天津市2017高考数学压轴卷文
2017年高考(天津卷)数学(文)试卷 无水印
(0 ， c) ， △EFA 的面积为
b2 ． 2 （Ⅰ）求椭圆的离心率；
3 （Ⅱ）设点 Q 在线段 AE 上， FQ c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ， N 2 在 x 轴上，PM ∥QN ， 且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ， 四边形 PQNM 的面积为 3c ．
（17） （本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ， AD∥BC ， PD PB ， AD 1 ，
BC 3 ， CD 4 ， PD 2 ．
P
（Ⅰ）求异面直线 AP 与 BC 所成角的 余弦值； （Ⅱ）求证： PD 平面 PBC ； （Ⅲ） 求直线 AB 与平面 PBC 所成角的 正弦值．
x0 1] 上恒成立，求 b 的取值 （ⅱ）若关于 x 的不等式 g ( x) ≤ e x 在区间 [ x0 1 ，
范围．
（20） （本小题满分 14 分） 已知椭圆
x2 y 2 0) ，右顶点为 A ，点 E 的坐标为 1（ a b 0 ）的左焦点为 F (c， a 2 b2
（2）设 x R ，则“ 2 x ≥ 0 ”是“ x 1 ≤ 1 ”的 （A）充分而不必要条件 （C）充要条件 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这 5 支彩笔中 （3）有 5 支彩笔（除颜色外无差别） 任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A）
（7 ） 设函数 f ( x) 2sin( x ) ，x R ， 其中 0 ， π ． 若 f( 且 f ( x) 的最小正周期大于 2π ，则 （A） （C）
2017年高考真题——数学(文)(天津卷)+Word版含解析
1 ，则 线的斜率为 f ′(1) = a − 1 ， 线 x
方程为 令令
x = 0 得出 y = 1 ，在 y 轴的截距为.
点在一个球面 ，若这个 方体的表面积为 令8，则这个球
的体积为 . 答案
9π 2
解析 设 方体边长为，则 6a 2 = 18 ⇒ a 2 = 3 ， 外接球直径为 2 R = 3a = 3, V =
A
ω = ,ϕ =
A
2 3
π 12
B
ω = ,ϕ = −
2 3
11π 12
C
ω = ,ϕ = −
1 3
11π 24
D
ω = ,ϕ =
1 3
7π 24
答案
8
| x | +2, x < 1, x 知函数 f ( x ) = 设 a ∈ R ，若关于的 等式 f ( x ) ≥| + a | 在 R 2 2 x + , x ≥ 1. x
a<b<c
B
b<a<c
C
c<b<a
D
c<a<b
答案 解析 且 据
C
题意
1 a = f − log 2 = f ( log 2 5 ) ， 5
log 2 5 > log 2 4.1 > 2,1 < 20.8 < 2 ， log 2 5 > log 2 4.1 > 20.8 ，
f ( log 2 5 ) > f ( log 2 4.1) > f ( 20.8 ) ，
4 5
答案
3 5
C
2 5
2017年高考(天津卷)数学(文)试卷及参考答案.pdf
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：?如果事件A，B互斥，那么P( A B)P(A)P(B)．?棱柱的体积公式V Sh．其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．?球的体积公式V 43πR3．其中R表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合A{1，，26}，B{2，4}，C{1，，，234}，则(A B ) C （A）{2} （B）{1，，24} （C）{1，，，246}（D）{1，，，，2346} （2）设x R，则“ 2x≥ 0”是“x 1 ≤1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D）15 5 5 5数学（天津卷・文史）第1页（共5页）（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1 开始（C ） 2 输入N（D ） 3 x2y2否N能被整除？（5）已知双曲线 1 （a 0 ，b 0 ）的3a2b2是右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAFNNN = N -1是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线3的方程为否N ≤3 ?（A ）x 2y 214 12 是x2y2（B ）输出N1124结束x 2（C ） y213 （第4题图）y2（D ）x213（6）已知奇函数f (x)在R 上是增函数．若af (log 215)，bf (log 2 4.1)，cf (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a bc（B ）ba c （C ）cb a （D ）c a b（7）设函数f (x )2sin(x )，x R ，其中0，π ．若f ( 5π) 2 ，f (11π) 0 ，8 8且f (x)的最小正周期大于2π，则（A ） 2 ，π（B ） 2 ，11π3123 12 （C ）1，11π（D ）1 ，7π324324x 2 ，x 1，x （8）已知函数fx2，x ≥1.设aR ，若关于x 的不等式f (x )≥a在R 上2xx恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2，2] （B ）[ 2 3，2] （C ）[2，2 3 ]（D ）[ 2 3，2 3 ] 数学（天津卷・文史）第2页（共5页）绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考天津卷文数试题(教师版含解析)
绝密★启用前本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·棱柱的体积公式V=Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式343VR =π．其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6}【答案】B【解析】由题意可得{}1,2,4,6A B =，所以{}()1,2,4A B C =．故选B ．【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．（2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充要关系【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若,/p q q p ⇒⇒，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若p q ⇔，那么p 是q 的充要条件，若,//p q q p ⇒⇒，那那么p 是q 的既不充分也不必要条件；②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若:p x A ∈，:q x B ∈，若A 是B 的真子集，那么p 是q 的充分而不必要条件，同时q 是p 的必要而不充分条件，若A B =，那么p 是q 的充要条件，若没有包含关系，那么p 是q 的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“p 是q ”的关系转化为“q ⌝是p ⌝”的关系进行判断．（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）45（B ）35（C ）25（D ）15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率42105P ==．故选C ．学科&网 【考点】古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式()()n A P n Ω=即可得解． （4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】C【解析】初始19N =，进入循环后N 的值依次为18,6,2N N N ===，结束循环，输出2N =，故选C ．【考点】程序框图【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是近几年高考的重点和热点．对于此类问题：①要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；②要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；③按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果．近几年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数、数列等知识相结合．（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 603c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3a b ==，故双曲线方程为2213y x -=．故选D ．【考点】双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．解题时要注意a ，b ，c 之间满足的关系：222c a b =+，否则很容易出现错误．求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到a ，b ，c 满足的关系式，联立求解可得a ，b ，c 的值．（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<【答案】C【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． （7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ== （B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ． 【考点】三角函数的图象与性质【名师点睛】关于sin()y A x ωϕ=+的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据最小正周期求ω，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求ω或ϕ的值、函数最值、取值范围等．（8）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）[2,2]-（B ）[23,2]-（C ）[2,23]-（D ）[23,23]-【答案】A【考点】分段函数、不等式恒成立问题【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年 天津市 高考数学 试卷及解析(文科)
2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）1A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f （），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f （）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）2A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i 为虚数单位，若为实数，则a 的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．3三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．4（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为5A，点E的坐标为（0，c），△EFA 的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．62017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，8取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，9第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N ═=2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：．10故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f （），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f （）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．117．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f （）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f （）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f （）=2，f （）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin （x+φ），由f （）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．12【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B ．C ．D ．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g （x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，13解可得﹣2≤a≤2，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i 为虚数单位，若为实数，则a 的值为﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a ∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，14可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为1．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．15【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）2+=1．16【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．17【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab +≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，18当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+19=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．20三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b ．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB ，得．21由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可22画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y 满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y ，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y 轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M 时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．23∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所24成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA 中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC 所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．25因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF 中，可得．所以，直线AB与平面PBC 所成角的正弦值为．【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过26b2+b3=12，求出q ，得到．然后求出公差d，推出a n=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化27思想以及计算能力．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），28令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x029﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA 的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；30（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP 的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP 的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE 的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q 的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP 的斜率为．31（ii）解：由a=2c ，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c ．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP ，所以，所以¡÷FQN 的面积为，同理¡÷FPM 的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c ，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．32。
2017年天津市高考数学试卷(文科)
2017年天津市高考数学试卷(文科)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6},B={2，4｝，C=｛1，2，3，4}，则（A∪B)∩C=（）A．{2}B．｛1，2，4}C．｛1，2，4，6｝D．｛1，2,3，4，6｝2．（5分）设x∈R,则“2﹣x≥0"是“｜x﹣1｜≤1"的（)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．(5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19,则输出N 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．(5分）已知双曲线﹣=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点)，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知奇函数f(x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24。
1），c=f（20。
8),则a，b,c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ)，x∈R，其中ω＞0，｜φ｜＜π．若f（)=2，f()=0,且f（x)的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f(x）=，设a∈R,若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是(）A．［﹣2，2]B．C．D．二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。
9．（5分)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数,则a的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f(x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．(5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．(5分)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．(5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3,AC=2．若=2，=λ﹣(λ∈R)，且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15．（13分)在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2)．(Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时,需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长（分钟)收视人次（万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB，AD=1,BC=3，CD=4,PD=2．(Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证:PD⊥平面PBC；(Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n｝为等差数列，前n项和为S n（n∈N＊)，{b n｝是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N＊）．19．（14分)设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4)x+b,g(x）=e x f(x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g(x）和y=e x的图象在公共点（x0,y0）处有相同的切线，（i)求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x)≤e x在区间[x0﹣1，x0+1］上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1(a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0)，右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率;（II）设点Q在线段AE上,｜FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；(ii）求椭圆的方程．2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2017年天津市高考数学试卷文科【精编】
2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g （x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为1．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）2+=1．【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出a n=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得（Ⅱ）到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
天津市高考数学压轴卷 理
2017天津市高考压轴卷理科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1.设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞2.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．03.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法4.已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ） A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D. 离心率相等5.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③6.执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．72557.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）608.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 10.12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为11.设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =12.如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。
天津市高考压轴卷 数学(文) Word版含解析
KS5U2017天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1. 已知集合A={0，2，4，6}，B={x ∈N|2x ≤33}，则集合A ∩B 的子集个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．42. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）A ．B ．C ．D ．23. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． +24. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若sinA=2 sinB ，，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆(()2211x y +-=相切，则此双曲线的离心率为（ ）6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）A ．a=3B ．a=4C ．a=5D ．a=67. 将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A 和B 所示的两个柱体，则柱体A 和B 的表面（不含地面）数字之和分别是( )A ．4748，B ．4749，C ．4950，D ．5049，8. 定义在R 上的函数)(x f y =，对任意不等的实数21,x x 都有0))](()([2121<--x x x f x f 成立，又函数)1(-=x f y 的图象关于点（1，0）对称，若不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立，则当41<≤x 时，xy的取值范围是 A ．]1,21(-B ．]1,(-∞C ．]1,21[-D ．),21[∞- A B12436655523136二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 设等比数列{a n }的公比q=，前n 项和为S n ，则= ．10. 已知向量，，，且，则实数m= ．11已知抛物线C ：y 2=4x ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为（2，2），则直线l 的方程为 ．12. 某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从20岁至45岁的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加消防演习活动，则从第4组中抽取的人数为 ．13. 已知数列{a n }满足a n =（n ∈N *），若{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是 ．14. 设函数()()02>+=x x xx f ，观察： ()()21+==x xx f x f ， ()()()4312+==x xx f f x f ， ()()()8723+==x xx f f x f ， ()()()161534+==x xx f f x f ，根据以上事实，由归纳推理可得：当*N n ∈且2≥n 时，()()()x f f x f n n 1-==__________。
2017天津市高考压轴卷 数学Word版含解析
2017天津市高考压轴卷理科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1. 已知集合2{|1}M x x=＜，{|N y y =，则()R C M N = （ ） A.(0,2] B.[0,2] C.∅ D.[1,2]2. 函数()f x ）A ．[0，+∞)B ．(-∞，2] C. [0，2] D ．[0，2)3. 平行四边形中，，点在边上，则的最大值为 A.B.C.D.4. 某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．5. （x 3+x ）3（﹣7+）的展开式x 3中的系数为（ ）A ．3B ．﹣4C ．4D ．﹣76. 已知椭圆+=1（m ＞0）与双曲线=1（n ＞0）有相同的焦点，则m+n 的最大值是（ ） A ．3B ．6C ．18D ．367. 已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且n n a 32n S +=，则1n n a a -的最大值为（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．18. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc（a ，b ，c ，*d N ∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ） A ．227 B ．6320 C ．7825D ．10935 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.若复数z 满足（1﹣i ）z=1﹣5i ，则复数z 的虚部为 ．10. 阅读程序框图，如果输出的函数值y 在区间内，则输入的实数x 的取值范围是 ．11设变量x 、y 满足约束条件：则z ＝x 2＋y 2的最大值是__ __．12在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则点F 到双曲线x 2﹣=1的渐近线的距离为 ．13. 在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s=+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____． 14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。
2017年高考数学天津卷文(附参考答案及详解)
年普通高等学校招生全国统一考试
天 津 卷 文 科
!!本试卷分第!卷选择题和第"卷非选择题两 部 分共 !"# 分 考 试 时 间 !$# 分 钟 !
第!卷
! 参! 考!公!式!!! !!!!!! !!!!!! 如果事件 "$ 互斥那么 *"'$'*"1*$! 棱 柱 的 体 积 公 式 D '4E!
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2017天津市高考压轴卷 数学(文) Word版含解析
KS5U2017天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1. 已知集合A={0，2，4，6}，B={x ∈N|2x ≤33}，则集合A ∩B 的子集个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．42. 如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）A ．B ．C ．D ．23. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． +24. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若sinA=2 sinB ，，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与圆(()2211x y +-=相切，则此双曲线的离心率为（ ）6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ）A ．a=3B ．a=4C ．a=5D ．a=67. 将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A 和B 所示的两个柱体，则柱体A 和B 的表面（不含地面）数字之和分别是( )A ．4748，B ．4749，C ．4950，D ．5049，8. 定义在R 上的函数)(x f y =，对任意不等的实数21,x x 都有0))](()([2121<--x x x f x f 成立，又函数)1(-=x f y 的图象关于点（1，0）对称，若不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立，则当41<≤x 时，xy的取值范围是 A ．]1,21(-B ．]1,(-∞C ．]1,21[- D ．),21[∞-A B12436655523136二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 设等比数列{a n }的公比q=，前n 项和为S n ，则= ．10. 已知向量，，，且，则实数m= ．11已知抛物线C ：y 2=4x ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为（2，2），则直线l 的方程为 ．12. 某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从20岁至45岁的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加消防演习活动，则从第4组中抽取的人数为 ．13. 已知数列{a n }满足a n =（n ∈N *），若{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是 ．14. 设函数()()02>+=x x xx f ，观察： ()()21+==x xx f x f ，()()()4312+==x xx f f x f ，()()()8723+==x xx f f x f ，()()()161534+==x xx f f x f ，根据以上事实，由归纳推理可得：当*N n ∈且2≥n 时，()()()x f f x f n n 1-==__________。
天津市2017高考数学压轴卷 文
2017天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题5分,共40分) 1.若复数iia 213++（a ∈R,i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ( ) A.6B.-6C.23 D. 23- 2.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ． 若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠D ． 若tan 1α≠，则4πα=3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ． 44π-4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+B ．30+C ．56+． 60+5.将)63cos(2π+=x y 图像按向量)2,4(--=πa 平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）A.π3 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,4π B. π6 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43πC. π6 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,43π D. π3 ，⎪⎭⎫⎝⎛2,4π6.如右图的流程图，若输出的结果132=s ，则判断框中应填 A ．?10≥i B ．?11≥i C ．?11≤i D ．?12≥i7.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （θ为参数） 8.已知双曲线2221(0)x y a a-=>,过点C （0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于A 、B 两点,若2AC CB =，则双曲线的离心率为二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.如果不等式组0210x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k =_______________.10.由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。
2017年天津市高考数学试卷文科-真题
2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g （x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为1．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）2+=1．【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出a n=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
(word完整版)2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版),推荐文档
2017 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．（ 1）【 2017 年天津，文 1， 5 分】设会合 A1,2,6 ， B2,4 ，C 1,2,3,4 ，则 (AUB) I C （）（A ） 2 （B ） 1,2,4（ C ） 1,2,3,4（ D ） 1,2,3,4,6【答案】 B【分析】 AU B1,2,4,6， (AUB)I C {1,2,4,6} I {1,2,3,4} {1,2,4} ，应选 B ．（ 2）【 2017 年天津，文 2， 5 分】设 x R ，则 “2x 0 ”是 “x 1 1 ”的（）（ A ）充足不用要条件（ B ）必需不充足条件（ C ）充足必需条件（ D ）既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】 2 x 0 解得： x2 ； x 1 1解得： 0x 2 ， x 2 0 x 2 ，应选 B ．（ 3）【 2017 年天津，文 3， 5 分】有 5 支彩笔（除颜色外无差异） ，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5 支彩笔中任取 2 支不一样颜色的彩笔，则拿出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1【答案】 C 55 5 5【分析】 “从这 5 支彩笔中任取 2 支不一样颜色的彩笔 ”基本领件总个数：C 52 ，而事件 “拿出的 2 支彩笔中含有红色彩笔 ”包括基本领件个数： C 41； P4 2，应选 C ．（ 4）【 2017 年天津，文 4， 5 10 5N 的值分】阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，若输入的为 19，则输出的 N 的值为（ ）（A ）0（B ） 1 （C ） 2 （D ）3【答案】 C【分析】阅读流程图可得，程序履行过程以下：第一初始化数值为N 19 ，第一次循环：NN1 18 ，不知足 N 3 ；第二次循环： NN3 ；第三次循36 ，不知足 N环： NN 2，知足 N 3 ；此时跳出循环体，输出N 3 ，应选 C ．3x 2y 2（ 5）【 2017 年天津，文 5， 5 分】已知双曲线1(a 0,b 0) 的左焦点为 F ，点 A 在a 2b 2双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为 （ ）（ A ） x2y 2 1（ B ） x 2y 2 1（ C ） x2y 21（D ） x 2y21 【答案】 D 41212 433【分析】由于 OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点）因此 OF2 ， AOF 60 ，所以直线 OA 方程为 y3x ，因此渐近线方程 ybx 此中一条为 y3x ，因此，ac 2，解之得： a 1,b3, c 2 ，应选 D ．b a3（ 6）【 2017 年天津，文 6，5 分】已知奇函数 f (x) 在 R 上是增函数， 若af (log 1 )4.1)2 5 ，2，cf (2 ) ，则 a,b,c 的大小关系为（b f (log）1【分析】由于 f (x) 在 R 上是奇函数，因此有f ( x)f (x) ，即 af (log 2 1) f (log 2 5) ；又由于 f ( x) 在 R 上2215是增函数，且log 2 4log 2log 2 5 ，因此 c b a ，应选 C ．（ 7）【 2017 年天津， 文 7，5 分】设函数 f ( x)2sin( x ), x R ，此中0,，若 f ( 5 ) 2, f (11) 0 ，且 f ( x) 的最小正周期大于 288，则（）（ A ） 2, 12（ B ）2, 11 （C ）1 , 11 （ D ）1, 7【答案】 A3312324324【分析】函数 f (x)2sin( x5) 2, f ( 11) 0 ，振幅为 2，因此以下图：), x R ， f (88若函数图象如图表 1 所示，3T11 5 ，解得 T ，不知足最小正周期大于 2 ，488因此函数图象如图表 2所示，T11 5 ，解得 T 3 ， 2，又由于f (5) 2 ，4 8 838因此2 5，因此，应选 A ． 38212x2, x 1（ 8）【 2017 年天津，文 8，5 分】已知函数 f (x)x2, x ，设 a R ，若对于 x 的不等1x式 f ( x)x a 在 R 上恒建立，则 a 的取值范围是（）2（A ）[ 2,2]（B ） [ 2 3,2]（C ） [ 2,2 3]（D ） [2 3, 2 3]【答案】 A【分析】函数 f (x) 的图象以下列图（左） ，若对于 x 的不等式 f (x)xa 在 R 上恒成2立，则不如设 g ( x ) x a ， “xa 在 R上恒建立 ”表示 y f ( x) 图2f (x) 2象与 y g (x) 图象应以下列图 （右）所示找到两个临界地点: ① f ( x) 与 g( x) 相切时， x1 ， f '(x) 1 21，解得 x 0 2 ， y 0 3 ，代入 g(2) 3 ，解得x222 a3 ， a2,a4 （舍）；② g( x) 过点 (0,2) ，代入 g(0) 2 ， a2 ，解得 a2,a 2 （舍），故 a2的取值范围在2 与 2 之间，应选 A ．二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．（ 9）【 2017 年天津，文 9， 5 分】已知 a R ， i 为虚数单位，若 a i为实数，则 a 的值为．【答案】 22 i【分析】解法一： a i (a i)(2i) 2a 1 ( a2)i为实数，因此 a 20 ， a2 ．2 i (2 i)(2 i) 5解法二：a i为实数a i 与 2 i 成比率，比率为 1 ，因此 a 2 ．2 i10， 5 分】已知 a R ，设函数 f (x) ax ln x 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线为 l ，则 l 在（ 10）【 2017 年天津，文 y 轴上的截距为．【答案】 1【分析】函数 f (x) 的导函数 f '( x)a1，因此 f (1) a, f '(1) a 1 ，切点 (1,a) ，斜率为 a 1 ，因此代入切线点x（ 11）【 2017 年天津，文 11，5 分】已知一个正方体的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】9234 R 39【分析】球的表面积公式S 6a 218，因此棱长 a 3 ，计算得： 2R3a 3， R， V ．（ 12）【 2017 年天津，文 12】设抛物线 y 22 3 24x 的焦点为 F ，准线为 l ，已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点A ，若 FAC 120 ，则圆的方程为．2( y21【答案】 (x 1)3)【分析】抛物线 y2 4 x 的焦点为 F (1,0) ，准线为 l : x 1，因此可设 C( 1,b) ，OA b ， FAC120 ，因此在直角三角形 OAF 中， OF 1 ，因此 OA3 ，因此圆的圆心 ( 1, 3) ，AFH 60 ，半径等于 1，因此圆 C : ( x1)2 ( y 3) 2 1 ．441的最小值为（ 13）【 2017 年天津，文 13， 5 分】若 a,bR ， ab 0 ，则a4b．ab【答案】 44 4 2 2【分析】 a4b 14a b 1 4abababab13解之得： a 2 4 , b 2 4 ．（ 14）【 2017 年天津，文 14，5 分】在uuuv uuuv( R)，且 AD AE 4 ，则【答案】 3114 （ ab0），当且仅当 “a 4 4b 4 ”、 “4a 2b 21 ”同时建即刻，等号建立，ABC 中， A 60 ，AB 3，ACuuuv uuuv uuuvuuuv uuuv 2，若 BD 2DC ， AEAC AB的值为 ．uuur uuur3 2 cos60 0uuur 1 uuur2 uuur【分析】 AB AC3, ADABAC ，则 1 uuur 2 uuur 33uuur uuur uuur uuur 3 2 1 2 3 43．AD AE ( AB AC)( AC AB ) 3 493 11 3 3 3 3三、解答题：本大题共 6 题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 15）【 2017 年天津，文 15， 13 分】在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．已知 asin A4sin B ，ac5( a 2b 2c 2 ) ．（ 1）求 cosA 的值； （ 2）求 sin(2 B A) 的值．222ac 5 ．解：（ 1） a sin A 4bsin B 可化为 a2 4b 2 ，解得： a 2b ，余弦定理： cos A b ca22bc5bc 5（ 2）依据 cos A5sin A2 552 52sin B cosB45 ，解得，因此 sin B， cos B5 ， sin 2B，555cos2B 2cos 2 B 1 3 ， sin(2B A) sin 2B cos A cos2 B sin A4 (5 ) 3 2 5 10 5 2 5 ．55 5 55 25 5（ 16）【 2017 年天津，文 16， 13 分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次以下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长 （分钟）收视人次（万）甲 70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间许多于 30 分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，分别用 x, y 表示每周计划播出的甲、 乙两套电视 剧的次数．（ 1）用 x, y 列出知足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；（ 2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？7 x 6 y 60x y 6．解：（ 1）分别用 x, y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数 2 yxx, y N（ 2）设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z 60x 25y ．考虑 z 60x25y ，将它变形为 y12 xz，这是斜率为12，随 z 变化的一族平行直线．z 为直线在 y 轴上的截距，525525当 z获得最大值时， z 的值最大． 又由于 x, y 知足拘束条件， 因此由图 2 可知，当直线 z 60x25 y 经25过可行域上的点 M 时，截距 z7 x 6 y 60最大，即 z 最大．解方程组 2 y ，得点 M 的坐标为25 x 0 因此，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多． （ 17）【2017 年天津，文 17，13 分】如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 PDC ，AD ∥BC ， PD PB ， AD 1， BC 3 ，CD 4 ， PD 2 ．（ 1）求异面直线 AP 与 BC 所成的角的余弦值；（ 2）求证： PD 平面 PBC ；（ 3）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．解：（ 1）由于 AD ∥ BC ，因此 PAD 等于异面直线 AP 与 BC 所成的角， Q AD平面 PDC ，因此 PDA 90 ， PA 5 ， cos PAD AD 5 ．PAP 5（ 2）由于 AD 平面 PDC ，因此 AD PD ，又由于 AD ∥ BC ，因此 PDBC ，PD PB ，且 PBI BC B ，因此 PD 平面 PBC ．（ 3）取 BC 上三分点， 3BE BC ， AD//BE ， AD BE 1 ， PD 平面 PBC ，因此 DEP等于直线 AB 与平面 PBC 所成角 DPE 90 ，AB 2 5，DE 2 5， PE 4，PD 2 5 ．Dsin DEPDE 2 556,3 ．CE BA（ 18）【 2017 年天津，文 18， 13 分】已知 a n 为等差数列，前 n 项和为 S n (n N *) ， b n 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， b 2 b 3 12 ， b 3 a 4 2a 1 ， S 11 11b 4 ．（ 1）求 a n 和 b n 的通项公式；（ 2）求数列 a 2nbn的前 n 项和 (nN *) ．解：（ 1）已知 a n为等差数列， b n 是首项为 2 的等比数列，且公比大于0，因此 a n a 1 (n 1)d ，b n b 1 qn12qn 1，2q 2q 212 ，解之得： q 2, q3（舍），8a 1 3d11 16 ，解之得： a 1 1,d 311(a 1 5d )因此 a n 3n 1， b n 2n．（ 2） a 2 n b n (6n 2) 2n，不如设数列a 2nbn的前 n 项和为 T n ， T n a 2b 1a 4b 2 a 6b 3 La 2 n 2b n 1 a 2n b n ，T n4 21 10 2216 23L(6n 8) 2n 1(6n2) 2n①2T n 4 22 10 23 L (6n 14) 2n 1 (6n 8) 2n(6n 2) 2n 1②① -②得： T n 421 6 226 23 L6 2n (6 n2) 2n 1，整理得： T n16 (3n 4)2n 2 ．（ 19）【 2017 年天津， 文 19，14 分】设 a,b R ， a1 ，已知函数 f ( x) x 3 6x 23a( a 4)x b ， g(x)e xf ( x) ．（ 1）求 f (x) 的单一区间；（ 2）已知函数 yg( x) 和函数 y e x 的图象在公共点 (x 0 , y 0 ) 处有同样的切线．（ i ）求证： f ( x) 在 x x 0 处的导数等于 0；（ ii ）若对于 x 的不等式 ( xg x e 在区间 [ x 01,x 01]上恒建立，求 b的取值范围．)解：（ 1） f '(x)(x 3 )' 6(x 2 )' 3a(a 4) x '， f '(x) 3x212x 3a(a 4) ，f '(x) 3x 2 12x 3a(a 4) 3(x a)( xa 4) ，由于 a 1 ，因此 a 4 a ， 因此， f ( x) 的单一增区间 ( ,a),(4 a,) ， f (x) 的单一减区间 [a,4a] ．（ 2）（ i ） ()x( ) 与 xx 0x 0e f y e 在公共点 0 0 处有同样的切线，第一，g (x 0 ) e；其次， g '(x 0 )e ，g x x( x , y )f ( x 0 ) 1 ， f ( x 0 ) f '( x 0 ) 1，因此 f '(x 0 ) 0 ．（ i i ） g(x) 在区间x [x 02a 3 e x 等价于 f ( x) 1 ， f '( x 0 ) 0 ， f ( x 0 ) 1 ，因此 x 0a 极大值点， 若对于 x 的不等式 g( x) e x [ x 0 1,x 0 1] 上恒建立，等价于 f ( x)1 在区间 [x 01,x 0 1] 上恒建立，等价于 f max ( x) 1 ，1,x 0 1] ，当 x 0a ， f (x) 在 [a 1,a] 递加，在 [a,a 1] 递减， f (a) 为最大值，f (a) 1， 6a 2b 1 ， b 2a 3 6a 2 1 ，令 h( x) 2x 3 6x 2 1， h'(x) 6x 212x 6x(x2) ， h( x) 在[ 1,0] 递加，在 [0,1] 递减，因此7 h( x) 1 ， 7 b 1．2 2（ 20）【 2017 年天津，文 20， 14 分】已知椭圆x y 1(a b0) 的左焦点为 F ( c,0) ，右极点为 A ，点 E 的222ab坐标为 (0,c) ， EFA 的面积为b． 2（ 1）求椭圆的离心率；（2）设点 Q 在线段 AE 上， | FQ |3，延伸线段 PQ 与椭圆交于点 P ，点 M ，N 在轴上， PM ∥QN ，c2且直线 PM 与直线 QN 间的距离为，四边形 PQNM 的面积为 3c ；（ i ）求直线 FP 的斜率；（ ii ）求椭圆的方程．解：（ 1） S AEF1 AF OE1 (a c) c b2 ，由于 b 2a 2c 2 ，因此 c a c ，故 a2c ， ec 1 ．22 uuuv 2a 2 （ 2）（ i ） EFOuuuvuuuv (1uuuv uuuv2c ，45 ，设 EQ1EA (01) ，因此 FQ) FE FA ，FEuuuvFA3c，两边平方，解之得：933c ，由于 FQ， （舍）2uuuv102uuuv(1uuuv uuuv(6c , 9c) ，直线 FP 的斜率等于y3代入 FQ) FE FA ，得 FQ5 10x4（ii ）直线 4 y2 3x uuuv即 PQ FP 的方程： y 03( x c) ；为求点 P 的坐标，联立方程解方程组：43x 3cc, x 13c3c uuuv 6c9c c 9c 2 2 ，解之得： x（舍），因此 P(c, 2 ) ，由于 FQ ( , )，因此Q( , ) ， 4 y 12c 7 5 10 5 10c ，而 PM ∥ QN ，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ，因此直线 PM与直线 QN 垂直于 PF ，由（ i ）直线 FP 的斜率等于3，可得 PM 3PF3 5c 15c ， QN 3 FQ3 3c 9c ，44 4 2 8 44 28S MNPQS FPMS FQN1(PM PF QNQF )3c 2 ，因此 3c 2 3c ，解之得 c 2 ，222 因此 a4,b2 3 ，因此x 2y 2 1 ．16 12。
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2017天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题5分,共40分) 1.若复数iia 213++（a ∈R,i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ( ) A.6B.-6C.23 D. 23- 2.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ． 若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠D ． 若tan 1α≠，则4πα=3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ． 44π-4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A ．2865+ B ．3065+ C ．56125+ D ． 60125+5.将)63cos(2π+=x y 图像按向量)2,4(--=πa 平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）A.π3 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,4πB. π6 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43πC. π6 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,43π D. π3 ，⎪⎭⎫⎝⎛2,4π6.如右图的流程图，若输出的结果132=s ，则判断框中应填 A ．?10≥i B ．?11≥i C ．?11≤i D ．?12≥i7.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （θ为参数） 8.已知双曲线2221(0)x y a a-=>,过点C （0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于A 、B 两点,若2AC CB =，则双曲线的离心率为551010二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.如果不等式组0210x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k =_______________.10.由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。
（从小到大排列） 11.函数1x y +=_________ 12.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <，则m 的取值范围是 .13. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24yx 的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA ． 14.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = .三、解答题：本大题共6小题,共80分.15. （本小题满分13分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .16. （本小题满分13分）已知na 是各项均为正数的等比数列,nb 是等差数列,且112331,2a b b b a ,5237a b .（I ）求na 和nb 的通项公式；（II ）设*,nn n c a b nN ,求数列nc 的前n 项和.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.18. （本小题满分13分）某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间8点10点12点14点16点18点停车场甲10 3 12 6 12 17停车场乙13 4 3 2 6 19 如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（Ⅰ）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（Ⅱ）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率； （Ⅲ）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率.19.(本小题满分l4分)已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R． (1)当1=a 时讨论函数)(x f 的单调性；(2)当1≥x 时，)(x f ≤1ln +x x恒成立，求a 的取值范围．20. (本小题满分l4分)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.试卷答案1.B2.C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 3.D 【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯，故选D 4.B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。
利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右左底因此该几何体表面积3065S =+，故选B 。
5.C6.B7.C8.D9. 【答案】0或21-10. 【答案】这组数据为_________1,1,3,3【解析】不妨设1234x x x x ≤≤≤得：231234144,84x x x x x x x x +=+++=⇒+=2222212341(2)(2)(2)(2)420,1,2i s x x x x x =⇔-+-+-+-=⇒-= ①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意 ②只能取21i x -=；得：这组数据为1,1,3,311. 【答案】定义域为______[1,0)(0,)-+∞【解析】1x y x +=中的x 满足：10100x x x +≥⎧⇔-≤<⎨≠⎩或0x >12. 【答案】(4,0)-【解析】首先看()22xg x =-没有参数，从()22xg x =-入手，显然1x <时，()0g x <，1x ≥时，()0g x ≥，而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可，故只要1x ∀≥时，()0f x <（*）恒成立即可。
当0m =时，()0f x =，不符合（*），所以舍去；当0m >时，由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<，并不对1x ∀≥成立，舍去；当0m <时，由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<，注意20,1m x ->≥，故20x m ->，所以30x m ++>，即(3)m x >-+，又1x ≥，故(3)(,4]x -+∈-∞-，所以4m >-，又0m <，故(4,0)m ∈-，综上，m 的取值范围是(4,0)-。
13. 21【解析】此题考查了抛物线的定义和倾斜角的概念，注意数形结合思想的应用。
14. 【答案】1，1(1)4n n + 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=，1(1)4n S n n =+。
15. 【答案】（Ⅰ） (1)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理，得 3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.16【答案】（I ）（I ）设n a 的公比为q ,n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ,nb 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .（II ）由（I ）有()1212n n c n -=- ,设nc 的前n 项和为nS ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323n n S n =-+ .17. 【答案】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.18. 【答案】（Ⅰ）事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况， 该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为1.6P =（Ⅱ）事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况， 一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为31=.62P =（Ⅲ）事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况， 事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况，所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为1.3P =19. 【答案】(Ⅰ))(x f 的定义域为),,0(+∞xaxx f -=1)('， 若,0≤a 则'()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增，若0,a >则由0)('=x f 得ax 1=，当)1,0(ax ∈时，,0)('>x f 当),1(+∞∈a x 时，0)('<x f ，)(x f ∴在)1,0(a 上单调递增，在),1(+∞a单调递减.所以当0a ≤时，()f x 在),0(+∞上单调递增， 当0a >时， ()f x 在)1,0(a 上单调递增，在),1(+∞a单调递减.(Ⅱ)1)1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f , 令)1)(1(ln )(2≥--=x x a x x x g ,ax x x g 21ln )(-+=',令()()ln 12F x g x x ax '==+-,12()axF x x -'=,(2)1110a ,),()0,(()(1,,)2122x F x g x a a ''<<>∴∈若当在递增,g (x)g (1)1-2a,''>=从而以下论证(1)同一样，所以不符合题意.[)1(3),()01,2a F x '≥≤+∞若在恒成立, [)02a -1(1)g (x )g 1,(x )g ≤='≤'+∞'∴递减，在,[)01ln )(,0)1()(,,1g(x)≤+-=≤∴+∞x xx f g x g 递减在从而, 综上所述，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2120. 【答案】（Ⅰ）由22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=.故圆Ｃ的圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),x y a b a b+=>>其焦距为2c ，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===-=故椭圆Ｅ的方程为： 221.1612x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x -=--=-且121.2k k =由1l 与圆22:(2)2c x y -+=相切，得101021221k y k x k +-=+即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦ 同理可得 222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦. 从而12,k k 是方程0220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤--+-+-=⎣⎦的两个实根，于是 202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧--≠⎪⎨⎡⎤∆=-+->⎪⎣⎦⎩① 且20122222.(2)2y k k x -==--百度文库 - 11 - 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得20058360.x x --=解得02,x =或010.5x = 由02x =-得03;y =±由0185x =得057y =它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)-，或(2,3)--，或1857(,55，或1857(,)55-.。