中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证：

()

1

2

2

111

max ()3

n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑．

证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则

k k a a =，

1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ，

把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得

11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ．

由Cauchy 不等式可得

()2

211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L

11222111k n k n i i i i i i d ---===⎛⎫⎛⎫

≤+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑

111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

≤= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31213n i i n d -=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

∑， 所以

()1

2

211

3

n k

i i i n a a a -+=≤-∑．

二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223

2006

,,,a a a

a a a L 两

两不相等．问：122006,,,a a a L 中最少有多少个不同的数？

解 答案：122006,,,a a a L 中最少有46个互不相同的数． 由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故122006,,,a a a L 中互不相同的数大于45．

下面构造一个例子，说明46是可以取到的．

设1246,,,p p p L 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a L 如下：

11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p L ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p --L L ， 14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p L ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p L ，

这2006个正整数满足要求．

所以122006,,,a a a L 中最少有46个互不相同的数．

三、正整数m ，n ，k 满足：2

3mn k k =++，证明不定方程

22114x y m +=

和 22

114x y n +=

中至少有一个有奇数解(,)x y ． 证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程

22

114x y m += ①

或有奇数解00(,)x y ，或有满足

00(21)(mod )

x k y m ≡+

②

的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．

引理的证明 考虑如下表示

(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,0y ≤≤

，

则共有()

11m ⎛⎫

⎡++> ⎪⎣ ⎪

⎣

⎦⎝⎭个表示，因此存在整数12,0,x x ⎡∈⎣，

12,0,2y y ⎡∈⎢⎣⎦

，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且

1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，

这表明

(21)(mod )

x k y m ≡+，

③

这里1221,x x x y y y =-=-。由此可得

2222(21)11(mod )x k y y m ≡+≡-，

故22

11x y km +=，因为2

x y ≤≤，所以

2

2

11

11474

x y m m m +<+<，

于是16k ≤≤．因为m 为奇数，22112x y m +=，22116x y m +=显然没有整数解．

（1） 若22

11x y m +=，则002,2x x y y ==是方程①满足②的解． （2） 若22

114x y m +=，则00,x x y y ==是方程①满足②的解． （3） 若22

113x y m +=，则()()2

2

2111134x y x y m ±+=⋅m ．

首先假设3m ，若x

0(mod3),y

0(mod3)，且x (mod3)y ，则

0011,33

x y x y

x y -+== ④

是方程①满足②的解．若x y

≡0(mod3)，则

0011,33

x y y x

x y +-=

=