中考数学难点之动点问题

动点问题 题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊

角

或

其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单

介

绍

，解题方

法、关键给以点拨。 一

、

三

角

形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线3

64

y x =-+与坐标轴

分别交于

A B 、两点，动点P Q 、同时从

出发，同时到达

A 点，运动停止．点Q

沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点

Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，

求出S 与t 之间

的函数关系式； （3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出

以

点

O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点

M 的坐标．

解：1、A （8，0） B （0，6）

2、当0＜t ＜3时，S =t

2

当3＜t ＜8时，S =3／8(8-t )t 提示：第（2）问按点

P

到拐点

B

所有时间分

段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，

探

究

第

四

点

构

成

平行四边形

时

图B

图

B 图

按已知线段身份不同分类-----①O P为

边、O Q为边，②O P为边、O Q为对角

线，③O P为对角线、O Q为边。然后画

出各类的图形，根据图形性质求顶点坐

标。

2、（2009年衡阳市）

如图，A B是⊙O的直径，弦B C=2c m，

∠A B C=60º．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是A B延长线上一点，连结C D，当B D长为多少时，C D与⊙O相切；

（3）若动点E以2c m/s的速度从A点出发沿着A B方向运动，同时动点F以1c m/s的速度从B点出发沿B C方向运动，设运动时间为

)2

)(

(<

s

t，连结E F，当t为何值时，△B E F为直角三角形．

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，

已知抛物线

(1)20)

y a x a

=-+≠经过点(2)

A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD

∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()

t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行

四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若

OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B

同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边

形

BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时

PQ 的

长．

注意：发现并充分运用特殊角∠D A B =60° 当△O P Q 面积最大时，四边形

B C P Q

的

面积最小。

二、 特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边

长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q

同

时

从

A 点出发，点P 以

1厘米/秒的速

度

沿

A C

B →→的方向运动，点Q 以

2

厘米/秒的速度沿

A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到

D 点时，P 、

Q 两点同时停止运动，设

P 、Q 运动的时

间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积

为

y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积

为O 的三角形），解答下列问题： （

1）

点

P 、Q 从

出发到相遇所用时间是

秒； （2）

点

P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当

APQ △是等边三角形时

x 的值是 秒；

（3）求

y 与x 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点

Q 到拐点时间

B 、

C 所有时

间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角

O M

B

H A C x y

图O M B H A C x y 图形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形A B C O 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线A C 交y 轴于点M ，A B 边交y 轴于点H ．

（1）求直线A C 的解析式； （2）连接B M ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线A B C 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△P M B 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠M P B

与∠B C O 互为余角，并求此时直线O P 与直线A C 所夹锐角的正切值．

注意：第（2）问按点

P

到拐点

B

所用时间分

段分类；

第（3）问发现∠M B C =90°，∠B C O 与∠A B M

互余，画出点

P 运动过程中，

∠M P B =∠A B M 的两种情况，求出t 值。

利用

O B ⊥A C ,再求

O P 与

A C 夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点

A (

3，0)，B (33，2)，C （0，2)．动点

D

以每秒1个单位的速度从点0出发沿O C 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿A B 向终点B 运动．过点E 作E F 上A B ，交B C 于点F ，连结D A 、D F ．设运动时

间

为

t 秒．