空间力系的受力分析
材料力学 空间任意力系分析
作用线位于不同平面的力系称为空间力系。
z
x
y
2
第五章 空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影
§5–2 力对轴的矩 · 力对点的矩
§5–3 空间汇交力系的合成与平衡
§5–4 空间力偶理论
§5–5 空间任意力系
§5–6 空间平行力系的中心 · 物体的重心
习题课
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
F X 2 Y 2 Z 2
X Y Z cos ,cos ,cos F F F
Fx
Fz
Fy
6
[例1]已知：F=100N， 30, 60 ，计算图示力 在各坐标轴上的投影。
解：
Y F cos 50 3N
X F sin cos 25N Z F sin sin
的平面，方向用右手螺旋来确定 （右手握住平面的法线，卷曲四
指表示旋转方向，拇指的指向即
为力矩矢的方向）。 力矩矢的大小：
r
O
A
x
h
y
mo ( F ) F h 2AOB
13
空间力对点的矩可用矢积表示：
mO ( F ) F h F r sin rF
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
15
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
对点的矩。
mo ( F ) [mo ( F )]x i [mo ( F )]y j [mo ( F )]z k mx ( F )i m y ( F ) j mz ( F )k
空间力系的简化
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
工程力学课后习题答案
工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第二章 平面力系2-1 电动机重P=5000N ，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A 端以铰链固定，另一端以撑杆BC 支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A 、B 处的约束反力。
题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F FF F F B A yA B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F FP F F F BC yBC AB x解得: PF P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交NF N F F F FF F F C A GA yC A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。
理论力学__受力分析
y
F
x
h
Fxy
mo F x mx F mo F y m y F mo F z mz F
Fxy
§1-4 力 偶 力偶：等值、反向、不共线的一对力 Z 1、力偶矩矢： F
大小、作用面方位、转向
m
m
F2 o
x
F1
1
c F2
a
y
F d
F
b
右手螺旋：
mF , F m Fd
2、力偶矩的性质： （1）、力偶无合力： （2）、力偶中的两个力对任意点之矩 的和等于力偶矩。
§1-4 物体的受力分析
（画受力图）： 一、受力分析：
1、取分离体： （选取研究对象）： 将物体从周围的约束中分离出来。 （画受力简图）： 2、画所受力： （1）、画主动力。 （2）、解除约束、画约束力。
二、注意：只画外力、不画内力。
C
FCy
FCx
D
E
B
A
FNA
F
FCy FCx P F
Fy
o a
F F x b
Fx Fcos Fy Fsin
F asin bcos
3、力对轴之矩：
mz F mo Fxy Fxy h
z
力对轴之矩为零的条件： o （1）Fxy 0 力与轴平行 （2） h 0 力与轴相交 力与轴共面
4、力对点之矩与力对轴之矩的关系：
m x F yZ zY m y F zX xZ m z F xY yX
928结构力学考试大纲
928结构力学考试大纲一、预备知识1. 向量、向量代数及其运算2. 立体几何及坐标系3. 线性代数及矩阵运算4. 微积分、微分方程及变分法二、平面受力系统的力学分析1. 平面力系及其平衡条件2. 力的合成与分解3. 静摩擦力、动摩擦力、支反力及其计算方法4. 等效力系统的概念及其应用三、空间受力系统的力学分析1. 空间力系及其平衡条件2. 三维力的合成与分解3. 轴力、弯矩、剪力、正应力、切应力等基本力学概念及其计算方法4. 等效力系统的概念及其应用四、杆件的内力计算1. 杆件的基本概念及其分类2. 内力的概念及其计算方法3. 内力图的绘制及其应用4. 杆件内力的计算应用五、应变与材料本构关系1. 应变的概念及其计算方法2. 应变状态的表示方法及其应用3. 弹性体的本构关系及其表达方式4. 可塑性材料的本构关系及其表达方式六、梁的静力学分析1. 梁的基本概念及其分类2. 内力图的绘制方法及其应用3. 弯矩与切力图的绘制方法及其应用4. 预应力梁的基本概念及其分析方法七、框架的静力学分析1. 框架的基本概念及其分类2. 框架的受力分析方法3. 剪力与弯矩的计算方法4. 建立框架模型及其应用八、曲杆的基本概念及其力学分析1. 曲杆的基本概念及其分类2. 内力计算方法及其应用3. 逆向解曲杆的内力和受力状态4. 曲杆的应力分析及其设计方法九、简化模型与计算方法1. 简化模型的概念及其应用2. 线性静力学模型的基本原理3. 单自由度体系的简谐振动分析4. 模型简化与计算方法的应用十、数值分析与计算机模拟1. 数值分析的基本原理及其应用2. 数值模拟与计算机实现的方法3. 程序设计思路及其常用语言4. 计算机模拟与应用实例。
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
空间力系的受力分析
（2）力矩矢通过O点
MOF
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指向由右 手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
M OFrF
r h O
x
B
F A
y
力矩矢量的方向
MO
F
按右手定则
r
MOrF
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
Fz F
i
M OFrF= x
Fx
jk yz Fy Fz
空间汇交力系的平衡条件：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
例题：已知：
C E E B E, D 30 ,0 F 1k0N 求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E α
C B
α F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象 建坐标系如图，
z D
E
C
α F2
B
F1 α
P
AБайду номын сангаас
y
x
FA
列平衡方程：
Fx 0
F 1 si 4 n 0 5 F 2si 4 n 0 5 0
z
Fz
βF
α
Fx
γ Fy
y
x
2、二次投影法 已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F cos
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos
φ
Fy y
Fy Fxy sin
Fx
最后得：
x
Fx F s in cos
F xy
Fy F s in s in
理论力学3—空间力系
r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
理论力学第5章-空间任意力系
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
空间力系
F
F
F
⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。
二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法
与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
R F1 F2 F3 Fn F i
即：合力等于各分力的矢量和
(由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采 用此方法合成）
Z 0
三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-2 空间力偶系
一、空间力偶三要素 决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的 转向外,还必须确定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则 空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作 用效应取决于下列三要素： ⒈ 力偶矩的大小 ； ⒉ 力偶作用面的方位 ； ⒊ 力偶的转向 。
§4-5 空间一般力系简化结果的讨论
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
一、力系平衡 若 R'0,MO 0, 则该力系平衡（下节专门讨论）。 二、力系简化为一个合力偶 若 R ' 0, MO 0 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力 系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。 三、力系简化为一个合力
⒈ 力矩的大小 ； ⒉ 力矩的转向 ； ⒊ 力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。
[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜 绕球铰链O点的 转动效应不同
二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中， 由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈ 力矩矢的表示方法
主矢方向: cos X ,cos Y ,cosg Z
空间力系的受力分析精品课件(一)
空间力系的受力分析精品课件(一)空间力系的受力分析精品课件是一门非常重要的课程，因为在现实生活中，我们经常需要分析物体在空间中的受力情况。
下面我们将从以下几个方面来介绍这门精品课件。
一、课件介绍该课件主要包含了空间力系的基本概念、受力分析的方法、平衡条件的表达方式以及不平衡力的合成等内容。
通过这门课程，学生能够掌握空间力系的一些基本概念，具备分析受力情况的能力。
二、学习目标通过学习该课件，学生应该能够掌握以下目标：1、掌握平面力系分析的基本方法和原理。
2、掌握空间力系分析的基本方法和原理。
3、了解不平衡力的合成原理以及应用方法。
4、掌握空间力系的平衡条件表述。
5、能够解答与空间力系有关的真实问题。
三、课件内容该课件主要涵盖以下内容：1、空间力系的基本概念在本章节，学生将学习到空间力系的定义、空间点和力的分类、力的共面、力矩等内容。
2、空间力系的受力分析本章节主要是介绍在力的作用下物体的平衡条件的表述、空间力系的受力计算方法以及几何法与力学法的区别。
3、不平衡力的合成在本章节中，学生将学习到如何将不平衡力合成为一个力以及合成力的大小和方向的求法。
四、课程设计该课件采用了理论与实战相结合的教学方法，不仅给学生讲解了空间力系的基本概念和分析方法，还进行了一些实战演练，帮助学生掌握空间力系的实际应用方法。
通过学生的学习，他们将能在实际工作中应用所学的知识和技能。
总的来说，空间力系的受力分析精品课件是一门非常实用的课程，能够帮助学生掌握空间力系的基本概念和方法，提高他们的应用能力，在未来的工作中有更多的机会去应用所学的知识。
第2章 空间力系的简化与物体的受力分析
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： F 的方向 M R O
（2）
MO F R
M0 FR
力螺旋
与M F O R 与M F O R
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
0 , M 0 , F M (3) F R O R O
方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体
作用点：接触点 未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束
P
FN
P
F2
F1
F3
物体之间的接触缩小为一 点接触。此时的约束力是一 集中力，这力的作用线必定 通过接触点，且同时通过两 个曲面对应接触点的曲率中 心，也就是力的作用线为接 触点的公法线方向。 方向：接触面的公法线并指向被约束物体 作用点：接触点
（2）平面柱铰
F
o B
Fox Foy o
销钉
A A
约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于 销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心 的合力 FR 未知量：2 个 约束力的大小和方向都随主动力而改变 表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定
当形成平面柱铰中 的一个带圆孔部件与基 础或静止的结构物固连， 就成为铰链支座，也称 固定铰支座
6 7 0 . 1 x 2 3 2 . 9 y 2 3 5 5 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
自由体 非自由体 P
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的 约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力 确定约束力指向的原则： 约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或运 动趋势方向相反。
工程力学第3章空间力系的平衡
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
结构设计原理课程设计书
结构设计原理课程设计书一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握结构设计的基本原理，理解结构稳定性、强度和刚度的概念及其在工程中的应用。
2. 使学生能够运用数学和物理知识分析简单结构体的受力情况，并推导出相应的受力方程。
3. 帮助学生了解不同材料在结构设计中的应用及其优缺点，培养他们对材料选择的能力。
技能目标：1. 培养学生运用计算机辅助设计软件（如CAD）进行结构草图的绘制，提高其空间想象力和实践操作能力。
2. 通过小组合作完成结构设计项目，培养学生团队协作、沟通表达和解决问题的能力。
3. 让学生能够运用所学知识对实际工程案例进行分析，提出改进措施，提高其创新意识和实践能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对结构设计的兴趣，激发他们探究未知、勇于创新的热情。
2. 通过学习我国建筑史上的经典结构案例，增强学生的民族自豪感和文化自信。
3. 使学生认识到结构设计在保障人民生命财产安全、促进社会经济发展中的重要作用，培养他们的责任感和使命感。
本课程针对初中年级学生，结合学科特点，注重理论知识与实际应用相结合，旨在培养学生的空间想象能力、创新意识和团队协作能力。
教学要求注重启发式教学，激发学生兴趣，引导他们主动探究，将知识转化为具体的学习成果。
通过本课程的学习，为学生奠定扎实的结构设计基础，为未来进一步学习相关专业知识和技能提供有力支持。
二、教学内容1. 结构设计基本概念：结构、稳定性、强度、刚度等定义及其在工程中的应用。
教材章节：第一章第一节2. 结构受力分析：介绍平面力系、空间力系的受力分析方法，推导受力方程。
教材章节：第一章第二节3. 结构材料选择：介绍常见结构材料（如钢、混凝土、木材等）的性能、特点及应用。
教材章节：第二章第一节4. 结构设计原理：讲解结构设计的基本原则，如安全性、经济性、合理性等。
教材章节：第二章第二节5. 计算机辅助设计软件应用：教授CAD软件的基本操作，绘制结构草图。
教材章节：第三章第一节6. 结构设计实例分析：分析典型结构设计案例，提出优化方案。
第2章空间力系的简化与物体的受力分析
设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销
钉。若不计滑轮与支架的自重，画出各构件的受力图。
FCB 0.6 m C
解：
FAB A
B FBA
FBy
FCB
H
45
B F FBx C
[ AB] [ BC ]
0.8 m
FT1
[轮B]
FAB A
H BF
45
I
FDxE
D FBC
D
G FBA
FFDy
FR
FR
F1
sin 60
F2
cos 30
F3
F
FR FRy j Fj
MA
主矩： M A M A F F3a M F2h 1.133Fa
合力大小和方向： FR FR Fj
合力作用点D至A点距离：d M A / FR 1.133 F a / F 1.133a
y
3m
C
例3 重力坝受力情况如图所示。设
在径向轴承的受力基础上，再加上一个指向轴的压力。
FAz
FAy
A
FAx
未知量：3 个
四、辊轴支座
在铰链支座的下 部，安装若干刚性滚 子，构成辊轴支座， 也可称为可动铰支座
A`
A
A
FA
由于辊轴支座沿滚动方向无约束功能， 约束力只能沿支承平面的法线方向，形成平 面平行力系，可简化为一个通过铰链中心的 合力
670.1x 232.9 y 2 355 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
P
自由体
非自由体
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的
约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力
理论力学 第4章-空间力系
mx (P) m y (P) mz (P)
6. 空间力矩的平衡:
M
o
(R) 0 m m m
x
0 0 0
空间力矩的平衡方程
y
z
§4-4 空间一般力系的简化和合成
1. 空间一般力系向一点O简化:
1) O点的空间汇交力系: ( P , P , P , P ); 2) 空间附加力偶系: ( m ( P ), m ( P ), m ( P ), m
2. 力偶系的合成:
1) 合力偶矩定理:空间上力偶系的合力偶矩等于各 (几何法) 个分力偶矩的矢量和 I l
2) 合力偶矩投影定理: 空间上力偶系的合力偶矩在 (解析法) 一根轴上的投影等于各个合力偶矩在同 一 轴上的投影的代数和
Lx Ly Lz
l l l
x
y
z
3. 力偶系的平衡
x0 y0 z0 N A B c o s c o s T1 0 N A B c o s sin T 2 0 N A B sin Q 0
3. 求解 :
cos s in cos 80
2
60
2
145 105 145 80 100 4 5 ;
方向余弦; 方向余弦;
Lx Ly Lz
3. 空间一般力系的再生成:
合成为合力:
当 R 0 , L 0 或 R L 时 大 小: 方向: 作 用 线 : 由 空 间 作 用 线 函 数 方 程 确 定 ; 或 简 单 地 在 L 作 用 面 内 , 以 d=| L R | 及 L 转 向 来 确 定 作 用 线 位 于 R 左 侧 或 右 侧 的 位 置 . R=R 可合为一合力
空间力系
静力学第四章空间力系杨文刚车床主轴受力分析§4-1 空间汇交力系§4-2 力对点之矩和力对轴之矩§4-3 空间力偶系§4-4 空间任意力系§4-5 重心空间汇交力系空间力偶系空间任意力系空间力系主要内容学习方法：在平面力系的基础上推广；注意其与平面力系的异同。
1 回顾平面汇交力系：力的平行四边形法则∑=iR F F 简化结果：平衡条件：=∑i F ∑=0x F ∑=0y F平面汇交力系合成的平行四边形法则对空间汇交力系是否适用？∑=i R F F 简化结果：平衡条件：=∑i F ∑=0x F ∑=0y F ∑=0zF2 空间汇交力系的简化与平衡条件§4-2 力对点之矩和力对轴之矩1 回顾平面力对点之矩1.大小：力F 与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素：()hF F M±=注意：其力矩作用面固定。
代数量2 空间力对点之矩三要素：(1)大小:力F与力臂的乘积(2)方向:转动方向(3)作用面：力矩作用面。
定位矢量2 空间力对点之矩3 力对轴之矩力与轴相交或与轴平行时（力与轴在同一平面内时），力对该轴的矩为零。
代数量3 力对轴之矩= -+ 0=1 回顾平面力偶in i i M MM ∑==∑=1两个要素：a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩d F M ⋅±=代数量=∑i M 简化结果：平衡条件：2 空间力偶空间力偶的三要素：（1）大小：力与力偶臂的乘积；（2）方向：转动方向；（3）作用面：力偶作用面。
2 空间力偶力偶矩矢矢量力偶矩相等的力偶等效2 空间力偶(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
(5)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
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取 Oxyz 坐标系如图，
y
FD
Fz 0
D
P1 P FA FB FD 0
0.2P1 1.2P 2FD 0 0.8P1 0.6P 0.6FD 1.2FB 0
解得：
FD 5.8kN
FA 4.423kN
FB 7.777 kN
39
例题：
图示长方形板用六根直杆固定于水平位置。板的重量为 P，受水平力 F = 2P， 求：各杆的内力
Fy 0
FA sin 300 F1 cos 450 cos 300
F2 cos 450 cos 300 0
Fz 0
x
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300
FA cos 300 P 0
解得：
F1
F2
10 2
3.54kN 2
FA 6F1 8.66kN
Fz i
i 1
7
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可 按照以下公式进行计算。
FR FRxi FRy j FRz k
合力的大小： 合力的方向：
FR FRx 2 FRy 2 FRz 2
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
COS( FR ,i )
FRx FR
z D
E
α F2
B
F1 α P
A
y
FA
12
空间汇交力系在任一平面上的投影 →平面汇交力 系
z D
E
空间汇交 力系平衡，投影得到的平
C
α F2
面汇交 力系也必然平衡。 sin 300 F1 cos 450 cos 300 F2 cos 450 cos 300 0
这三个因素可以用一个矢量来 表示，记为：
F
rA
O
y
MO
F
x
14
空间力对点的矩的计算
（1）力矩的大小为：
MO F F h 2OAB
（2）力矩矢通过O点
MO
F
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指
向由右手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
MO
F
r
F
x
z
r h O
B
F
A y
15
xc
Vi xi V
yc
Vi yi V
zc
Vi zi V
xc
xdV
V
yc
ydV V
zc
zdV
V
48
二、工程中常用的确定重心的方法
1、简单几何形状的物体 查重心表、或直接计算
2、复杂几何形状的物体 组合法
3、实验法
49
空间任意力系的平衡条件为：主矢和主矩都等于零。
FR 0 M O 0 上述公式的投影方程为：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M x Fi 0
M y Fi 0
M z Fi 0
空间任意力系有六个独立的平衡方程，
可以解得六个未知量。
28
空间平行力系的平衡条件：
显然 ：
Fx 0
（按照右手螺旋法则决定之）
22
三、力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:
力对点之矩的矢量在某一轴 上的投影,等于该力对该轴之 矩。
MO F
γ Mz F
C
γ
M
z
F
MO
FZ
即：
M z F M O F cos
23
结论的说明：
M O F 2OAC
MO F
γ Mz F
COS( FR , j )
FRy FR
COS( FR , k )
FRz FR
8
2、空间汇交力系的平衡
• 空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
由于
n
FR
Fi 0
i 1
FR
Fxi 2
Fyi 2
Fzi 2
空间汇交力系的平衡条件：
Fx Fy
0 0
Fz 0
M x F Fz AB CD A F cos l a
M y F Fz BC
x
F cos l
M z F Fx AB CD F sin l a
C
D
E
Fy
θ
Fz
B
F
y
Fx F sin Fz F cos
26
方法二:利用公式计算
z
M x F yFz zFy
M y F zFx xFz
9
例题：已知： CE EB ED, 300 , F 10kN
求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E
α
C B
α
F
A
y
x
10
解：取起重杆AB为研究对象
建坐标系如图，
C
z D
E
α F2
B
F1 α P
A
y
x
FA 11
列平衡方程：
Fx 0
F1 sin 45 0 F2 sin 45 0 0
C
α
Fx
x
γ Fy
y
3
2、二次投影法
已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F c os
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
z
FZ
F
γ
第二次投影
Fx Fxy cos
φ
Fy
最后得：
Fx
Fxy sin F sin c os x
Fx
Fxy
Fy
y
Fy F sin sin
重心：物体重力的合力 的作用点
图示物体，△Vi 体积的重力为
O
Pi
x 物体总重量 P 为
P Pi
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
y
yi
xi
xc
yc
47
z
O
x
yi
yc
对于均质物体
Mi △Vi
Pi
C
zi
P
zc
xi
xc
物体重心的坐标为
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
y
zc
Pi zi P
对于连续物体
a
F
A
E
b
D
P
H
B F
C
b
G
40
解：各支杆均为二力杆，设各杆均受拉，得结构的受力图如下。
a
D
F
A
F3
F2
F1
H
E
b
C
F6
B
F5
b
P
F4
G
F
41
b
a
D
C
M AE 0 F5 0
FA
F3
P
B
F5 F6 b
M AC 0 F4 0
F2 F1 H
F4
M AB 0
G
E
F
F6a
P
a 2
0
F6
P 2
Fz F c os
4
例题 已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z
解： F1 、F2 可用直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
F1
Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500N x
4m
600 F2
F3
Fx2 F2 sin 60 0 1000 Fy 2 F2 cos 60 0 500 N Fz 2 0
力矩矢量的方向
F
MO
按右手定则
r
MO r F
16
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
MO
F
r
F
=
i x
j y
k z
Fx Fy Fz
yFz zFy
i
zFx
xFz
j
xFy yFx
k
Fz
F
Fx
r
Fy
17
二、力对轴之矩
1、定义:
力使物体绕某一轴 转动效应的量度,称 为力对该轴之矩.
M x F yFz zFy
M y F zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
25
例题
已知：AB = BC = l， CD = a， 力 F 位于垂直于 y 轴的平面内，偏 离铅垂线的角度为θ
求：力F对x、y、z 轴的矩 z
方法一:将力向三个坐标轴方 向分解后，直接计算
A
x FA
Fz 0,
F1 cos 450 sin 300 F2 cos 450 sin 300 FA cos 300 P 0
yE
2 2
F1
F2
B
α
P
A
y
FA
13
§3-2 力对轴的矩 一、空间力对点的矩
空间力对点的矩取决于：
（1）力矩的大小
z
（2）力矩作用面的方位
MO
F
B
（3）力矩在作用面内的转向
二、空间汇交力系的合成和平衡
• 1、合成
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作
用点（线）通过汇交点。
n
FR F1 F2 Fn
Fi
i 1
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于力系中各分力在同一轴上投 影的代数和。
n
FRx
Fx i
i 1
n
FRy
Fy i
i 1