图论 图的基本概念

以 u ≡ v表示顶点 u和v是连通的。
如果图G中每对不同的顶点u, v都有一条 (u, v) 道路，则称图G是连通的。
连通图
连通图
图G的每个连通子图称为G的连通分支，简 称分支(Component)。分支的个数记为w(G)。
分支大于1的图称为分离图或非连通图。
连通图
分离图
连通图的性质
定理 若图G是非连通的，则补图 G是连通的。
分划(V1,V2 )称为图G的二分划。
完全二部图
对于二部图G，如果 V1中的顶点与V2中的每 个顶点都邻接，则称为完全二部图。
若 V1 = m, V 2 = n ，则完全二部图记作Km,n 。
Petersen 图
图
习题 1.2.3 pp. 13 证明：下列三个无向图都与Pertersen图同构。
第一章：图的基本概念
杨帆
江苏科技大学数理学院
第一章：图的基本概念
图的定义与基本术语 同构 途径(way)和道路(path) 图的连通性 图的运算
图的概念
图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶 点的边所构成的图形。
这种图形通常用来描述某些事物之间的某种 特定关系，用顶点代表事物，用边表示相应 两个事物间的某种关系。
奇圈与偶圈
n个顶点构成的道路记作 Pn 。 n个顶点构成的圈记作Cn 。
n为奇数的圈称为奇圈。 n为偶数的圈称为偶圈。
G
H
竞赛图
定义：完全图的定向图称为竞赛图。 举例：n=1，n=2， n=3
二部图(bipartite graph)
定义：设V1 和V2是G的顶点子集， 其中V 1V2 = V (G),V1 V2 = Φ，且G中每一条边 的一个端点在V1中，另一个端点在V2中，则 称G为二部图，记作G = (V1,V2; E)
G
G[{v1, v2 , v3}]
G − v2
边导出子图
边导出子图:
设E′ ⊆ E(G) ，以E′ 为边集，以E′中所有边的端点 为顶点集，组成的子图称为G的边导出子图，记 作G[E′] 。
从 E(G)中删去 E的′ 所有边得到的子图，记作 G − E′ 在 E(G)上增加一个边集 E所′ 得到的图，记作 G + E′
（edge-disjoint） G1和G2的并, G1 G2 其中 V (G1 G2 ) = V (G1) V (G2 )
E(G1 G2 ) = E(G1) E(G2 )
图的运算
设G1和G2是两个图，若G1和G2无公共顶点， 则称它们是不相交的(disjoint)；若G1和G2无 公共边，则称它们是边不重的(edge disjoint)。
∑ d (vi ) = (2 + 4 + 3 + 3 + 4) = 16 v E =8
在任意图G中，度为奇数的顶点个数是偶数
∑ d(v) + ∑ d(v) = 2 E
v∈V1
v∈V2
子图
若V (H ) ⊆ V (G), E(H ) ⊆ E(G)，且H中边的重 数不超过G，则H称为G的子图，记作 H ⊆ G
图的基本术语(3)
顶点的度：与该顶点相关联的边的数目
记作 deg(v)，或简记作 d (v)； 度为零的顶点称为孤点； 度为1的顶点称为悬挂点； 对于有向图，有出度和入度之分； 奇顶点和偶顶点； 计算有环的顶点，环边计两次.
图G的最大度: ∆(G) = max{d (v) | v ∈V (G)} 图G的最小度：δ (G) = min{d (v) | v ∈V (G)}
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
道路：v1v2v3v6
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
链： v1e3v4e4v3e6 v5e7v4
简便起见，只用顶点表示为：
v1v4v3v5v4
链 (chain)
如果 u = v，称该途径是闭的，反之则称为开 的；
链 µ 逆转后得到的链µ′ = vkekvk−1...v2e2v1e记1v0 为µ −1 ，称为µ 的逆链。
链µ 中一段子序列 viei+1vi+1...v j−1e jv j 称为µ 的 节(vi , v j )。
证明：设u和 v是G中任意两个顶点。 (1)若 u和 v在G中不邻接，则它们在补图G一定邻接。 (2)若 u和 v 在G中邻接，则它们属于G的同一分支，而在 G的另一个分支中一定存在一个顶点 w ，使得在G中 w和 u不邻接，w和v 也不邻接，而在补图G中，u和v 均 与w邻接，那么uwv是一条道路。 综上，在 G中，任意两个顶点都是连通的。
例题
证明：在任意六人中必存在三人，要么都相 识，要么都不相识。
证明 构造图。六个人={a, b, c, d, e, f}
边集：两人认识，则代表两人的顶点之间连 一条红边，否则连一条绿边。
考虑某点，不妨设为f，至少有3条边同色 （不妨设为红色）。设这三条同色边为fa， fb，fc。考虑三角形abc。1.abc中含红边 （设为bc），则fbc为一同色三角形；2.abc 不含红边，则abc为一同色三角形（绿色）。
点导出子图
点导出子图(induced graph):
设V ′ ⊆ V (G) ，以V ′为顶点集，且两端点都在V ′中 的边的全体为边集所组成的子图，称为由V ′导出 的G的子图，记作 G[V ′]。
导出子图G[V \V '表] 示从G中去掉V ′及其关联边的 子图，记作 G −V。′
若 V ′ = {v，} 则把 G −V ′简记作G − v，称为主子图。
道路 (path)
若链 µ的边 e1e2...ek 均不相同，则称该链为 迹(trail)。
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
链： v1v4v3v5v4
道路 (path)
同构
G1和G2的顶点和边都一一对应，且连接关 系完全相同，只是顶点和边的标号不同，则 G1和G2是同构的。
同构关系实际是一种等价关系。
完全图
完全图：每对不同的顶点都有边相连
n阶完全图记作 Kn
共有
Cn2
=
1 2
n(n −1条) 边
补图：设G为简单图，而H是一个以V(G)为顶点
集，且顶点在H中邻接当且仅当它们在G中不 邻接，则称H为G的补图，记作 H = G
若以下条件有一项成立，则H称为G的真子图。 (1) V (H ) ⊂ V (G); (2)E(H ) ⊂ E(G);
(3)H中至少有一条边的重数小于G中对应边重数
子图
生成子图(Spanning graph)，又称支撑子图。
满足 V (H ) = V (G), E(H ) ⊂ E(G) 的真子图
并运算
设G1和G2是两个无孤立点的图
(1) 由G1和G2中所有边组成的图，称为G1和G2
的并(union)，记作 G1 G2
相同的顶点 在并中只能 出现一次
G1
G2
G1 G2
交运算
由G1和G2的公共边组成的图称为G1和G2的 交(cap)，记作 G1 G2
G1
G2
G1 G2
G1 = (V, E) V = {v1, v2, v3, v4, v5} E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} e1 = (v1, v2 ), e2 = (v2, v3 ), e3 = (v3, v4 ), e4 = (v2, v4 ), e5 = (v1, v4 ), e6 = (v4, v5 ), e7 = (v1, v5 )
且l<n。则存在点 x ∈V (D) \V (P) ,且x1x, xxl ∈ E(D) 可以推出存在 xi−1x, xxi ∈ E(D) 。
则找到一条比P还要长的路 x1x2.....xi−1xxi.....xl
矛盾。
连通性
设 u, v是图G的两个顶点，若G中存在一条 (u, v) 道路，则称顶点u和 v是连通的(connected)。
图的基本术语(4)
正则图：图的每个顶点的度都相同
每个点的度均为k的正则图，称为k-正则图
0-正则图
1-正则图
2-正则图
3-正则图
握手定理
顶点的度与边的关系：∑ deg(v) = 2 E v∈V
d (v1) = 2, d (v2 ) = 4, d (v3) = 3, d (v4 ) = 3, d (v5 ) = 4
若所有顶点v0v1v2...vk均不相同(所有边必然不 相同)，则称该途径为道路(path) 。
闭的迹称为回（circuit）；闭的道路称作圈(cycle)
圈：v1v2v3v4v1
Hamilton路
定义：包含图中每个顶点的路称为Hamilton 图。
Th1.4.1 每个竞赛图都含有Hamilton有向路。 证明 反证，设P= x1x2x3.........xl 是图的最长路。
重边：连接同一对顶点的边数大于1 环：顶点通过同一条边与自己关联
图的基本术语(2)
多重图：允许重边，又允许有环的图 简单图：没有环及多重边的图 有向图/无向图：
每条边都规定了方向的图称为有向图，而边没 有方向的图为无向图。
有限图/无限图：
顶点集合和边集合都是有限集合称为有限图， 否则称为无限图。
差运算
由G1中去掉G2中的边组成的图称为G1和G2 的差(difference)，记作 G1 − G2
G1
G2
G1 − G2
例题 1.3.2
设G是简单无向图且 G ≅ Gc , n ≡ 1(mod 4) 。 证明：G中含奇数个 1 (n −1) 度点。
证明 V (G) = Vo Ve 2由推论1.3.2知，|Vo | 为
哥尼斯堡七桥问题
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题:
哥尼斯堡市跨越河的两岸，河中心有两个小岛。 小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只 走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的 桥都走遍？
哥尼斯堡七桥问题
在任何顶点出发，必须从一条边进，从另一条边出 一进一出，每个顶点相关联的边必须为偶数。
偶数。因为 n ≡ 1(mod 4) ，所以n为奇数个。
因此，|Ve | 为奇数个。
n ≡ 1(mod 4)
，
1 2
(n
−
1)
为偶数。
设为偶数。。若由 ，，存则在y，使得 且 x ∈Ve
d
G
(x)
G
≠ 1 (n −
2
≅G
c
1)
dGc
(x)
=
n
−1−
dG
(x)
≠
1 2
(n
−1)
dG ( y) = dGc (x)
G
G[{e1, e4 , e5, e6}] G −{e5, e7}
G +{e8}
图G1，G2的关系
设 G1 ⊆ G,G2 ⊆ G. 若V (G1) V (G2 ) = φ ,则称G1和G2是点不交
（vertex-disjoint） 若 E(G1) E(G2 ) = φ ,则称G1和G2是边不交的
莱昂哈德·欧拉 在1735年圆满地解决了这个问题， 证明七桥问题无解，同时，欧拉还给出了任意一种 河-桥图能否全部走一次的判定法则，以及怎样快速 找到所要求的路线。这些解析，最后发展成为了数 学中的图论。
图的定义
二元组定义：G = (V , E)
V 是顶点集，E 是边集 E 的元素是一个二元组数对，用(x, y表) 示，x, y ∈V
图的基本术语(1)
阶：图G的顶点集合V的大小称为图G的阶
没有任何边的图称为空图，记作Φ。 只有一个顶点的图称为平凡图(trivial graph)。
关联与邻接：
点与点的邻接(adjacent) 点与边的关联(incident) 两个顶点之间有边相连，则两个顶点邻接，并
且通过这条边关联。
12为(n −偶1) 数的。点即wk.baidu.com成y ∈对Ve且的出dG (现y) ≠的12 (n。−1) 。Ve 中度不为
链 (walk，chain)
链: 从顶点u到顶点v的一条链是指一个序 列 µ = v0e1v1e2v2...vk−1ekv，k 其中 ei 的起点终点 为vi−1及 vi ；k 称作途径的长度；v0 = u 称为链的 起点；vk = v称为链的终点。