2014年广州市中考数学试卷及答案
2014年广东省广州市中考数学试卷(答案)
参考答案一、选择题1．A2．D3．D4．C5．A6．B7．B8．A9．C 10．B二、填空题11．14012．1013．x≠±114．24π15．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假16．三、解答题17．解：5x-2≤3x，移项，得5x-3x≤2，合并同类项，得2x≤2，系数化成1，x≤1，在数轴上表示为：．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF(ASA)．19．解：(1)A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3=x2+4x+4+2+x-2x-x2-3=3x+3；(2)∵(x+1)2=6，∴x+1=±，∴A=3x+3=3(x+1)=±3．∴A=±3．20．解：(1)根据题意得：a=1-(0.18+0.16+0.32+0.10)=0.24；b=×0.32=16；(2)作出扇形统计图，如图所示：根据题意得：360°×0.16=57.6°；(3)男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，由枚举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中DE为女女组合，∴抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：．21．解：(1)把x=2代入y=-，得：y=-k，把A(2，-k)代入y=kx-6，得：2k-6=k，解得k=2，所以一次函数与反比例函数的解析式分别为y=2x-6，y=-，则A点坐标为(2，-2)；(2)B点在第四象限．理由如下：一次函数与反比例函数的解析式分别为y=2x-6，y=-，解方程组，得：或，所以B点坐标为(1，-4)，所以B点在第四象限．22．解：(1)根据题意得：400×1.3=520(千米)，答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：-=3，解得：x=120，经检验x=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，答：高铁的平均速度是300千米/时．23．解：(1)如图(2)如图，连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵AB=AC，∴∠DAE=∠CAE，∴=；(3)如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵AB=AC cosC=．∴EC=BE=4，∴BC=8，∵点A、D、E、C共圆∴∠ADE+∠C=180°，又∵∠ADE+∠BDE=180°，∴∠BDE=∠C，∴△BDE∽△BCA，∴=，即BD•BA=BE•BC∴BD×4=4×8∴BD=，∵∠B=∠C∴cos∠C=cos∠B=，=∴BM =，∴DM=．24．解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)过点A，B，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y =x2-x-2；∵y =x2-x-2=(x-)2-，∴C (，-)．(2)如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，∴M(，0)，⊙M的半径=．∵P是抛物线与y轴的交点，∴OP=2，5,2MP∴∴P在⊙M上，∴P的对称点(3，-2)，∴当-1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．(3)存在；抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，第二种情况：向左平移，如图2所示，由(2)可知P(3，-2)，又∵C(，-)∴C'(-t，-)，P'(3-t，-2)，∵AB=5，∴P″(-2-t，-2)，要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，点C′关于x轴的对称点C″(-t，)，设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，，解得∴直线y=x+t+，点A在直线上，∴-+t+=0∴t=．故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．25．解：(1)当点F落在梯形ABCD中位线上时，如答图1，过点F作出梯形中位线MN，分别交AD、BC于点M、N．由题意，可知ABCD为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN =B C．由轴对称性质，可知BF=BC，∴BN =BF，∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，∴△BFC为等边三角形．∴CF=BC=4，∠FCB=60°，∴∠ECF=30°．设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG =CF=2，CF⊥BE．在Rt△CEG中，cos30CGx CE===︒∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x 的值为．(2)如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，∴∠GEC=∠CBE，又∵∠CGE=∠ECB=90°，∴Rt△BCE∽Rt△CGE，∴，∴CE2=EG•BE①同理可得：BC2=BG•BE②①÷②得：==．22112.162CEFBCFCF EGS S EG x S S BG CF BG ∆∆∴====∴=(0＜x ≤5)．(3)当△BFE 的外接圆与AD 相切时，依题意画出图形，如答图3所示． 设圆心为O ，半径为r ，则r =BE =．设切点为P ，连接OP ，则OP ⊥AD ，OP =r =．过点O 作梯形中位线MN ，分别交AD 、BC 于点M 、N ，则OM 为梯形ABED 的中位线，∴OM =(AB +DE )=(3+5-x)=(8-x )． 过点A 作AH ⊥CD 于点H ，则四边形ABCH 为矩形， ∴AH =BC =4，CH =AB =3，∴DH =CD -CH =2． 在Rt △ADH 中，由勾股定理得：AD ===2．∵MN ∥CD ，∴∠ADH =∠OMP ，又∵∠AHD =∠OPM =90°， ∴△OMP ∽△ADH ，1(8)2,,4x OM OP AD AH -∴== 化简得：16-2x =，两边平方后，整理得：x 2+64x -176=0， 解得：x 1=-32+20，x 2=-32-20(舍去) ∵0＜-32+20≤5∴x =-32+20符合题意，22113916S x S ∴==-。
2014年广东省中考数学试卷及答案详解
2014年广东省中考数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2014•广东）在 1 ， 0 ， 2 ，3-这四个数中， 最大的数是()A ． 1B ． 0C ． 2D ．3-2．（3分）（2014•广东）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2014•广东）计算32a a -的结果正确的是( )A ．1B ．aC ．a -D ．5a -4．（3分）（2014•广东）把39x x -分解因式，结果正确的是( )A ．2(9)x x -B ．2(3)x x -C ．2(3)x x +D ．(3)(3)x x x +-5．（3分）（2014•广东）一个多边形的内角和是900︒，这个多边形的边数是()A ．10B ．9C ．8D ．76．（3分）（2014•广东）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是( )A ．47B ．37C ．34D ．137．（3分）（2014•广东）如图，ABCD 中，下列说法一定正确的是( )A ．AC BD =B ．AC BD ⊥ C ．AB CD = D ．AB BC =8．（3分）（2014•广东）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．94m >B ．94m <C ．94m =D ．94m <- 9．（3分）（2014•广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为()A ．17B ．15C ．13D ．13或1710．（3分）（2014•广东）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线12x =C ．当12x <，y 随x 的增大而减小D ．当12x -<<时，0y >二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2014•广东）计算：32x x ÷= ．12．（4分）（2014•广东）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为 ．13．（4分）（2014•广东）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若6BC =，则DE = ．14．（4分）（2014•广东）如图， 在O 中， 已知半径为 5 ，弦AB 的长为 8 ，那么圆心O 到AB 的距离为 ．15．（4分）（2014•广东）不等式组28412x x x <⎧⎨->+⎩的解集是 ．16．（4分）（2014•广东）如图，ABC ∆绕点A 顺时针旋转45︒得到AB C ∆''，若90BAC ∠=︒，AB AC ==，则图中阴影部分的面积等于 ．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）（2014011|4|(1)()2--+--．18．（6分）（2014•广东）先化简，再求值：221()(1)11x x x +--+，其中x = 19．（6分）（2014•广东）如图， 点D 在ABC ∆的AB 边上， 且ACD A ∠=∠．（1） 作BDC ∠的平分线DE ，交BC 于点E （用 尺规作图法， 保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2） 在 （1） 的条件下， 判断直线DE 与直线AC 的位置关系 （不 要求证明） ．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）（2014•广东）如图， 某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度， 他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30︒，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点， 在B 处测得树顶C 的仰角高度为60(A ︒、B 、D 三点在同一直线上） ． 请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度 （结 果精确到0.1)m ． （参 考1.414≈ 1.732)≈21．（7分）（2014•广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率)-==利润售价进价进价进价． （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？22．（7分）（2014•广东）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有 名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2014•广东）如图，已知1(4,)2A -，(1,2)B -是一次函数y kx b =+与反比例函数(0,0)m y m x x=≠<图象的两个交点，AC x ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m 的值；（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若PCA ∆和PDB ∆面积相等，求点P 坐标．24．（9分）（2014•广东）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD AB ⊥于点D ，延长DO 交O 于点P ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ．（1）若60POC ∠=︒，12AC =，求劣弧PC 的长；（结果保留)π（2）求证：OD OE =；（3）求证：PF 是O 的切线．25．（9分）（2014•广东）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．（1）当2t =时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．2014年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在 1 ， 0 ， 2 ，3-这四个数中， 最大的数是( )A ． 1B ． 0C ． 2D ．3-【考点】18 ：有理数大小比较【分析】根据正数大于 0 ， 0 大于负数， 可得答案 ．【解答】解：3012-<<<，故选：C ．【点评】本题考查了有理数比较大小， 正数大于 0 ， 0 大于负数是解题关键 ．2．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【考点】3P ：轴对称图形；5R ：中心对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选：C ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）计算32a a -的结果正确的是( )A ．1B ．aC ．a -D ．5a -【考点】35：合并同类项【分析】根据合并同类项的法则，可得答案．【解答】解：原式(32)a a=-=，故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．4．（3分）把39-分解因式，结果正确的是()x xA．2x x-C．2(3)x x+D．(3)(3)(3)x x-B．2(9)+-x x x【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【专题】44：因式分解【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：39-，x x2(9)=-，x xx x x=+-．(3)(3)故选：D．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（3分）一个多边形的内角和是900︒，这个多边形的边数是() A．10B．9C．8D．7L：多边形内角与外角【考点】3【分析】根据多边形的内角和公式(2)180n-︒，列式求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，n-︒=︒，(2)180900n=．解得7故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．6．（3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是( )A ．47B ．37C ．34D ．13【考点】4X ：概率公式【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率37=． 故选：B ．【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．7．（3分）如图，ABCD 中，下列说法一定正确的是( )A ．AC BD =B ．AC BD ⊥ C ．AB CD = D ．AB BC =【考点】5L ：平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．【解答】解：A 、AC BD ≠，故A 选项错误；B 、AC 不垂直于BD ，故B 选项错误；C 、AB CD =，利用平行四边形的对边相等，故C 选项正确；D 、AB BC ≠，故D 选项错误；故选：C ．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．8．（3分）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．94m >B ．94m <C ．94m =D ．94m <- 【考点】AA ：根的判别式【专题】45：判别式法【分析】先根据判别式的意义得到△2(3)40m =-->，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△2(3)40m =-->， 解得94m <． 故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式△24b ac =-：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．9．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为( )A ．17B ．15C ．13D ．13或17【考点】6K ：三角形三边关系；KH ：等腰三角形的性质【专题】32：分类讨论【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，337+<不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为37717++=．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A ．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．10．（3分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线12x =C ．当12x <，y 随x 的增大而减小D ．当12x -<<时，0y >【考点】3H ：二次函数的性质【专题】16：压轴题；31：数形结合【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A ；根据图形直接判断B ；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C ；根据图象，当12x -<<时，抛物线落在x 轴的下方，则0y <，从而判断D ．【解答】解：A 、由抛物线的开口向上，可知0a >，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B 、由图象可知，对称轴为12x =，正确，故B 选项不符合题意； C 、因为0a >，所以，当12x <时，y 随x 的增大而减小，正确，故C 选项不符合题意；D 、由图象可知，当12x -<<时，0y <，错误，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：32x x ÷= 22x ．【考点】4H ：整式的除法【专题】11：计算题【分析】直接利用整式的除法运算法则求出即可．【解答】解：3222x x x ÷=．故答案为：22x ．【点评】此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．12．（4分）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000000用科学记数法表示为 86.1810⨯ ．【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【专题】1：常规题型【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：将618 000 000用科学记数法表示为：86.1810⨯．故答案为：86.1810⨯．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．13．（4分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若6BC =，则DE = 3 ．【考点】KX ：三角形中位线定理【分析】由D 、E 分别是AB 、AC 的中点可知，DE 是ABC ∆的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE ．【解答】解：D 、E 是AB 、AC 中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，132ED BC ∴==． 故答案为：3．【点评】本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．14．（4分）如图， 在O 中， 已知半径为 5 ，弦AB 的长为 8 ，那么圆心O到AB 的距离为 3 ．【考点】KQ ：勾股定理；2M ：垂径定理【分析】作OC AB ⊥于C ，连接OA ，根据垂径定理得到142AC BC AB ===，然后在Rt AOC ∆中利用勾股定理计算OC 即可 ．【解答】解： 作OC AB ⊥于C ，连结OA ，如图，OC AB ⊥，118422AC BC AB ∴===⨯=， 在Rt AOC ∆中，5OA =，3OC ∴=，即圆心O 到AB 的距离为 3 ．故答案为： 3 ．【点评】本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧 ． 也考查了勾股定理 ．15．（4分）不等式组28412x x x <⎧⎨->+⎩的解集是 14x << ． 【考点】CB ：解一元一次不等式组【专题】11：计算题【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：28412x x x <⎧⎨->+⎩①②，由①得：4x <；由②得：1x >，则不等式组的解集为14x <<．故答案为：14x <<．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（4分）如图，ABC ∆绕点A 顺时针旋转45︒得到AB C ∆''，若90BAC ∠=︒，AB AC ==1 ．【考点】KW ：等腰直角三角形；2R ：旋转的性质【专题】16：压轴题【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出112A D B C ==，sin 451AF FC AC AC ='=︒'='=，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：ABC ∆绕点A 顺时针旋转45︒得到AB C ∆''，90BAC ∠=︒，AB AC ==，2BC ∴=，45C B CAC C ∠=∠=∠'=∠'=︒，AD BC ∴⊥，B C AB ''⊥，112AD BC ∴==，sin 4512AF FC AC AC ='=︒'='=，∴图中阴影部分的面积等于：211111)122AFC DEC S S ∆'∆'-=⨯⨯-⨯=．1．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD ，AF ，DC '的长是解题关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6011|4|(1)()2--+--． 【考点】2C ：实数的运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂【专题】11 ：计算题【分析】本题涉及零指数幂、 负指数幂、 二次根式化简 3 个考点 ． 在计算时， 需要针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果 ．【解答】解： 原式3412=++-6=．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力， 是各地中考题中常见的计算题型 ． 解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、 零指数幂、 二次根式、 绝对值等考点的运算 ．18．（6分）先化简，再求值：221()(1)11x x x +--+，其中x = 【考点】6D ：分式的化简求值【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解答】解：原式22(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ++-=-+- 221x x =++-31x =+，当13x =时，原式= 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）如图， 点D 在ABC ∆的AB 边上， 且ACD A ∠=∠．（1） 作BDC ∠的平分线DE ，交BC 于点E （用 尺规作图法， 保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2） 在 （1） 的条件下， 判断直线DE 与直线AC 的位置关系 （不 要求证明） ．【考点】9J ：平行线的判定；2N ：作图-基本作图【专题】13 ：作图题【分析】（1） 根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2） 根据角平分线的性质可得12BDE BDC ∠=∠，根据三角形内角与外角的性质可得12A BDC ∠=∠，再根据同位角相等两直线平行可得结论 ． 【解答】解： （1） 如图所示：（2）//DE AC DE 平分BDC ∠，12BDE BDC ∴∠=∠， ACD A ∠=∠，ACD A BDC ∠+∠=∠，12A BDC ∴∠=∠， A BDE ∴∠=∠，//DE AC ∴．【点评】此题主要考查了基本作图， 以及平行线的判定， 关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行 ．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）如图， 某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度， 他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30︒，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点， 在B 处测得树顶C 的仰角高度为60(A ︒、B 、D 三点在同一直线上） ． 请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度 （结 果精确到0.1)m ． （参 考数据：1.414≈ 1.732)≈【考点】TA ：解直角三角形的应用-仰角俯角问题【专题】121 ：几何图形问题【分析】首先利用三角形的外角的性质求得ACB ∠的度数， 得到BC 的长度， 然后在直角BDC ∆中， 利用三角函数即可求解 ．【解答】解：CBD A ACB ∠=∠+∠，603030ACB CBD A ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，A ACB ∴∠=∠，10BC AB ∴==（米)．在直角BCD ∆中，sin 105 1.7328.7CD BC CBD =∠==≈⨯=（米)．答： 这棵树CD 的高度为 8.7 米 ．【点评】本题考查仰角的定义， 要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 ．21．（7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率)-==利润售价进价进价进价． （2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【考点】7B ：分式方程的应用【专题】124：销售问题【分析】（1）利用利润率-==利润售价进价进价进价这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．【解答】解：（1）设这款空调每台的进价为x 元，根据题意得：16350.89%x x ⨯-=， 解得：1200x =，经检验：1200x =是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：10012009%10800⨯⨯=元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．22．（7分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有1000名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？V：用样本估计总体；VB：扇形统计图【考点】VC：条形统计图；5【专题】27：图表型【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．÷=（名)；【解答】解：（1）这次被调查的同学共有40040%1000故答案为：1000；---=，（2）剩少量的人数是；1000400250150200补图如下；（3）2001800036001000⨯=（人)． 答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，已知1(4,)2A -，(1,2)B -是一次函数y kx b =+与反比例函数(0,0)m y m x x=≠<图象的两个交点，AC x ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m 的值；（3）P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若PCA ∆和PDB ∆面积相等，求点P 坐标．【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】153：代数几何综合题【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，41x -<<-，当41x -<<-时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y kx b =+，y kx b =+的图象过点1(4,)2-，(1,2)-，则 1422k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， 解得1252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 一次函数的解析式为1522y x =+， 反比例函数m y x=图象过点(1,2)-， 122m =-⨯=-；（3）连接PC 、PD ，如图， 设15(,)22P x x + 由PCA ∆和PDB ∆面积相等得11115(4)|1|(2)22222x x ⨯⨯+=⨯-⨯--， 52x =-，155224y x =+=， P ∴点坐标是5(2-，5)4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．24．（9分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD AB ⊥于点D ，延长DO 交O 于点P ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF ．（1）若60POC ∠=︒，12AC =，求劣弧PC 的长；（结果保留)π（2）求证：OD OE =；（3）求证：PF 是O 的切线．【考点】MD ：切线的判定；MN ：弧长的计算【专题】152：几何综合题；16：压轴题【分析】（1）根据弧长计算公式180n r l π=进行计算即可； （2）证明POE ADO ∆≅∆可得DO EO =；（3）方法1、连接AP ，PC ，证出PC 为EF 的中垂线，再利用CEP CAP ∆∆∽找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD BF =，进而判断出四边形PDBF 是矩形即可得出结论； 方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF 是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：12AC =，6CO ∴=， ∴6062180PC ππ==； 答：劣弧PC 的长为：2π．（2）证明：PE AC ⊥，OD AB ⊥，90PEA ∠=︒，90ADO ∠=︒在ADO ∆和PEO ∆中，ADO PEOAOD POE OA OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()POE AOD AAS ∴∆≅∆，OD EO ∴=；（3）证明：法一：如图，连接AP ，PC ，OA OP =，OAP OPA ∴∠=∠，由（2）得OD EO =，ODE OED ∴∠=∠，又AOP EOD ∠=∠，OPA ODE ∴∠=∠，//AP DF ∴， AC 是直径，90APC ∴∠=︒，90PQE ∴∠=︒PC EF ∴⊥，又//DP BF ，ODE EFC ∴∠=∠，OED CEF ∠=∠，CEF EFC ∴∠=∠，CE CF ∴=，PC ∴为EF 的中垂线，EPQ QPF ∴∠=∠，CEP CAP ∆∆∽EPQ EAP ∴∠=∠，QPF EAP ∴∠=∠，QPF OPA ∴∠=∠，90OPA OPC ∠+∠=︒，90QPF OPC ∴∠+∠=︒，OP PF ∴⊥，PF ∴是O 的切线．法二：设O 的半径为r ．OD AB ⊥，90ABC ∠=︒，//OD BF ∴，ODE CFE ∴∆∆∽又OD OE =，12FC EC r OE r OD r BC ∴==-=-=- 12BF BC FC r BC ∴=+=+ 12PD r OD r BC =+=+ PD BF ∴=又//PD BF ，且90DBF ∠=︒，∴四边形DBFP 是矩形90OPF ∴∠=︒OP PF ∴⊥，PF ∴是O 的切线．方法3、AC 为直径，90ABC ∴∠=︒又90ADO ∠=︒，//PD BF ∴PCF OPC ∴∠=∠OP OC =，OCP OPC ∴∠=∠OCP PCF ∴∠=∠，即ECP FCP ∠=∠//PD BF ，ODE EFC ∴∠=∠OD OE =，ODE OED ∴∠=∠又OED FEC ∠=∠，FEC EFC ∴∠=∠EC FC ∴=在PEC ∆与PFC ∆中PC PCECP FCP EC FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PEC PFC SAS ∴∆≅∆90PFC PEC ∴∠=∠=︒∴四边形PDBF 为矩形90DPF ∠=︒，即PF 为圆的切线．【点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．25．（9分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，10BC cm =，8AD cm =．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．（1）当2t =时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】SO ：相似形综合题【专题】152：几何综合题；16：压轴题；25：动点型【分析】（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出PEF ∆的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】（1）证明：当2t =时，4DH AH ==，则H 为AD 的中点，如答图1所示．又EF AD ⊥，EF ∴为AD 的垂直平分线，AE DE ∴=，AF DF =．AB AC =，AD BC ⊥于点D ，AD BC ∴⊥，B C ∠=∠．//EF BC ∴，AEF B ∴∠=∠，AFE C ∠=∠，AEF AFE ∴∠=∠，AE AF ∴=，AE AF DE DF ∴===，即四边形AEDF 为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽，EF AH BC AD ∴=，即82108EF t -=，解得：5102EF t =-． 221155510(10)210(2)10(0)222223PEF S EF DH t t t t t t ∆==-=-+=--+<<， ∴当2t =秒时，PEF S ∆存在最大值，最大值为210cm ，此时36BP t cm ==．（3）解：存在．理由如下：①若点E 为直角顶点，如答图3①所示，此时//PE AD ，2PE DH t ==，3BP t =．//PE AD ，PE BP AD BD ∴=，即2385t t =，此比例式不成立，故此种情形不存在； ②若点F 为直角顶点，如答图3②所示，此时//PF AD ，2PF DH t ==，3BP t =，103CP t =-．//PF AD ，PF CP AD CD ∴=，即210385t t -=，解得4017t =；③若点P 为直角顶点，如答图3③所示．过点E 作EM BC ⊥于点M ，过点F 作FN BC ⊥于点N ，则2EM F N D H t ===，////EM FN AD ．//EM AD ，EM BM AD BD∴=，即285t BM =，解得54BM t =， 57344PM BP BM t t t ∴=-=-=． 在Rt EMP ∆中，由勾股定理得：2222227113(2)()416PE EM PM t t t =+=+=． //FN AD ，FN CN AD CD ∴=，即285t CN =，解得54CN t =， 5171031044PN BC BP CN t t t ∴=--=--=-． 在Rt FNP ∆中，由勾股定理得：22222217353(2)(10)85100416PF FN PN t t t t =+=+-=-+． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222EF PE PF =+， 即：2225113353(10)()(85100)21616t t t t -=+-+ 化简得：21833508t t -=， 解得：280183t =或0t =（舍去） 280183t ∴=． 综上所述，当4017t =秒或280183t =秒时，PEF ∆为直角三角形． 【点评】本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．。
2014年广东省中考数学试卷及解析
2014年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（）A．1B．0C．2D．﹣32．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）计算3a﹣2a的结果正确的是（）A．1B．a C．﹣a D．﹣5a4．（3分）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣9）B．x（x﹣3）2C．x（x+3）2D．x（x+3）（x﹣3）5．（3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．10 B．9C．8D．76．（3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（）A．A C=BD B．A C⊥BD C．A B=CD D．A B=BC8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．9．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或1710．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=D．当﹣1＜x＜2时，y＞0C．当x＜，y随x的增大而减小二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：2x3÷x=．12．（4分）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为．13．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=．14．（4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为．15．（4分）不等式组的解集是．16．（4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．18．（6分）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．19．（6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）21．（7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？22．（7分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．25．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．2014年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）考点：有理数大小比较．分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．解答：解：﹣3＜0＜1＜2，故选：C．点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2．（3分）考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故A选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故B选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）考点：合并同类项．分析：根据合并同类项的法则，可得答案．解答：解：原式=（3﹣2）a=a，故选：B．点评：本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．4．（3分）考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：x3﹣9x，=x（x2﹣9），=x（x+3）（x﹣3）．故选：D．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（3分）考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选：D．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．6．（3分）考点：概率公式．分析：直接根据概率公式求解即可．解答：解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．故选：B．点评：本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．7．（3分）考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．解答：解：A、AC≠BD，故A选项错误；B、AC不垂直于BD，故B选项错误；C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C选项正确；D、AB≠BC，故D选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．8．（3分）考点：根的判别式．专题：判别式法．分析：先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．（3分）考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．10．（3分）考点：二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）考点：整式的除法．专题：计算题．分析：直接利用整式的除法运算法则求出即可．解答：解：2x3÷x=2x2．故答案为：2x2．点评：此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．12．（4分）考点：科学记数法—表示较大的数．专题：常规题型．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×108．故答案为：6.18×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（4分）考点：三角形中位线定理．分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．解答：解：∵D、E是AB、AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴ED=BC=3．故答案为：3．点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．14．（4分）考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在Rt△AOC 中利用勾股定理计算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15．（4分）考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＜4；由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜4．故答案为：1＜x＜4．点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（4分）考点：旋转的性质；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=AC′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=3+4+1﹣2=6．点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（6分）考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1，当x=时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）考点：作图—基本作图；平行线的判定．专题：作图题．分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．解答：解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：几何图形问题．分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．21．（7分）考点：分式方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．解答：解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．22．（7分）考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：图表型．分析：（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．解答：解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；故答案为：1000；（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，补图如下；（3）18000×=3600（人）．答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：代数几何综合题．分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．解答：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由△PCA和△PDB面积相等得××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．24．（9分）考点：切线的判定；弧长的计算．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（2）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．25．（9分）考点：相似形综合题．专题：几何综合题；压轴题；动点型．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t＜），∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．。
2014年广东省中考数学真题(word版,含答案)
2014年广东数学中考试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1、在1，0，2，-3这四个数中，最大的数是（ ）A 、1B 、0C 、2D 、-32、在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、B 、C 、D 、 3、计算3a -2a 的结果正确的是（ ）A 、1B 、aC 、-aD 、-5a 4、把39x x -分解因式，结果正确的是（ ）A 、()29x x -B 、()23x x - C 、()23x x + D 、()()33x x x +-5、一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ） A 、10 B 、9 C 、8 D 、76、一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A 、47 B 、37 C 、34 D 、137、如图7图，□ABCD 中，下列说法一定正确的是（A 、AC=BDB 、AC ⊥BDC 、AB=CD D 、AB=BC题7图 8、关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A 、94m ＞B 、94m ＜C 、94m =D 、9-4m ＜9、一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A 、17 B 、15 C 、13 D 、13或17 10、二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图象如题10图所示， 关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）A 、函数有最小值B 、对称轴是直线x =21DC 、当x <21,y 随x 的增大而减小 D 、当 -1 < x < 2时，y >0 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11、计算32x x ÷= ；12、据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人.将618 000 000用科学计数法表示为 ； 13、如题13图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若BC=6，则DE= ；14、如题14图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O到AB 的距离为 ；15、不等式组2841+2x x x ⎧⎨-⎩＜＞的解集是 ；16、如题16图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△'''A B C ，若∠BAC=90°，AB=AC=2， 题16图 则图中阴影部分的面积等于 。
2014年广州市中考数学试题及答案
2014年市初中毕业生学业考试数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔走宝自已的考生号、；走宝考场室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个的标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. (0)a a ≠的相反数是 ( )A ．a -B ．2aC ．||aD ．1a2.下列图形中，是中心对称图形的是 ( )A ．B ．C ．D ．3.如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC ∆的三个顶点均在格点上，则tan A =( )A ．35B ．45C ．34D ．434.下列运算正确的是( )A ．54ab ab -=B ．112a b a b+=+ C ．624aa a ÷=D ．2353()ab a b =5.已知1O 和2O 的半径分别为2cm 和3cm ，若127cm O O =，则1O 和2O 的位置关系是( )A ． 外离B ．外切C ．切D ．相交6.计算242x x --，结果是 ( )A ．2x -B ．2x +C ．42x - D ．2x x+7.在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8．对这组数据，下列说确的是 ( )A ． 中位数是8B ． 众数是9C ． 平均数是8D ． 极差是78.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变．当90B ∠=︒时，如图2-①，测得2AC =．当60B ∠=︒时，如图2-②，AC =( )A B ．2C D ．图2-①图2-②9.已知正比例函数(0)y kx k =<的图象上两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且12x x <，则下列不等式中恒成立的是( )A ．120y y +>B ．120y y +<C ．120y y ->D ．120y y -<10.如图3，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ．设AB a =，()CG b a b =>．下列结论：①BCG DCE ∆≅∆；②BG DE ⊥；③DG GO GC CE=；④22()EFO DGO a b S b S ∆∆-⋅=⋅．其中结论正确的个数是 ( ) A ．4个B ．3 个C ．2个D ．1个第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11. ABC ∆中，已知60A ∠=︒，80B ∠=︒，则C ∠的外角．．的度数是______︒．12. 已知OC 是AOB ∠的平分线，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PEOB ⊥，垂足分别为点D 、E ，10PD =，则PE 的长度为______．13. 代数式11x -有意义时，x 应满足的条件为______． 14. 一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积．．．为______． （结果保留π）15. 已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 16. 若关于x 的方程222320xmx m m +++-=有两个实数根1x 、2x ，则21212()x x x x ++的最小值为______．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分9分）解不等式：523x x -≤，并在数轴上表示解集．18.（本小题满分9分） 如图5，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别交于点E 、F ，求证：AOE COF ∆≅∆.19.（本小题满分10分） 已知多项式2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-（1）化简多项式A ；（2）若2(1)6x +=，求A 的值.20.（本小题满分10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：(1)求a b ，的值；(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数； (3)在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生.为了了解学生的训练效果，从这5 名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率.21.（本小题满分12分） 已知一次函数6y kx =-的图象与反比例函数2ky x=-的图象交于A B 、两点，点A 的横坐标为2. (1)求k 的值和点A 的坐标；(2)判断点B 所在的象限，并说明理由.22.（本小题满分12分）从到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度.23.（本小题满分12分）如图6，ABC ∆中，45AB AC ==，5cos C =.（1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的O ，并标出O 与AB 的交点D ，与BC 的交点E （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中，①求证：DECE =；②求点D 到BC 的距离。
2014年广州中考数学试卷答案详解
秘密★启用前广州市2014年初中毕业生学业考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．a （0a ≠）的相反数是（）．（A ）a-（B ）a（C ）a（D ）1【考点】相反数的概念【分析】任何一个数a 的相反数为a -．【答案】A2．下列图形是中心对称图形的是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）【考点】轴对称图形和中心对称图形．【分析】旋转180°后能与完全重合的图形为中心对称图形．【答案】D3．如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，则tan A =（）．（A ）35（B ）45（C ）34（D ）43【考点】正切的定义．【分析】4tan 3BC A AB ==．【答案】D 4．下列运算正确的是（）．（A ）54ab ab -=（B ）112a b a b+=+（C ）624a a a ÷=（D ）()3253a b a b =【考点】整式的加减乘除运算．【分析】54ab ab ab -=，A 错误；11a ba b ab++=，B 错误；624a a a ÷=，C 正确；()3263a b a b =，D 错误．【答案】C5．已知1O 和2O 的半径分别为2cm 和3cm ，若127cm O O =，则1O 和2O 的位置关系是（）．（A ）外离（B ）外切（C ）内切（D ）相交【考点】圆与圆的位置关系．【分析】两圆圆心距大于两半径之和，两圆外离．【答案】A6．计算242x x --，结果是（）．（A ）2x -（B ）2x +（C ）42x -（D ）2x x+【考点】分式、因式分解【分析】()()2224222x x x x x x +--==+--【答案】B7．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是：7，10，9，8，7，9，9，8．对这组数据，下列说法正确的是（）．（A ）中位数是8（B ）众数是9（C ）平均数是8（D ）极差是7【考点】数据【分析】中位数是8.5；众数是9；平均数是8.375；极差是3．【答案】B8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当90B =︒∠时，如图2-①，测得2AC =，当=60B ︒∠时，如图2-②，AC =（）．（A ）2（B ）2（C ）6（D ）22图2-①图2-②【考点】正方形、有60︒内角的菱形的对角线与边长的关系【分析】由正方形的对角线长为2可知正方形和菱形的边长为222=，当B ∠=60°时，菱形较短的对角线等于边长，故答案为2．【答案】A9．已知正比例函数y kx =（0k <）的图象上两点A （1x ，1y ）、B （1x ，2y ），且12x x <，则下列不等式中恒成立的是（）．（A ）120y y +>（B ）120y y +<（C ）120y y ->（D ）120y y -<【考点】反比例函数的增减性【分析】反比例函数ky x=中0k <，所以在每一象限内y 随x 的增大而减小，且当0x <时，0y >，0x >时0y <，∴当12x x <时，12y y >，故答案为120y y ->【答案】C10．如图3，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG DE 、，DE 和FG 相交于点O ．设AB a =，CG b =（a b >）．下列结论：①BCG DCE △≌△；②BG DE ⊥；③DG GOGC CE=；④()22EFO DGO a b S b S -⋅=⋅△△．其中结论正确的个数是（）．（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个【考点】三角形全等、相似三角形【分析】①由,,BC DC CG CE BCG DCE ==∠=∠可证()BCG DCE SAS △≌△，故①正确；②延长BG 交DE 于点H ，由①可得CDE CBG ∠=∠，DGH BGC ∠=∠（对顶角）∴BCG DHG ∠=∠=90°，故②正确；③由DGO DCE △∽△可得DG GODC CE=，故③不正确；④EFO DGO △∽△，EFODGO S S ∆∆等于相似比的平方，即222(()EFO DGO S EF b S DG a b ∆∆==-，∴22()EFO DGO a b S b S ∆∆-=，故④正确．【答案】B第二部分非选择题（共120分）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．ABC △中，已知60A =︒∠，80B =︒∠，则C ∠的外角的度数是_____．【考点】三角形外角【分析】本题主要考察三角形外角的计算，40C =︒∠，则C ∠的外角为18040140︒-︒=︒【答案】140︒12．已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D E 、，10PD =，则PE 的长度为_____．【考点】角平线的性质【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等．【答案】1013．代数式11x -有意义时，x 应满足的条件为______．【考点】分式成立的意义，绝对值的考察【分析】由题意知分母不能为0，即1x ≠，则1x =±【答案】1x ≠±14．一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______（结果保留π）．【考点】三视图的考察、圆锥体全面积的计算方法【分析】从三视图得到该几何体为圆锥体，全面积=侧面积+底面积，底面积为圆的面积为：29r ππ=，侧面积为扇形的面积12LR =，首先应该先求出扇形的半径R ，由勾股定理得5R =，6L d ππ==，则侧面积1=56=152ππ⨯⨯，全面积15+9=24πππ．【答案】24π15．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．【考点】命题的考察以及全等三角形的判定【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．16．若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x 、2x ，则()21212x x x x ++的最小值为___.【考点】一元二次方程根与系数的关系，最值的求法【分析】该题主要是考察方程思想与函数思想的结合，由根与系数的关系得到：122x x m +=-，21232x x m m =+-，原式化简2332m m =-+．因为方程有实数根，∴0≥△，23m ≤．当23m =时，2332m m -+最小值为54．【答案】54三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（本小题满分9分）解不等式：523x x -£，并在数轴上表示解集.【考点】不等式解法【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去3x ，再同时加上2，再除以2，不等号的方向不变.注意在数轴上表示时，此题是小于等于号，应是实心点且方向向左.【答案】解：移项得，532x x -≤，合并同类项得，22x ≤，系数化为1得，1x ≤，在数轴上表示为：18．（本小题满分9分）如图5，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别交于点E F 、，求证：AOE COF △≌△．图5【考点】全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质可知，AO CO =，EAO FCO =∠∠，又根据对顶角相等可知，AOE COF =∠∠，再根据全等三角形判定法则ASA ，AOE COF △≌△，得证.【答案】证明：∵平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O∴AO CO =，AB CD ∥∴EAO FCO=∠∠在AOE △和COF △中，EAO FCOAO CO AOE COFìÐ=Ðïï=íïÐ=Ðïî∴AOE COF△≌△19．（本小题满分10分）已知多项式()()()22123A x x x =++-+-.（1）化简多项式A ；（2）若()216x +=，求A 的值.【考点】（1）整式乘除（2）开方,正负平方根【分析】（1）没有公因式,直接去括号,合并同类型化简（2）由第一问答案,对照第二问条件,只需求出1x +，注意开方后有正负【答案】解:（1）2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-2244223x x x x x =+++-+--22()(42)(423)x x x x x =-+-+++-33x =+（2）2(1)6x +=,则1x +=33A x ∴=+3(1)x =+=±20．（本小题满分10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12a一分钟跳绳80.16投掷实心球b0.32推铅球50.10合计501（1）求a ，b 的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率．【考点】（1）频率（2）①频率与圆心角；②树状图，概率【分析】（1）各项人数之和等于总人数50;各项频率之和为1（2）所占圆心角=频率*360（3）画出列表图，至多有一名女生包括有一个女生和一个女生都没有两种情况．【答案】（1）()509128516a =-+++=()10.180.160.320.100.24b =-+++=（2）“一分钟跳绳”所占圆心角=0.16360=57.6⨯︒︒（3）至多有一名女生包括两种情况有1个或者0个女生列表图：男A男B 男C 女D 女E 男A（A ，B ）（A ，C ）（A ，D ）（A ，E ）男B （B ，A ）（B ，C ）（B ，D ）（B ，E ）男C （C ，A ）（C ，B ）（C ，D ）（C ，E ）女D （D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）（D ，E ）女E（E ，A ）（E ，B ）（E ，C ）（E ，D ）有1个女生的情况：12种有0个女生的情况：6种至多有一名女生包括两种情况18种至多有一名女生包括两种情况=1820=910=0.9021．（本小题满分12分）已知一次函数6y kx =-的图像与反比例函数2ky x=-的图像交于A B 、两点，点A 的横坐标为2．（1）求k 的值和点A 的坐标；（2）判断点B 的象限，并说明理由．【考点】○1一次函数；○2反比例函数；○3函数图象求交点坐标【分析】第（1）问根据A 点是两个图象的交点，将A 代入联立之后的方程可求出k ，再将A 点的横坐标代入函数表达式求出纵坐标；第（2）问根据一次函数与反比例函数的解析式分析两图像经过的象限，得出两图像交点所在象限.此题主要考查反比例函数与一次函数的性质【答案】解：（1）将6y kx =-与2ky x=-联立得：22k y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩26kkx x∴-=-○1A 点是两个函数图象交点，将2x =带入○1式得：2262kk -=-解得2k =故一次函数解析式为26y x =-，反比例函数解析式为4y x=-将2x =代入26y x =-得，2262y =⨯-=-A ∴的坐标为(2,2)k =-（2）B 点在第四象限，理由如下：一次函数26y x =-经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，因此它们的交点都是在第四象限.22、（本小题满分12分）从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．【考点】行程问题的应用【分析】路程=速度×时间，分式方程的实际应用考察【解析】（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1.3=520（千米）（2）设普通列车的平均速度为x 千米/时，则高铁平均速度为2.5x 千米/时．依题意有：52040032.5x x-=可得：120x =答：高铁平均速度为 2.5×120=300千米/时．23、（本小题满分12分）如图6，ABC △中，AB AC ==，cos 5C =．（1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的O ，并标出O 与AB 的交点D ，与BC 的交点E（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证： DECE =；②求点D 到BC 的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出AB 中点O ，再以O 为圆心，OA 为半径画圆.（2）①要求 DE EC =，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出EOC DOE ∠=∠即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.②首先根据已知条件可求出8BC =，依题意作出高DH ，求高则用勾股定理或面积法，注意到AC 为直径，所以想到连接CD ，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出BD ，CD的长度，那么在Rt BDC △中，求其高，就只需用面积法即可求出高DH .【答案】（1）如图所示，圆O 为所求（2）①如图连接OE OD 、，设B α∠=,又,AB AC OA OD OE OC ====OEC C B α∴∠=∠=∠=1802EOC A α︒∠=∠=-则2(1802)(1802)1802DOE DOC EOC ααα︒︒︒∠=∠-∠=⨯---=-EOC DOE ∴∠=∠ DEEC ∴=②连接CD ,过A 作AM BC ⊥于M ,过D 作DH BC ⊥于H∴cosC=CM AC ==又AB AC =4CM ∴=,28BC CM ==又AC 为直径90ADC BDC ︒∴∠=∠=设BD a =，则AD a =，在Rt BDC ∆和Rt ADC ∆中，有2222AC AD BC BD -=-即(()22228a a --=-解得：a =即CD =又11BCDS DH BC BD CD ∆=⋅=⋅即1182255DH ⨯⋅=⨯⨯165DH ∴=24．（本小题满分14分）已知平面直角坐标系中两定点A （-1，0），B （4，0），抛物线22y ax bx =+-（0a ≠）过点A 、B ，顶点为C ．点P （m ，n ）（n <0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C 的坐标．（2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围．（3）若32m >，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （502t <<）个单位，点P 、C 移动后对应的点分别记为'P 、'C ，是否存在t ，使得首尾依次连接A 、B 、'P 、'C 所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【考点】动点问题.(1)二次函数待定系数法;(2)存在性问题,相似三角形;(3)最终问题,轴对称,两点之间线段最短【答案】(1)解:依题意把,A B 的坐标代入得:2016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩;解得:1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为213222y x x =--∴顶点横坐标3b x =-=,将3x =代入抛物线得2133325((2y =-⨯-⨯-=-325(,28C ∴-(2)如图,当90APB ︒∠=时,设200013(,2)22D x x x --,则001,4,ED x DF x =+=-20013222BF x x =--过D 作直线l x 轴,,AE l BF l⊥⊥AED BFD ∴∆∆ AE DF ED BF∴=2000200013242213222x x x x x ---∴=+--(注意用整体代入法)解得120,3x x ==1(0,2)D ∴-,2(3,2)D -当P 在12,AD BD 之间时，90APB ︒∠>10m ∴-<<或34m <<时，APB ∠为钝角.(3)依题意3m >，且90APB ︒∠=(3,2)P ∴-设,P C 移动t （0t >向右，t o <向左）325(3,2),(,)28P t C t ''∴+-+-连接,,AC P C P B''''则ABP C C AB BP P C C A''''''=+++又,AB P C ''的长度不变∴四边形周长最小，只需BP C A ''+最小即可将C A '沿x 轴向右平移5各单位到BC ''处P '沿x 轴对称为P ''∴当且仅当P ''、B 、C ''三点共线时，BP 'C A '+最小，且最小为P C ''''，此时1325(,)28C t ''+-(3,2)P t ''+，设过P C ''''的直线为y kx b =+，代入1325();28(3)2t k b t k b ⎧++=-⎪⎨⎪++=⎩∴412841(3)228k t b ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩即4141(3)22828t y x +=-++将(4,0)B 代入，得：4141(3)4202828t +-⨯++=，解得：1541t =-∴当，P 、C 向左移动1541单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
广东省2014年中考数学试卷(含解析)
2014年广东省中考数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2014?广东）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（）A．1B．0C．2D．﹣3考点：有理数大小比较．分析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案．解答：解：﹣3＜0＜1＜2，故选：C．点评：本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2．（3分）（2014?广东）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．故选C．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）（2014?广东）计算3a﹣2a的结果正确的是（）A．1B．a C．﹣a D．﹣5a考点：合并同类项．分析：根据合并同类项的法则，可得答案．解答：解：原式=（3﹣2）a=a，故选：B．点评：本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．4．（3分）（2014?广东）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣9）B．x（x﹣3）2C．x（x+3）2D．x（x+3）（x﹣3）考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：x3﹣9x，=x（x2﹣9），=x（x+3）（x﹣3）．故选D．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（3分）（2014?广东）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的外角和公式（n﹣2）?180°，列式求解即可．解答：解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）?180°=900°，解得n=7．故选D．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．6．（3分）（2014?广东）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．分析：直接根据概率公式求解即可．解答：解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．故选B．点评：本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．7．（3分）（2014?广东）如图，?ABCD中，下列说法一定正确的是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．解答：解：A、AC≠BD，故此选项错误；B、AC不垂直BD，故此选项错误；C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故此选项正确；D、AB≠BC，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．8．（3分）（2014?广东）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠０）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．（3分）（2014?广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选A．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．10．（3分）（2014?广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠０）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．故选D．点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2014?广东）计算2x3÷x=2x2．考点：整式的除法．分析：直接利用整式的除法运算法则求出即可．解答：解：2x3÷x=2x2．故答案为：2x2．点评：此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．12．（4分）（2014?广东）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为 6.18×108．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将618 000 000用科学记数法表示为： 6.18×108．故答案为： 6.18×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（4分）（2014?广东）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．考点：三角形中位线定理．分析：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．解答：解：∵D、E是AB、AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴ED=BC=3．故答案为3．点评：本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．14．（4分）（2014?广东）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15．（4分）（2014?广东）不等式组的解集是1＜x＜4．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解答：解：，由①得：x＜4；由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜4．故答案为：1＜x＜4．点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（4分）（2014?广东）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于﹣1．考点：旋转的性质．分析：根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′＝AC′=1，进而求出阴影部分的面积．解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′＝∠C′=45°∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′＝AC′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）（2014?广东）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=3+4+1﹣2=6．点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（6分）（2014?广东）先化简，再求值：（+）?（x2﹣1），其中x=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=?（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1，当x=时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）（2014?广东）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．考点：作图—基本作图；平行线的判定．分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．解答：解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）（2014?广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC 中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．21．（7分）（2014?广东）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？考点：分式方程的应用．分析：（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．解答：解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．22．（7分）（2014?广东）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有1000名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．解答：解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；故答案为：1000；（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，补图如下；（3）18000×=3600（人）．答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2014?广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠０，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．解答：解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由△PCA和△PDB面积相等得（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．24．（9分）（2014?广东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB 于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．考点：切线的判定；弧长的计算．分析：（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．解答：（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（1）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．点评：本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．25．（9分）（2014?广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF?DH=（10﹣t）?2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PE∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．。
广州市2014年中考数学试卷及答案(Word解析版)
秘密★启用前广州市2014年初中毕业生学业考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间120分钟．第一部分选择题（共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．（）的相反数是（）．（A)（B)（C）（D)【考点】相反数的概念【分析】任何一个数的相反数为．【答案】A2．下列图形是中心对称图形的是（ )．（A）（B) （C） (D) 【考点】轴对称图形和中心对称图形．【分析】旋转180°后能与完全重合的图形为中心对称图形．【答案】D3．如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（）．(A)（B）（C）（D）【考点】正切的定义．【分析】．【答案】D4．下列运算正确的是( ）．（A）（B）（C）（D）【考点】整式的加减乘除运算．【分析】,A错误；，B错误;,C正确；,D错误．【答案】C5．已知和的半径分别为2cm和3cm,若，则和的位置关系是（）．(A）外离（B）外切（C）内切（D)相交【考点】圆与圆的位置关系．【分析】两圆圆心距大于两半径之和，两圆外离．【答案】A6．计算,结果是（）．(A）（B） (C） (D）【考点】分式、因式分解【分析】【答案】B7．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩(单位:分）分别是：7，10,9，8，7，9，9，8．对这组数据，下列说法正确的是（ )．（A）中位数是8 （B)众数是9 （C）平均数是8 （D）极差是7【考点】数据【分析】中位数是8.5；众数是9；平均数是8.375；极差是3．【答案】B8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形,使它形状改变，当时，如图，测得,当时,如图，（）．（A）（B）2 （C）（D)图2-①图2—②【考点】正方形、有内角的菱形的对角线与边长的关系【分析】由正方形的对角线长为2可知正方形和菱形的边长为，当=60°时，菱形较短的对角线等于边长，故答案为．【答案】A9．已知正比例函数（)的图象上两点（，）、(，)，且，则下列不等式中恒成立的是（）．（A） (B） (C）（D）【考点】反比例函数的增减性【分析】反比例函数中,所以在每一象限内随的增大而减小，且当时,，时，∴当时，,故答案为【答案】C10．如图3，四边形、都是正方形，点在线段上,连接，和相交于点．设，()．下列结论:①；②；③;④．其中结论正确的个数是（）．（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个【考点】三角形全等、相似三角形【分析】①由可证，故①正确；②延长BG交DE于点H，由①可得，（对顶角）∴=90°，故②正确；③由可得，故③不正确；④，等于相似比的平方，即，∴，故④正确．【答案】B第二部分非选择题(共120分）二、填空题（共6小题,每小题3分，满分18分）11．中，已知，，则的外角的度数是_____．【考点】三角形外角【分析】本题主要考察三角形外角的计算，，则的外角为【答案】12．已知是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点，，则PE 的长度为_____．【考点】角平线的性质【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等．【答案】1013．代数式有意义时,应满足的条件为______．【考点】分式成立的意义，绝对值的考察【分析】由题意知分母不能为0，即，则【答案】14．一个几何体的三视图如图4，根据图示的数据计算该几何体的全面积为_______(结果保留）．【考点】三视图的考察、圆锥体全面积的计算方法【分析】从三视图得到该几何体为圆锥体，全面积=侧面积+底面积，底面积为圆的面积为：，侧面积为扇形的面积，首先应该先求出扇形的半径R,由勾股定理得，，则侧面积，全面积．【答案】15．已知命题:“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真"或“假”）．【考点】命题的考察以及全等三角形的判定【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．16．若关于的方程有两个实数根、，则的最小值为___。
中考数学试卷2014年广州卷(有答案)
2014年广州市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.a(a≠0)的相反数是( )A.-aB.a2C.|a|D.12.下列图形中,是中心对称图形的是( )3.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tan A=( )A. B. C. D.4.下列运算正确的是( )A.5ab-ab=4B.1+1=C.a6÷a2=a4D.(a2b)3=a5b35.已知☉O1和☉O2的半径分别为2 cm和3 cm,若O1O2=7 cm,则☉O1和☉O2的位置关系是( )A.外离B.外切C.内切D.相交6.计算-,结果是( )-A.x-2B.x+2C.-D.7.在一次科技作品制作比赛中,某小组八件作品的成绩(单位:分)分别是7,10,9,8,7,9,9,8.对这组数据,下列说法正确的是( )A.中位数是8B.众数是9C.平均数是8D.极差是78.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图①,测得AC=2.当∠B=60°时,如图②,AC=()A. B.2 C. D.29.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2,则下列不等式中恒成立的是( )A.y1+y2>0B.y1+y2<0C.y1-y2>0D.y1-y2<010.如图,四边形ABCD、CEFG都是正方形,点G在线段CD上,连结BG、DE,DE和FG相交于点O.设AB=a,CG=b(a>b).下列结论:①△BCG≌△DCE;②BG⊥DE;③=;④(a-b)2·S△EFO=b2·S△DGO.其中结论正确的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个第Ⅱ卷(非选择题,共120分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)11.△ABC中,已知∠A=60°,∠B=80°,则∠C的外角．．的度数是°.12.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E,PD=10,则PE的长度为.有意义时,x应满足的条件为.13.代数式1-114.一个几何体的三视图如图,根据图示的数据计算该几何体的全面积．．．为.(结果保留π)15.已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题: ,该逆命题是命题(填“真”或“假”).16.若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2,则x1(x2+x1)+的最小值为.三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分9分)解不等式:5x- ≤ x,并在数轴上表示解集.18.(本小题满分9分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F,求证:△AOE≌△COF.19.(本小题满分10分)已知多项式A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3.(1)化简多项式A;(2)若(x+1)2=6,求A的值.20.(本小题满分10分)某校初三(1)班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试,班上学生所报自选项目的情况统计表如下:(1)求a,b的值;(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图,求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数;(3)在选报“推铅球”的学生中,有3名男生,2名女生.为了了解学生的训练效果,从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试,求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率.21.(本小题满分12分)已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=-的图象交于A、B两点,点A的横坐标为2.(1)求k的值和点A的坐标;(2)判断点B所在象限,并说明理由.22.(本小题满分12分)从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.(1)求普通列车的行驶路程;(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的 2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.23.(本小题满分12分)如图,△ABC中,AB=AC=4,cos C=.(1)动手操作:利用尺规作以AC为直径的☉O,并标出☉O与AB的交点D,与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)综合应用:在你所作的图中,①求证:=;②求点D到BC的距离.24.(本小题满分14分)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0)、B(4,0),抛物线y=ax2+bx- (a≠0)过点A、B,顶点为C,点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t0个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C'、P',是否存在t,使得首尾依次连接A、B、P'、C'所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.25.(本小题满分14分)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB= ,BC= ,CD= ,点E为线段CD上一动点(不与点C重合),△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE,连结CF,设CE=x,△BCF的面积为S1,△CEF 的面积为S2.(1)当点F落在梯形ABCD的中位线上时,求x的值;,并写出x的取值范围;(2)试用x表示1的值.(3)当△BFE的外接圆与AD相切时,求1答案全解全析：一、选择题1.A 因为a+(-a)=0,所以-a 为a 的相反数,故A 选项正确.2.D A 选项不是中心对称图形,故本选项错误;B 选项是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;C 选项是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;D 选项是中心对称图形,故本选项正确.故选D.3.D ∵AB= ,BC= ,∠ABC=90°,∴tan A= =.故选D.4.C A 选项,合并同类项的结果为4ab,不是4,故本选项错误;B 选项,1 +1 =,故本选项错误;C 选项,a 6÷a 2=a 6-2=a 4,故本选项正确;D 选项,(a 2b)3=(a 2)3·b 3=a 6b 3,故本选项错误.故选C.5.A ∵r 1=2 cm,r 2=3 cm,O 1O 2=7 cm,∴O 1O 2>r 1+r 2,∴两圆外离.故选A.6.B -- =( )( - )- =x+2,故选B.7.B 将这组数据按从小到大的顺序排列为7,7,8,8,9,9,9,10.由此可得这组数据的中位数是8 9=8.5,众数是9,平均数是18(7× +8× +9× +10×1)=678,极差是10-7=3,故选B.8.A ∵题图①为正方形,AC 为其对角线,∴BC=AC= .∵题图②为菱形,∠B=60°,连结AC,∴△ABC 为等边三角形,∴AC=BC= .故选A. 9.C ∵k<0,∴y 随x 的增大而减小,∵x 1<x 2,∴y 1>y 2,∴y 1-y 2>0.故选C. 评析 本题考查了正比例函数的增减性,可借助函数图象求解,属容易题.10.B 延长BG 交DE 于P,∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形,∴BC=DC,CG=CE,∠BCG=∠DCE=90°,∴△BCG≌△DCE;∵∠DCE=90°,∴∠CDE+∠CED=90°,∵△BCG≌△DCE,∴∠CDE=∠CBG,∴∠CBG+∠CED=90°,∴∠BPE=90°,∴BG⊥DE;∵OG∥CE,∴△DGO∽△DCE,∴= ,∴≠;易知△DGO∽△EFO,∴S △DGO ∶S △EFO == -,∴(a -b)2·S △EFO =b 2·S △DGO .∴ 个结论中有3个是正确的,故选B. 二、填空题 11.答案 140解析 ∵∠C=180°-∠A -∠B=180°-60°-80°= 0°, ∴∠C 的外角的度数是180°- 0°=1 0°. 12.答案 10解析 ∵角平分线上的点到角两边的距离相等,∴PE=PD=10. 13.答案 x≠±1解析 ∵分式的分母不能为0,∴ x -1≠0,∴x≠±1.评析 本题考查了分式的意义和绝对值的性质,属于容易题. 14.答案 π解析 由三视图知,该几何体为圆锥,其中底面直径为6,高为4,所以母线长为 =5,所以侧面积为1× π× × =1 π,又底面积为9π,所以该几何体的全面积为 π. 评析 本题将几何体的三视图与圆锥的全面积结合起来进行考查,既考查了学生的观察能力,又考查了运用公式的能力以及计算能力,属中等难度题.15.答案 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等;假解析 一个命题的逆命题,就是将原命题的条件与结论互换,因为面积相等的两个三角形不一定全等,所以其逆命题为假命题.16.答案解析 ∵关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m-2=0有两个实数根,∴( m)2-4(m 2+3m- )≥0,∴m≤,由根与系数的关系知x 1+x 2=-2m,x 1x 2=m 2+3m- ,∴x 1(x 2+x 1)+ =(x 1+x 2)2-x 1x 2=4m 2-(m 2+3m-2)=3 -1+,当m=1时,x 1(x 2+x 1)+ 取得最小值,最小值为.评析 本题考查了一元二次方程根的判别式,根与系数的关系,以及二次函数的最值问题,是一道综合性较强的试题,对考生的综合能力要求较高,属较难题. 三、解答题17.解析 5x- ≤ x, x≤ , x≤1.解集在数轴上表示如下:18.证明 ∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AB∥CD,OA=OC, ∴∠EAO=∠FCO, 在△AOE 和△COF 中,∠ ∠ ,,∠ ∠ ,∴△AOE≌△COF(ASA).19.解析 (1)A=(x+2)2+(1-x)(2+x)-3=x 2+4x+4-x 2+x-2x+2-3=3x+3.( )∵(x+1)2=6,∴x+1=± 6,∴A= x+ = (x+1)=± 6. 20.解析 (1)a=0.24,b=16. ( ) 60°×0.16= 7.6°.(3)男生编号为A 、B 、C,女生编号为D 、E,由枚举法可得AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE,共10种, 其中DE 为女女组合,∴所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为10-110=910. 21.解析 (1)联立两函数解析式可得 -6, - ,即kx-6=- . 将x=2代入该方程得2k-6=-,解之得k=2, 则两函数分别为y=2x-6,y=- .将x=2代入y=2x-6得y=-2,则点A 的坐标为(2,-2).(2)由 -6, -得2x-6=- ,∴x 2-3x+2=0, 解之得x 1=1,x 2=2,∴y 1=-4,y 2=-2,即点B 的坐标为(1,-4),位于第四象限. 22.解析 (1) 00×1. = 0(千米).(2)设高铁的平均速度为x 千米/时,则普通列车的平均速度为x÷ . =x 千米/时,由题意可得 00+3= 0x,解得x=300,经检验,x=300是原分式方程的解.∴高铁的平均速度是300千米/时.答:(1)普通列车的行驶路程为520千米.(2)高铁的平均速度是300千米/时. 23.解析(1)如图所示即为所求.( )①证明:如图,连结AE,∵AC为直径,∴∠AEC=90°,又AB=AC,∴∠BAE=∠CAE,∴=.②如图,连结CD,过点D作DF⊥BC于F, ∵AB=AC= ,cos∠ACB=,∴EC=AC·cos∠ACB= ,∴BC= CE=8,AE=-C=8.∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴S△ABC=1AB·CD,又∠AEC=90°,∴S△ABC=1AE·BC,∴1AB·CD=1AE·BC.∴CD=16,∴AD=-C=1 ,∴BD=AB-AD=8.∵S△DBC=S△DBC,∴1BD·CD=1DF·BC,∴DF=16,∴点D到BC的距离为16.24.解析(1)∵抛物线过A,B两点,∴--0,16-0,解得1,-,∴抛物线的解析式为y=1x2-x-2.解析式转化为顶点式为y=1 - - 8, ∴点C 的坐标为 ,- 8. (2)由题意知点P 在x 轴的下方,设抛物线和y 轴的交点为D,则D(0,-2),连结AD,BD.当点P 与点D 重合时,AD= O = ,BD= O =2 ,AB=5,故AD 2+BD 2=AB 2,即∠ADB=90°.由抛物线的对称性可得,点D 关于抛物线对称轴的对称点E(3,-2)满足∠AEB=90°,以AB 为直径作圆,则D,E 均在圆上,抛物线上点A 到D 及E 到B 之间的部分在圆内,当P 在这两个范围内运动时,满足∠APB 为钝角,∴m 的取值范围为-1<m<0或3<m<4.( )∵m> ,∴P 的坐标为(3,-2),将BP 沿PC 方向平移,使得P 与C 重合,B 落在B'处,作y=- 8,则C 在这条直线上,以y=- 8这条直线为对称轴,作B'的对称点B″,连结AB″,∵AB 与CP 为定值,则只需求AC+BP 的最小值即可,∴AC+BP=AC+B'C=AC+CB″≥AB″,∴当C 为AB″与直线y=- 8的交点时,AC+BP 最小,根据平移性质可得,B'的坐标为 ,-98 ,B″的坐标为 ,- 18 ,设直线AB″的解析式为y=kx+b(k≠0),∴ - 0,k b - 18,解得 - 1 8,- 1 8,∴y=- 1 8x- 1 8,当y=- 8时,x=9 8 ,-9 8 =1 1.∴t=1 1,抛物线应该向左平移.25.解析 (1)如图所示,点F 在直角梯形ABCD 的中位线MN 上,设CF 与EB 交于点G,由题意可知BF=BC=4,∵MN为直角梯形ABCD的中位线,∴MN⊥BC,BN=1BC= ,∴BN=1BF,∴∠BFN= 0°,∠FBN=60°,又BF=BC,∴△BFC为等边三角形,∴FC= ,∠FCB=60°,∴∠ECG= 0°,由题意可知EB垂直平分FC,∴GC=1FC= ,∠EGC=90°,∴CE=cos∠=,即x=.(2)如图所示,设CF与EB交于点G.∵∠EGC=90°,∠ECB=90°,∴∠GEC+∠ECG=90°,∠ECG+∠GCB=90°,∴∠GEC=∠GCB,又∠EGC=∠CGB=90°,∴△ECG∽△CBG,∴△△==16,∵G为FC的中点,∴S1=2S△BGC,S2=2S△EGC,∴1=△△=△△=16(0<x≤ ).(3)如图所示,不妨设EB与MN交于点O,∵MN是梯形ABCD的中位线,∴MN=1(AB+CD)= ,MN∥CD,∴==1,∴BO=OE.又∠BFE=90°,∴点O为△BFE的外接圆的圆心,∵BO=OE,NB=NC,∴NO=1CE=1x,OM=4-1x.不妨设△BFE的外接圆与AD相切于点H,连结OH, 故OH=1BE,OH⊥AD,过点A作AP⊥CD于P,可得四边形APCB为矩形,∴CP=AB= ,AP=BC= ,∴DP= ,∴AD=D=2,∴sin D==,∵MN∥CD,∴∠D=∠OMH,∴sin∠OMH=,∴OH=OM·sin∠OMH=-1x,∴BE= OH=-1x.在Rt△BCE中,∠BCE=90°,∴EC2+BC2=EB2,∴ 2+x2=-1x,解得x=20-32或x=-20-32(舍去), ∵0< 0- ≤ ,∴x= 0-32符合题意,此时1=16=139-80.。
广东省2014年中考数学试卷(含解析)(优选.)
二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（ 4 分）（ 2014?广东）计算 2x3÷x= 2x2 ．
考点 ： 整式的除法． 分析： 直接利用整式的除法运算法则求出即可． 解答： 解： 2x3÷x=2x2．
要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 当 原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数． 解答： 解：将 618 000 000 用科学记数法表示为： 6.18 ×108． 故答案为： 6.18 ×108． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法． 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式， 其中 1≤a｜| ＜ 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
故选 C． 点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
C；
根据图象，当﹣ 1＜ x＜2 时，抛物线落在 x 轴的下方，则 y＜ 0，从而判断 D．
解答： 解： A、由抛物线的开口向下，可知 意；
a＜ 0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题
B、由图象可知，对称轴为 x= ，正确，故本选项不符合题意；
C、因为 a＞ 0，所以， 当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小， 正确， 故本选项不符合题意；
2014年广东省中考数学试卷及答案
2014年广东省中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2014•广东）若二次根式有意义，则x 的取值范围是（ ）2．（3分）（2014•广东）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A B C D 3．（根据表中数据可知，全班同学答对的题数所组成的样本的中位数和众数分别是（ ） A ．8、8 B ． 8、9 C ．9、9 D ．9、8 4．（3分）（2014•广东）下列函数：①y x =-；②2y x =；③1y x=-；④2y x =．当0x <时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 5．（3分）（2014•广东）圆锥的底面直径是80cm ，母线长90cm ，则它的侧面展开图的圆心角是（ ） A. 320° B. 40° C. 160° D. 80° 6．（3分）（2014•广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）A B C D7．（3分）（2014•广东）据报道，2013年第一季度，广东省实现地区生产总值约1260 000 000 000元，用科学记数法表示为（ ）A. 0.126×1012元B. 1.26×1012元C. 1.26×1011元D.12.6×1011元 8．（3分）（2014•广东）已知实数a 、b ，若a ＞b ，则下列结论正确的是（ ）A. a ﹣5＜b ﹣5B. 2+a ＜2+bC.D. 3a ＞3b9．（3分）（2014•广东）如图，AC ∥DF ，AB ∥EF ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，若∠2=50°，则∠1的大小是（ ）A.30°B.40° C .50° D.60°10．（3分）（2014•广东）已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x﹣1和y=的图象大致是（）A B C D二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上. 11．（4分）（2014•广东）．计算：2()a a-÷=．12．（4分）（2014•广东）如图1，在O⊙中，20ACB∠=°，则AOB∠=_______度．13．（4分）（2014•广东）如图2 所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度．14．（4分）（2014•广东）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图3所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是．15．（4分）（2014•广东）如图4，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D C、分别落在11D C、的位置．若65EFB∠=°，则1AED∠等于_______度．16．（4分）（2014•广东）如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．C图1……第1幅第2幅第3幅第n幅图5图3A E DCFBD1C1图4三、解答题（一）（本大题3小题，每小题5分，共15分）17．（5分）（2014•广东）如图 6，已知线段AB ，分别以A B 、为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点C 、Q ，连结CQ 与AB 相交于点D ，连结AC ，BC ．那么： （1）∠ ADC =________度； （2）当线段460AB ACB =∠=，°时，ACD ∠= ______度，ABC △的面积等于_________（面积单位）． 18．（5分）（2014•广东）：1012)4cos30|3-⎛⎫++- ⎪⎝⎭°19．（5分）（2014•广东）先化简，再求值：2224441x x xx x x x --+÷-+-，其中32x =．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 20．（8分）（2014•广东）如图 8，梯形ABCD 中，AB CD ∥，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：CDF BGF △∽△；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF CD ∥交AD 于点E ，若6cm 4cm AB EF ==，，求CD 的长．CBDA 图6D C F EA G图821．（8分）（2014•广东）“五·一”假期，某公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图9．根据统计图回答下列问题：（1）前往A地的车票有_____张，前往C地的车票占全部车票的________%；（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B地车票的概率为______；（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？22．（8分）（2014•广东）如图10，已知抛物线233y x x=-+x轴的两个交点为A B、，与y轴交于点C．（1）求A B C，，三点的坐标；（2）求证：ABC△是直角三角形；（3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A B C、、为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）x四、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2014•广东）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．24．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．25．（9分）（2014•广东）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为，求点M的坐标．部分答案：解：（1）30；20． ·················································································································· 2 分 （2）12． ·································································································································· 4 分 （3）可能出现的所有结果列表如下：或画树状图如下：共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ∴小张获得车票的概率为63168P ==；则小李获得车票的概率为35188-=． ∴这个规则对小张、小李双方不公平． 8 分22. （1）解：令0x =，得y =(0C ． ··················································· 1分 令0y =，得20x =，解得1213x x =-=，， ∴(10)(30)A B -，，，． ······································································································ 3分（2）法一：证明：因为22214AC =+=， 222231216BC AB =+==，， ·························· 4分 ∴222AB AC BC =+， ················································· 5分 ∴ABC △是直角三角形． ············································ 6分 法二：因为13OC OA OB ===，，∴2OC OA OB =， ··················································································································· 4分1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 44开始小张 小李 x21题图M 1 3∴OC OBOA OC=，又AOC COB ∠=∠， ∴Rt Rt AOC COB △∽△． ···································································································· 5分 ∴90ACO OBC OCB OBC ∠=∠∠+∠=，°， ∴90ACO OCB ∠+∠=°，∴90ACB ∠=°， 即ABC △是直角三角形． ······················································· 6 分（3）1(4M ，2(4M -，3(2M ．（只写出一个给1分，写出2个，得1.5分） 8分sinC=求出sinA=sinC===，即可求出半径．sinC=sinA=sinC=，sinA==，r=，的半径是，OP=，）的坐标代入，得k，y=x×﹣，（，DE= AC===∴，，，3+）或（﹣。
2014年广东省广州市中考数学试卷-答案
广东省广州市2014年初中毕业生学业考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】因为任何一个数a 的相反数都为a -，故选A . 2.【答案】D 【考点】相反数.【解析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.选项A ，B 既不是轴对称图形也不是中心对称图形；选项C 是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D 是中心对称图形不是轴对称图形，故选D. 【考点】轴对称图形，中心对称图形. 3.【答案】D【解析】由图可知，在Rt ABC △中，4tan 3BC A AB ==，故选D. 【考点】正切 4.【答案】C【解析】因为54ab ab ab -=，A 错误；11a ba b ab++=，B 错误；62624a a a a -÷==，C 正确；2363()a b a b =，D 错误，故选C. 【考点】整式运算 5.【答案】A【解析】因为2357+=<，根据两圆圆心距大于两半径之和，两圆外离，故选A. 【考点】圆，圆的位置关系. 6.【答案】B【解析】先将分式的分子因式分解，再约分，即原式(2)(2)22x x x x +-==+-，故选B.【考点】分式的化简. 7.【答案】B【解析】中位数是将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或中间两个数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数；求平均数的方法是将这组数据的总和除以这组数据的个数；求极差的方法是用最大值减去最小值.故这组数据的中位数是8.5；众数是9；平均数是8.375；极差是3，故选B.【考点】中位数，众数，平均数，极差. 8.【答案】A【解析】由正方形的对角线长为2可知正方形和菱形的边长为AB 当60B ∠=°时，ABC △是等边三角形，所以AC AB = A.【考点】正方形，有60°内角的菱形的对角线与边长的关系. 9.【答案】C【解析】正比例函数y kx =，当0k <时，y 随x 的增大而减小，因为12x x <，故12y y >，所以120y y ->，故选C.【考点】正比例函数. 10.【答案】B【解析】①由BC DC =，CG CE =，BCG DCE ∠=∠可证(SAS)BCG DCG △≌△，故①正确；②延长BG 交DE 于点H ，由①可得CDE CBG ∠=∠，DGH BGC ∠=∠（对顶角相等），∴90BCG DHG ∠=∠=°，即B G D E ⊥，故②正确；③由DGO DCE △∽△可得DG GODC CE=，故③不正确；④EFO DGO △∽△，∴222()()EFO DGO S EF b S DG a b ==-△△，∴22()EFO DGO a b S b S -=△△，故④正确.所以正确的结论有3个，故选B. 【考点】正方形的性质，全等三角形，相似三角形.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】140°【解析】根据三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，因此C ∠的外角6080=140A B =∠+∠=+°°°，故答案是140°.【考点】三角形外角的计算. 12.【答案】10【解析】根据角平分线的点到角的两边距离相等，所以10PE PD ==，故答案是10. 【考点】角平分线的性质.13.【答案】1x ≠±【解析】由题意知分母不能为0，即||10x -≠，解得1x ≠±，故答案是1x ≠±. 【考点】绝对值，分式成立的意义. 14.【答案】24π【解析】从三视图得到该几何体为圆锥，全面积=侧面积+底面积，由三视图得圆锥的底面半径3r =，底面周长2π6πl r ==，圆锥的母线长为R ，根据勾股定理5R =，底面积为圆的面积22ππ39πr ==，侧面积为扇形的面积116π515π22lR =⨯⨯=，全面积为9π15π24π+=，故答案是24π. 【考点】三视图，圆锥面积的计算.15.【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； 假【解析】将命题的条件与结论互换可得到它的逆命题；判断该逆命题的真假可举一个反例，如同底等高的三角形面积相等，却不一定全等.【考点】命题与逆命题的转换，判断真假命题. 16.【答案】54【解析】由根与系数的关系得122x x m +=-，21232x x m m =+-，原式222212121212121212()2()x x x x x x x x x x x x x x =++=++-=+-，代入得原式222215(2)(32)3323()24m m m m m m =--+-=-+=-+， 因为方程有实数根，∴0∆≥，即22(2)4(32)0m m m -+-≥，解得23m ≤，因为1223<，所以当12m =时，2153()24m -+取到最小值，最小值是54.【考点】一元二次方程根与系数的关系，最值的求法.【提示】本题应利用根与系数的关系解题，利用根的判别式求最值；不少考生找不到解题思路，另外计算也易错误. 三、解答题17.【答案】移项得532x x -≤. 合并同类项得22x ≤. ∴ 1x ≤解集在数轴上表示如下：【考点】一元一次不等式的解法，数轴，代数运算能力. 18.【答案】证法一：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥， ∴EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠.∵EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠，AO CO =. ∴(AAS)AOE COF △≌△.证法二：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥， ∴AEO CFO ∠=∠.∵AEO CFO ∠=∠，AOE COF ∠=∠，AO CO =. ∴(AAS)AOE COF △≌△.证法三：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥， ∴EAO FCO ∠=∠.∵EAO FCO ∠=∠，AO CO =，AOE COF ∠=∠. ∴(AAS)AOE COF △≌△.【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定，考查几何推理能力和空间观念.19.【答案】（1）解法一：2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-2244223x x x x x =++++---33x =+.解法二：2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-(2)(21)3x x x =+++-- 3(2)3x =+-33x =+（2）解法一：∵2(1)6x +=，∴1x +=∴333(1)A x x =+=+=±解法二：∵2(1)6x +=，∴1x =-±∴333(13A x =+=-+=±【考点】整式的运算，完全平方公式，一元二次方程解法等.20.【答案】（1）解法一：10.180.160.320.100.24a =----=，501285916b =----=. 解法二：∵9120.18a=， ∴0.24a =， ∵90.180.32b =， ∴16b =.（2）“一分钟跳绳”对应的扇形的圆心角度数为3600.1657.6°°⨯=. （3）解法一：分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这5位同学.从中抽取2名，所有可能出现的结果有（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共有10种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足抽取两名，至多有一名女生的结果有9种. ∴9()=10P 至多有一名女生.由表知所有出现等可能的结果有20种，其中满足条件的结果有8种. ∴9()=10P 至多有一名女生 【考点】统计，概率等.21.【答案】（1）解法一：∵两个函数图像相交于A ，B ，且点A 的横坐标为2， ∴把2x =分别代入两个函数解析式，得26,2,2y k k y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得2,2,k y =⎧⎨=-⎩∴k 的值为2，点A 坐标为(2,2)-. 解法二：依题意，得2262kk -=-， 解得2k =，∴一次函数的解析式为26y x =-. 再将2x =代入得2y =-， ∴点A 坐标为(2,2)-.（2）由（1）得，一次函数的解析式为26y x =-，反比例函数的解析式为4y x=-，判断点B 所在象限有以下两种解法：解法一：∵一次函数26y x =-的图像经过第一、三、四象限，反比例函数4y x=-的图像经过第二、四象限， ∴它们的交点只能在第四象限，即点B 在第四象限.解法二：解方程组26,4,y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，得112,2,x y =⎧⎨=-⎩221,4,x y =⎧⎨=-⎩ ∴点B 坐标为(1,4)-. ∴交点B 在第四象限.【考点】一次函数，反比例函数的图像及性质等，待定系数法，数形结合. 22.【答案】（1）400 1.3520⨯=， 答：普通列车的行驶路程是520千米.（2）解法一：设普通列车的平均速度为/x 千米时，则高铁的平均速度为2.5/x 千米时，根据题意列方程得52040032.5x x-=， 解得120x =.经检验，120x =是原方程的解且符合题意， 所以2.5300x =.答：高铁的平均速度为300/千米时. 解法二：设普通列车的行驶时间为y 小时， 则高铁的行驶时间为(3)y -小时，根据题意列方程得5204002.53y y⨯=-，解得143 y=.经检验，143y=是原方程的解且符合题意，所以4003003y=-.答：高铁的平均速度为300/千米时.解法三：设高铁的平均速度为/z千米时，依题意，得5204003 2.5z z-=，解得300z=.经检验，300z=是原方程的解且符合题意. 答：高铁的平均速度为300/千米时.【考点】行程问题，解分式方程.23.【答案】（1）如图1，⊙O为所求.图1（2）①证明：如图2，连接AE，图2∵AC 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上， ∴90AEC ∠=°， ∵AB AC =， ∴BAE CAE ∠=∠， ∴DE CE =.②如图3，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，连接CD ，图3∵在Rt ACE △中，cos CE ACB AC ∠==，AC =∴cos 4CE AC ACB =∠==. ∵AB AC =，90AEC ∠=°， ∴4BE CE ==，B ACB ∠=∠， ∵AC 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上， ∴90ADC ∠=°. 求点D 到BC 的距离DF 有以下两种解法： 解法一：在Rt BCD △中，cos BDB BC∠=，∵cos cos B ACB ∠=∠=，8BC =，∴cos 8BD BC B =∠==. ∵在Rt BDF △中，cos BFB BD∠=，∴8cos 5BF BD B =∠==，∴165DF =.解法二：∵90BDC AEC ∠=∠=°，=B ACB ∠∠， ∴CDB AEC △∽△. ∴BD CB CDCE AC AE==，即4BD ==，∴BD =CD =在Rt BCD △中，利用面积法可得1122BD CD BC DF =， 1658DF =，解得165DF =. 【考点】尺规作图，等腰三角形性质，圆的有关性质，三角函数等基础知识.24.【答案】（1）把(1,0)A -，(4,0)B 分别代入22y ax bx =+-得02,01642,a b a b =--⎧⎨=+-⎩解得1,23.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为213222y x x =--. 求顶点C 的坐标有以下三种解法：解法一：∵221313252()22228y x x x =--=--， ∴顶点C 的坐标为325(,)28-.解法二：由对称性可得，顶点C 的横坐标为14322-+=.当32x =时，2133325()222228y =--=-. ∴点C 的坐标为325(,)28-.解法三：顶点C 的横坐标为33212222b a --=-=⨯. 纵坐标为22134(2)()4252214842ac b a ⨯⨯----==-⨯. ∴点C 的坐标为325(,)28-. （2）解法一：证明DM =半径. 如图1，设AB 的中点为点M ，图1∵5AB =， ∴52AM =， ∴点M 的坐标为3(,0)2. ∵抛物线213222y x x =--与y 轴交于点(0,2)D -，连接DM ，AD ，BD ， ∴在Rt ODM △中，52DM AM ==，∴点D 在以AB 为直径的⊙M 上，这时90ADB ∠=°. 根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点D 关于直线32x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M上，这时90AEB ∠=°. ∵点P m n （,）在抛物线上.∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10M -<<或34m <<.解法二：证明ADB △是直角三角形.如图2，∵抛物线213222y x x =--与y 轴交于点(0,2)D -， 连接AD ，BD ，又∵x 轴y ⊥轴，∴22222125AD OA OD =+=+=，222224220BD OB OD =+=+=， 222AB AD BD =+，∴90ADB ∠=°根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点D 关于直线32x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M 上，这时90AEB ∠=°. ∵点P m n （,）在抛物线上. ∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10M -<<或34m <<.图2解法三：证明AOD DOB △∽△是直角三角形.如图2， ∵抛物线213222y x x =--与y 轴交于点(0,2)D -， 连接AD ，BD ， ∴12OA OD =，2142OD OB ==， ∴OA OD OD OB =， 又∵90AOD DOB ∠=∠=°，∴AOD DOB △∽△，∴ADO DBO ∠=∠，又∵ODB DBO ∠=∠，∴90ODB ADO ∠+∠=°，即=90ADB ∠°. 根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点D 关于直线32x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M 上，这时90AEB ∠=°. ∵点P m n （,）在抛物线上. ∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10M -<<或34m <<.（3）存在t .求t 有以下三种解法： 解法一：若32m <，且APB ∠为直角时，3m =， ∴点P 的坐标为(3,2)P -.① 当抛物线向左平移t 个单位时，得325(,)28C t '--，(3,2)P t '--，连接AC '，C P ''，BP '，图3在四边形AC P B ''中，由于线段AB ，C P ''（即CP ）都是定值，则当AC P B ''+最短时，该四边形的周长最小.如图3，把线段AC '向右平移1个单位长度得线段OC ''，把线段P B '向左平移4个单位长度得线段OP ''，则有525(,)28C t ''--，(1,2)P t ''---， 以x 轴为对称轴作点P ''的对称点(1,2)P t '''--，当AC P B ''+最短时，即OC OP ''''+最短，则点C ''，O ，P '''三点共线.设正比例函数y kx =经过点C ''，O ，P '''三点，则分别代入点C ''，P '''两点的坐标得255(),822(1),t k t k ⎧-=-⎪⎨⎪=--⎩解得1541t =. ∴当抛物线向左平移1541个单位时，存在由A ，B ，P '，C '四点构成的多边形的周长最短. ②当抛物线向右平移t 个单位时，得325(,)28C t '+-，(36,2)P '+-， 与①的解法相同，可解得1541t =-， 因为502t <<，所以抛物线向右平移时，t 不存在. 综上所述，当抛物线向左平移1541个单位时，存在由A ，B ，P '，C '四点构成的多边形的周长最短. 解法二：由（2）知，若32m >，当APB ∠为直角时，(3,2)P -，所求多边形周长为AB BP P C C A ''''+++，而5AB =，52P C ''=，这两边长均为定值.所以只需BP C A ''+最小时，周长最短. 如图4，设将点P '向左平移5个单位长度得到P ''，则恒有AP BP '''=.图4反设抛物线不动，将点A 在x 轴上左右平移，由“将军饮马”模型，(2,2)P ''--关于x 轴对称的点(2,2)P '''-，连接CP '''，交x 轴于点F ，过P '''作x 轴于点G ，则可得P G GF CE FE '''=，即225582GFGF =-， 解得5641GF =，1GA GF =<， 所以点F 在点A 的右侧561514141-=处， 即，抛物线向左平移1541，故1541t =，方向向左. 解法三：由（2）知，若32m >，当APB ∠为直角时，(3,2)P -， ①当抛物线向左平移5(0)2t t <<个单位时， 得325(,)28C t '--，(3,2)P t '--， 如图5，连接AC '，C P ''，BP '，在四边形AC P B ''中，由于线段AB ，C P CP ''=都是定值，则当AC P B ''+最短时，该四边形的周长最小.图5325(t,)28C '--关于x 轴对称的点为325(t,)28C ''-， 则AC AC '''=，由“将军饮马”模型，当AC P B '''∥时，AC P B ''+最短， ∴25283112t t =+-+， 解得1541t =，符合题意. ②当抛物线向右平移5(0t )2t <<个单位时， 得325(,)28C t '+-，(3,2)P t '+-， 连接AC '，C P ''，BP '，在四边形AC P B ''中，由于线段AB ，C P CP ''=都是定值， 则当AC P B ''+最短时，该四边形的周长最小.325(t,)28C '--关于x 轴对称的点为325(t,)28C ''-，则AC AC '''=， 由“将军饮马”模型，当AC P B '''∥时，AC P B ''+最短，∴25283112tt =-++， 解得1541t =-. 因为502t <<， 所以抛物线向右平移时，t 不存在. 综上所述，当抛物线向左平移1541个单位时，存在由A ，B ，P ''，C '四点构成的多边形的周长最短. 【考点】二次函数的有关知识，图形的平移与坐标的变化，“将军饮马”模型求周长最小值问题. 25.【答案】（1）解法一：∵ AB CD ∥，∴90BCD ABC ∠=∠=°，∵BCE △以BE 为对称轴的对称图形是BFE △，∴BCE BFE △≌△，∴4BF BC ==，CE EF x ==，CBE FBE ∠=∠，如图1，设点G 为BC 的中点，点F 在梯形ABCD 的中位线上，图1∴GF CD ∥，122BG BC ==， ∴90BGF BCD ∠=∠=°， ∴21cos 42BG GBF BF ∠===， ∴60CBF ∠=°，则30CBF ∠=°. ∵在Rt BCE △中，tan CE CBE BC ∠=， 即tan304x =°，∴x =. 解法二：∵ AB CD ∥，∴90BCD ABC ∠=∠=°，∵BCE △以BE 为对称轴的对称图形是BFE △，∴BCE BFE △≌△，∴4BF BC ==，CE EF x ==，CBE FBE ∠=∠，如图1，设点G 为BC 的中点，点F 在梯形ABCD 的中位线上，图2 ∴22BC CG BG ===，4BF BC ==.∴GF =.过点F 作FH CD ⊥于点H ，则2FH =，EF x =.在Rt EFH △中，222)2x x +=，解得x =. （2）解法一：如图3，∵点C ，F 关于BE 成对称点，∴BE CF ⊥，垂足H ，图3又∵90BCD ∠=°，∴90BCH ECH CEH ECH ∠+∠=∠+∠=°，∴BCH CEH ∠=∠,∴BCH CEH △∽△， ∴222()()416CEH BCH S CE x x S BC ===△△， 由对称性可知22CEH S S =△，12BCH S S =△， ∴221(05)16S x x S =<≤. 解法二：设CF 与BE 的交点为H ，由对称性可得21CEH CBH S S EH S S HB ==△△，90EHC ∠=°. ∵222216BE BC CE x =+=+，2BC CE CH BE x ==， ∴22222221625641616x BH BC HC x x =-=-=++， ∴24222222161616x x HE CE CH x x x =-=-=++. ∴221(0x 5)16S EH x S HB ==<≤. （3）解法一：∵90AFE ∠=°，∴AFE △的外接圆圆心为AE 的中点O ，则O 必过梯形中位线，如图4，作OP AD ⊥，垂足为P ，连接OA ，OD ，图4设⊙O 半径为r ，则有OB OE OP r ===，∴在Rt BCE △中，222BE BC CE =+，即222(2)4r x =+， 化简得2244x r =+，① 过点D 作DQ AB ⊥，交AB 的延长线于点Q ，∴4QD BC ==，5BQ CD ==，∴532AQ BQ AB =-=-=，∴在Rt ADQ △中，AD =∵OAD BCE OAB ODE ABCD S S S S S =---△△△△梯形，∴11111(35)4432(5)222222r x x ⨯=⨯+⨯-⨯-⨯⨯--⨯， 化简得8x =，②把②代入①得2641760x x +-=，解得132x =-+232x =--（舍去）.∴22113916S x S ===-. 解法二：∵90AFE ∠=°，∴AFE △的外接圆圆心为AE 的中点O ，则O 必过梯形中位线， 如图5，中位线长35422AB CD MN ++===.图5 ∴42x ON MN MO =-=-. 过点O 作OR AD ⊥于点R ，因为圆O 与AD 相切，∴12OR BE =. 2sin 42OR RNO x ON ∠===-，sin BC D AD ∠===， 易知RNO D ∠=∠=， 化简得2641760x x +-=.解得132x =-+232x =--（舍去）.∴22113916S x S ===- 解法三：∵90AFE ∠=°，∴AFE △的外接圆圆心为AE 的中点O ，则O 必过梯形中位线， 如图6，中位线长35422AB CD MN ++===.图6 ∴42x ON MN MO =-=-. 过点A 作AK NO ⊥于点K ，则2AK =，过点O 作OR AD ⊥于点R ，因为圆O 与AD 相切，∴OR r =，12AN AD =22ANO AK NO OR AN S ==△. ∴2(4)2x-=， 化简得8x =.在Rt CBE △中，222(2)4x r =-，（*）将8x =代入（*）得22(8)416r =-.解得1r=2r =.将1r =8x =得 832x ==-+∴22113916S x S ===-. 【考点】梯形的概念，轴对称，直线与圆相切，三角形相似，勾股定理.。
2014年广东省中考数学试卷及答案
2014年广东省初中毕业生学业考试·数学第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 在1，0，2，－3这四个数中，最大的数是 （ ）A. 1B. 0C. 2D. －32. 在下列交通标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）3. 计算3a －2a 的结果正确的是 （ ） A. 1 B. a C. －a D. －5a4．把x 3－9x 分解因式，结果正确的是 （ ）A. x (x 2－9)B. x (x －3)2C. x (x ＋3)2D. x (x ＋3)(x －3) 5. 一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是 （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 76. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出1个球，摸出的球是红球的概率为 （ ）A. 47B. 37C. 34D. 137. 如图，在▱ABCD 中，下列说法一定正确的是 （ ） A. AC ＝BD B. AC ⊥BD C. AB ＝CD D. AB ＝BC第7题图 第10题图8. 若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A. m >94 B. m <94 C. m ＝94 D. m <－949. 一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为 （ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或1710. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误．．的是 （ ） A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x ＝12C. 当x <12时，y 随x 的增大而减小 D. 当－1<x <2时，y >0第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分) 11. 计算：2x 3÷x ＝ ．12. 据报道，截至2013年12月我国网民规模达618000000人，将618000000用科学记数法表示为 ．13. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若BC ＝6，则DE ＝ ．第13题图 第14题图 第16题图14. 如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为 ．15. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x <84x －1>x ＋2的解集是 ．16. 如图，△ABC 绕点A 按顺时针旋转45°得到△AB ′C ′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于 ．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17. 计算：9＋|－4|＋(－1)0－(12)－1.18. 先化简，再求值：(2x －1＋1x ＋1)·(x 2－1)，其中x ＝3－13.19. 如图，点D 在△ABC 的AB 边上，且∠ACD ＝∠A.(1)作∠BDC 的平分线DE ，交BC 于点E (用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断直线DE 与直线AC 的位置关系(不要求证明)．第19题图四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m )．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第20题图21. 某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%.(1)求这款空调机每台的进价；(利润率＝利润进价＝售价－进价进价)(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？22. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食．为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图①和图②所示的不完整的统计图．第22题图(1)这次被调查的同学共有 名； (2)把条形统计图补充完整；(3)校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有同学一餐浪费的食物可以供200人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图，已知A (－4，12)，B (－1，2)是一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y ＝mx (m ≠0，x <0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (2)求一次函数的解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上一点，连接PC ，PD ，若△PCA 与△PDB 的面积相等，求点P 的坐标．第23题图24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作线段OD ⊥AB 于点D ，延长DO 交⊙O 于点P ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作射线DE 交BC 的延长线于点F ，连接PF .(1)若∠POC ＝60°，AC ＝12，求劣弧PC ︵的长(结果保留π)； (2)求证：OD ＝OE ；(3)求证：PF 是⊙O 的切线．第24题图25. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC ＝10 cm ，AD ＝8 cm .点P 从点B 出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动．与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm 的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、F、H.当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动．设运动时间为t秒(t>0)．(1)当t＝2时，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值．当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF是直角三角形？若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由．2014年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析1. C2. C3. B4. D5. D6. B7. C8. B9. A 10. D 11. 2x 2 12. 6.18×108 13. 3 14. 3 15. 1＜x ＜4 16. 2－1 17.解：原式＝3＋4＋1－2(4分) ＝6.(6分) 18.解：原式＝2（x ＋1）＋（x －1）（x ＋1）（x －1）·(x ＋1)(x －1)＝2x ＋2＋x －1 ＝3x ＋1. (4分) 当x ＝3－13时，原式＝3×3－13＋1＝ 3. (6分) 19.解：(1)如解图，线段DE 即为所求作的∠BDC 的平分线；第19题解图(2)DE ∥A C.(6分)【解法提示】 ∵DE 平分∠BDC ， ∴∠BDE ＝12∠BDC ，∵∠ACD ＝∠A ，∠ACD ＋∠A ＝∠BDC ， ∴∠A ＝12∠BDC ，∴∠A ＝∠BDE ， ∴DE ∥A C. 20.解：如解图，∵∠CBD ＝∠BAC ＋∠BCA ， ∴∠BCA ＝∠CBD －∠BAC ＝60°－30°＝30°＝∠BAC ， ∴BC ＝AB ＝10 m ，(3分)第20题解图在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin 60° ＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7(m )．(6分)答：这棵树的高度CD 大约是8.7米 m . (7分) 21.解：(1)设这款空调机每台的进价为x 元. (1分) 由题意得：1635×80%－x ＝9%x ，(2分) 解得x ＝1200. (3分)答：这款空调机每台的进价为1200元； (4分)(2)商场销售这款空调机100台的盈利为：1200×9%×100＝10800(元)．(6分) 答：这次促销活动中，商场销售这款空调机100台的盈利为10800元．(7分) 22.解：(1)1000；【解法提示】由题可得总人数＝400÷40%＝1000(人). (2)补充条形图如解图所示：(5分)第22题解图【解法提示】剩少量的人数为：1000－400－250－150＝200(人)．(3)由题意得：180001000×200＝3600(人)．答：18000名学生一餐浪费的粮食可供3600人食用一餐．(7分) 23.解：(1)当－4＜x ＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；(3分) (2)把点A 、B 代入一次函数解析式，得： ⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝12－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝12b ＝52，∴一次函数的解析式是y ＝12x ＋52. (5分)把点B (－1，2)代入y ＝mx ，得m ＝－2；(6分)(3) 连接PC 、PD ，如解图， 设P 点的坐标为(x ，12x ＋52)．第23题解图由△PCA 和△PDB 面积相等得 12×12×(x ＋4)＝12×|－1|×(2－12x －52)， ∴x ＝－52，y ＝12x ＋52＝54，∴P 点的坐标是(－52，54)．( 9分)24.(1)解：∵AC ＝12，圆心角∠POC ＝60°， ∴半径OC ＝6，∴劣弧PC ︵的长＝n πr 180＝60π×6180＝2π；(3分)(2)证明：在△OAD 和△OPE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO ＝∠PEO ∠AOD ＝∠POE ，OA ＝OP∴△OAD ≌△OPE (AAS )，(5分) ∴OD ＝OE; (6分)(3)解法一：证明：如解图①，连接PC ，由AC 是直径知BC ⊥AB ， 又OD ⊥AB ， ∴PD ∥BF ，∴∠OPC ＝∠PCF ，∠ODE ＝∠CFE ，(7分) 由(2)知OD ＝OE ，则∠ODE ＝∠OED ，第24题解图①又∠OED ＝∠FEC ， ∴∠FEC ＝∠CFE ， ∴EC ＝F C.由OP ＝OC 知∠OPC ＝∠OCP ，∴∠PCE ＝∠PCF .在△PCE 和△PCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝FC ∠PCE ＝∠PCF ，PC ＝PC∴△PCE ≌△PCF (SAS )， ∴∠PFC ＝∠PEC ＝90°. 又由∠PDB ＝∠B ＝90°可知四边形PDBF 为矩形， ∴∠OPF ＝90°，即OP ⊥PF ， ∴PF 是⊙O 的切线. (9分)解法二：证明：如解图②，延长OD 交⊙O 于点M ，连接MC ，连接O 与BC 的中点N .(7分)第24题解图②∵OM ＝OC ，OD ＝OE ， ∴OD OM ＝OE OC， ∴DE ∥MC ，∵BC ⊥AB ，OD ⊥AB ， ∴BF ∥MD ，∴四边形DMCF 是平行四边形， ∴CF ＝M D.∵OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ＝CN ＝BN ＝12B C.∵OP ＝OD ＋DM ， ∴OP ＝CF ＋CN ，∴四边形ONFP 是平行四边形． ∵∠ONC ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形ONFP 是矩形． ∵∠OPF ＝90°，OP 为⊙O 的半径， ∴PF 是⊙O 的切线. (9分)25.第25题解图①(1)证明：当t ＝2时，DH ＝AH ＝4，则H 为AD 的中点，如解图①所示． 又∵EF ⊥AD ，∴EF 为AD 的垂直平分线， ∴AE ＝DE ，AF ＝DF .∵AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠B ＝∠C ， ∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∠AFE ＝∠C ， ∴∠AEF ＝∠AFE ， ∴AE ＝AF ，∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ，即四边形AEDF 为菱形；( 3分)第25题解图②(2)解：如解图②所示，由(1)知EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AH AD ，即EF 10＝8－2t 8，解得EF ＝10－52t ， ∴S △PEF ＝12EF ·DH ＝12(10－52t )·2t＝－52t 2＋10t ＝－52(t －2)2＋10，∴当t ＝2秒时，S △PEF 存在最大值，最大值为10，此时BP ＝3t ＝6；( 6分) (3)解：存在．理由如下：①若点E 为直角顶点，如解图③所示， 此时PE ∥AD ，PE ＝DH ＝2t ，BP ＝3t . ∵PE ∥AD ， ∴PE AD ＝BP BD ，即2t 8＝3t5，此比例式不成立，故此种情形不存在；( 7分) ②若点F 为直角顶点，如解图④所示，此时PF ∥AD ，PF ＝DH ＝2t ，BP ＝3t ，CP ＝10－3t . ∵PF ∥AD ， ∴PF AD ＝CP CD ，即2t 8＝10－3t 5，解得t ＝4017；( 8分)第25题解图③若点P 为直角顶点，如解图⑤所示．— 11 —过点E 作EM ⊥BC 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，则EM ＝FN ＝DH ＝2t ，EM ∥FN ∥A D. ∵EM ∥AD ，∴EM AD ＝BM BD ，即2t 8＝BM 5，解得BM ＝54t ， ∴PM ＝BP －BM ＝3t －54t ＝74t . 在Rt △EMP 中，由勾股定理得：PE 2＝EM 2＋PM 2＝(2t )2＋(74t )2＝11316t 2. ∵FN ∥AD ，∴FN AD ＝CN CD ，即2t 8＝CN 5，解得CN ＝54t ， ∴PN ＝BC －BP －CN ＝10－3t －54t ＝10－174t . 在Rt △FNP 中，由勾股定理得：PF 2＝FN 2＋PN 2＝(2t )2＋(10－174t )2＝35316t 2－85t ＋100. 在Rt △PEF 中，由勾股定理得：EF 2＝PE 2＋PF 2，即(10－52t )2＝11316t 2＋(35316t 2－85t ＋100)， 化简得：1838t 2－35t ＝0， 解得t ＝280183或t ＝0(舍去)， ∴t ＝280183. 综上所述，当t ＝4017 秒或t ＝280183秒时，△PEF 为直角三角形．( 9分)。
2014年广东省广州市中考数学试卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共46页） 数学试卷 第2页（共46页）绝密★启用前广东省广州市2014年初中毕业生学业考试数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(0)a a ≠的相反数是( ) A .a -B .2aC .||aD .1a 2.下列图形中,是中心对称图形的是( )AB C D3.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,ABC △的三个顶点均在格点上,则tan A =( )A .35B .45C .34D .43 4.下列运算正确的是( )A .54ab ab -=B .112a b a b +=+ C .624a a a ÷= D .2353()a b a b =5.已知1O 和2O 的半径分别为2 cm 和3 cm ,若12O O =7 cm ,则1O 和2O 的位置关系是( ) A .外离B .外切C .内切D .相交6.计算242x x --,结果是( )A .2x -B .2x +C .42x - D .2x x+ 7.在一次科技作品制作比赛中,某小组八件作品的成绩(单位：分)分别是：7,10,9,8,7,9,9,8.对这组数据,下列说法正确的是( ) A .中位数是8B .众数是9C .平均数是8D .极差是78.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD ,转动这个四边形,使它形状改变.当90B ∠=时,如图1,测得2AC =.当60B ∠=时,如图2,AC =( )AB .2CD.9.已知正比例函数(0)y kx k =＜的图象上两点11(,)A x y ,22(,)B x y ,且12x x ＜,则下列不等式中恒成立的是( ) A .120y y +＞ B .120y y +＜ C .120y y -＞D .120y y -＜10.如图,四边形ABCD ,CEFG 都是正方形,点G 在线段CD 上,连接BG ,DE ,DE 和FG 相交于点O .设AB a =,()CG b a b =＞.下列结论：①BCG DCE ≅△△；②BG DE ⊥；③DG GOGC CE=； ④22()EFO DGO a b S b S -=△△.1cm其中结论正确的个数是()毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共46页） 数学试卷 第4页（共46页）A .4个B .3个C .2个D .1个第Ⅱ卷(非选择题 共120分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请把答案填在题中的横线上)11.已知ABC △中,60A ∠=,80B ∠=,则C ∠的外角的度数是.12.已知OC 是AOB ∠的平分线,点P 在OC 上,PD OA ⊥,PE OB ⊥,垂足分别为点D ,E ,10PD =,则PE 的长度为 .13.代数式1|1|x -有意义时,x 应满足的条件为 .14.一个几何体的三视图如图所示,根据图示的数据计算该几何体的全面积．．．为 (结果保留π).15.已知命题：“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等”.写出它的逆命题： ,该逆命题是 命题(填“真”或“假”).16.若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ,2x ,则21212()x x x x ++的最小值为 .三、解答题(本大题共9小题,共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分9分)解不等式：523x x -≤,并在数轴上表示解集.18.(本小题满分9分)如图,□ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,EF 过点O 且与AB ,CD 分别交于点E ,F ,求证：AOE COF ≅△△.19.(本小题满分10分)已知多项式2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-. (1)化简多项式A ；(2)若2(1)6x +=,求A 的值.20.(本小题满分10分)某校初三(1)班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试,班上学生所报自选项目的情况统计表如下：(1)(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图,求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；(3)在选报“推铅球”的学生中,有3名男生,2名女生.为了了解学生的训练效果,从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试,求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率.21.(本小题满分12分)数学试卷 第5页（共46页） 数学试卷 第6页（共46页）已知一次函数6y kx =-的图象与反比例函数2ky x=-的图象交于A ,B 两点,点A 的横坐标为2.(1)求k 的值和点A 的坐标；(2)判断点B 所在的象限,并说明理由.22.(本小题满分12分)从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍. (1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.23.(本小题满分12分)如图,ABC △中,AB AC ==cos C =(1)动手操作：利用尺规作以AC 为直径的O ,并标出O 与AB 的交点D ,与BC 的交点E (保留作图痕迹,不写作法)； (2)综合应用：在你所作的图中, ①求证：DE CE =； ②求点D 到BC 的距离.24.(本小题满分14分)已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -,(40)B ，,抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点,,A B 顶点为C ,点(,)(0)P m n n ＜为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； (2)当APB ∠为钝角时,求m 的取值范围；(3)若3,2m ＞当APB ∠为直角时,将该抛物线向左或向右平移5(0)2t t ＜＜个单位,点C ,P 平移后对应的点分别记为,C P ''，是否存在t ,使得首尾依次连接,,,A B P C ''所构成的多边形的周长最短？若存在,求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在,请说明理由.25.(本小题满分14分)如图,梯形ABCD 中,AB CD ∥,90ABC ∠=,3AB =,4BC =,5CD =,点E 为线段CD 上一动点(不与点C 重合),BCE △关于BE 的轴对称图形为BFE △,连接CF ,设CE x =,BCF △的面积为1S ,CEF △的面积为2S . (1)当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时,求x 的值；(2)试用x 表示21SS ,并写出x 的取值范围；(3)当BFE △的外接圆与AD 相切时,求21S S 的值.数学试卷 第7页（共46页）数学试卷 第8页（共46页）广东省广州市2014年初中毕业生学业考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】因为任何一个数a 的相反数都为a -，故选A . 2.【答案】D 【考点】相反数.【解析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.选项A ，B 既不是轴对称图形也不是中心对称图形；选项C 是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D 是中心对称图形不是轴对称图形，故选D. 【考点】轴对称图形，中心对称图形. 3.【答案】D【解析】由图可知，在Rt ABC △中，4tan 3BC A AB ==，故选D. 【考点】正切 4.【答案】C【解析】因为54ab ab ab -=，A 错误；11a ba b ab++=，B 错误；62624a a a a -÷==，C 正确；2363()a b a b =，D 错误，故选C. 【考点】整式运算 5.【答案】A【解析】因为2357+=<，根据两圆圆心距大于两半径之和，两圆外离，故选A. 【考点】圆，圆的位置关系. 6.【答案】B【解析】先将分式的分子因式分解，再约分，即原式(2)(2)22x x x x +-==+-，故选B.【考点】分式的化简. 7.【答案】B【解析】中位数是将一组数据按从大到小或从小到大的顺序排列后，最中间的一个数据或中间两个数据的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数；求平均数的方法是将这组数据的总和除以这组数据的5 / 23个数；求极差的方法是用最大值减去最小值.故这组数据的中位数是8.5；众数是9；平均数是8.375；极差是3，故选B.【考点】中位数，众数，平均数，极差. 8.【答案】A【解析】由正方形的对角线长为2可知正方形和菱形的边长为AB 当60B ∠=°时，ABC △是等边三角形，所以AC AB == A.【考点】正方形，有60°内角的菱形的对角线与边长的关系. 9.【答案】C【解析】正比例函数y kx =，当0k <时，y 随x 的增大而减小，因为12x x <，故12y y >，所以120y y ->，故选C.【考点】正比例函数. 10.【答案】B【解析】①由BC DC =，CG CE =，BCG DCE ∠=∠可证(SAS)BCG DCG △≌△，故①正确；②延长BG交DE 于点H ，由①可得CDE CBG ∠=∠，DGH BGC ∠=∠（对顶角相等），∴90BCG DHG ∠=∠=°，即BG DE ⊥，故②正确；③由DGO DCE △∽△可得DG GODC CE=，故③不正确；④EFO DGO △∽△，∴222()()EFO DGO S EF b S DG a b ==-△△，∴22()EFO DGO a b S b S -=△△，故④正确.所以正确的结论有3个，故选B. 【考点】正方形的性质，全等三角形，相似三角形.第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】140°【解析】根据三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，因此C ∠的外角6080=140A B =∠+∠=+°°°，故答案是140°. 【考点】三角形外角的计算. 12.【答案】10【解析】根据角平分线的点到角的两边距离相等，所以10PE PD ==，故答案是10. 【考点】角平分线的性质. 13.【答案】1x ≠±数学试卷 第11页（共46页）数学试卷 第12页（共46页）【解析】由题意知分母不能为0，即||10x -≠，解得1x ≠±，故答案是1x ≠±. 【考点】绝对值，分式成立的意义. 14.【答案】24π【解析】从三视图得到该几何体为圆锥，全面积=侧面积+底面积，由三视图得圆锥的底面半径3r =，底面周长2π6πl r ==，圆锥的母线长为R ，根据勾股定理5R ==，底面积为圆的面积22ππ39πr ==g ，侧面积为扇形的面积116π515π22lR =⨯⨯=，全面积为9π15π24π+=，故答案是24π.【考点】三视图，圆锥面积的计算.15.【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； 假【解析】将命题的条件与结论互换可得到它的逆命题；判断该逆命题的真假可举一个反例，如同底等高的三角形面积相等，却不一定全等. 【考点】命题与逆命题的转换，判断真假命题. 16.【答案】54【解析】由根与系数的关系得122x x m +=-，21232x x m m =+-，原式222212121212121212()2()x x x x x x x x x x x x x x =++=++-=+-， 代入得原式222215(2)(32)3323()24m m m m m m =--+-=-+=-+， 因为方程有实数根，∴0∆≥，即22(2)4(32)0m m m -+-≥，解得23m ≤，因为1223<，所以当12m =时，2153()24m -+取到最小值，最小值是54.【考点】一元二次方程根与系数的关系，最值的求法.【提示】本题应利用根与系数的关系解题，利用根的判别式求最值；不少考生找不到解题思路，另外计算也易错误. 三、解答题17.【答案】移项得532x x -≤. 合并同类项得22x ≤. ∴ 1x ≤解集在数轴上表示如下：7 / 23【考点】一元一次不等式的解法，数轴，代数运算能力. 18.【答案】证法一：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥， ∴EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠.∵EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠，AO CO =. ∴(AAS)AOE COF △≌△.证法二：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥， ∴AEO CFO ∠=∠.∵AEO CFO ∠=∠，AOE COF ∠=∠，AO CO =. ∴(AAS)AOE COF △≌△.证法三：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥， ∴EAO FCO ∠=∠.∵EAO FCO ∠=∠，AO CO =，AOE COF ∠=∠. ∴(AAS)AOE COF △≌△.【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定，考查几何推理能力和空间观念.19.【答案】（1）解法一：2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-2244223x x x x x =++++---33x =+.解法二：2(2)(1)(2)3A x x x =++-+-(2)(21)3x x x =+++-- 3(2)3x =+-33x =+（2）解法一：∵2(1)6x +=，∴1x +=∴333(1)A x x =+=+=±解法二：∵2(1)6x +=，∴1x =-±，数学试卷 第15页（共46页）数学试卷 第16页（共46页）∴333(13A x =+=-+=±.【考点】整式的运算，完全平方公式，一元二次方程解法等.20.【答案】（1）解法一：10.180.160.320.100.24a =----=，501285916b =----=. 解法二：∵9120.18a=， ∴0.24a =， ∵90.180.32b =， ∴16b =.（2）“一分钟跳绳”对应的扇形的圆心角度数为3600.1657.6°°⨯=. （3）解法一：分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这5位同学.从中抽取2名，所有可能出现的结果有（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共有10种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，满足抽取两名，至多有一名女生的结果有9种. ∴9()=10P 至多有一名女生.由表知所有出现等可能的结果有20种，其中满足条件的结果有8种. ∴9()=10P 至多有一名女生 【考点】统计，概率等.21.【答案】（1）解法一：∵两个函数图像相交于A ，B ，且点A 的横坐标为2， ∴把2x =分别代入两个函数解析式，得26,2,2y k k y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩9 / 23解得2,2,k y =⎧⎨=-⎩∴k 的值为2，点A 坐标为(2,2)-. 解法二：依题意，得2262kk -=-， 解得2k =，∴一次函数的解析式为26y x =-. 再将2x =代入得2y =-， ∴点A 坐标为(2,2)-.（2）由（1）得，一次函数的解析式为26y x =-，反比例函数的解析式为4y x=-，判断点B 所在象限有以下两种解法：解法一：∵一次函数26y x =-的图像经过第一、三、四象限，反比例函数4y x=-的图像经过第二、四象限，∴它们的交点只能在第四象限，即点B 在第四象限.解法二：解方程组26,4,y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，得112,2,x y =⎧⎨=-⎩221,4,x y =⎧⎨=-⎩ ∴点B 坐标为(1,4)-. ∴交点B 在第四象限.【考点】一次函数，反比例函数的图像及性质等，待定系数法，数形结合. 22.【答案】（1）400 1.3520⨯=， 答：普通列车的行驶路程是520千米.（2）解法一：设普通列车的平均速度为/x 千米时，则高铁的平均速度为2.5/x 千米时，根据题意列方程得52040032.5x x-=， 解得120x =.经检验，120x =是原方程的解且符合题意， 所以2.5300x =.答：高铁的平均速度为300/千米时. 解法二：设普通列车的行驶时间为y 小时，数学试卷 第19页（共46页）数学试卷 第20页（共46页）则高铁的行驶时间为(3)y -小时，根据题意列方程得5204002.53y y ⨯=-， 解得143y =.经检验，143y =是原方程的解且符合题意， 所以4003003y =-. 答：高铁的平均速度为300/千米时. 解法三：设高铁的平均速度为/z 千米时，依题意，得52040032.5z z-=， 解得300z =.经检验，300z =是原方程的解且符合题意. 答：高铁的平均速度为300/千米时. 【考点】行程问题，解分式方程. 23.【答案】（1）如图1，⊙O 为所求.图1（2）①证明：如图2，连接AE ，图2∵AC 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，∴90AEC ∠=°，∵AB AC =，∴BAE CAE ∠=∠，∴DE CE =.②如图3，过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ，连接CD ，图3∵在Rt ACE △中，cos CE ACB AC ∠==，AC =∴cos 45CE AC ACB =∠==g . ∵AB AC =，90AEC ∠=°，∴4BE CE ==，B ACB ∠=∠，∵AC 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∴90ADC ∠=°. 求点D 到BC 的距离DF 有以下两种解法：解法一：在Rt BCD △中，cos BD B BC ∠=，∵cos cos B ACB ∠=∠=，8BC =，数学试卷 第23页（共46页）∴cos 8BD BC B =∠==g ∵在Rt BDF △中，cos BF B BD ∠=，∴8cos 5BF BD B =∠==g ，∴165DF ==. 解法二：∵90BDC AEC ∠=∠=°，=B ACB ∠∠，∴CDB AEC △∽△. ∴BD CB CD CE AC AE==，即4BD ==，∴BD =，CD . 在Rt BCD △中，利用面积法可得1122BD CD BC DF =g g ，8DF =g ， 解得165DF =. 【考点】尺规作图，等腰三角形性质，圆的有关性质，三角函数等基础知识.24.【答案】（1）把(1,0)A -，(4,0)B 分别代入22y ax bx =+-得02,01642,a b a b =--⎧⎨=+-⎩解得1,23.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为213222y x x =--. 求顶点C 的坐标有以下三种解法： 解法一：∵221313252()22228y x x x =--=--， ∴顶点C 的坐标为325(,)28-. 解法二：由对称性可得，顶点C 的横坐标为14322-+=.当32x =时，2133325()222228y =--=-g g . ∴点C 的坐标为325(,)28-. 解法三：顶点C 的横坐标为33212222b a --=-=⨯. 纵坐标为22134(2)()4252214842ac b a ⨯⨯----==-⨯. ∴点C 的坐标为325(,)28-. （2）解法一：证明DM =半径.如图1，设AB 的中点为点M ，图1∵5AB =， ∴52AM =， ∴点M 的坐标为3(,0)2. ∵抛物线213222y x x =--与y 轴交于点(0,2)D -，连接DM ，AD ，BD ， ∴在Rt ODM △中，52DM AM ===， ∴点D 在以AB 为直径的⊙M 上，这时90ADB ∠=°. 根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点D 关于直线32x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M数学试卷 第27页（共46页）上，这时90AEB ∠=°. ∵点P m n （,）在抛物线上.∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10M -<<或34m <<.解法二：证明ADB △是直角三角形.如图2，∵抛物线213222y x x =--与y 轴交于点(0,2)D -， 连接AD ，BD ，又∵x 轴y ⊥轴，∴22222125AD OA OD =+=+=，222224220BD OB OD =+=+=， 222AB AD BD =+，∴90ADB ∠=°根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点D 关于直线32x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M 上，这时90AEB ∠=°. ∵点P m n （,）在抛物线上. ∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10M -<<或34m <<.图2解法三：证明AOD DOB △∽△是直角三角形.如图2， ∵抛物线213222y x x =--与y 轴交于点(0,2)D -， 连接AD ，BD ， ∴12OA OD =，2142OD OB ==， ∴OA OD OD OB =， 又∵90AOD DOB ∠=∠=°，∴AOD DOB △∽△，∴ADO DBO ∠=∠，又∵ODB DBO ∠=∠，∴90ODB ADO ∠+∠=°，即=90ADB ∠°. 根据抛物线的对称性可知抛物线上还存在点D 关于直线32x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M 上，这时90AEB ∠=°. ∵点P m n （,）在抛物线上. ∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10M -<<或34m <<.（3）存在t .求t 有以下三种解法： 解法一：若32m <，且APB ∠为直角时，3m =， ∴点P 的坐标为(3,2)P -. ① 当抛物线向左平移t 个单位时，得325(,)28C t '--，(3,2)P t '--，连接AC '，C P ''，BP '，图3在四边形AC P B ''中，由于线段AB ，C P ''（即CP ）都是定值，则当AC P B ''+最短时，该四边形的周长最小.如图3，把线段AC '向右平移1个单位长度得线段OC ''，把线段P B '向左平移4个单位长度得线段OP ''，则有525(,)28C t ''--，(1,2)P t ''---， 以x 轴为对称轴作点P ''的对称点(1,2)P t '''--，当AC P B ''+最短时，即OC OP ''''+最短，则点C ''，O ，P '''三点共线.设正比例函数y kx =经过点C ''，O ，P '''三点，数学试卷 第31页（共46页）则分别代入点C ''，P '''两点的坐标得255(),822(1),t k t k ⎧-=-⎪⎨⎪=--⎩解得1541t =. ∴当抛物线向左平移1541个单位时，存在由A ，B ，P '，C '四点构成的多边形的周长最短. ②当抛物线向右平移t 个单位时，得325(,)28C t '+-，(36,2)P '+-， 与①的解法相同，可解得1541t =-， 因为502t <<，所以抛物线向右平移时，t 不存在. 综上所述，当抛物线向左平移1541个单位时，存在由A ，B ，P '，C '四点构成的多边形的周长最短. 解法二：由（2）知，若32m >，当APB ∠为直角时，(3,2)P -，所求多边形周长为AB BP P C C A ''''+++，而5AB =，52P C ''==，这两边长均为定值.所以只需BP C A ''+最小时，周长最短.如图4，设将点P '向左平移5个单位长度得到P ''，则恒有AP BP '''=.图4反设抛物线不动，将点A 在x 轴上左右平移，由“将军饮马”模型，(2,2)P ''--关于x 轴对称的点(2,2)P '''-，连接CP '''，交x 轴于点F ，过P '''作x 轴于点G ，则可得P G GF CE FE '''=，即225582GF GF =-， 解得5641GF =，1GA GF =<， 所以点F 在点A 的右侧561514141-=处，即，抛物线向左平移1541， 故1541t =，方向向左. 解法三：由（2）知，若32m >，当APB ∠为直角时，(3,2)P -， ①当抛物线向左平移5(0)2t t <<个单位时， 得325(,)28C t '--，(3,2)P t '--， 如图5，连接AC '，C P ''，BP '，在四边形AC P B ''中，由于线段AB ，C P CP ''=都是定值，则当AC P B''+最短时，该四边形的周长最小.图5325(t,)28C '--关于x 轴对称的点为325(t,)28C ''-， 则AC AC '''=，由“将军饮马”模型，当AC P B '''∥时，AC P B ''+最短， ∴25283112t t =+-+， 解得1541t =，符合题意. ②当抛物线向右平移5(0t )2t <<个单位时， 得325(,)28C t '+-，(3,2)P t '+-， 连接AC '，C P ''，BP '，在四边形AC P B ''中，由于线段AB ，C P CP ''=都是定值， 则当AC P B ''+最短时，该四边形的周长最小.325(t,)28C '--关于x 轴对称的点为325(t,)28C ''-，则AC AC '''=，数学试卷 第35页（共46页）由“将军饮马”模型，当AC P B '''∥时，AC P B ''+最短， ∴25283112t t =-++， 解得1541t =-. 因为502t <<， 所以抛物线向右平移时，t 不存在. 综上所述，当抛物线向左平移1541个单位时，存在由A ，B ，P ''，C '四点构成的多边形的周长最短. 【考点】二次函数的有关知识，图形的平移与坐标的变化，“将军饮马”模型求周长最小值问题. 25.【答案】（1）解法一：∵ AB CD ∥，∴90BCD ABC ∠=∠=°，∵BCE △以BE 为对称轴的对称图形是BFE △，∴BCE BFE △≌△，∴4BF BC ==，CE EF x ==，CBE FBE ∠=∠，如图1，设点G 为BC 的中点，点F 在梯形ABCD 的中位线上，图1∴GF CD ∥，122BG BC ==， ∴90BGF BCD ∠=∠=°， ∴21cos 42BG GBF BF ∠===， ∴60CBF ∠=°，则30CBF ∠=°. ∵在Rt BCE △中，tan CE CBE BC ∠=，即tan304x =°，∴x =. 解法二：∵ AB CD ∥，∴90BCD ABC ∠=∠=°，∵BCE △以BE 为对称轴的对称图形是BFE △，∴BCE BFE △≌△，∴4BF BC ==，CE EF x ==，CBE FBE ∠=∠，如图1，设点G 为BC 的中点，点F 在梯形ABCD 的中位线上，图2 ∴22BC CG BG ===，4BF BC ==.∴GF ===过点F 作FH CD ⊥于点H ，则2FH =，EF x =.在Rt EFH △中，222)2x x +=，解得x =. （2）解法一：如图3，∵点C ，F 关于BE 成对称点， ∴BE CF ⊥，垂足H ，数学试卷 第39页（共46页）图3又∵90BCD ∠=°，∴90BCH ECH CEH ECH ∠+∠=∠+∠=°， ∴BCH CEH ∠=∠,∴BCH CEH △∽△， ∴222()()416CEH BCH S CE x x S BC ===△△， 由对称性可知22CEH S S =△，12BCH S S =△， ∴221(05)16S x x S =<≤. 解法二：设CF 与BE 的交点为H ，由对称性可得21CEH CBH S S EH S S HB ==△△，90EHC ∠=°. ∵222216BE BC CE x =+=+，BC CE CH BE ==g ∴22222221625641616x BH BC HC x x =-=-=++， ∴24222222161616x x HE CE CH x x x =-=-=++.∴221(0x 5)16S EH x S HB ===<≤. （3）解法一：∵90AFE ∠=°，∴AFE △的外接圆圆心为AE 的中点O ，则O 必过梯形中位线， 如图4，作OP AD ⊥，垂足为P ，连接OA ，OD ，21 / 23图4设⊙O 半径为r ，则有OB OE OP r ===，∴在Rt BCE △中，222BE BC CE =+，即222(2)4r x =+， 化简得2244x r =+，① 过点D 作DQ AB ⊥，交AB 的延长线于点Q ，∴4QD BC ==，5BQ CD ==，∴532AQ BQ AB =-=-=，∴在Rt ADQ △中，AD =∵OAD BCE OAB ODE ABCD S S S S S =---△△△△梯形，∴11111(35)4432(5)222222r x x ⨯=⨯+⨯-⨯-⨯⨯--⨯g g g ，化简得8x =-，②把②代入①得2641760x x +-=，解得132x =-+232x =--.∴22113916S x S ===-解法二：∵90AFE ∠=°，∴AFE △的外接圆圆心为AE 的中点O ，则O 必过梯形中位线， 如图5，中位线长35422AB CD MN ++===.数学试卷 第43页（共46页）数学试卷 第44页（共46页）图5 ∴42x ON MN MO =-=-. 过点O 作OR AD ⊥于点R ，因为圆O 与AD 相切，∴12OR BE =. 2sin 42OR RNO x ON ∠===-，sin BC D AD ∠==， 易知RNO D ∠=∠，则85x =-， 化简得2641760x x +-=.解得132x =-+232x =--.∴2221(321391616S x S -+===-解法三：∵90AFE ∠=°，∴AFE △的外接圆圆心为AE 的中点O ，则O 必过梯形中位线， 如图6，中位线长35422AB CD MN ++===.23 / 23图6 ∴42x ON MN MO =-=-. 过点A 作AK NO ⊥于点K ，则2AK =，过点O 作OR AD ⊥于点R ，因为圆O 与AD 相切，∴OR r =，12AN AD =22ANO AK NO OR AN S ==△g g .∴2(4)2x -g ，化简得8x =-.在Rt CBE △中，222(2)4x r =-，（*）将8x =代入（*）得22(8)416r =-.解得1r =2r =.将1r =8x =-得832x ==-+∴22113916S x S ===-【考点】梯形的概念，轴对称，直线与圆相切，三角形相似，勾股定理.。
2014年广东省广州市中考数学试卷及答案解析
2014年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）a （a ≠0）的相反数是（ ） A ．﹣aB ．a 2C ．|a |D ．1a2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．434．（3分）下列运算正确的是（ ） A ．5ab ﹣ab ＝4 B ．1a +1b=2a+bC ．a 6÷a 2＝a 4D ．（a 2b ）3＝a 5b 35．（3分）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，若O 1O 2＝7cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．内切 D ．相交6．（3分）计算x 2−4x−2，结果是（ ）A ．x ﹣2B ．x +2C ．x−42D ．x+2x7．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）A ．中位数是8B ．众数是9C ．平均数是8D ．极差是78．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B ＝90°时，如图1，测得AC ＝2，当∠B ＝60°时，如图2，AC ＝（ ）A ．√2B ．2C ．√6D ．2√29．（3分）已知正比例函数y ＝kx （k ＜0）的图象上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且x 1＜x 2，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．y 1+y 2＞0B ．y 1+y 2＜0C ．y 1﹣y 2＞0D ．y 1﹣y 2＜010．（3分）如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB ＝a ，CG ＝b （a ＞b ）．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③DG GC=GO CE；④（a ﹣b ）2•S △EFO ＝b 2•S △DGO ．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）△ABC 中，已知∠A ＝60°，∠B ＝80°，则∠C 的外角的度数是 °． 12．（3分）已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E ，PD ＝10，则PE 的长度为 ． 13．（3分）代数式1|x|−1有意义时，x 应满足的条件为 ．14．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ．（结果保留π）15．（3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：，该逆命题是命题（填“真”或“假”）．16．（3分）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．三、解答题（共9小题，满分102分）17．（9分）解不等式：5x﹣2≤3x，并在数轴上表示解集．18．（9分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．19．（10分）已知多项式A＝（x+2）2+（1﹣x）（2+x）﹣3．（1）化简多项式A；（2）若（x+1）2＝6，求A的值．20．（10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12a一分钟跳绳80.16投掷实心球b0.32推铅球50.10合计501（1）求a，b的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率．21．（12分）已知一次函数y＝kx﹣6的图象与反比例函数y=−2kx的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2．（1）求k的值和点A的坐标；（2）判断点B所在象限，并说明理由．22．（12分）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4√5，cos C=√55．（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：DÊ=CÊ；②求点D到BC的距离．24．（14分）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2（a ≠0）过点A ，B ，顶点为C ，点P （m ，n ）（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5．点E 为线段CD 上一动点（不与点C 重合），△BCE 关于BE 的轴对称图形为△BFE ，连接CF ．设CE ＝x ，△BCF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2． （1）当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，求x 的值； （2）试用x 表示S 2S 1，并写出x 的取值范围；（3）当△BFE 的外接圆与AD 相切时，求S 2S 1的值．2014年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）a （a ≠0）的相反数是（ ） A ．﹣aB ．a 2C ．|a |D ．1a【解答】解：a 的相反数为﹣a ． 故选：A ．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C 、是中心对称图形，故本选项符合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C ．3．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【解答】解：在直角△ABC 中，∵∠ABC ＝90°， ∴tan A =BC AB =43．4．（3分）下列运算正确的是（ ） A ．5ab ﹣ab ＝4 B ．1a +1b=2a+bC ．a 6÷a 2＝a 4D ．（a 2b ）3＝a 5b 3【解答】解：A 、原式＝4ab ，故A 选项错误； B 、原式=a+bab ，故B 选项错误； C 、原式＝a 4，故C 选项正确； D 、原式＝a 6b 3，故D 选项错误． 故选：C ．5．（3分）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，若O 1O 2＝7cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．内切D ．相交【解答】解：∵⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 、2cm ，且圆心距O 1O 2＝7cm ， 又∵3+2＜7，∴两圆的位置关系是外离． 故选：A ． 6．（3分）计算x 2−4x−2，结果是（ ）A ．x ﹣2B ．x +2C ．x−42D ．x+2x【解答】解：x 2−4x−2=(x+2)(x−2)x−2=x +2，故选：B ．7．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．中位数是8B ．众数是9C ．平均数是8D ．极差是7【解答】解：A 、按从小到大排列为：7，7，8，8，9，9，9，10，中位数是：（8+9）÷2＝8.5，故A 选项错误；B 、9出现了3次，次数最多，所以众数是9，故B 选项正确；C 、平均数＝（7+10+9+8+7+9+9+8）÷8＝8.375，故C 选项错误；D 、极差是：10﹣7＝3，故D 选项错误．8．（3分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝（）A．√2B．2C．√6D．2√2【解答】解：如图1，∵AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，连接AC，则AB2+BC2＝AC2，∴AB＝BC=√12AC2=√12×22=√2，如图2，∠B＝60°，连接AC，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝BC=√2，故选：A．9．（3分）已知正比例函数y＝kx（k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（）A．y1+y2＞0B．y1+y2＜0C．y1﹣y2＞0D．y1﹣y2＜0【解答】解：∵直线y＝kx的k＜0，∴函数值y随x的增大而减小，∵x1＜x2，∴y 1﹣y 2＞0． 故选：C ．10．（3分）如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB ＝a ，CG ＝b （a ＞b ）．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③DG GC=GO CE；④（a ﹣b ）2•S △EFO ＝b 2•S △DGO ．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】证明：①∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形， ∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°， ∴∠BCG ＝∠DCE ， 在△BCG 和△DCE 中， {BC =DC∠BCG =∠DCE CG =CE， ∴△BCG ≌△DCE （SAS ）， 故①正确；②延长BG 交DE 于点H ， ∵△BCG ≌△DCE ， ∴∠CBG ＝∠CDE ， 又∵∠CBG +∠BGC ＝90°， ∴∠CDE +∠DGH ＝90°， ∴∠DHG ＝90°， ∴BH ⊥DE ； ∴BG ⊥DE ． 故②正确；③∵四边形GCEF 是正方形， ∴GF ∥CE ， ∴DG DC =GO CE ， ∴DG GC=GO CE是错误的．故③错误；④∵DC ∥EF ， ∴∠GDO ＝∠OEF ， ∵∠GOD ＝∠FOE ， ∴△OGD ∽△OFE ， ∴S △DGO S △EFO=（DG EF）2＝（a−b b）2=(a−b)2b2，∴（a ﹣b ）2•S △EFO ＝b 2•S △DGO ． 故④正确；故选：B ．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）△ABC 中，已知∠A ＝60°，∠B ＝80°，则∠C 的外角的度数是 140 °． 【解答】解：∵∠A ＝60°，∠B ＝80°， ∴∠C 的外角＝∠A +∠B ＝60°+80°＝140°． 故答案为：140．12．（3分）已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D 、E ，PD ＝10，则PE 的长度为 10 ．【解答】解：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PE＝PD＝10．故答案为：10．13．（3分）代数式1|x|−1有意义时，x应满足的条件为x≠±1．【解答】解：由题意得，|x|﹣1≠0，解得x≠±1．故答案为：x≠±1．14．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为24π．（结果保留π）【解答】解：∵如图所示可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6，∴圆锥的母线为：5，∴根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×3×5＝15π，底面圆的面积为：πr2＝9π，∴该几何体的表面积为24π．故答案为：24π．15．（3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【解答】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．16．（3分）若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m ﹣2＝0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为54．【解答】解：由题意知，方程x 2+2mx +m 2+3m ﹣2＝0有两个实数根， 则Δ＝b 2﹣4ac ＝4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）＝8﹣12m ≥0， ∴m ≤23， ∵x 1（x 2+x 1）+x 22 ＝（x 2+x 1）2﹣x 1x 2＝（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2） ＝3m 2﹣3m +2＝3（m 2﹣m +14−14）+2 ＝3（m −12）2+54； ∴当m =12时，有最小值54；∵12＜23，∴m =12成立； ∴最小值为54；故答案为：54．三、解答题（共9小题，满分102分）17．（9分）解不等式：5x ﹣2≤3x ，并在数轴上表示解集．【解答】解：5x ﹣2≤3x ， 移项，得5x ﹣3x ≤2， 合并同类项，得2x ≤2， 系数化成1，x ≤1， 在数轴上表示为：．18．（9分）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E 、F ，求证：△AOE ≌△COF ．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，AB ∥CD ， ∴∠EAO ＝∠FCO ， 在△AOE 和△COF 中， {∠EAO =∠FCO AO =CO ∠EOA =∠FOC， ∴△AOE ≌△COF （ASA ）．19．（10分）已知多项式A ＝（x +2）2+（1﹣x ）（2+x ）﹣3． （1）化简多项式A ；（2）若（x +1）2＝6，求A 的值．【解答】解：（1）A ＝（x +2）2+（1﹣x ）（2+x ）﹣3 ＝x 2+4x +4+2+x ﹣2x ﹣x 2﹣3 ＝3x +3；（2）∵（x +1）2＝6， ∴x +1＝±√6， ∴A ＝3x +3 ＝3（x +1） ＝±3√6． ∴A ＝±3√6．20．（10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12a一分钟跳绳80.16投掷实心球b0.32推铅球50.10合计501（1）求a，b的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多有一名女生的概率．【解答】解：（1）根据题意得：a＝1﹣（0.18+0.16+0.32+0.10）＝0.24；b=90.18×0.32＝16；（2）作出扇形统计图，如图所示：根据题意得：360°×0.16＝57.6°；（3）男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，由枚举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中DE为女女组合，∴抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：910．21．（12分）已知一次函数y ＝kx ﹣6的图象与反比例函数y =−2kx的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2．（1）求k 的值和点A 的坐标；（2）判断点B 所在象限，并说明理由． 【解答】解：（1）把x ＝2代入y =−2kx， 得：y ＝﹣k ，把A （2，﹣k ）代入y ＝kx ﹣6， 得：2k ﹣6＝﹣k ， 解得k ＝2，所以一次函数与反比例函数的解析式分别为y ＝2x ﹣6，y =−4x ， 则A 点坐标为（2，﹣2）；（2）B 点在第四象限．理由如下：一次函数与反比例函数的解析式分别为y ＝2x ﹣6，y =−4x ， 解方程组{y =2x −6y =−4x，得：{x =1y =−4 或 {x =2y =−2，所以B 点坐标为（1，﹣4）， 所以B 点在第四象限．22．（12分）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． （1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 【解答】解：（1）根据题意得： 400×1.3＝520（千米），答：普通列车的行驶路程是520千米；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：520 x −4002.5x=3，解得：x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），答：高铁的平均速度是300千米/时．23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4√5，cos C=√55．（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，①求证：DÊ=CÊ；②求点D到BC的距离．【解答】解：（1）如图（2）如图，连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴∠DAE ＝∠CAE ， ∴DE ̂=CE ̂；（3）如图，连接AE ，DE ，作DM ⊥BC 交BC 于点M ，∵AC 为直径， ∴∠AEC ＝90°， ∵AB ＝AC ＝4√5，cos C =√55．∴EC ＝BE ＝4， ∴BC ＝8，∵点A 、D 、E 、C 共圆 ∴∠ADE +∠C ＝180°， 又∵∠ADE +∠BDE ＝180°， ∴∠BDE ＝∠C ， ∴△BDE ∽△BCA ， ∴BD BC=BE AB，即BD •BA ＝BE •BC∴BD ×4√5=4×8 ∴BD =8√55， ∵∠B ＝∠C∴cos ∠C ＝cos ∠B =√55，∴8√55=√55，∴BM =85，∴DM =√BD 2−BM 2=(8√55)2−(85)2=165．24．（14分）已知平面直角坐标系中两定点A （﹣1，0）、B （4，0），抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）过点A ，B ，顶点为C ，点P （m ，n ）（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）过点A ，B ， ∴{a −b −2=016a +4b −2=0， 解得：{a =12b =−32， ∴抛物线的解析式为：y =12x 2−32x ﹣2； ∵y =12x 2−32x ﹣2=12（x −32）2−258， ∴C （32，−258）．（2）如图1，以AB 为直径作圆M ，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB 为钝角， ∴M （32，0），⊙M 的半径=52．∵P ′是抛物线与y 轴的交点， ∴OP ′＝2，∴MP ′=√OP′2+OM 2=52， ∴P ′在⊙M 上，∴P ′的对称点（3，﹣2），∴当﹣1＜m ＜0或3＜m ＜4时，∠APB 为钝角．（3）方法一： 存在；抛物线向左或向右平移，因为AB 、P ′C ′是定值，所以A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短，只要AC ′+BP ′最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC ′+BP ′＞AC +BP ，第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P （3，﹣2），又∵C （32，−258） ∴C '（32−t ，−258），P '（3﹣t ，﹣2）， ∵AB ＝5，∴P ″（﹣2﹣t ，﹣2），要使AC ′+BP ′最短，只要AC ′+AP ″最短即可， 点C ′关于x 轴的对称点C ″（32−t ，258），设直线P ″C ″的解析式为：y ＝kx +b ， {−2=(−2−t)k +b 258=(32−t)k +b ， 解得{k =4128b =4128t +1314∴直线y =4128x +4128t +1314，当P ″、A 、C ″在一条直线上时，周长最小，∴−4128+4128t +1314=0 ∴t =1541．故将抛物线向左平移1541个单位连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短．方法二：∵AB 、P ′C ′是定值，∴A 、B 、P ′、C ′所构成的四边形的周长最短，只需AC ′+BP ′最小， ①若抛物线向左平移，设平移t 个单位， ∴C ′（32−t ，−258），P ″（﹣2﹣t ，﹣2）， ∵四边形P ″ABP ′为平行四边形， ∴AP ″＝BP ′，AC ′+BP ′最短，即AC ′+AP ″最短， C ′关于x 轴的对称点为C ″（32−t ，258），C ″，A ，P ″三点共线时，AC ′+AP ″最短， K AC ″＝K AP ″，25832−t+1=0+2−1+2+t，∴t =1541． ②若抛物线向右平移，同理可得t =−1541， ∴将抛物线向左平移1541个单位时，A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形周长最短．25．（14分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5．点E 为线段CD 上一动点（不与点C 重合），△BCE 关于BE 的轴对称图形为△BFE ，连接CF ．设CE ＝x ，△BCF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2．（1）当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，求x 的值；（2）试用x 表示S 2S 1，并写出x 的取值范围； （3）当△BFE 的外接圆与AD 相切时，求S 2S 1的值．【解答】解：（1）当点F 落在梯形ABCD 中位线上时，如答图1，过点F 作出梯形中位线MN ，分别交AD 、BC 于点M 、N ．由题意，可知ABCD 为直角梯形，则MN ⊥BC ，且BN ＝CN =12BC ．由轴对称性质，可知BF ＝BC ，∴BN =12BF ，∴∠BFN ＝30°，∴∠FBC ＝60°，∴△BFC 为等边三角形．∴CF ＝BC ＝4，∠FCB ＝60°，∴∠ECF ＝30°．设BE 、CF 交于点G ，由轴对称性质可知CG =12CF ＝2，CF ⊥BE ．在Rt △CEG 中，x ＝CE =CG cos30°=√32=4√33．∴当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，x 的值为4√33．（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE ⊥CF ．∵∠GEC +∠ECG ＝90°，∠GEC +∠CBE ＝90°，∴∠GCE ＝∠CBE ，又∵∠CGE ＝∠ECB ＝90°，∴Rt △BCE ∽Rt △CGE ，∴BE CE =CE EG ，∴CE 2＝EG •BE ①同理可得：BC 2＝BG •BE ②①÷②得：EG BG =CE 2BC 2=x 216． ∴S 2S 1=S △CEF S △BCF =12CF⋅EG 12CF⋅BG =EG BG =x 216． ∴S 2S 1=x 216（0＜x ≤5）．（3）当△BFE 的外接圆与AD 相切时，依题意画出图形，如答图3所示．设圆心为O ，半径为r ，则r =12BE =√x 2+162． 设切点为P ，连接OP ，则OP ⊥AD ，OP ＝r =√x 2+162．过点O 作梯形中位线MN ，分别交AD 、BC 于点M 、N ，则OM 为梯形ABED 的中位线，∴OM =12（AB +DE ）=12（3+5﹣x ）=12（8﹣x ）． 过点A 作AH ⊥CD 于点H ，则四边形ABCH 为矩形，∴AH ＝BC ＝4，CH ＝AB ＝3，∴DH ＝CD ﹣CH ＝2．在Rt △ADH 中，由勾股定理得：AD =√AH 2+DH 2=√42+22=2√5．∵MN ∥CD ，∴∠ADH ＝∠OMP ，又∵∠AHD ＝∠OPM ＝90°，∴△OMP ∽△ADH ，∴OM AD =OP AH ，即12(8−x)2√5=√x 2+1624，化简得：16﹣2x =√5x 2+80，两边平方后，整理得：x 2+64x ﹣176＝0，解得：x 1＝﹣32+20√3，x 2＝﹣32﹣20√3（舍去）∵0＜﹣32+20√3＜5∴x ＝﹣32+20√3符合题意，∴S 2S 1=x 216=139﹣80√3．。
2014年广东省中考数学试卷及答案解析
2014年广东省中考数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（）A．1 B．0 C．2 D．﹣32．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3．（3分）计算3a﹣2a的结果正确的是（）A．1 B．a C．﹣a D．﹣5a4．（3分）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣9）B．x（x﹣3）2C．x（x+3）2D．x（x+3）（x﹣3）5．（3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．76．（3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．9．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或1710．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：2x3÷x=．12．（4分）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为．13．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=．14．（4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为．15．（4分）不等式组的解集是．16．（4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．18．（6分）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．19．（6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）21．（7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？22．（7分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．25．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．2014年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（）A．1 B．0 C．2 D．﹣3【考点】有理数大小比较．【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．【解答】解：﹣3＜0＜1＜2，故选：C．【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．2．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（3分）计算3a﹣2a的结果正确的是（）A．1 B．a C．﹣a D．﹣5a【考点】合并同类项．【分析】根据合并同类项的法则，可得答案．【解答】解：原式=（3﹣2）a=a，故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．4．（3分）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（）A．x（x2﹣9）B．x（x﹣3）2C．x（x+3）2D．x（x+3）（x﹣3）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣9x，=x（x2﹣9），=x（x+3）（x﹣3）．故选：D．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．6．（3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率=．故选：B．【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．7．（3分）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．【解答】解：A、AC≠BD，故A选项错误；B、AC不垂直于BD，故B选项错误；C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C选项正确；D、AB≠BC，故D选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）计算：2x3÷x=2x2．【考点】整式的除法．【专题】计算题．【分析】直接利用整式的除法运算法则求出即可．【解答】解：2x3÷x=2x2．故答案为：2x2．【点评】此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．12．（4分）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为 6.18×108．【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×108．故答案为：6.18×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=3．【考点】三角形中位线定理．【分析】由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．【解答】解：∵D、E是AB、AC中点，∴DE为△ABC的中位线，∴ED=BC=3．故答案为：3．【点评】本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．14．（4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15．（4分）不等式组的解集是1＜x＜4．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜4；由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜4．故答案为：1＜x＜4．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于﹣1．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：+|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=3+4+1﹣2=6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（6分）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1，当x=时，原式=．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．【考点】作图—基本作图；平行线的判定．【专题】作图题．【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】几何图形问题．【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．【解答】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．21．（7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【考点】分式方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．【解答】解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．22．（7分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有1000名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】图表型．【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；故答案为：1000；（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，补图如下；（3）18000×=3600（人）．答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2014•广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y=x+，反比例函数y=图象过点（﹣1，2），m=﹣1×2=﹣2；（3）连接PC、PD，如图，设P（x，x+）由△PCA和△PDB面积相等得××（x+4）=×|﹣1|×（2﹣x﹣），x=﹣，y=x+=，∴P点坐标是（﹣，）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．【考点】切线的判定；弧长的计算．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据弧长计算公式l=进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．【解答】（1）解：∵AC=12，∴CO=6，∴==2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA=90°，∠ADO=90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD=EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由（2）得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC=90°，∴∠PQE=90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90°，∴∠QPF+∠OPC=90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC=90°，∴OD∥BF，∴△ODE≌△CFC又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣BC ∴BF=BC+FC=r+BC∵PD=r+OD=r+BC∴PD=BF又∵PD∥BF，且∠DBF=90°，∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF=90°OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．25．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解一元二次方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．【专题】几何综合题；压轴题；动点型．【分析】（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t＜），∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．【点评】本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．。
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2014年广州市中考数学试卷及答案广东省广州市2014年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2014•广州）a （a ≠0）的相反数是（ ） A ． ﹣a B ． a 2 C ． |a|D ．考点： 相反数．分析：直接根据相反数的定义求解． 解答： 解：a 的相反数为﹣a ．故选：A ．点评： 本题考查了相反数：a 的相反数为﹣a ，正确掌握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2014•广州）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．考点：中心对称图形．分析： 根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．解答： 解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误； B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项正确； 故选：D ．点评： 本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．3．（3分）（2014•广州）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tanA=（ ）A ．B ．C ．D ．解答： 解：A 、原式=4ab ，错误； B 、原式=，错误；C 、原式=a 4，正确；D 、原式=a 6b 3，错误， 故选C 点评：此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5．（3分）（2014•广州）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，若O 1O 2=7cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是（ ） A ． 外离 B ． 外切 C ． 内切 D ． 相交考点：圆与圆的位置关系．分析： 由⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 、2cm ，且圆心距O 1O 2=7cm ，根据两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答： 解：∵⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 、2cm ，且圆心距O 1O 2=7cm ，又∵3+2＜7，∴两圆的位置关系是外离． 故选A ． 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d ，两圆半径R ，r 的数量关系间的联系．6．（3分）（2014•广州）计算，结果是（ ） A ． x ﹣2 B ． x +2 C ．D ．考点：约分．分析： 首先利用平方差公式分解分子，再约去分子分母中得公因式． 解答：解：==x+2，故选：B ． 点评： 此题主要考查了约分，关键是正确把分子分解因式．7．（3分）（2014•广州）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）A ． 中位数是8B ． 众数是9C ． 平均数是8D ． 极差是7考点：极差；加权平均数；中位数；众数． 分析：由题意可知：总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取中间两个数的平均数为中位数，则中位数为8.5；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，则这组数据的众数为9；这组数据的平均数=（7+10+9+8+7+9+9+8）÷8=8.375；一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为3． 解答： 解：A 、按从小到大排列为：7，7，8，8，9，9，9，10，中位数是：（8+9）÷2=8.5，故本选项错误；B 、9出现了3次，次数最多，所以众数是9，故本选项正确；C 、平均数=（7+10+9+8+7+9+9+8）÷8=8.375，故本选项错误；D、极差是：10﹣7=3，故本选项错误．故选B．点评：考查了中位数、众数、平均数与极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．8．（3分）（2014•广州）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）A．B．2C．D．2考点：等边三角形的判定与性质．分析：图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．解解：如图1，答：∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，连接AC，则AB2+BC2=AC2，∴AB=BC===，如图2，∠B=60°，连接AC，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC=．点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质．9．（3分）（2014•广州）已知正比例函数y=kx （k＜0）的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，则下列不等式中恒成立的是（）A．y1+y2＞B．y1+y2＜C．y1﹣y2＞D．y1﹣y2＜考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析： 根据k ＜0，正比例函数的函数值y 随x 的增大而减小解答．解答： 解：∵直线y=kx 的k ＜0， ∴函数值y 随x 的增大而减小，∵x 1＜x 2， ∴y 1＞y 2， ∴y 1﹣y 2＞0． 故选C ．点评： 本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了正比例函数的增减性．10．（3分）（2014•广州）如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB=a ，CG=b （a ＞b ）．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③=；④（a ﹣b ）2•S △EFO =b 2•S △DGO ．其中结论正确的个数是（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析： 由四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC ，CG=CE ，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS 证得①△BCG ≌△DCE ；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH ⊥DE ．由△DGF 与△DCE 相似即可判定③错误，由△GOD 与△FOE 相似即可求得④． 解答： 证明：①∵四边形ABCD 和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC ，CG=CE ，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE ，在△BCG 和△DCE 中，，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），②∵△BCG ≌△DCE ，∴∠CBG=∠CDE ，又∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴=，∴=是错误的．④∵DC ∥EF，∴∠GDO=∠OEF，∵∠GOD=∠FOE，∴△OGD∽△OFE，∴=（）2=（）2=，∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．故应选B点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2014•广州）△ABC 中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C 的外角的度数是 140 °．考点： 三角形的外角性质． 分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解答： 解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C 的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．点评： 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．12．（3分）（2014•广州）已知OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为点D、E ，PD=10，则PE 的长度为 10 ．考点： 角平分线的性质． 分析： 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD ． 解答： 解：∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PE=PD=10．故答案为：10． 点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．13．（3分）（2014•广州）代数式有意义时，x 应满足的条件为 x ≠±1 ．考点： 分式有意义的条件． 分析： 根据分式有意义，分母等于0列出方程求解即可． 解答： 解：由题意得，|x|﹣1≠0，解得x ≠±1．故答案为：x ≠±1． 点评： 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．14．（3分）（2014•广州）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 24π ．（结果保留π）考点： 圆锥的计算；由三视图判断几何体． 分析：根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积为，即可得出表面积． 解答： 解：∵如图所示可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6， ∴圆锥的母线为：5，∴根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×3×5=15π，底面圆的面积为：πr 2=9π，∴该几何体的表面积为24π．故答案为：24π．点评： 此题主要考查了圆锥侧面积公式，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．15．（3分）（2014•广州）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 ，该逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．考点： 命题与定理． 分析： 交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 解答： 解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，假．点评： 本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．16．（3分）（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点： 根与系数的关系；二次函数的最值． 分析： 由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答： 解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2 =3（m 2﹣m++）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为． 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．三、解答题（共9小题，满分102分）17．（9分）（2014•广州）解不等式：5x﹣2≤3x，并在数轴上表示解集．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：移项，合并同类项，系数化成1即可．解答：解：5x﹣2≤3x，5x﹣3x≤2，2x≤2，x≤1，在数轴上表示为：．点评：本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．18．（9分）（2014•广州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定． 专题： 证明题． 分析： 根据平行四边形的性质得出OA=OC ，AB∥CD ，推出∠EAO=∠FCO ，证出△AOE≌△COF 即可．解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AB ∥CD ， ∴∠EAO=∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，，∴△AOE ≌△COF （ASA ）．点评： 本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是推出AO=CO ．19．（10分）（2014•广州）已知多项式A=（x+2）2+（1﹣x ）（2+x ）﹣3．（1）化简多项式A ；（2）若（x+1）2=6，求A 的值． 考点：整式的混合运算—化简求值；平方根． 分析： （1）先算乘法，再合并同类项即可； （2）求出x+1的值，再整体代入求出即可． 解答： 解：（1）A=（x+2）2+（1﹣x ）（2+x ）﹣3 =x 2+4x+4+2+x ﹣2x ﹣x 2﹣3=3x+3；（2）∵（x+1）2=6， ∴x+1=±， ∴A=3x+3 =3（x+1） =±3． ∴A=±3． 点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的化简和计算能力，题目比较好．20．（10分）（2014•广州）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远9 0.18三级蛙跳12 a一分钟跳绳8 0.16投掷实心球 b 0.32推铅球 5 0.10合计50 1（1）求a，b的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率．考游戏公平性；扇形统计图；列表法与树状图点： 法． 专题：计算题．分析： （1）根据表格求出a 与b 的值即可； （2）根据表示做出扇形统计图，求出“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数即可； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概率． 解答： 解：（1）根据题意得：a=1﹣（0.18+0.16+0.32+0.10）=0.24；b=×0.32=16；（2）作出扇形统计图，如图所示：根据题意得：360°×0.16=57.6°；（3）列表如下：男 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男）（男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男）（女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） ﹣﹣﹣ （女，男）（女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女）女 （男，女）（男，女）（男，女）（女，女）﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有20种，其中抽取的两名学生中至多有一名女生的情况有18种， 则P==． 点评： 此题考查了游戏公平性，扇形统计图，列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．21．（12分）（2014•广州）已知一次函数y=kx ﹣6的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2． （1）求k 的值和点A 的坐标； （2）判断点B 所在象限，并说明理由．考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题：计算题．分析： （1）先把x=2代入反比例函数解析式得到y=﹣k ，则A 点坐标表示为（2，﹣k ），再把A （2，﹣k ）代入y=kx ﹣6可计算出k ，从而得到A 点坐标；（2）由（1）得到一次函数与反比例函数的解析式分别为y=2x ﹣6，y=﹣，根据反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组即可得到B 点坐标．解答： 解：（1）把x=2代入y=﹣得y=﹣k ， 把A （2，﹣k ）代入y=kx ﹣6得2k ﹣6=k ，解得k=2，所以A 点坐标为（2，﹣2）；（2）B 点在第四象限．理由如下： 一次函数与反比例函数的解析式分别为y=2x ﹣6，y=﹣，解方程组得或，所以B 点坐标为（1，﹣4）， 所以B 点在第四象限． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．22．（12分）（2014•广州）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度． 考点：分式方程的应用．分析： （1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；（2）设普通列车平均速度是x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可； 解答： 解：（1）根据题意得：400×1.3=520（千米），答：普通列车的行驶路程是520千米；（2）设普通列车平均速度是x 千米/时，根据题意得： ﹣=3， 解得：x=120，经检验x=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300（千米/时），答：高铁的平均速度是300千米/时． 点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．23．（12分）（2014•广州）如图，△ABC 中，AB=AC=4，cosC=．（1）动手操作：利用尺规作以AC 为直径的⊙O ，并标出⊙O 与AB 的交点D ，与BC 的交点E （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中， ①求证：=；②求点D 到BC 的距离．考点：作图—复杂作图．分析： （1）先作出AC 的中垂线，再画圆． （2）边接AE ，AE 是BC 的中垂线，∠DAE=∠CAE ，得出=；（3）利用割线定理求出BD ，再利用余弦求出BM ，用勾股定理求出DM ． 解答：解：（1）如图（2）如图，连接AE，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵AB=AC，∴∠DAE=∠CAE，∴=；（3）如图，连接AE，作DM⊥BC交BC 于点M，∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∵AB=AC=4，cosC=．∴EC=BE=4，∴BC=8，∵BD•BA=BE•BC∴BD×4=4×8∴BD=，∵∠B=∠C∴cos ∠C=cos ∠B=， ∴=，∴BM=， ∴DM===．点评： 本题主要考查了复杂的作图，解题的关键是运用割线定理求出线段的长．24．（14分）（2014•广州）已知平面直角坐标系中两定点A （﹣1，0）、B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）过点A ，B ，顶点为C ，点P （m ，n ）（n ＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围； （3）若m ＞，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．考点： 二次函数综合题． 分析： （1）待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．（2）因为AB 为直径，所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角，所以﹣1＜m ＜0，或3＜m ＜4．（3）左右平移时，使A ′D+DB ″最短即可，那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″，得到直线P ″C ″的解析式，然后把A 点的坐标代入即可．解答： 解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）过点A ，B ， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=x 2﹣x ﹣2；∵y=x 2﹣x ﹣2=（x ﹣）2﹣，∴C （，﹣）．（2）如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能是∠APB为钝角，∴M（，0），⊙M的半径=．∵P是抛物线与y轴的交点，∴OP=2，∴MP==，∴P在⊙M上，∴P的对称点（3，﹣2），∴当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．（3）存在；抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，﹣2），又∵C（，﹣）∴C'（﹣t，﹣），P'（3﹣t，﹣2），∵AB=5，∴P″（﹣2﹣t，﹣2），要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，点C′关于x轴的对称点C″（﹣t，），设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，，解得∴直线y=x+t+，点A在直线上，∴﹣+t+=0∴t=．故将抛物线向左平移个单位连接A、B、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短． 点评：本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标，二次函数的对称性，以及距离之和最小的问题．25．（14分）（2014•广州）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E 为线段CD 上一动点（不与点C 重合），△BCE 关于BE 的轴对称图形为△BFE ，连接CF ．设CE=x ，△BCF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2．（1）当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，求x 的值；（2）试用x 表示，并写出x 的取值范围；（3）当△BFE 的外接圆与AD 相切时，求的值．考点： 四边形综合题． 分析： （1）利用梯形中位线的性质，证明△BCF是等边三角形；然后解直角三角形求出x 的值；（2）利用相似三角形（或射影定理）求出线段EG 与BE 的比，然后利用=求解；（3）依题意作出图形，当△BFE 的外接圆与AD 相切时，线段BC 的中点O 成为圆心．作辅助线，如答图3，构造一对相似三角形△OMP ∽△ADH ，利用比例关系列方程求出x 的值，进而求出的值．解答： 解：（1）当点F 落在梯形ABCD 中位线上时，如答图1，过点F 作出梯形中位线MN ，分别交AD 、BC 于点M 、N ．由题意，可知ABCD 为直角梯形，则MN⊥BC，且BN=CN=BC．由轴对称性质，可知BF=BC，∴BN=BF，∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，∴△BFC为等边三角形．∴CF=BC=4，∠FCB=60°，∴∠ECF=30°．设BE、CF交于点G，由轴对称性质可知CG=CF=2，CF⊥BE．在Rt△CEG中，x=CE===．∴当点F落在梯形ABCD的中位线上时，x 的值为．（2）如答图2，由轴对称性质，可知BE⊥CF．∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，∴∠GEC=∠CBE，又∵∠CGE=∠ECB=90°，∴Rt△BCE∽Rt△CGE，∴，∴CE 2=EG•BE ①同理可得：BC2=BG•BE ②①÷②得：==．∴====．∴=（0＜x≤5）．（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，依题意画出图形，如答图3所示．设圆心为O，半径为r，则r=BE=．设切点为P，连接OP，则OP⊥AD，OP=r=．过点O作梯形中位线MN，分别交AD、BC 于点M、N，则OM为梯形ABED的中位线，∴OM=（AB+DE）=（3+5﹣x）=（8﹣x）．过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABCH 为矩形，∴AH=BC=4，CH=AB=3，∴DH=CD﹣CH=2．在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD===2．∵MN∥CD，∴∠ADH=∠OMP，又∵∠AHD=∠OPM=90°，∴△OMP∽△ADH，∴，即，化简得：16﹣2x=，两边平方后，整理得：x2+64x﹣176=0，解得：x 1=﹣32+20，x2=﹣32﹣20（舍去）∴x=﹣32+20，∴==139﹣80．点评： 本题是几何综合题，考查了直角梯形、相似、勾股定理、等边三角形、矩形、中位线、圆的切线、解方程、解直角三角形等知识点，考查了轴对称变换与动点型问题，涉及考点较多，有一定的难度．。