中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证：()122111max ()3n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑．证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则k k a a =，1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ，把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ．由Cauchy 不等式可得()2211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L11222111k n k n i i i i i i d ---===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 31213n i i n d -=⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑， 所以()122113n ki i i n a a a -+=≤-∑．二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得200512232006,,,a a aa a a L 两两不相等．问：122006,,,a a a L 中最少有多少个不同的数？解 答案：122006,,,a a a L 中最少有46个互不相同的数． 由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故122006,,,a a a L 中互不相同的数大于45．下面构造一个例子，说明46是可以取到的．设1246,,,p p p L 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a L 如下：11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p L ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p --L L ， 14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p L ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p L ，这2006个正整数满足要求．所以122006,,,a a a L 中最少有46个互不相同的数．三、正整数m ，n ，k 满足：23mn k k =++，证明不定方程22114x y m +=和 22114x y n +=中至少有一个有奇数解(,)x y ． 证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程22114x y m += ①或有奇数解00(,)x y ，或有满足00(21)(mod )x k y m ≡+②的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．引理的证明 考虑如下表示(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,0y ≤≤，则共有()11m ⎛⎫⎡++> ⎪⎣ ⎪⎣⎦⎝⎭个表示，因此存在整数12,0,x x ⎡∈⎣，12,0,2y y ⎡∈⎢⎣⎦，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，这表明(21)(mod )x k y m ≡+，③这里1221,x x x y y y =-=-。

由此可得2222(21)11(mod )x k y y m ≡+≡-，故2211x y km +=，因为2x y ≤≤，所以221111474x y m m m +<+<，于是16k ≤≤．因为m 为奇数，22112x y m +=，22116x y m +=显然没有整数解．（1） 若2211x y m +=，则002,2x x y y ==是方程①满足②的解． （2） 若22114x y m +=，则00,x x y y ==是方程①满足②的解． （3） 若22113x y m +=，则()()222111134x y x y m ±+=⋅m ．首先假设3m ，若x0(mod3),y0(mod3)，且x (mod3)y ，则0011,33x y x yx y -+== ④是方程①满足②的解．若x y≡0(mod3)，则0011,33x y y xx y +-==⑤是方程①满足②的解．现在假设3m ，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解01012,2x x y y ==，则()()22221111111136511115x y m m x y y x +=⇔=±+m ．因为11,x y 的奇偶性不同，所以11511x y ±，115y x m 都为奇数． 若(mod3)x y ≡，则1111005115,33x y y xx y -+==是方程①的一奇数解． 若1x 1(mod 3)y ，则1111005115,33x y y xx y +-==是方程①的一奇数解．（4）22115x y m +=，则()()22254311113m x y y x ⋅=+±m ． 当5m 时，若1(mod5),2(mod5)x y ≡±≡m ，或2(mod5),1(mod5)x y ≡±≡±，则003113,55x y y xx y -+==⑥是方程①满足②的解．若1(mod5),2(mod5)x y ≡±≡±，或2(mod5),1(mod5)x y ≡±≡m ，则003113,55x y y xx y +-==⑦是方程①满足②的解．当5m ，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解01012,2x x y y ==，则221111,x y m +=1x 1(mod 2)y ，可得()()22111110033113m x y y x =+±m ．若 110(mod 5)x y ≡≡，或者 111(mod5),2(mod5)x y ≡±≡±，或者112(mod5),1(mod5)x y ≡±≡m ，则111100333,55x y y x x y -+==是方程①的一奇数解．若 111(mod5),2(mod5)x y ≡±≡m，或112(mod5),1(mod5)x y ≡±≡±，则 1111003333,55x y y x x y +-== 是方程①的一奇数解．引理证毕．由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解00(,)x y ．令21l k =+，考虑二次方程220010mx ly x ny ++-=，⑧则 002ly x x m-±==， 这表明方程⑧至少有一个整数根1x ，即22101010mx ly x ny ++-=，⑨上式表明1x 必为奇数．将⑨乘以4n 后配方得()220112114ny lx x n ++=，这表明方程22114x y n +=有奇数解0112,x ny lx y x =+=．四、在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，△ABC 的内切圆O 分别与边BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O 相交于点P，连接BP，CP，若90∠=︒，求证：AE AP PDBPC+=．证明设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD ＝n．因为90∠=∠．∠+∠=︒=∠+∠，所以ACP PBCACP PCB PBC PCBEC延长AD至Q，使得AQC ACP PBC∠=∠=∠，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得=，yz nl①2()=+．x m m n②因为ACP∆∽AQC∆，所以AC AP=，故AQ AC2+=++．x z m m n l()()③在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得222++=+，()()x z z m n④222()()()y z z x x y +++=+．⑤③－②，得 22z zx ml +=， ⑥①÷⑥，得22yz nz zx m=+， 所以 212yz m nz zx m++=+， ⑦②×⑦，结合④，得 222222()()2x yzx m n x z z z zx+=+=+++， 整理得22()2x yz x z z x=++． ⑧ 又⑤式可写为 2xyx z y z+=+， ⑨ 由⑧，⑨得42x zz x y z=++． ⑩ 又⑤式还可写为 2xzy z x z+=-， ○11 把上式代入⑩，消去y z +，得223220x xz z --=，解得 x z =，代入○11得，5)y z =， 将上面的x ，y 代入④，得m n z +=， 结合②，得2x m z m n ==+， 从而12n z =， 所以，x m n +=，即 AE AP PD +=．五、实数列{}n a 满足：112a =， 112k k ka a a +=-+-，1,2,k =L ． 证明不等式12121211111112()n n n n n a a a n a a a n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L LL ．证明 首先，用数学归纳法证明：Λ,2,1,210=≤<n a n ．1=n 时，命题显然成立．假设命题对)1(≥n n 成立，即有210≤<n a ． 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+-=21,0,21)(x x x x f ，则()f x 是减函数，于是 21)0()(1=≤=+f a f a n n , 111()()26n n a f a f +=≥=0>，即命题对n ＋1也成立．原命题等价于()121212nnn n n na a a a a a ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭L L 12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． 设11()ln 1,0,2f x x x ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 是凸函数，即对1210,2x x <<，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭． 事实上，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭等价于 21212211111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-- ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2120x x ⇔-≥．所以，由Jenson 不等式可得()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭L L ， 即 12121111111n n nna a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭LL ． 另一方面，由题设及Cauchy 不等式，可得()11111n ni i i i i a n a a ==+-=-+∑∑2211111()2nnii n ii i n n n n a aa a a ++==≥-=-+-+∑∑211122n n ii i i n n n n a a ==⎛⎫ ⎪ ⎪≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑，所以1111(1)12nii nn n ii i i i i a n naa a ====⎛⎫- ⎪ ⎪≥- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，故()12121212(1)(1)(1)12nnnn n n n a a a n na a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++--≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L 12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，从而原命题得证．六、设X 是一个56元集合．求最小的正整数n ，使得对X 的任意15个子集，只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n ，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空．解 n 的最小值为41．首先证明41n =合乎条件．用反证法．假定存在X 的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集（否则在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为A ，至少含有256115⨯⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝8个元素，又设其它14个子集为1214,,,A A A L ．考察不含A 的任何7个子集，都对应X 中的41个元素，所有不含A 的7－子集组一共至少对应71441C 个元素．另一方面，对于元素a ，若a A ∉，则1214,,,A A A L 中有2个含有a ，于是a 被计算了771412C C -次；若a A ∈，则1214,,,A A A L 中有一个含有a ，于是a 被计算了771413C C -次，于是77777141412141341(56)()()C A C C A C C ≤--+-77771412131256()()C C A C C =--- 77771412131256()8()C C C C ≤---，由此可得196195≤，矛盾．其次证明41n ≥．用反证法．假定40n ≤，设{}1,2,,56X =L ，令{},7,14,21,28,35,42,49,1,2,,7i A i i i i i i i i i =+++++++=L ，{},8,16,24,32,40,48,1,2,,8j B j j j j j j j j =++++++=L ．显然，8(1,2,,7),0(17)i i j A i A A i j ===≤<≤L I ，7(1,2,,8)j B j ==L ，0(18)i j B B i j =≤<≤I ，1(17,18)i j A B i j =≤≤≤≤I ，于是，对其中任何3个子集，必有2个同时为i A ，或者同时为j B ，其交为空集．对其中任何7个子集1212,,,,,,,(7)sti i i j j j A A A B B B s t +=L L ，有1212s t i i i j j j A A A B B B U UL U U U UL U 1212s t i i i j j j A A A B B B st =+++++++-L L8787(7)(7)s t st s s s s =+-=+--- 2(3)4040s =-+≥，任何3个子集的交为空集，所以41n ≥．综上所述，n 的最小值为41．。