2019考研数学三(试题与解析)

，即 不独立.
， 是已知参数， 是来自总体 简单随机样本.
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（1）求 ; （2）求 的最大似然估计量.
【解析】（1）由密度函数的规范性可知
，即
得
.
（2）设似然函数
取对数
求导数 令导数为 解得：
.
， ，故 的最大似然估计量为
.
,求
，并求 的极值.
， ；
；故
，令
可得
，
-
0
+
不存在
-
0
+
极小值
极大值
极小值
于是由 的极小值为
，极大值为
.
16. 已知
具有 2 阶连续偏导数，且
，求
【解析】
，
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故
.
17. 已知 满足微分方程
，且有
.
（1）求 ；
（2） 转体体积.
，求平面区域 绕 轴旋转一周成的旋
可得
，即
.
（2）由于 单调递减，则可得：
且
，根据夹逼定理得
.
20. 已知向量组（I）
，
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（II） 等价，求 的取值，并将 用 【解析】（1）
，若向量组（I）和向量组（II） 线性表示.
若
，则
与（II）等价，设
，
常数；
若
，
等价；
若
，
，
，记
，则
，向量组（I）
，其中 为任意
，则
.
为重根，则原微分方程对应特征 的特解，将 代入可得
4. 若
绝对收敛，
条件收敛，则（ ）
A.
条件收敛
B.
绝对收敛
C.
收敛
D.
发散
【解析】B
条件收敛，则存在
，使得
，
，由于
绝对收敛，则
绝对收敛.
对于选项 A 和 C，取 可排除.
可排除；对于选项 D，取
5. 设 是四阶矩阵， 是 的伴随矩阵，若线性方程组 个向量，则 的秩是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【解析】A
的基础解系中只有 2
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的基础解系中只有 2 个向量，则
此
.
，可得
，因
6.设 是 阶实对称矩阵， 是 阶单位矩阵，若
型
规范形为（ ）
，且
，则二次
A.
B.
C.
D.
【解析】C
由
得
，则
或 .又由
，则规范形为：
.
，故
7. 设 为随机事件，则
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2019 全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题
1. 当
时，
A. 1
C. 3
【解析】C
数学（三）试题
与 是同阶无穷小，则 =（ ） B. 2 D. 4
由于
，则可得
2. 已知方程
A.
B.
【解析】D
令 ，当
则可得：极大值为
极小值为
同时
有 3 个不同的实根，则 的取值范围（ ）
【解析】0.4
， ）
故 13. 【解析】1
时， ，
.
，
有无穷多解，求 =________.
当 时，
，
有无穷多解.
14. 设随机变量 的概率密度为 为 的数学期望，则
【解析】
，
为 的分布函数，
=___________.
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三、解答题 15. 【解析】当 当 又
，向量组（I）与（II）不 ，向量组（I）与（II）等价， .
21. 已知矩阵
与
相似，
（1）求 ；
（2）求可逆矩阵 使得
.
【解析】（1）由相似矩阵的性质可得：
可得：
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（2）由
Fra Baidu bibliotek
值分别为
，则 的特征值也为
.
对于 ：当
，
的基础解系为：
当
时，
的基础解系为：
当
时，
的基础解系为：
可得 无关，而与 有关. 二、填空题 9. 【解析】
，此概率值与 =_________.
10. 曲线 【解析】
当 当 11. 已知 【解析】
的拐点坐标为_________.
，
或
，则
不为拐点；
，则
为拐点.
，则
=_________.
，则
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12. A、B 两商品的价格分别为 , ，需求函数 ，求 A 商品对自身价格的需求弹性 =________（
【解析】（1）由于 与 相互独立，且 的分布函数为
，
则 的分布函数为
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当 当
所以， 的概率密度为
.
（2）由条件可得
由 不相关 （3）由（2）知当
，可得当
时，
.即
时， 与
， 与 相关，从而不独立；当
时，
且
显然 综上可得， 不独立. 23. 设总体 的概率密度为 是未知参数， 是常数.
则存在
，使得
对于 ：当
，
当
时，
当
时，
的基础解系为： 的基础解系为：
的基础解系为：
则存在
，使得
综上可得：
可得 的特征
； ； ；
； ；
；
，则
22. 设随机变量 与 相互独立， 服从参数为 1 的指数分布， 的概率分布为
，令
.
（1）求 的概率密度；
（2） 为何值时， 与 不相关；
（3） 与 是否相互独立？
的充分必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】C
，则
对于选项 A 和 D，取
可排除；对于选项 B，若 互斥，可排除.
8. 设随机变量 和 相互独立，且都服从正态分布 （）
，则
A. 与 无关，而与 有关
B. 与 有关，而与 无关
C. 与 都有关
D. 与 都无关
【解析】A
由于
， 和 相互独立，则
，
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【解析】（1）一阶线性微分方程，通解为：
（2）
.
18. 求曲线
与 轴之间图形的面积.
【解析】根据定积分定义可得其面积 为
其中
可得
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则
故其面积为
.
19. 设
（1）证明 单调减少，且
；
（2）求
.
【解析】（1）由于 积分的保号性可得：
，则 ，故
，则 单调递减；
，由定
C.
D.
，有
可得 ，
；
.
若要
由 3 个不同的实根，则必须满足：
，即
，则
.
3. 已知微分方程 次为（ ）
A. 1，0，1
B.1，0，2
的通解为
，则
依
C. 2，1，3
D. 2，1，4
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【解析】D
由题设条件可得：
①
为
方程
的两个解，即
有重根-1，则
.
②为
的特解，即为