高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
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高考正弦定理和余弦定理练习题及答案
一、选择题
1. 已知△ABC中,a=c=2,A=30°,则b=( )
A. 3 B. 2错误!
C.3 3 ﻩﻩ
D. 错误!+1
答案:B
解析:∵a=c=2,∴A=C=30°,∴B=120°.
由余弦定理可得b=2\r(3).
2. △ABC中,a=\r(5),b=3,sin B=错误!,则符合条件的三角形有( )
A.1个ﻩﻩﻩﻩ B. 2个
C. 3个ﻩﻩﻩD.0个
答案:B
解析:∵a sinB=
102
,
∴a sinB
∴符合条件的三角形有2个.
3.(2010·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=错误! bc,sin C=23sin B,则A=( )
A.30°ﻩﻩﻩﻩﻩB.60°
C.120°ﻩﻩ D.150°
答案:A
解析:利用正弦定理,sin C=2错误!sin B可化为c=2错误!b.
又∵a2-b2=错误!bc,
∴a2-b2=错误!b×2错误!b=6b2,即a2=7b2,a=错误!b.
在△ABC中,cos A=错误!
=错误!=错误!,
∴A=30°.
4.(2010·湖南卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=2a,则( )
A.a>bﻩﻩB.a
C.a=b ﻩﻩ D.a与b的大小关系不能确定
答案:A
解析:由正弦定理,得\f(c,sin120°)=\f(a,sin A),
∴sin A=错误!=错误!>错误!.
∴A>30°.∴B=180°-120°-A<30°.∴a>b.
5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为()
A.
5
18
ﻩﻩﻩﻩﻩB.错误!
C. 错误!ﻩﻩ
D.错误!
答案:D
解析:方法一:设三角形的底边长为a,则周长为5a,
∴腰长为2a,由余弦定理知cosα=\f((2a)2+(2a)2-a2,2×2a×2a)=78.
方法二:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
则AC=2a,CD=a
2
,∴sin\f(α,2)=\f(1,4),
∴cosα=1-2sin2错误!
=1-2×错误!=错误!.
6. (2010·泉州模拟)△ABC中,AB=错误!,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于( )
A.\f(3)
2ﻩﻩﻩB. 错误!
C. 错误!或错误!ﻩﻩﻩﻩﻩD.错误!或错误!
答案:D
解析:∵错误!=错误!,
∴sin C=\r(3)·sin30°=错误!.
∴C=60°或C=120°.
当C=60°时,A=90°,S△ABC=\f(1,2)×1×错误!=错误!,
当C=120°时,A=30°,S△ABC=\f(1,2)×1×\r(3)sin30°=错误!. 即△ABC的面积为错误!或错误!.
二、填空题
7.在△ABC中,若b=1,c=3,∠C=错误!,则a=________.
答案:1
解析:由正弦定理错误!=错误!,即错误!=错误!,sin B=错误!.
又b 8.(2010·山东卷)在△A BC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b ,c .若a =\r(2),b =2,sin B +co sB =错误!,则角A 的大小为________. 答案:错误! 解析:∵sin B+co sB =2, ∴si n(B +\f (π,4))=1. 又0 由正弦定理,知错误!=错误!,∴s in A =错误!. 又a . 9. (2010·课标全国卷)在△ABC中,D 为边BC 上一点,BD =12 D C,∠AD B=120°,AD =2.若△ADC 的面积为3-\r(3),则∠BA C=________. 答案:60° 解析:S △A DC=错误!×2×D C×错误!=3-错误!, 解得D C=2(3-1), ∴BD =3-1,BC =3(3-1). 在△ABD 中,AB 2=4+(\r (3)-1)2 -2×2×(\r(3)-1)×cos 120°=6, ∴AB = 6. 在△A CD 中,AC 2=4+[2(3-1)]2-2×2×2(错误!-1)×c os60°=24-12错误!, ∴A C=6(3-1), 则cos ∠BAC =\f(AB 2+AC 2-BC 2 ,2AB ·AC ) =错误!=错误!, ∴∠BAC =60°. 三、解答题 10. 如图,△OAB 是等边三角形,∠AO C=45°,OC =错误!,A、B 、C 三点共线. (1)求s in ∠BO C的值; (2)求线段BC 的长. 解:(1)∵△AO B是等边三角形,∠A OC =45°, ∴∠BOC =45°+60°, ∴sin ∠BOC =sin(45°+60°) =si n45°c os60°+c os45°si n60° =错误!. (2)在△OB C中,\f (OC,sin ∠OBC )=B Csin ∠BOC , ∴BC=sin ∠BOC ×错误! =错误!×错误!=1+错误!. 11. (2010·全国Ⅱ卷)△ABC 中,D 为边BC 上的一点,BD =33,si nB =513,cos ∠ADC =35,求AD . 解:由co s∠A DC =35>0知B<π2 , 由已知得cos B=\f (12,13),s in ∠ADC =\f (4,5), 从而sin ∠BA D=si n(∠ADC -B) =s in ∠ADC cos B -cos ∠ADC sinB =\f(4,5)×错误!-错误!×错误!=错误!. 由正弦定理得错误!=错误!, AD =BD ·si nB sin ∠BA D =错误!=25. 12. (2010·安徽卷)设△ABC 是锐角三角形,a,b ,c分别是内角A ,B ,C 所对边长,并且sin 2A =s in 错误!sin 错误!+sin 2B. (1)求角A 的值; (2)若错误!·错误!=12,a =2错误!,求b ,c (其中b 解:(1)因为s in2A =错误! 错误!+sin 2B =错误!cos 2B -错误!sin 2B +sin 2B=错误!, 所以sin A =±错误!. 又A为锐角,所以A=π3 . (2)由错误!·错误!=12,可得c bcos A=12.① 由(1)知A =错误!,所以cb =24.② 由余弦定理知a 2=c2+b 2-2cb cos A,将a=27及①代入,得c 2+b2=52,③ ③+②×2,得(c +b )2=100, 所以c+b =10.