穷举算法

第五讲穷举算法

第五讲穷举算法学习重点：1、了解穷举法的基本概念及用穷举法设计算法的基本过程。

2、能够根据具体问题的要求，使用穷举法设计算法，编写程序求解问题。

3、能对穷举法编写的程序进行优化学习过程：穷举算法是学生在学完了QB基本语句后最早接触到的算法。

一些简单的穷举算法题目如求水仙花数、找出缺失的数字等和小学生的数学学习紧密结合，程序也比较容易实现，因此学生的学习兴趣还是很高的。

近几年的省小学生程序设计竞赛中也常出现穷举算法的题目，如：2001年题四算24；2002年题三求素数个数与素数个数最多的排列；2005年回文数个数等题目，有些题虽然说用穷举算法实现比较勉强（如2002年题三的后半题求出素数个数最多的排列），但在考试时，如果一时想不出更好的办法，用穷举算法也不失为一种明智的选择。

穷举法，常常称之为枚举法，是指从可能的集合中一一穷举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。

能使命题成立者，即为问题的解。

穷举是最简单，最基础，也是通常被认为非常没效率的算法，但是。

穷举拥有很多优点，它在算法中占有一席之地。

首先，穷举具有准确性，只要时间足够，正确的穷举得出的结论是绝对正确的；其次，穷举拥有全面性，因为它是对所有方案的全面搜索，所以，它能够得出所有的解。

采用穷举算法解题的基本思路：（1）确定穷举对象、穷举范围和判定条件；（2）一一列举可能的解，验证是否是问题的解一、穷举算法的实现在前面基础语句（for语句）的学习中，其实我们就用到了穷举。

比如培训教材p77【例5-7】打印九九乘法表中，被乘数A和乘数B都从1-9一一列举。

这样，九九乘法表中就不会遗失任何一句乘法口诀；在p79【例5-9】的数学灯谜题中，我们也是用了一一列举的方法，找出了A、B、C、D的取值范围。

下面我们再看两道例题：1、搬运砖头【问题描述】36 块砖， 36 人搬。

男搬 4 ，女搬 3 ，两个小儿抬一砖。

要求一次全搬完。

问需男、女、小儿各若干？【问题分析】题目要我们找出符合条件的男生、女生和小孩的人数。

1穷举法

竞赛辅导1------穷举法一、穷举法基本思想：是根据提出的问题穷举所有可能的状态，并用问题给定的条件寻找问题的解。

适用穷举的的问题需要满足下面两个条件：1) 可预先确定状态（搜索元/变量）的元素个数2）状态元素的可能值为一个连续的值域穷举算法的模式：1）搜寻问题解的可能范围：用循环或循环嵌套结构实现2）确定约束条件：3）程序的优化，以减少搜索范围和程序运行时间穷举算法的优点：1）由于穷举算法一般是现实生活问题的直译，因此比较直观，易于理解2）由于穷举算法建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础上，所以算法正确性比较容易证明。

穷举算法的缺点：由于穷举的数据量过大，效率较低。

二、实例解析：穷举算法的一般设计过程先对问题进行直译，然后优化。

（一）、问题的“直译”：将自然语言描述的过程直接“翻译”成程序语言的实现过程（算法），找到搜索元，找到搜索元的数据范围和问题的约束条件。

例1、百鸡百钱问题：公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡3只2文钱。

要求一百文钱买一百只鸡，编程计算各种鸡的具体数量。

分析：设三种鸡的数量为x,y,z ，则原问题可转化为在1=<x<100,1=<y<100,1=<z<100,范围内搜寻满足约束条件5*x + 3*y+z/3=100的x,y,z的值。

则，原问题可直接转化成的穷举算法如下：for x---1 to 100 dofor y---1 to 100 dobeginz=100-x-y;if 5*x + 3*y+z/3=100 then 输出x,y,z;end;{for}能直译的问题的一半的特点是：1）输出变量的个数确定，数据在可选范围内连续或者满足一定的递增（递减）关系2）约束条件直观，可以用解析式表达或者近似表达3）直译穷举算法时间复杂度为一个多项式。

4）数据范围较大时不适宜采用直译方法，时间耗费较大。

练习：1、求完全数：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2-1000内的所有完全数。

穷举算法
穷举算法思想
利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决的问题的所有可能情况，一个不漏地进行检查，从中找出符合要求的答案。
两个关键
一、确定穷举范围
有限
问题所涉及的情况有哪些，情况的种数可不可以确定。
二、确定验证条件
分析出来的这些情况，需要满足什么条件，才成为问题的答案。
经常使用循环+பைடு நூலகம்断的格式
查找数据
在一堆数据中查找某个数
穷举算法的应用
穷举算法是程序设计中使用得最为普遍的一种算法，通常穷举算法都是用多重循环来实现的。
你能举出运用穷举算法的例子吗？密码暴力破解
如IBM为美军方设计的“飓风”破译机查找罪犯指纹超女“海选”

穷举算法及解题

穷举算法及解题穷举算法及解题例12-1 古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2~1000内的所有完全数。

问题分析（1）本题是一个搜索问题，搜索范围2~1000，找出该范围内的完全数；（2）完全数必须满足的条件：因子的和等于该数的本身；（3）问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和：分解因子的方法比较简单，采用循环完成分解因子和求因子的和。

程序如下：program p12_1;var a,b,s:integer;beginfor a:=2 to 1000 dobegins:=0;for b:=1 to a-1 doif a mod b =0 then s:=s+b;if a=s then beginwrite(a,'=',1,);for b:=2 to a-1 doif a mod b=0 then write('+',b);writeln;end;end;end.当程序运行后,输出结果:6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+124+248例12-3邮局发行一套票面有四种不同值的邮票,如果每封信所帖邮票张数不超过三枚,存在整数r,使得用不超过三枚的邮票,可以贴出连续的整数1、2、3、……、r来，找出这四种面值数，使得r值最大。

问题分析：本题则是知道每封信邮票数的范围(<=3),邮票有四种类型，编程找出能使面值最大邮票。

其算法是：(1) 面值不同的四种邮票，每封信所贴邮票不超过3张；(2) 用这四种邮票贴出连续的整数，并且使r值最大；(3) 用穷举法，找出所有符合条件的解；(4) 本题用集合的方法统计邮票的面值，提高判重的速度。

设四种邮票的面值分别为：a,b,c,d,根据题意设：a<b<c<d,因此a=1,用循环语句完成搜索。

穷举算法用到的算法结构

穷举算法用到的算法结构
穷举算法是一种基本的计算机算法，它通过枚举所有可能的组合来寻找答案。

在实际应用中，穷举算法常常需要用到以下几种算法结构：
1. 循环结构：穷举算法通常需要进行多次循环，以枚举所有可能的组合。

循环结构可以使用for、while、do-while等语句实现。

2. 条件结构：穷举算法需要判断每个组合是否符合要求，因此需要使用条件结构，如if、switch等语句。

3. 递归结构：有些问题可以用递归的方式求解，穷举算法也可以使用递归结构实现。

例如，在寻找n个人的所有可能握手方案时，可以通过递归实现。

4. 数组结构：穷举算法需要储存所有可能的组合，因此需要使用数组结构。

例如，在寻找n个数的所有可能排列时，可以使用数组储存这些数。

5. 集合结构：有些问题需要枚举一组数据的所有子集或排列，此时需要使用集合结构。

例如，在寻找n个物品的所有可能组合时，可以使用集合结构。

6. 栈和队列结构：有些穷举算法需要使用栈或队列对数据进行储存和访问。

例如，在寻找迷宫的所有可能通路时，可以使用栈或队列记录每个路径。

以上是穷举算法常用的算法结构，它们可以相互组合使用，以实现不同的算法。

在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的
算法结构。

穷举算法

分析
• 这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称 NOIP1998pj，以下同）。此题数据规模不大，可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象，一位一位地去枚举： for a:=1 to 9 do for b:=1 to 9 do ……… for i:=1 to 9 do • 这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围就减少为９３，在细节上再进一步优化，枚举范围就更少了。
使用穷举的条件
• 可预先确定解的个数n • 解变量a1、a2、an的可能值为一个连续的值域
算法归纳
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设：ai1-----解变量ai的最小值，aik----解变量ai的最大值（1《=i〈=n） a11<=a1<=a1k a21<=a2<=a2k ai1<=ai<=aik an1<=an<=ank 我们称解变量为穷举变量，即解题过程中需要列举出的变量（很明显，要列举出变量的每个值，我们一般都使用for循环）例如某问题的穷举变量有三个：a1，a2，a3，其中1〈=a1〈=2；2〈=a2〈=4；5 〈=a3〈=7 则可以列出本问题的所有可能解共18组（略）在上述可能解的集合中，满足问题给定的检验条件的解元素就是问题的可能解 for a1:=a11 to a1k do for a2:=a21 to a2k do for a3:=a31 to a3k do for an:=an1 to ank do if (a1.a2.ai,an)满足检验条件 then 输出问题的解（a1,a2,ai,an）
•
(CHN,ENG) (CHN,FRH) (CHN,JPN) ( ENG,FRH) ( ENG,JPN)

穷举法详细

第三讲穷举法一、穷举法的基本概念穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。

一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。

这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。

穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。

有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。

因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。

二、穷举算法模式穷举算法模式：(1)问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现(2)写出符合问题解的条件。

(3)能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。

三、使用穷举法设计算法穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。

如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。

下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。

实例一：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。

分析：(1)本题是一个搜索问题，搜索范围 2～1000，找出该范围内的完全数；(2)完全数必须满足的条件：因子的和等于该数据的本身。

(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。

程序如下：Program p3_1 ;Var a , b,s :integer ;BeginFor a:=2 to 1000 doBeginS:=0 ;For b:=1 to a -1 doIf a mod b =0 then s:=s+b ; { 分解因子并求和 }If a=s then beginWrite( a, ‘=’ ,1, );For b:=2 to a -1 doIf a mod b=0 then write( ’+’, b );Writeln ;End;End;End.当程序运行后，输出结果：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248实例二：（第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题）在A，B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1，且N<100)，城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数)。

穷举法——精选推荐

第16章穷举算法与实验穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。

一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。

这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。

穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。

因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。

虽然穷举法效率并不高，但是适应一些没有明显规律可循的问题的解决。

因为穷举算法就是从所有可能的情况中搜索正确的答案，所以一般可按如下步骤：第1步: 对于一种可能的情况，列举出来并计算其结果；第2步：判断结果是否满足要求，如果不满足则执行第1步来搜索下一个可能的情况，如果满足要求，则表示寻找到一个正确的答案，执行下一步操作，如寻找其他正确（合适）的答案或者中断循环。

16.1三角形数问题16.1.1 问题描述将 ,F ,E ,D ,C ,B ,A 这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。

求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。

如图就是一个解。

A 6B C 3 1D F 2 4E 516.1.2 问题分析程序引入变量123456,,,,,i i i i i i ，代表,F ,E ,D ,C ,B ,A 并让它们分别顺序取1至6的正整数，在它们互不相同的前提条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。

当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。

细节见下面的程序。

【程序1】%穷举法解三角形数 for i1=1:6 for i2=1:6 if i1==i2 continue;endfor i3=1:6if i1==i3 || i2==i3continue;endfor i4=1:6if i1==i4 || i2==i4 || i3==i4continue;endfor i5=1:6if i1==i5 || i2==i5 || i3==i5 || i4==i5continue;endfor i6=1:6if i1==i6 || i2==i6 || i3==i6 || i4==i6 || i5==i6continue;endif i1+i2+i4==i1+i3+i6 && i1+i2+i4==i4+i5+i6fprintf ('%6d\n',i1) ;fprintf ('%4d%4d\n',i2,i3) ;fprintf ('%2d%4d%4d\n\n',i4,i5,i6) ;endendendendendendEnd16.1.3 问题讨论按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。

穷举算法

穷举算法一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的规律或公式）时，可以根据问题的部分条件将所有可能的情况列举出来，然后通过一个一个验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。

穷举算法简单，但往往运行时所花费的时间很长（因为要列举出所有情况）有些问题所列出的情况数目大的惊人，尽管计算机速度非常快，但是等待运行结果的时间仍然让人无法接受（有些问题用穷举法解可能要几年甚至更多时间），另外列举出来的众多的情况如何在计算机中存储也是个问题，因此穷举法一般用在无规律的问题求解中，并且要尽可能地将明显不符合条件的情况排除在外，以节省时间。

1、圆盘找数，如图所示，找出4个相邻的数，使其相加之和最大和最小的是哪4个数，并2、将A,B,C,D,E,F 这6个变量排成如图的三角形，这6个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同，求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。

（其中一个解）3、【问题】甲乙丙丁戊五个人在运动会上分获百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：Ａ说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军。

Ｂ说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军。

Ｃ说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军。

Ｄ说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军。

其中每个人都只说对一句，说错一句。

求五人各获哪项冠军。

【算法】用1,2,3,4,5分别代表百米、二百米、跳高、跳远和铅球５个项目，用a,b,c,d,e 分别代表五人。

如b=3 表示乙获跳高冠军。

用多重循环穷举出来。

4、古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1，2，4，7，14，且1＋2＋4＋7＋14＝28，则28是一个完全数，编程求2～1000内的所有完全数。

A B C D E F 16 3 2 5 45、一根29cm长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29cm的各种长度，试问这根尺的刻度应该怎样选择？6、邮局发行一套票面有四种不同值的邮票，如果每封信所贴邮票张数不超过三枚，存在整数r ，使得用不超过三枚的邮票，可以贴出连续的整数1，2，3，………r 来，找出这四种面值数，使得r 值最大。

穷举法算法案例

穷举法算法案例穷举法，又称为暴力搜索或者暴力破解，是一种简单直接的算法，它通过尝试所有可能的情况来寻找问题的解。

虽然在某些情况下效率不高，但在一些小规模问题或者需要精确解的情况下，穷举法仍然是一个有效的解决方案。

下面我们将通过几个案例来了解穷举法的具体应用。

案例一，寻找素数。

素数是指除了1和自身外没有其他因数的自然数，例如2、3、5、7等。

我们可以通过穷举法来寻找一定范围内的所有素数。

具体做法是从2开始，依次判断每个数是否能被2到该数平方根之间的所有数整除，如果不能则该数是素数。

这种方法虽然效率不高，但对于小范围内的素数搜索是可行的。

案例二，密码破解。

在密码学中，穷举法常常被用来破解简单的密码，例如暴力破解4位数字密码。

假设密码由0-9的数字组成，那么一共有10000种可能的密码组合。

通过穷举法，我们可以依次尝试每一种组合，直到找到正确的密码。

当然，对于更复杂的密码，穷举法可能需要花费更长的时间，但在一些情况下仍然是有效的。

案例三，旅行推销员问题。

旅行推销员问题是一个经典的组合优化问题，假设有n个城市，推销员需要从某个城市出发，经过每个城市一次，最终回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。

穷举法可以用来解决这个问题，具体做法是列举出所有可能的路径，计算它们的长度，最终找到最短的路径。

虽然对于大规模的问题来说，穷举法并不是最优的解决方案，但在小规模问题上仍然是可行的。

总结。

穷举法作为一种简单直接的算法，在一些情况下仍然具有一定的应用价值。

然而，需要注意的是，穷举法在处理大规模问题时可能会面临效率低下的问题，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。

希望通过上述案例的介绍，能够让大家对穷举法有一个更加深入的了解。

穷举算法

搜索方法——穷举算法穷举法，常常称之为枚举法，是指从可能的集合中一一穷举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。

能使命题成立者，即为问题的解。

穷举是最简单，最基础，也是通常被认为非常没效率的算法，但是。

穷举拥有很多优点，它在算法中占有一席之地。

首先，穷举具有准确性，只要时间足够，正确的穷举得出的结论是绝对正确的；其次，穷举拥有全面性，因为它是对所有方案的全面搜索，所以，它能够得出所有的解。

采用穷举算法解题的基本思路：（1）确定穷举对象、穷举范围和判定条件；（2）一一列举可能的解，验证是否是问题的解例题：谁是小偷Description警察抓住A B C D四名罪犯，其中一人是小偷。

审问A 说："我不是小偷"。

B说"C是小偷"。

C说"小偷肯定是D"。

D说"C在冤枉人"。

现在已经知道四个人中三人说的是真话，一个人说假话，问小偷到底是谁？Sample OutputC代码如下：Var a,b,c,d:integer;beginfor a:=0 to 1 do beginfor b:=0 to 1 do beginfor c:=0 to 1 do beginfor d:=0 to 1 do beginif a+b+c+d=1 then beginif ord(a=0)+ord(c=1)+ord(d=1)+ord(d<>1)=3 then begin if a=1 then writeln('A');if b=1 then writeln('B');if c=1 then writeln('C');if d=1 then writeln('D');end;end;end;end;end;end;end.再看一眼条件：审问A说："我不是小偷"。

穷举算法分析报告

穷举算法分析报告一．什么是穷举算法穷举算法：穷举算法就是将一个事件所有可能的结果全部列举出来，直到得到自己所需要的正确结果。

又叫枚举法。

对于我们计算机运行，穷举算法是一个很好的算法设计方法，其运用循环的方式解决问题，但是运用穷举算法解决问题缺点就是当问题较为复杂的时候，使用的时间过长。

二．穷举算法存在的主要问题及其优化方案1.主要问题：穷举算法具有准确性、全面性和算法简单的优点；但是也存在一定缺点，比如说计算时间长就是致命缺点。

2.优化方案：穷举算法要将事件的结果一一列举出来，那就势必要用到循环结构。

那么我们就可以经过初步判断之后减少循环的次数这样就大大的缩小了运算的时间,减少运行的次数。

三．穷举算法设计一般流程提出问题→穷举可能的结果→筛选结果→得出正确答案四．穷举算法运用举例例一：运用穷举算法解决百元买百鸡的问题流程图：百元买百鸡→列举出一百元能买到鸡的所有结果→筛选共买到一百只鸡的结果→得出正确答案源代码：#include<stdio.h>#include<time.h>int main(){clock_t t1=clock();float x,y,z;for(x=0;x<=100;x++)for(y=0;y<100;y++)for(z=0;z<=100;z++)if(x+y+z==100 && 5*x+3*y+z/3==100)printf("%.0f %.0f %.0f\n",x,y,z);clock_t t2=clock();printf("%d\n",t2-t1);return 0;}运行结果：优化后的穷举算法：源代码：#include<stdio.h>#include<time.h>int main(){clock_t t1=clock();float x,y,z;for(x=0;x<=20;x++)for(y=0;y<33;y++)for(z=3;z<=99;z++)if(x+y+z==100 &&5*x+3*y+z/3==100)printf("%.0f %.0f %.0f\n",x,y,z);clock_t t2=clock();printf("%d\n",t2-t1);return 0;}运行结果：结果分析：1.优化后的次数比优化前的次数少。

穷举算法

穷举算法穷举，又叫枚举法，指的是从可能的解的集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是能使命题成立，即为其解。

应用到程序中，枚举有许多表现形式，比如把所有的组合都扫描一遍，找出符合要求的组合。

举个简单的例子，找素数。

1什么都不是，2是素数，3是，4不是，5是……，如此把所有的自然数（当然是不可能的，只能尽量多）都找一遍，就能找出所有的素数。

可以这么说，枚举是最简单，最基础，也是最没效率的算法，但是。

枚举拥有很多优点，以致于他能够活到现在而不被淘汰。

首先，枚举有超级无敌准确性，只要时间足够，正确的枚举得出的结论是绝对正确的。

其次，枚举拥有天下第一全面性，因为它是对所有方案的全面搜索，所以，它能够得出所有的解。

例：找偶数。

【题目一】把一元钞票换成一分、二分、五分硬币（每种至少一枚），有哪些种换法？【答案】461种提示：for i:=1 to 93 dofor j:=1 to 47 dofor k:=1 to 19 doif 100=i+2*j+5*k then n:=n+1;还有没有效率更高的算法呢？留给大家考虑。

【题目二】将1,2...9共9个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成1:2:3的比例,试求出所有满足条件的三个三位数.分析：这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称NOIP1998pj，以下同）。

此题数据规模不大，可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象，一位一位地去枚举：for a:=1 to 9 dofor b:=1 to 9 do………for i:=1 to 9 do这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围就减少为９３，在细节上再进一步优化，枚举范围就更少了。

【题目三】：穷举法中穷举方案的选择：陈婷有一个E-MAIL邮箱的密码是一个5位数。

但因为有一段比较长的日子没有打开这个邮箱了，陈婷把这个密码给忘了。

数字运算的穷举法

数字运算的穷举法穷举法，也被称为暴力法或试探法，是一种常用于解决问题的算法方法。

它通过逐个尝试所有可能的解决方案来找到问题的解。

在数字运算中，穷举法可以用于解决各种数学运算问题，如寻找因子、求和、计算阶乘等。

本文将探讨数字运算中穷举法的应用以及相关的技巧和注意事项。

一、寻找因子当需要找出一个整数的所有因子时，可以使用穷举法。

具体步骤如下：1. 首先，确定待寻找因子的整数，假设为n。

2. 从1开始，逐个尝试可能的因子，直到尝试到n本身。

3. 对每个尝试的因子，判断其是否能整除n。

若能整除，则为n的一个因子。

4. 将所有找到的因子记录下来，即为n的所有因子。

通过以上步骤，我们可以得到一个整数的所有因子。

这种方法适用于任何整数，无论其大小。

二、求和问题穷举法在求解数字求和问题时也很有用。

当给定一个数列，并需要计算其中元素的和时，可以使用穷举法来逐个累加所有元素。

具体步骤如下：1. 确定给定的数列，假设为a1, a2, a3, ..., an。

2. 将初始和sum设为0。

3. 逐个将数列中的元素加到sum中，直到加到最后一个元素an。

4. 完成累加后，sum即为所有元素的和。

这种方法适用于任何给定的数列，无论其长度以及元素之间的关系。

三、计算阶乘阶乘是一个常见的数学运算。

穷举法可以用于计算任意正整数的阶乘。

具体步骤如下：1. 确定待计算阶乘的正整数，假设为n。

2. 将初始结果factorial设为1。

3. 从1开始，逐个乘以所有小于等于n的正整数，直到乘到n本身。

4. 完成乘法运算后，factorial即为n的阶乘。

通过以上步骤，我们可以得到任意正整数的阶乘。

这种方法对于计算较小的数值是可行的，但当n较大时，计算量可能变得很大。

除了以上列举的例子，穷举法还可以应用于其他数字运算问题中。

然而，在使用穷举法时，我们需要注意以下几点：1. 确保遍历范围合理。

避免无限循环或漏掉某些可能的解。

2. 缩小搜索空间。

常用算法-穷举法

常⽤算法-穷举法穷举法⼜称为枚举法，它是在计算机算法设计中⽤得最多的⼀种编程思想。

它的实现⽅式是：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进⾏考查，确定是否满⾜条件。

经过循环遍历之后，筛选出符合要求的结果来。

这种⽅法充分利⽤了计算机运算速度快的特点，思路简单直接，能够解决⼤部分的问题。

什么样的问题适合使⽤穷举法来解决呢？归纳起来，遇到了如下的三种情况，将优先考虑使⽤穷举法：1. 答案的范围已知：虽然事先并不知道确切的结果，但能预计到结果会落在哪个取值范围内。

譬如说：①求1－100之间所有的素数：⽆论结果如何，都在1－100的范围之内。

②求2000－2015年间有⼏个⽉的13号是周⽇？这15年间共有180个⽉，⽉份的个数最多不会超过180③验证1000以内的哥德巴赫猜想：即找出1000之内所有的合数，看是否能够分解为两个质数之和。

如果仔细观察，将会发现许多题⽬的结果范围都是已知的，都可以使⽤穷举法来实现。

2. 答案的结果是离散的，不是连续的。

如果要求出1－2之间所有的⼩数，就⽆法⽤穷举法来实现，因为其结果是⽆限连续的。

3. 对时间上的要求不严格。

蓝桥杯⽐赛中的许多题⽬对于算法的设计是有时间要求的，有时会⾮常苛刻。

如果⽤穷举法则耗时过长，不可取。

例如求出21位的⽔仙花数，使⽤穷举法可能会花费30分钟的时间。

⽽蓝桥杯试题通常要求时间限制在1秒钟之内完成，少数会延长⾄3分钟。

在这种情况下，必须使⽤新的算法来解决问题。

下⾯举个经典的例⼦：100块砖100⼈来搬，男⼈⼀⼈搬4块，⼥⼈⼀⼈搬3块，⼩孩3⼈抬⼀块，问男，⼥，⼩孩各⼏⼈？若设男，⼥，⼩孩⼈数分别为X， Y， Z，则只能够列出两个等式： X+Y+Z＝100 4*X+3*Y+Z/3＝100 。

三个未知数两个等式，⽆法求解。

这就只能够使⽤穷举法来实现，具体做法如下：先确定每种类型⼈员的数量的取值范围，由题意可知，男⼈X的取值范围是0~100/4＝25 ⼥⼈Y的取值范围是0~100/3＝33 ⼩孩的取值范围是0~99（必须不⼤于100且为3的倍数）。

穷举算法的例子

穷举算法的例子
穷举算法，又称暴力搜索算法，是一种基本的算法思想。

其核心
思想是通过尝试所有可能的解，找出问题的最优解或满足条件的所有解。

例如，假设要计算1-100的所有正整数的平方和。

传统的方法是
使用循环语句依次遍历每个数字并求出其平方，然后将所有平方相加。

而使用穷举算法，则需要枚举每个数字，计算它的平方并累加到
总和中。

具体实现可以使用两层循环，外层循环枚举1-100的所有数字，内层循环计算每个数字的平方并累加到总和中。

穷举算法的优点是简单易懂，适用范围广泛。

然而它的缺点也很
明显，当问题规模增大时穷举算法的计算时间会呈指数级增长，因此
在实际应用中需要谨慎使用。

穷举算法

穷举算法穷举算法有点像数学上说的"完全归纳法",在问题答案可能的全部解集内逐一查询(测试)直到找出答案为止。

穷举算法的模式：⑴问题解的可能搜索的范围:用循环或循环嵌套结构。

⑵写出符合问题解的条件。

⑶能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。

用穷举算法解决问题，通常可以从两个方面进行分析：一、问题所涉及的情况：问题所涉及的情况有哪些，情况的种数可不可以确定。

把它描述出来。

二、答案需要满足的条件：分析出来的这些情况，需要满足什么条件，才成为问题的答案。

把这些条件描述出来。

练习试题第一题：36 块砖， 36 人搬。

男搬 4 ，女搬 3 ，两个小儿抬一砖。

要求一次全搬完。

问需男、女、小儿各若干？第二题： A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人夜间合伙捕鱼，凌晨时都疲倦不堪，各自在河边的树丛中找地方睡着了。

日上三竿， A 第一个醒来，他将鱼分作五份，把多余的一条扔回河中，拿自己的一份回家去了。

B 第二个醒来，也将鱼分作五份，扔掉多余的一条，拿走自己的一份，接着 C 、 D 、 E 依次醒来，也都按同样的办法分鱼，问五人至少合伙捕了多少条鱼？试编程序算出。

第三题：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2-1000内的所有完全数。

第四题：一根29CM长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1-29CM的各种长度。

试问这根尺的刻度应该怎样选择？算法分析:⑴对于每一组刻度的选择都需要判断是否能将1-29CM的各种刻度量出来，例如选择的刻度为：a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，那么能量出的刻度为：a1a2a3a4a5a7a1，29- a1；2 a2，a2- a1，29- a2；3 a3，a3- a1，a3- a2，29- a3； 4 a4，a4- a1，a4- a2，a4- a3，29- a4；5 a5，a5- a1，a5- a2，a5- a3，a5- a4，29- a5；6 a6，a6- a1，a6- a2，a6- a3，a6- a4，a6- a5，29- a6；7 a7，a7- a1，a7- a2，a7- a3，a7- a4，a7- a5，a7- a6，29- a7；8共可量出2+3+4+5+6+7+8种刻度，即35种刻度，事实上其中有许多刻度是重复的，不可能覆盖1-29。

穷举法

穷举法
四、穷举法应用
begin e:=15-a-b-c-d;b0:=(e<>2) and (e<>3);
m:=bton(e=1)+bton(b=2)+bton(a=5)+bton(c<>1)+bton(d=1);
b0:=b0 and (m=-2); b1:=(e=1) and (a<>2); b1:=b1 or (a=5) and(c<>1) and(c<>2); b1:=b1 or (c<>1) and (d<>1) and (d<>2); b1:=b1 or (d=1) and (e<>2); b0:=b0 and not b1; if b0 then
穷举法
四、穷举法应用
分析：本题是一个逻辑判断题，一般的逻辑判断题都采分析：本题是一个逻辑判断题，用穷举法进行解决。我们对5 用穷举法进行解决。我们对 5 所学校所得名次的各种可能情况进行穷举。在每种情况中，能情况进行穷举。在每种情况中，为了防止不同学校取相同的名次，设立了逻辑数组x x[I]为false表示已有相同的名次，设立了逻辑数组x，x[I]为false表示已有某校取第I 某校取第I名。此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b0来此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b 描述这一条件，主要有两个条件：校不是第2 描述这一条件，主要有两个条件：“E校不是第2名或第只有第1名和第2 名的学校的人猜对” 3 名 ” 与 “ 只有第 1 名和第 2 名的学校的人猜对 ” ，后一条件要判断：是否只有两人说法正确？条件要判断：1）是否只有两人说法正确？2）说得正确的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？要判断是否仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此，设立仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此，了函数bton 将逻辑量数值化。 bton，了函数bton，将逻辑量数值化。

穷举算法

第五讲 穷举算法

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