生物信息学基础讲座

建模modeling
函数类型：线性linear、多项式polynomial、指数 exponential、三角trigonometric、幂power-law
多元函数multi-variables function 微分方程differential equation 单位和维度units and dimension
U、V为正规正交矩阵，S为对角阵。是最为准确的矩阵分解方法，可 用于主成份分析（PCA）和聚类（clustering）
生物信息学基础讲座
第3讲 生物信息学与数学
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1
微积分
calculus
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2
函数function
一元函数 y f x 多元函数 y f x1, x2, , xn
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3
Hale Waihona Puke 极限limit| fxL|forx: |xx0| limfxL
x x0
上式中的L即为函数f(x)在x0处的极限
QR分解：将矩阵分解为一个正规正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵的 积（R）。QR分解常用来求解线性最小二乘问题。矩阵不必为方阵， 分解得到Q为m×m方阵，R为n×n方阵
Cholesky分解： 特征值分解（eigendecomposition）： Schur分解： 奇异值分解（singular value decomposition, SVD）：A=USVT，其中
方阵的行列式（determinant），表示为det(A)。矩阵非奇异的充要 条件是：det(A)<>0
矩阵的转置（transpose matrix）
逆矩阵（inverse matrix）
对称矩阵（symmetric matrix）
正交矩阵（orthonormal matrix）
正定矩阵（positive definite matrix）
外积（outer product）：也称作叉乘（cross product）， 其结果为垂直于向量a与b形成的的平面的向量，其范数 为向量a和b范数的乘积乘以夹角的正弦值，表示为 a×b 应用：物理上的电磁力计算，确定方向采用右手螺 旋方法
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13
矩阵（matrix） A mn
矩阵的秩（rank）：矩阵A的行（或列）极大无关组的个数，表示 为rank(A)，rank(A) <= min(m, n)。如果等式成立，则称A是满秩 （full rank）的（行满秩还是列满秩取决于m、n大小）；如果 rank(A)=m=n，则称A为n阶非奇异方阵（n-order nonsingular square matrix），此时A可逆（invertible）。
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4
导数derivative
导数的几何意义
函数曲线在该点处切线 （tangent）的斜率 （slope）
d y lim f x2 f x1
d x x2 x1
x2 x1
= lim f x1 x f x1
x 0
x
= lim y x 0 x
dy d f (x) f ' x
正半定矩阵（positive semidefinite matrix）
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14
矩阵分解（decomposition/factorization）
所谓矩阵分解，是将矩阵分解为经典矩阵（canonical matrix）的乘积的 办法，目的是为了简化计算。
LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵（upper triangular matrix，L）和 上三角矩阵（upper triangular matrix ，U）的乘积，常用于方程组的 求解。通常A为方阵
根据函数及其变化率（导数）的关系建模 根据建模目的和问题分析简化假设 根据内在规律（模式）或类比法建立微分方程
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9
线性代数：矩阵之美
Linear Algebra
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10
基本概念
集合（set） 线性空间（linear space） 线性组合（linear combination） 线性相关（linear independent） 欧式空间（Euclidean space） 正交（perpendicular，orthogonal）
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11
向量的加法（addition）
其实质是对应元素的加法 交换律（communicative law） 结合律（associative law） 分配率（distributive law）
向量加减的几何学意义（geometric interpretation）
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除法原则division rule
hx f x/ gx
h'x
gx
f
'xg'x
gx2
f
x
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6
Applied calculus
变化Change: 常导数ordinary 、偏导数partial和 方向导数directional derivatives
最优化optimization：包括拟合fitting和带约束的 优化constrained optimization
例子:二元二次多项式
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7
微分方程：动态过程建模
Differential Equation
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8
动态模型dynamic model
描述研究对象特征随时间/空间变化的演变过程 分析研究对象特征的变化规律 预测研究对象特征的未来状态 控制研究对象特征的未来状态 微分方程建模方法
12
向量乘法（multiplication）的几何意义
内积（inner product）：也称作点乘（dot product）， 其结果为一标量（scalar），相当于a的范数（L2-norm） 与b的范数的乘积乘以两向量的夹角余弦值，表示为 <a, b> 或 a·b 应用：计算物理上的做功。
dx dx
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5
导数的规则rules for derivatives
加法规则addition rule 传递原则chain rule
hx f xgx h'x f 'xg'x
hzf z, z=gx
h'gxf 'gxg'x
hxfxgx 乘法原则multiplication rule h'xf'xgxfxg'x