高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

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高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

一、选择题

1. 已知△ABC中,a=c=2,A=30°,则b=( )

A. 3 B. 2错误!

C.3 3 ﻩﻩ

D. 错误!+1

答案:B

解析:∵a=c=2,∴A=C=30°,∴B=120°.

由余弦定理可得b=2\r(3).

2. △ABC中,a=\r(5),b=3,sin B=错误!,则符合条件的三角形有( )

A.1个ﻩﻩﻩﻩ B. 2个

C. 3个ﻩﻩﻩD.0个

答案:B

解析:∵a sinB=

102

∴a sinB

∴符合条件的三角形有2个.

3.(2010·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=错误! bc,sin C=23sin B,则A=( )

A.30°ﻩﻩﻩﻩﻩB.60°

C.120°ﻩﻩ D.150°

答案:A

解析:利用正弦定理,sin C=2错误!sin B可化为c=2错误!b.

又∵a2-b2=错误!bc,

∴a2-b2=错误!b×2错误!b=6b2,即a2=7b2,a=错误!b.

在△ABC中,cos A=错误!

=错误!=错误!,

∴A=30°.

4.(2010·湖南卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=2a,则( )

A.a>bﻩﻩB.a

C.a=b ﻩﻩ D.a与b的大小关系不能确定

答案:A

解析:由正弦定理,得\f(c,sin120°)=\f(a,sin A),

∴sin A=错误!=错误!>错误!.

∴A>30°.∴B=180°-120°-A<30°.∴a>b.

5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为()

A.

18

ﻩﻩﻩﻩﻩB.错误!

C. 错误!ﻩﻩ

D.错误!

答案:D

解析:方法一:设三角形的底边长为a,则周长为5a,

∴腰长为2a,由余弦定理知cosα=\f((2a)2+(2a)2-a2,2×2a×2a)=78.

方法二:如图,过点A作AD⊥BC于点D,

则AC=2a,CD=a

,∴sin\f(α,2)=\f(1,4),

∴cosα=1-2sin2错误!

=1-2×错误!=错误!.

6. (2010·泉州模拟)△ABC中,AB=错误!,AC=1,∠B=30°,则△ABC的面积等于( )

A.\f(3)

2ﻩﻩﻩB. 错误!

C. 错误!或错误!ﻩﻩﻩﻩﻩD.错误!或错误!

答案:D

解析:∵错误!=错误!,

∴sin C=\r(3)·sin30°=错误!.

∴C=60°或C=120°.

当C=60°时,A=90°,S△ABC=\f(1,2)×1×错误!=错误!,

当C=120°时,A=30°,S△ABC=\f(1,2)×1×\r(3)sin30°=错误!. 即△ABC的面积为错误!或错误!.

二、填空题

7.在△ABC中,若b=1,c=3,∠C=错误!,则a=________.

答案:1

解析:由正弦定理错误!=错误!,即错误!=错误!,sin B=错误!.

又b

8.(2010·山东卷)在△A BC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b ,c .若a =\r(2),b =2,sin B +co sB =错误!,则角A 的大小为________.

答案:错误!

解析:∵sin B+co sB =2, ∴si n(B +\f (π,4))=1.

又0

由正弦定理,知错误!=错误!,∴s in A =错误!.

又a

. 9. (2010·课标全国卷)在△ABC中,D 为边BC 上一点,BD =12

D C,∠AD B=120°,AD =2.若△ADC 的面积为3-\r(3),则∠BA C=________.

答案:60°

解析:S △A DC=错误!×2×D C×错误!=3-错误!,

解得D C=2(3-1),

∴BD =3-1,BC =3(3-1).

在△ABD 中,AB 2=4+(\r (3)-1)2

-2×2×(\r(3)-1)×cos 120°=6,

∴AB = 6.

在△A CD 中,AC 2=4+[2(3-1)]2-2×2×2(错误!-1)×c os60°=24-12错误!, ∴A C=6(3-1),

则cos ∠BAC =\f(AB 2+AC 2-BC 2

,2AB ·AC )

=错误!=错误!,

∴∠BAC =60°.

三、解答题

10. 如图,△OAB 是等边三角形,∠AO C=45°,OC =错误!,A、B 、C 三点共线.

(1)求s in ∠BO C的值;

(2)求线段BC 的长.

解:(1)∵△AO B是等边三角形,∠A OC =45°,

∴∠BOC =45°+60°,

∴sin ∠BOC =sin(45°+60°)

=si n45°c os60°+c os45°si n60°

=错误!.

(2)在△OB C中,\f (OC,sin ∠OBC )=B Csin ∠BOC

, ∴BC=sin ∠BOC ×错误!

=错误!×错误!=1+错误!.

11. (2010·全国Ⅱ卷)△ABC 中,D 为边BC 上的一点,BD =33,si nB =513,cos ∠ADC =35,求AD .

解:由co s∠A DC =35>0知B<π2

, 由已知得cos B=\f (12,13),s in ∠ADC =\f (4,5),

从而sin ∠BA D=si n(∠ADC -B)

=s in ∠ADC cos B -cos ∠ADC sinB

=\f(4,5)×错误!-错误!×错误!=错误!.

由正弦定理得错误!=错误!,

AD =BD ·si nB sin ∠BA D

=错误!=25. 12. (2010·安徽卷)设△ABC 是锐角三角形,a,b ,c分别是内角A ,B ,C 所对边长,并且sin 2A =s in 错误!sin 错误!+sin 2B.

(1)求角A 的值;

(2)若错误!·错误!=12,a =2错误!,求b ,c (其中b

解:(1)因为s in2A =错误!

错误!+sin 2B =错误!cos 2B -错误!sin 2B +sin 2B=错误!,

所以sin A =±错误!.

又A为锐角,所以A=π3

. (2)由错误!·错误!=12,可得c bcos A=12.①

由(1)知A =错误!,所以cb =24.②

由余弦定理知a 2=c2+b 2-2cb cos A,将a=27及①代入,得c 2+b2=52,③ ③+②×2,得(c +b )2=100,

所以c+b =10.