分式函数的图像与性质
第3章第4节幂函数对勾函数及一次分式函数课件——2025届高考数学一轮总复习
则a的取值范围是( D )
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.[1,2)
解析 由于y=
D.[-1,2)
4+
3
=1+ ,所以函数在区间(-∞,-1)上单调递减且y<1,在
+1
+1
(-1,+∞)上单调递减且y>1,又因为当y=2时x=2,因此要使函数在(a,b]上的最
小值为2,应有b=2且-1≤a<2,即a的取值范围是[-1,2),故选D.
R
R
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
非奇非
偶函数
单调
性
在(-∞,0)上单调
在(-∞,0)和
在R上单
在R上单调 在[0,+∞)上
递减,在(0,+∞)
(0,+∞)上单
调递增
递增
单调递增
上单调递增
调递减Βιβλιοθήκη 偶函数y=y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
C )
D.4
1+x=t,因为 x∈[2,5],所以 t∈[3,6],
3,+∞)上单调递增,所以函数
区间[3,6]上单调递增,因此函数在 t=3 时取最小值
3
3+3-1=3,故选
3
y=t+ -1
C.
在
(2)(2024·山东潍坊模拟)函数
+
f(x)= 2+5 在[0,2 ]上的值域为
y=
1
2
高考总复习一轮数学精品课件 第3章 函数与基本初等函数 第5节 幂函数、对勾函数及一次分式函数
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?
提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,
不经过第四象限.
微点拨1.幂函数在(0,+∞)内都有定义.
2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增.
f(x)=2+ ,所以函数的单调递增区间是(-∞,-3)和(-3,+∞).
+3
又因为 f(x)在(-∞,a)内单调递增,所以 a≤-3.
变式探究1
在本例中,所有条件不变,则函数g(x)=f(sin
1 3
[-2 , 4]
x)的值域为__________.
-5
解析 g(x)=f(sin x)=2+sin+3,由于-1≤sin x≤1,所以 2≤sin x+3≤4,
解 根据题意知,要使函数 f(x)有意义,则不等式 x+a≠0 即 x≠-a,
又因为 f(x)的定义域为{x|x≠-3},所以 a=3.
(1)因为
2+1
f(x)= +3
=
2+6-5
-5
-5
=2++3,由于+3
+3
因此函数的值域为{y|y≠2}.
(2)因为
≠0,所以
-5
2++3
≠2,
-5
研考点
精准突破
考点一
幂函数的概念、图象及性质
常见分式函数的研究
03 分式函数的运算与变换
分式函数的加减法
分式函数的加减法可以通过通分实现，将分母统一后再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，需要注意分母不能为零的情况，避免出现无意义的情况。 对于分式函数的加减法，需要注意运算的顺序，先进行乘除运算再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，可以利用等价无穷小替换简化计算过程。
分式函数的极限与连续性
分式函数的极限：研究分式函数在某点的极限值，以及极限的运算法则
分式函数的连续性：探讨分式函数在某点的连续性，以及连续性的性质和判定方法
分式函数极限与连续性的关系：分析极限与连续性之间的联系，以及在数学分析中的应 用
分式函数极限与连续性的应用：举例说明分式函数极限与连续性在解决实际问题中的应 用
分式函数极值的几 何意义
分式函数极值在实 际问题中的应用
分式函数的凹凸性及拐点问题
分式函数的凹凸性 定义
拐点及其判定条件
分式函数凹凸性的 判别方法
分式函数拐点的求 法
06 分式函数的综合题解析
分式函数的解析几何问题
涉及直线与圆的位 置关系
涉及点到直线的距 离公式
涉及直线的斜率公 式
涉及圆的半径和弦 长公式
分式函数的优化问题
分式函数的极值条件 分式函数的单调性分析 分式函数的凹凸性判断 分式函数的最值求解方法
分式函数的极值问题
分式函数的极值条件 分式函数的极值计算方法 分式函数的极值应用场景 分式函数的极值与连续性的关系
分式函数的最大值与最小值问题
分式函数的极值条 件
分式函数的最大值 与最小值的求解方 法
04 分式函数的应用
分式函数在物理中的应用
力学中速度与时间的关系
电学中电流与电压的关系
《函数》数学PPT课件
经济领域中常见问题建模为函数关系
供需关系
在经济学中，供给和需求是两个重要的概念，它们之间的 关系可以用函数来表示。供给函数和需求函数的交点即为 市场均衡点。
生产成本与产量的关系
在制造业中，生产成本通常与产量有关。随着产量的增加 ，单位产品的成本可能会降低，这可以通过一个递减的函 数来表示。
投资回报与风险的关系
生活中常见问题建模为函数关系
路程、速度和时间的关系
s = vt，其中s是路程，v是速度，t是 时间。这是一个典型的线性函数关系 。
温度随时间的变化
在一天中，气温随时间变化而变化， 可以建立一个以时间为自变量、气温 为因变量的函数关系。
购物总价与数量的关系
总价 = 单价 × 数量。这也是一个线 性函数关系，可以通过函数图像来表 示。
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数 的定义域、值域及基本性 质。
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的 图像及其特点，如周期性 、振幅、相位等。
三角函数关系
同角三角函数关系式，如 平方关系、倒数关系、商 数关系等。
三角函数诱导公式和周期性质
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等 变换，得到三角函数的诱导公式
当a>0时，二次函数有最小值，无最大值；当a<0时， 二次函数有最大值，无最小值
在实际问题中，可以通过二次函数的最值来解决最优化 问题
03
指数函数与对数函数
指数函数图像与性质
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
指数函数图像
当a>1时，图像在x轴上方，且随 着x的增大而增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着x的增大而 减小。
第二节 分式线形函数及其映射性质
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w
二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，
1 2
(b
ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w
1 z
是由 z1
1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。
反比例、分式函数
反比例函数、一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。
4、 一次分函数(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的图象和性质图象：其图象如图所示.第 2 页 共 4 页定义域：_________________；值域：____________________；对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增；二、回归教材1．函数111--=x y 的图象是 ． 2．已知反比例函数x y 6-=的图象经过点),2(a P ，则a=__________.3．()10xy x x-=≠的值域是 ． 4．函数21()3x f x x +=+的单调增区间是 ．5．函数21()3x f x x -=+的对称中心是 ．6．函数()xf x x=是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 三、典型题型： 【例1】填空题：（1）函数21()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21()3x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________．（3）已知函数()ax x x f -+=12，若*∈∀N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围是 ． （4）若函数21()x f x x a+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .第 3 页 共 4 页【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有几个？【例3】已知函数2()1ax af x x +-=+，其中a R ∈。
复变函数7.2第7.2节分式线性函数
注解：
注解1、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映 射成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两 个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域 ，D1, D2 及D1', D2'，其边界分别是C及C'。
注解2、此分式线性函数把 D1映射成之中 D1', D2' 的一个区域；
注解3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点 。
y
w1
z x
w 1/ z
引理4.1:
引理4.1 不同两点 z1 及 z2 是关于圆C的对称点的 必要与充分条件是：通过 z1 及 z2 的任何圆与圆 C直交。
证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或 者C是半径为有限的圆， z1 及 z2 之中有一个是 无穷远点，则结论显然。
w az b , cz d
定理 4.2的证明：
那么，由
w1
az1 cz1
b d
,
w2
az2 cz2
b d
,
w2
az2 b cz2 d
得
w
w1
(az
b)(cz1 d ) (az1 b)(cz (cz d )(cz1 d )
d
)
(z z1)(ad bc)
分式线性函数的反函数为 z w , w
它也是分式线性函数，其中 ( )() 0
注解：
注解1、当 0 时，所定义的分式线性函数是 把z平面双射到w平面，即把C双射到C的单叶解 析函数；
一次分式型函数
一次分式型函数
一、课前准备：
1．一次分函数的定义
我们把形如 的函数称为一次分函数。
2．一次分函数的图象是双曲线
3.一次分函数 的性质
①．定义域： ；②．值域： ；
③．对称中心： ；④．渐近线方程： 和 ；
⑤．对称轴方程： 和
⑥单调性：当ad>bc时，函数在区间 和 分别单调递减；
当ad<bc时，函数在区间 和 分别单调递增；
7.函数 （ ），则 的值域是________．
8．函数y= 的值域．
9．函数y= （ ）的值域．
10．函数y= 的对称中心是．
11．函数y= 的单调增区间是．
12．若函数 在区间 上的值域为 ，则 __________．
13.若函数 的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝.
2．．熟练掌握分离常数法，并会用图象的平移作一次分式型函数的图象
步骤：先用分离常数法将函数解析式化为 ，再由 图象平移得到．
例．作函数 的图象，
练习：作函数的图象： ． ．
1．函数 的图象是．
．函数 的单调增区间是．
5．函数 的对称中心是．
6.函数 （ ），则 的值域是________．
二、教学目标
1．会用“二线一点”法作一次分式型函数的图象
步骤：（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
或当ad>bc时，在“一、三象限”；当ad<bc时，在“二、四象限”。
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
一次分式函数
是
．
6．设曲线 y x 1 在点（3，2）处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a=
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1
7．若函数 y x b 在区间 a,b 4 b 2 上的值域为 2,，则 ab _____________．
x2
8．若函数 f (x) x 1 ，则函数 gx f 4x x 的零点是______________．
x3
（ 3） 已 知 函 数 f x 2x 1 ， 若 x N ， f x f 5恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围
xa
是
．
（4）若函数
f
(x)
2x
1
的图象关于直线
y＝x
对称，则实数
a＝
.
x a
【例
2】设 函 数
f
(x)
x 1 x
(x R)
，区 间
M=[a，b](a<b)，集 合
N={
y
y
f (x), x M
}，
则使 M=N 成立的实数对(a，b)有几个？
【例 3】已知函数 f (x) ax 2 a ，其中 a R 。 x 1
(1)当函数 f (x) 的图象关于点 P(－1，3)成中心对称时，求 a 的值及不等式 f (x) x 1
的解集；
(2)若函数 f (x) 在(－1,+ )上单调递减，求 a 的取值范围.
a
( b , c ) aa
xb a
o y cx a
ad bc
2.2
定义域：
x
x
b a
；
2.3 值域： y
y
c ；
a
有理分式函数值域1.0
x x 1 ≤ = 当且仅当 1= x 2 ，即 x =1 时等号成立。所以当 x ≥ 0 时函数值域为 2 1+ x 2x 2 −1 1 , 。因此由奇函数性质可知，函数在 R 的值域为 。 2 2
[
]
解三、利用导数求解。
0.4 0.2 10 5 0.2 0.4 5 10
域或基本不等式有关。 练习：求下列函数的值域 (1)
f ( x )=2x +
8 x
4 x
f ( x )=sin x +
4 sin x
(2)
f ( x )=− x +
三、典型类型 第Ⅰ类型 形如
f ( x )=
ax 2 的函数，这里分母无零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 无解。 a ' x + b ' x +c
解：
f ( x )=
x+5 x 2+ x +1 ( x 2− 4 )+( x +5 ) x +5 = =1+ 2 。令 g ( x )= 2 ，则 f ( x )=1+ g ( x ) 。 2 2 x −4 x −4 x −4 x −4
把问题转化为第Ⅴ类型（过程省略...）
第 5 页 /共 5 页f ( x )= x源自+1 的图像与性质 x
（1）函数定义域为 x ≠ 0
5
（2）导数为
3 2 1 1 2 3
f ' ( x )=1−
1 x2
（3）计算驻点。令
f ' ( x )=0 解之可得 x =±1
5
（4）利用驻点分划定义域为 (−∞ , −1)(−1,0 )( 0,1 )( 1,+∞) （5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点
常见分式函数的研究
复合分式函数
定义
形如f(x)=p(g(x))/q(h(x))的函数，其中g(x)和h(x)是一次 或多次多项式，p(u)和q(v)是多项式或分式函数。
01
性质
具有更复杂的性质和形态，可能存在多 个转折点、极值点等。
02
03
应用
在解决复杂数学问题、工程优化等领 域有应用，如电路分析、控制系统等。
03 分式函数的运算
分式函数在经济增长的研究中也有应用，例如GDP的增长率。通过将经
济增长表示为分式函数，可以方便地分析经济增长的规律和影响因素。
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角度计算
分式函数在几何学中还可以用于 计算角度，例如三角形的内角和、 两直线之间的夹角等。通过将角 度表示为分式函数，可以方便地 求解角度。
分式函数在物理学中的应用
速度与加速度
分式函数在物理学中常用于描述物体的速度和加速度，例如匀速运动和匀加速运动。通过将速度和加速度表示为分式 函数，可以方便地求解物体的运动轨迹和时间。
要点二
详细描述
代入法是求分式函数值的一种常用方法。首先，我们需要找 到分式函数的分子和分母，然后将自变量代入分子和分母中， 计算出函数值。例如，对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 5，当 x = 2 时，我们代入 x 的值，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 + 5 = 17。
消去法求值
常见分式函数的研究
目录
• 分式函数的基本概念 • 分式函数的分类 • 分式函数的运算 • 分式函数的求值 • 分式函数的应用
01 分式函数的基本概念
分式函数的定义
总结词
分式函数的图像与性质
ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。
如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。
x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。
如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。
3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。
如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。
需要借助“分离常数”的处理方法。
ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
(完整版)分式函数的图像与性质.docx
分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念ax 2 bx c 2x形如 yexf (a,b,c, d ,e, f R) 的函数称为分式函数。
如 ydx 2 x 2y4x 1等。
x 32、分式复合函数a[ f (x)]2bf (x) c (a, b, c, d, e, f R) 的函数称为分式复合函数。
如形如 yef ( x) fd[ f (x)]2ysin x 2， yx 1 2等。
3sin x3x 31，yx 2 1 ， xx 22 x y2x1，1 2※ 学习探究探究任务一 ：函数 yaxb(ab0) 的图像与性质x问题 1： yax b(a, b, c, d R) 的图像是怎样的？cx d例 1、画出函数 y2 x1的图像， 依据函数图像， 指出函数的单调区间、 值域、对称中心。
x1【分析】 y2x 1 2( x 1) 1 12 ，即函数 y2x 1的图像可以经由函数 y1x1 x 1x 1x1x的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。
如下表所示：1右1 1 上 2y1yy12xx x1由此可以画出函数y2 x 1的图像，如下：x 1yyyOx O12xO1x单调减区间： ( ,1),(1,) ；值域： (,2) U (2,) ；对称中心： (1,2) 。
【反思】 yaxb(a,b, c, d R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx d条件决定？【小结】 yaxb(a,b, c, d R) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx d需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数 y axb(a,b,c,dR) 的图像与性质cx dd }（1）定义域： { x | x；c （2）值域： { y | ya} ；cd),(d, + ) ；（3）单调性： 单调区间为 (,cc d, ya，对称中心为点 (d , a) ；（ 4）渐近线及对称中心：渐近线为直线xccc c（ 5）奇偶性：当 a d 0 时为奇函数； （ 6）图象：如图所示yyO x O x问题 2： yaxb(ab 0) 的图像是怎样的？x例 2、根据 y1的函数图像， 绘制函数 y x1 x 与 y的图像， 并结合函数图像指出函xx数具有的性质。
高中常用函数性质及图像汇总
函数周期性
• 周期性：若存在一个正数T，使得对于函数定义域内的任意一个 x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
函数有界性与无界性
有界性
若存在一个正数M，使得对于函 数定义域内的任意一个x，都有 |f(x)|≤M，则称函数为有界函数 。
无界性
若函数不满足有界性的条件，则 称函数为无界函数。
04
三角函数与反三角函数
三角函数基本概念和性质
01
02
03
04
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数在直 角三角形中的定义及在各象限
的符号规律。
三角函数的周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切函数周期为π。
三角函数的奇偶性
正弦函数为奇函数，余弦函数 为偶函数，正切函数为奇函数
。
三角函数的增减性
在各象限内，正弦、余弦函数 的增减性及其与角度的关系。
复合函数应用举例
在解决实际问题时，经常会遇到需要通过多个步骤或多个因素共同影响才能得到结果的情况，这时就可以通过建 立复合函数模型来描述这种关系。例如，在经济学中，可以通过建立复合函数模型来描述商品价格与市场需求量 之间的关系。
抽象函数应用举例
抽象函数在数学研究中具有重要地位，许多数学问题都可以转化为抽象函数的问题进行研究。例如，在证明一些 数学定理时，可以通过构造抽象函数并利用其性质进行证明；在解决一些数学问题时，可以通过对抽象函数的性 质进行分析和研究来找到解决问题的方法。
特定的形状和变化趋势。
幂函数和分式函数应用举例
幂函数应用举例
在物理学中，幂函数可以用来描述物体自由落体的速度v 与时间t的关系，即v=gt^2（其中g为重力加速度）。此 外，幂函数还可以用于描述放射性元素的衰变规律等。
一次分式型“耐克”函数
课题1：一次分式型函数、“耐克”函数 ● 教学目标：掌握一次分式型函数的定义、图像和性质，常见的分式型符合函数的性质和运算技巧； 掌握赖克函数的定义、图像和性质，常见与赖克函数相符合函数的性质和运算技巧；● 教学重点：图像和性质● 教学难点：性质的灵活运用● 教学过程一、一次分式型函数：1、定义：形如cx d b y x ax b a +⎛⎫=≠- ⎪+⎝⎭的函数，称为一次分式型函数； 2、图像：先分离常数：2d bc c a a y ba x a-=++，再由相应的反比例函数2''d bc a a y x -=平移而得到。
3（1c a ⎫≠⎬⎭（2,b a ⎛-∞- ⎝,b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（3）对称性：关于',b c O a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称； （4）渐近线：直线b x a =-，c y a=是曲线的两条渐近线； 4、典型例题：例1、已知函数()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++的值。
例2、已知函数()221x f x x =+，求()111(1)(2)(3)2010()()()232010f f f f f f f +++++++++L L 的值。
答案：120092。
二、“耐克”函数：1、两个重要不等式：重要不等式１：22,,2a b R a b ab ∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号）重要不等式2：,,a b R a b +∈+≥（当且仅当a b =时取“＝”号）图一：20d bc a a -> 图二：20d bc a a-<2、定义：形如()0b y ax x x =+≠的函数，称为“耐克”函数； 3、图像： ①当00a b >⎧⎨>⎩时，如图：① ②当00a b <⎧⎨<⎩时，如图：②③当00a b >⎧⎨<⎩时，如图：③ ④当00a b <⎧⎨>⎩时，如图：④4、性质：（1）定义域：{}0x x ≠； 值域：当00a b >⎧⎨>⎩，或00a b <⎧⎨<⎩时，值域为(),⎡-∞-+∞⎣U ； 当00a b <⎧⎨>⎩，或00a b >⎧⎨<⎩时，值域为(),-∞+∞。
(2024年)分式课件
2024/3/26
1
2024/3/26
• 分式基本概念与性质 • 分式化简与求值 • 分式方程及其解法 • 分式在几何中的应用 • 分式在函数中的应用 • 分式在生活实际问题中的应用
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01
分式基本概念与性质
2024/3/26
3
分式定义及表示方法
2024/3/26
分式定义
分式是两个整式相除的商式，其 中分子是被除数，分母是除数， 分数线相当于除号。
拆分法
对于某些复杂的分式，可以将其拆分成几个简单的分式之和或差，从而方便进行化简。
8
分式求值技巧
01
代入法
当分式中包含字母时，可以将已知的字母值代入分式，然后进行计算。
2024/3/26
02
整体法
对于某些复杂的分式求值问题，可以将整个表达式看作一个整体，然后
进行运算。
03
特殊值法
在某些情况下，可以通过取特殊值的方法来简化计算。例如，当分式的
03
运用分式求解二次函数的最值问题，理解最值的求解
方法和步骤。
2024/3/26
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复杂函数图像中分式识别和处理
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复杂函数图像中的分式识别
学习如何在复杂函数图像中识别出分式的存在， 并分析其对函数图像的影响。
分式的处理技巧和方法
掌握处理复杂函数中分式的技巧和方法，如分离 常数法、配方法等。
3
分式在函数性质分析中的应用
03
利用分式求解一次函数与反比例函数的交点，掌握相关计算方
法和技巧。
20
二次函数与分式关系探讨
二次函数中的分式形式
01
研究二次函数中分式的表达形式，以及分式对二次函
分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)
分式函数的图像与性质一、课前准备1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。
二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
二次分式函数
二次分式函数二次分式函数，是指分子和分母都是二次函数的函数。
它的一般形式为：f(x) = (ax² + bx + c) / (dx² + ex + f)其中，a、b、c、d、e、f均为实数且d不等于0。
二次分式函数的定义域为所有使得分母不等于0的x值。
因此，需要求解方程dx² + ex + f = 0的根，即可确定定义域。
一般情况下，二次分式函数的图像会呈现出一个“U”型或“倒U”型。
具体来说，如果d和a同号，则图像开口向上；如果d和a异号，则图像开口向下。
同时，由于二次函数在x轴两侧的取值趋势相反，在分子和分母中同时存在时，会产生零点或极点。
要求求解二次分式函数的零点和极点，可以先将其化简为一个一元二次方程，并求解方程根。
具体步骤如下：1. 将分子和分母都乘以dx²，化简后得到：ax² + bx + c = k(dx² + ex + f)其中k=a/d。
2. 将两边展开并移项，得到：(kd)x² + (ke-b)x + kf-c = 03. 求解该方程的根x1和x2，即可得到二次分式函数的零点和极点。
其中，如果方程的判别式D=（ke-b）²-4(kd)(kf-c)大于0，则有两个不同的实根，分别对应着两个零点或极点；如果D=0，则有一个重根，对应着一个零点或极点；如果D小于0，则没有实数根，也就没有零点或极点。
在求解二次分式函数的过程中，还需要注意以下几点：1. 如果分母中存在一次项或常数项，则需要将其提出来，并进行配方法化简。
2. 如果分子和分母中都存在因式相同的项，则可以直接约掉这些因式。
3. 如果分子和分母中存在公因式，则可以将其约掉后再进行化简。
总之，在求解二次分式函数时，需要耐心地进行化简和计算，并注意各种特殊情况的处理。
只有在理解了其基本性质和求解方法后，才能更好地应用它来解决实际问题。
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高一数学选修课系列讲座（一）-----------------分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x x y +=-，sin 23sin 3x y x +=-，123x y x -+=+等。
二、学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1 画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
小结：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质： （1）定义域： ； （2）值域： ；（3）单调性：单调区间为 ；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；（5）奇偶性：当 时为奇函数； （6）图象：如图所示x O yxO y问题2：(0)by ax abx=+≠的图像是怎样的？例2、根据y x=与1yx=的函数图像，绘制函数1y xx=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
小结：分式函数(,0)by ax a bx=+>的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据y x=与1yx=的函数图像，绘制函数1y xx=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
结合刚才的两个例子，思考1y xx=--与1y xx=-的图像又是怎样的呢？思考12+y xx=与23y xx=-的图像是怎样的呢？(,,0)by ax a b R abx=+∈≠的图像呢？小结：(,,0)by ax a b R abx=+∈≠的图像如下：（i）(0,0)by ax a b=+>>(ii) (0,0)by ax a b=+><(iii) (0,0)by ax a b=+<>(iv) (0,0)by ax a bx=+<<(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f R dx ex f++=∈++的图像与性质 问题3：例4 函数2211x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？思考：函数2121x y x x +=++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 小结：对于分式函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f R dx ex f++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。
对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。
如：22111(1)221212(1)311x y x x x x x x x x +===≠-++++++-++巩固练习：1、若,,3,x y R xy y +∈+=则x y +的最小值是 ；2、函数234xyx =+的值域是 ； 3、已知[)221(),1,ax x f x x x--=∈+∞单调递减，则实数a 的取值围是 ； 4、不等式20x a x-->的在[]2,1有实数解，则实数a 的取值围是 ； 5、不等式20x a x-->的在[]2,1恒成立，则实数a 的取值围是 ； 6、已知()af x x x=-+在区间[2,3)单调递减，求a 的取值围是 ； 7、函数221x xy x x -=-+的值域是8、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意},()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．若21()12x xf x -=+，则函数()f x 在R 上的“定下界”m =__________．9、设(),[0,+)1af x x x x =+∈∞+． （1）当4a =时，求()f x 的最小值； （2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。
10、已知函数()2af x x x=+的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值。
11、（1）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的定义域为R +，数a 的取值围； （2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ⎛⎫=+->≠ ⎪⎝⎭的值域为R +，数a 的取值围。
12、已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在上是减函数，在)+∞上是增函数。
（1）如果函数2by x x=+在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数，常数b 的值；（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)cy x x x=+≤≤的最大值和最小值。
分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f Rdx ex f++=∈++的函数称为分式函数。
如221xyx x+=+，212xyx+=-，413xyx+=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x cy a b c d e f Rd f x ef x f++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112xxy+=-，sin23sin3xyx+=-，y=等。
二、学习探究探究任务一：函数(0)by ax abx=+≠的图像与性质问题1：(,,,)ax by a b c d Rcx d+=∈+的图像是怎样的？例1、画出函数211xyx-=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x xyx x x--+===+---，即函数211xyx-=-的图像可以经由函数1yx=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y yx x x=−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数211xyx-=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞；对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d Rcx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。
绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1y x x=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：x OyxO y【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)by ax a b x=+>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；（2）值域：{|2,}y y ab y ab ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,[,+)b ba a-∞∞上是增函数， 在区间],[,0)b ba a上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1y x x=-的图像解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；根据单调性定义，可以判断出1y x x=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数xOyy x=xO yy x=1y x=y ax=b ab a-2ab2ab-xOy函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =--与1y x x =-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x=-的图像是怎样的呢？(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的图像呢？ 函数1y x x=--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
【注】()y x x x x =--=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x=+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。
同样的道理1y x x =-的图像与1y x x=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：【小结】(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的图像如下： xOyxO y1y x x=-1y x x=-xO yxOyy x=1y x=xOyy x=-xOyy x=-1y x=-（i ）(0,0)by ax a b x=+>>(ii) (0,0)by ax a b x=+><(iii) (0,0)by ax a b x=+<>(iv) (0,0)by ax a b x=+<<[来源:学+科+网Z+X+X+K](,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。