
刚性球 模型
不可以像讨论压强那样 将分子看成质点
不需像讨论内能那样考 虑分子内部结构
分子的有效直径 d 约为10-10 m
无引力刚 性球模型
=
1.013×105 1.38×10−23 × 273
=
2.69 ×1025 m−3
λ = 1 = 2.14 ×10−7 m 2π d 2n
z = v = 7.95×109 s−1
λ
(约80亿次)
平均碰撞频率和平均自由程
d d
假定: 分子是直径为d 的弹性小球
分子A以平均相对速率 u 运动, 其他分子静止 由麦克斯韦速率分布可证 u = 2 v
球心轨迹为轴, d 为半径作折圆柱体
平均碰撞频率和平均自由程
d d
球心在圆柱体内的分子将与A碰撞
单位时间内有 πd 2u n 个分子与A发生碰撞
平均碰撞频率: z = 2π d 2nv
• 当温度一定时,平均自由程与压强成反比,压强越小,平 均自由程越长.
平均碰撞频率和平均自由程
例. 求氢在标准状态下一秒内分子的平均碰撞次数. (已知 分子直径d = 2×10-10m )
解:
v=
8RT =
Mπ
8×8.31× 273
2 ×10−3π
= 1.70 ×103 m ⋅ s−1
n
=
P kT
二、平均自由程平均碰撞频率平均自由程平均自由程( λ ): 分子在连续两次和其它分子发生碰撞
分子动理论 分子平均碰撞次数和自由程
n vt
平均碰撞次数 n vt
Z t
斯韦分布率，对上式加以修正后， 得
n v
Z 2vn 2d vn
2
3 – 6
分子平均碰撞次数和平均自由程
第三章气体动理论
分子平均碰撞次数
Z 2 π d vn
p nkT
平均自由程
平均自由程与平均 2 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关。
3 – 6
分子平均碰撞次数和平均自由程
2
第三章气体动理论
圆柱体的截面积为 = d
，叫做分子的碰撞截面。
在t内，A所走过的路程 为 vt ，相应圆柱体的 体积为 vt ，设气体 d A 分子数密度为n。则 中心在此圆柱体内的分子 总数，亦即在t时间 修正：对于实际气体，各个分子 内与A相碰的分子数为 都在运动，且运动速率服从麦克
3 . 其它分子皆静止, 某一分子以平均速率相对其他 分子运动 .
3 – 6Biblioteka 分子平均碰撞次数和平均自由程
第三章气体动理论
假设只有一个分子以平均速度运动，其余分子看 成不动。分子A的运动轨迹为一折线，以A的中心运动 轨迹为轴线，以分子有效直径d 为半径，作一曲折圆 柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。
，
Z 2d
，
，
2
8RT p 16R d 2 p M mol kT k T
kT 2d 2 p
，
（1）Z1
Z0 2
1 20 （2）Z1
2Z0
1 2 0 2
3 – 6
分子平均碰撞次数和平均自由程
第三章气体动理论
例 试估计下列两种情况下空气分子的平均自 由程 :（1）273 K、1.013 105 Pa 时 ; ( 2 ) 273 K 、 103 P a 时. 1.333 （空气分子有效直径 ： 3.101010 m ） d 解
气体的平均自由程
气体的平均自由程
气体的平均自由程是指一种理论上的长度，表示在气态分子之间的碰撞中，一个分子在某一时刻从一个方向移动到另一个方向的距离，这个距离之内不会受到其他分子的碰撞影响。
气体的平均自由程与气体压力、温度、分子数密度以及分子之间的相互作用有关。
在相同条件下，气体分子越小，分子数密度越小，平均自由程越长。
而在短时间内，气态分子间的相互作用力也越小，平均自由程也相应增大。
平均自由程是一个重要的气体物理学参量，与气体的传导、扩散、输运以及其他传热、传质、传动过程有关。
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B和C分子的质心都在圆柱体内,使A分子改变运动 方向,图中其它分子的质心均在圆柱体外,它们都不会与 A碰撞。 单位时间内A分子所扫出 的“圆柱体”中的平均质点数， 就是分子的平均碰撞频率.即:
Z n d v12
2
其中n是气体分子数密度,v12 是A分子相对于其它分 子运动的平均速率. v12 2 v 对于同种气体: 其中 v12为1分子相对于2分子运动的相对运动平均速 率; v 为该纯气体的分子相对于地面运动的平均速率.证 明见教材例3.9.
d 1010 m
1.123
2.7
N2
O2 He Ar
0.599
0.547 1.798 0.666
3.7
3.6 2.2 3.2
从表中数据可见,前者的数量级为10-7米,后者的数量 3 1 -10 v 10 m s 级为10 米,取 ,可推算出Z 的数量级为1010 s , 相当于电磁波谱的微波波段. 由这些数据还可以看出,在标准状态下气体的 d , 确实认为标态下气体是足够稀薄的. 例:教材例3.10
因而处于平衡态的化学纯理想气体中分子平均碰撞频率为:
Z 2nv 其中: d 2
又因为: p nkT, v 故: Z
8kT m
4p m kT
说明:在温度不变时压强越大（或在压强不变时,温度越 低）分子间碰撞越频繁. 例题:教材例3.8
热 学
气体分子平均自由程
主讲：孔红艳
d 2 ----分子散射截面或分子碰撞截面
在碰撞截面中最简单的情况是前面介绍的刚球模型. 这时不管两个同种分子相对速率多大,分子有效直径总 等于刚球的直径.显然,对于有效直径分别为d1、d2的两 刚球分子间的碰撞,其碰撞截面为: 1 2 d1 d 2 4 例如:古代战争用的盾牌.被碰分子看为一束垂直于盾牌 射出的箭.显然,与盾牌截面积相等的范围内射出的箭均 能碰到盾牌. 研究气体分子间的碰撞时,更关心的是单位时间内 一个分子平均碰撞了多少次,即分子间的平均碰撞频率.
vt v Zt Z
3.平均自由程的公式:
Z 2nv
代入平均自由程的定义式中得:
1 --麦克斯韦平均自由程公式 2n
表示对于同种气体,平均自由程与n成反比,而与平均 速率无关.
P nKT KT 2 P
表示同种气体在温度一定时,平均自由程与压强成反比.
下表为00C,不同压强下空气的平均自由程:
P(mmHg) 760
(m)
7 108 5 105 5 102
5 101
50
1
10-2 10-4 10-6
二.讨论:
分子的平均自由程与气体的状态有关.下面我们给 出几种气体在标准状态下的平均自由程和有效直径.
标准状态下气体的平均自由程和有效直径:
气体 H2
107 m
图2பைடு நூலகம்
图1
令当 b 增大到偏折角开始变为零时的数值为 d, 则 d称 为分子有效直径.分子有效直径是描述分子之间作相对 运动时分子之间相互作用的一个特征量 .当b d时,分子 束不发生偏折,说明相对运动的两分子间没有相互作用. 当 b d 时,分子束发生偏折,说明相对运动的两分子间 存在相互作用,或者说它们之间发生了碰撞. 由于平行射线束可分布于O的四周,这样就以O为圆 心“截”出半径为d的垂直于平行射线束的圆.所有射向 圆内区域的视作质点的B分子都会发生偏折,因而都会 被A分子散射.所有射向圆外区域的B分子都不会发生偏 折,因而都不会被散射.故该圆的面积为:
陕西师范大学物理学与信息技术学院
§3.6.4气体分子平均自由程
一.自由程
理想气体分子在两次碰撞之间可近似认为不受到分 子作用,因而是自由的. 1.定义:分子两次碰撞之间所走过的路程称为自由程,以λ 表示。 任一分子的任一个自由程的长短都有偶然性,自由程 的平均值由气体的状态所唯一地确定. 2.平均自由程 一个以平均速率运动的分子,它在t 秒内平均走过的 路程和平均经历的碰撞次数分别为:vt和Zt. 故平均两次碰撞之间走过的距离即为平均自由程:
热 学
碰撞截面
主讲：孔红艳
陕西师范大学物理学与信息技术学院
§3.6气体分子平均自由程*
§3.6.1碰撞（散射）截面
一.碰撞(两体问题):
1.举例:网球和球拍的碰撞;两个台球的碰撞;两个质子的 碰撞;两个星系的相撞.
2.微观:粒子间相互作用是非接触作用,双方相互接近时有 很强的相互斥力,迫使它们碰撞前就偏离原来运动方向而 分开,通常称为散射. 3.宏观:两物体直接接触,碰撞前后两物体无相互作用,接 触时相互作用强.
二.分子碰撞的定性分析:
图1是对分子碰撞过程较为直观而又十分简单的定性 分析,在分析中假定两分子作的是对心碰撞.实际上两分 子作对心碰撞概率非常小,大量发生的是非对心碰撞.下 面讨论非对心碰撞. 图2表示一束B 分子（均视作质 点）平行射向另一静止的A 分子(其 质心为O)时,B 分子的轨迹线.由图 可见,B 分子在接近A 分子时,由于受 到A的作用而使轨迹线发生偏折. 若定义B分子射向A分子时 的轨迹线与离开A分子时的迹 线间的交角为偏折角.则偏折 角随B分子与O点间垂直距离b 的增大而减小。
热 学
分子间的平均碰撞频率
主讲：孔红艳
陕西师范大学物理学与信息技术学院
§3.6.2 分子间平均碰撞频率
在讨论碰撞截面时假定视作盾牌的被碰撞的A分子 静止,视作质点的B分子相对A运动,去碰撞A.现在反过 来,认为所有其它分子都静止,而A分子相对于其它分子 运动,显然A分子的碰撞截面这一概念仍适用.这时A分 子可视为截面积为的一个圆盘,圆盘沿圆盘中心轴方向 以速率v12 运动. 这相当于一个盾牌以相对速率v12向前运动,而“箭” 则改为悬浮在空间中的一个个小球. 圆盘每碰到一个质点的其 它分子就改变运动方向一次, 因而在空间扫出如图那样的其 母线呈折线的“圆柱体”.只 有那些其质心落在圆柱体内的 分子才会与A 发生碰撞。