函数单调性判断方法(五)-导数法
函数单调性怎么判断
函数单调性怎么判断函数的单调性指的是函数图像随着自变量的增大或减小而呈现出的单调递增或单调递减的特点。
在数学中，判断函数的单调性通常需要考虑函数的导数或差商等概念。
下面将详细介绍如何通过导数和差商来判断函数的单调性。
一、导数判定法1.一阶导数判定法：如果函数f(x)在区间I上连续，并在I的开区间上可导，如果在I上f'(x)>0或f'(x)<0，则函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减。
例如，考虑函数f(x)=x^2，对其求导得到f'(x)=2x。
由于f'(x)=2x>0，所以函数f(x)=x^2在整个实数轴上单调递增。
2.二阶导数判定法：如果函数f(x)在区间I上连续，并在I的开区间上二阶可导，如果在I上f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上具有凹性（f(x)呈现向上的弯曲形状）；如果在I上f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上具有凸性（f(x)呈现向下的弯曲形状）。
例如，考虑函数f(x)=x^3，对其求导得到f'(x)=3x^2，再求二阶导数得到f''(x)=6x。
由于f''(x)=6x>0，所以函数f(x)=x^3在整个实数轴上具有凹性。
二、差商判定法1.一阶差商判定法：如果函数f(x)在区间I上连续且在I的开区间上可导，如果在I上f(x+Δx)-f(x)>0或f(x+Δx)-f(x)<0，则函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减。
例如，考虑函数f(x)=x^2，对其应用一阶差商公式得到f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)^2-x^2=2xΔx+Δx^2、由于Δx>0时2xΔx+Δx^2>0，Δx<0时2xΔx+Δx^2<0，所以函数f(x)=x^2在整个实数轴上单调递增。
2.二阶差商判定法：如果函数f(x)在区间I上连续且在I的开区间上二阶可导，如果在I上f(x+2Δx)-2f(x+Δx)+f(x)>0，则函数f(x)在区间I上具有凹性（曲线向上）；如果在I上f(x+2Δx)-2f(x+Δx)+f(x)<0，则函数f(x)在区间I上具有凸性（曲线向下）。
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法要判断一个函数的单调性，我们需要先了解什么是单调函数。
单调函数是指在定义域上递增或递减的函数。
递增函数是指当自变量增大时，函数值也相应增大；递减函数则是指当自变量增大时，函数值相应减小。
判断函数的单调性通常有以下5种方法：导数法、变量替换法、数列判断法、二阶导数法和作图法。
下面我将分别进行详细介绍。
一、导数法导数法是一种常用的判断函数单调性的方法，通过计算函数的导数来分析函数的变化趋势。
如果导数在定义域上始终大于0，则函数递增；如果导数在定义域上始终小于0，则函数递减。
具体步骤如下：1. 计算函数的导数，得到导函数。
2. 判断导函数的正负性，如果导函数恒大于0，则函数递增；如果导函数恒小于0，则函数递减；如果导函数的正负性不一致，则函数既不递增也不递减。
如果导函数有零点，则需要进一步进行分析。
二、变量替换法变量替换法是一种通过变量替换来判断函数单调性的方法。
该方法适用于一些无法直接通过导数法判断的函数。
具体步骤如下：1. 根据函数的形式，进行合适的变量替换，将函数化简。
2. 判断新的函数形式是否递增或递减，如果是，则原函数在相应的定义域上是单调的。
三、数列判断法数列判断法是一种适用于连续函数的判断方法，通过构造数列来判断函数的单调性。
具体步骤如下：1. 选择定义域上的一组数列，如递增、递减或交替递增递减等。
2. 将数列代入函数中，观察函数值的变化。
3. 如果函数值是递增的，则函数在这个定义域上是递增的；如果函数值是递减的，则函数在这个定义域上是递减的；如果函数值在数列中无明显的变化趋势，则函数既不递增也不递减。
四、二阶导数法二阶导数法是一种通过计算函数的二阶导数来判断函数的单调性的方法。
该方法适用于一些无法直接通过导数法判断的函数。
具体步骤如下：1. 计算函数的二阶导数。
2. 判断二阶导数的正负性，如果二阶导数恒大于0，则函数在定义域上是凹函数，且递增；如果二阶导数恒小于0，则函数在定义域上是凸函数，且递减；如果二阶导数的正负性不一致，则函数在相应定义域上既不递增也不递减。
利用导数判断函数的单调性
例6（2000年全国高考题）设函数
f x x 1 ax 其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间 [0, )
2
x x2 1 a, x [0, ), x x2 1 [0,1), 即
上是单调函数。
解:f x
x x2 1
1
u ） / = u 'v v 'u （ 2 v v
(v≠0)。
复习:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， f ( x ) 在G 上是增函数； 则 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， f ( x ) 在G 上是减函数； 则 若 f(x) 在G上是增函数或减函数， G 则 f(x) 在G上具有严格的单调性。 称为单调区间
练习1:求下列函数 的单调区间.
(1) f ( x) x 3x 1
3
函数的增函数区间为 (, 0)和（1， ） 减函数区间为 (0，1)
(2) f ( x) 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 3x 2 12 x 1
1 函数的增函数区间为 (,2)和（ ， ） 减函数区间为 (2，1)
故当a 1时,f x 0在[0, )上恒成立,即a 1时,f x 在[0, )递减;
又当0<a<1时,设有x1, x2 [0, ),当x1 x2时,f x1 =f x2 ,
即 x12 1-ax1 = x22 1-ax2 x1 x2 x12 1 x22 1 =a,
（4）对数函数的导数: 1 (1) (ln x ) . (2) x （5）指数函数的导数:
利用导数判断函数的单调性
2 f ( x )的单调增区间为（ ， 0]， [ ,), k 2 单调减区间 [0, ] k
四、小结
的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）。
1）、求a、b的值； 2）讨论函数 f ( x) 的单调性。 1)求导得f ' ( x) 3 x 2 6ax 3b.由于f ( x)的图象
与直线 12x y 1 0相切于（ 1， 11 ），所以 f (1) 11, f ' (1) 12, 即1 3a 3b 11和
2、注意在某个区间内 是函数f(x)在该区间上为增（或减）函数的 充分条件。
f ' ( x) 0(或f ' ( x) 0)
三、例题讲解
例1已知函数 y x f ( x)的图象如右图所示(其中是函数的导函数)， 下面四个图象中的 y=f(x)图象大致是( )
'
1
y x
2 2 1 O -2 -1 1 2 -2 A 1 O 1 -2 B
2) 由a 1 ，b 3得：f ' ( x ) 3 x 2 6ax 3b 3( x 1)( x 3) 令f ' ( x ) 0, 解得x 1或x 3; 又令f ' ( x ) 0, 解得 1 x 3. 故当x ( ,1)时，f ( x )是增函数； 当x (3,)时，f ( x )也是增函数； 但当x ( 1,3)时，f ( x )是减函数。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的方法函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。
判断函数的单调性是数学分析中的一个重要内容，也是解题的关键步骤之一。
在实际问题中，判断函数的单调性有助于我们更好地理解函数的性质，从而解决实际问题。
下面我们将介绍判断函数单调性的方法。
首先，我们来看一元函数的单调性判断方法。
对于一元函数y=f(x)，要判断其在定义域内的单调性，我们可以通过导数的符号来进行判断。
具体来说，如果函数在定义域内的导数大于0，那么函数在该区间内是单调递增的；如果函数在定义域内的导数小于0，那么函数在该区间内是单调递减的。
而当函数在定义域内的导数恒为0时，我们可以通过导数的二阶导数来判断函数的单调性。
如果二阶导数大于0，那么函数在该点附近是严格单调递增的；如果二阶导数小于0，那么函数在该点附近是严格单调递减的；如果二阶导数等于0，那么函数在该点附近是不确定的。
其次，对于二元函数y=f(x, y)，我们可以通过偏导数的符号来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在定义域内的偏导数大于0，那么函数在该区域内是单调递增的；如果函数在定义域内的偏导数小于0，那么函数在该区域内是单调递减的。
同样地，当函数在定义域内的偏导数恒为0时，我们可以通过偏导数的二阶偏导数来判断函数的单调性。
此外，对于一般的多元函数，我们可以通过雅可比矩阵来判断函数的单调性。
雅可比矩阵是一个重要的工具，可以帮助我们判断多元函数在定义域内的单调性。
具体来说，如果雅可比矩阵的所有主子式都大于0，那么函数在该区域内是单调递增的；如果雅可比矩阵的所有主子式都小于0，那么函数在该区域内是单调递减的。
当雅可比矩阵的主子式既有大于0又有小于0时，函数在该区域内是不确定的。
综上所述，判断函数单调性的方法主要包括导数的符号、二阶导数、偏导数、二阶偏导数以及雅可比矩阵等。
这些方法在数学分析和实际问题中都有着重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。
判断函数单调性的三种途径
（1）若 m - 1 ≤ 0 ，
即 m≤1，
由 f ′(x) > 0 ，得 x > 1 ；由 f ′(x) < 0 ，
得 0<x<1.
故当 m ≤ 1 时，函数 f (x) 在 (1, +∞) 上单调递增，在
(0,1) 上单调递减.
（2）若 0 < m - 1 < 1 ，
即 1 < m < 2，
用于判断复杂函数的单调性.图象法则十分形象直观，
ìx2 - x,x < 0,
（2）由题意可知，y = í 2
î-x + x,x ≥ 0,
地判断出函数在各个区间上的单调性.
相较而言，定义法的适用范围较广，导数法则常
解答过程也较为简便.
数学篇
(-∞,1] 上单调递减，
在 [2, +∞) 上单调递增.
象,明确各个区间段上曲线的升降情况，就能一目了然
讨论不同区间内函数的单调性.
三、利用图象判断函数的单调性.
借助函数的图象，可以快速明确函数的变化情
况，了解函数的特征，如函数的定义域、值域、单调性
等.在判断函数的单调性时，可以先根据函数的性质或
函数的解析式画出函数的图象；然后从左往右观察函
数图象的变化趋势，当函数在某一区间段内的图象呈
上升趋势，则该函数在此区间内为增函数；当函数在
（作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附
属高级中学）
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证明：如图 1，曲线 f (x) 关于直线 x = a 对称，在曲
图1
图2
m - 1 ≤ 0 、0 < m - 1 、m - 1 > 1 、m - 1 = 1 几种情况，来
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
函数单调性判断方法
，0上是减函数。
C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[小结](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．题型二、分段函数单调性判断及应用使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步 得出结论.【例1】 已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2 B ．(][),12,-∞+∞ C ．[]1,2 D ．()(),12,-∞+∞+∞+∞ D(2,) (1,)【变式练习3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是[小结] 1、最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步 得出结论.2、单调性问题其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.题型三、抽象函数的单调性【例1】已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，且在[]2,0-内递减，求满足：2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．【例2】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为 ．【变式练习1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A.22t -≤≤B.2t ≤-或2t ≥C.0t ≤或2t ≥D.2t ≤-或2t ≥或0t =【变式练习2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______[小结]不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．题型四、函数单调性判断方法（性质）的应用函数单调性的性质：(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． 【常见判断方法】方法一 定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：；第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 【例1】 判断并证明：21()1f x x =+在(,0)-∞上的单调性．12,x x D ∈12x x <12()()f x f x -x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例5] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【变式练习3】1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )3．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．随堂检测1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．2．讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调性．。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法
一、判断函数单调性
1.首先要求出函数的导数，再当x取不同值时，比较变化值得正负，
若正负总变化，则函数具有单调性；
2.若存在极值点，则极值点左右两侧的切线斜率不同，极值点左右两
侧分别是函数的上函数和下函数，是函数的单调递增或单调递减；
3.画函数的图象，若图象逐渐上升或逐渐下降，则此函数称为单调函数；
4.举一反三：若函数是单调递减函数，则函数的导数是负值。
二、证明函数的单调性
1.当函数的一阶导数存在时，根据函数的单调性定理：函数f(x)在
区间(a,b)上单调，当且仅当f'(x)在该区间从-∞到+∞的变化；
2.若存在极值点，则用函数的极值定理：f(x)在(a,b)中具有极值点，当且仅当f'(x)在该区间中取0；
3.若存在拐点，则用函数的拐点定理：f(x)在(a,b)中具有拐点时，
f'(x)在该区间取任意值；
4.若极值点或拐点右边的切线斜率大于左边的切线斜率，则函数单调
递增，否则函数单调递减。
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法在数学中，判断函数的单调性是一个非常重要的问题，它涉及到函数图像的走势和变化规律。
下面将介绍判断单调性的5种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 导数法。
利用导数的正负性来判断函数的单调性是一种常用的方法。
当函数在某一区间内的导数大于0时，函数在该区间内是单调递增的；当函数在某一区间内的导数小于0时，函数在该区间内是单调递减的。
通过求导数并分析导数的正负性，可以比较容易地判断函数的单调性。
2. 一阶导数与二阶导数法。
除了利用导数的正负性外，还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。
当函数在某一区间内的一阶导数大于0且二阶导数大于等于0时，函数在该区间内是单调递增的；当函数在某一区间内的一阶导数小于0且二阶导数小于等于0时，函数在该区间内是单调递减的。
这种方法在一些特殊情况下比较有效。
3. 函数图像法。
通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的单调性。
当函数的图像是严格上升或严格下降的时候，函数在相应的区间内是单调递增或单调递减的。
利用函数的图像可以更直观地理解函数的单调性。
4. 极值点法。
函数在极值点处可能发生单调性的变化。
当函数在某一区间内的极值点处，可以通过判断极值点的类型（极大值或极小值）来推断函数在该区间内的单调性。
这种方法需要注意极值点的存在和类型。
5. 线性规划法。
对于一些特定的函数，可以利用线性规划的方法来判断函数的单调性。
通过建立相应的线性规划模型，可以得到函数的单调性区间和趋势。
这种方法相对较为复杂，但在一些特殊情况下比较有效。
总结。
判断函数的单调性是数学中的一个重要问题，对于理解函数的性质和变化规律有着重要的意义。
通过以上介绍的5种方法，希望能够帮助大家更好地掌握判断单调性的技巧和方法。
当然，判断函数的单调性并不是一件容易的事情，需要通过大量的练习和实践来提高自己的能力。
希望大家能够在学习和实践中不断提高，掌握更多的数学知识。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的⽅法
函数单调性的判断⽅法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
⾸先对函数进⾏求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数⼤于零时是增函数，⼩于零是减函数。
判断函数单调性的⽅法步骤
利⽤定义证明函数单调性的步骤
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2
②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配⽅、有理化等⽅法将差式向有利于判断差的符号的⽅向变形
③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”。
利用导数判断函数的单调性(不含参)
做对了吗
【例3解析】[答案] D [解析] 由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为 增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线 上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D. [点评] 本题的关键是正确理解导函数与函数之间的关系，
即：函数看增减，导数看正负．
变式训练
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所 围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )
变式训练
[答案] D
[解析] 由题意可知，当 0≤x<π 时， f(x)＝2(12x－S△AOB)＝x－sinx； 当 π≤x≤2π 时，f(x)＝212x＋S△AOB ＝x＋sin(2π－x)＝x－sinx. 因此，当 0≤x≤2π 时，f(x)＝x－sinx.
小试牛刀
[例 1] 求下列函数的单调区间： f(x)＝x3－3x＋1
做对了吗
【例1解析】(1)函数f(x)的定义域为R 导数f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0， 解得－1＜x＜1. ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案] A
[解析] y′＝4x3－4x
令y′<0，即4x3－4x<0
解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和
(0,1)，故应选A.
随堂演练
2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性与导数-图课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
利用导数判断函数的单调性的方法
利用导数判断函数的单调性的方法利用导数判定函数的单调性，其理论依据如下：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。
要用导数判定好函数的单调性除把握以上依据外还须把握好以下两点：导数与函数的单调性的三个关系我们在应用导数判定函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判定函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件差不多上函数)(x f y =在某个区间内可导。
1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，现在)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
由前分析，)(x f 为增函数，一定能够推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：定义法首先我们给出单调函数的定义;一般地,设f 为定义在D 上的函数;若对任何1x 、D x ∈2,当21x x <时,总有1)()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数；2)()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f >时,称f 为D 上的严格减函数;给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性;用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法;利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：1设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <；2作差)()(21x f x f -；3变形普遍是因式分解和配方；4断号即判断)()(21x f x f -差与0的大小；5定论即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性;例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数;证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则 由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数;例2.用定义证明函数xk x x f +=)( )0(>k 在),0(+∞上的单调性; 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ,且21x x <,则)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x k x x x x --=, 又210x x << 所以021<-x x ,021>x x ,当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数; 综上函数xk x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数; 此题函数)(x f 是一种特殊函数对号函数,用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的,因此要分段讨论;用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时,容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数;在解决问题时,定义法是最直接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐;函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法;函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用;对于一些常见的简单函数的单调性如下表：对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：⑴．)(x f 与)(x f +C 单调性相同;C 为常数⑵．当0>k 时,)(x f 与)(x kf 具有相同的单调性；当0<k 时, )(x f 与)(x kf 具有相反的单调性;⑶．当)(x f 恒不等于零时,)(x f 与)(1x f 具有相反的单调性; ⑷．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增减函数时,则)(x f ＋)(x g 在D 上是增减函数;⑸．当)(x f 、)(x g 在D 上都是增减函数且两者都恒大于0时,)(x f )(x g 在D 上是增减函数；当)(x f 、)(x g 在D 上都是增减函数且两者都恒小于0时,)(x f )(x g 在D 上是减增函数;⑹．设)(x f y =,D x ∈为严格增减函数,则f 必有反函数1-f ,且1-f 在其定义域)(D f 上也是严格增减函数;我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性,下面我们来看以下几个例子：例3.判断5)1(2log )(21323+++++=+x x x x x f x 的单调性;解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞,由简单函数的单调性知在此定义域内323log ,,x x x 均为增函数,因为021>+x ,012>+x 由性质⑸可得)1(221++x x 也是增函数；由单调函数的性质⑷知x x x 23log ++为增函数,再由性质⑴知函数)1(2log )(21323++++=+x x x x x f x +5在),0(+∞为单调递增函数;例4.设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ,判断)(x f 在其定义域上的单调性; 解:函数bx a x x f ++=)(的定义域为),(),(+∞-⋃--∞b b . 先判断)(x f 在),(+∞-b 内的单调性,由题可把bx a x x f ++=)(转化为b x b a x f +-+=1)(,又0>>b a 故0>-b a 由性质⑶可得b x +1为减函数；由性质⑵可得bx b a +-为减函数；再由性质⑴可得b x b a x f +-+=1)(在),(+∞-b 内是减函数; 同理可判断)(x f 在),(b --∞内也是减函数;故函数bx a x x f ++=)(在),(),(+∞-⋃--∞b b 内是减函数;函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性,因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式,然后利用函数单调性的性质去判断,但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法;图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法;根据单调函数的图像特征,若函数)(x f 的图像在区间I 上从左往右逐渐上升则函数)(x f 在区间I 上是增函数；若函数)(x f 图像在区间I 上从左往右逐渐下降则函数)(x f 在区间I 上是减函数;、例5. 如图1-1是定义在闭区间-5,5上的函数)(x f y =的图像,试判断其单调性;解：由图像可知：函数)(x f y =的单调区间有-5,-2,-2,1,1,3,3,5.其中函数)(x f y =在区间-5,-2,1,3上的图像是从左往右逐渐下降的,则函数)(x f y =在区间-5,-2,1,3为减函数；函数)(x f y =在区间-2,1,3,5上的图像是从往右逐渐上升的,则函数)(x f y =在区间-2,1,3,5上是增函数;例6.利用函数图像判断函数1)(+=x x f ；x x g 2)(=；12)(++=x x h x 在-3,3上的单调性;分析：观察三个函数,易见)()()(x g x f x h +=,作图一般步骤为列表、描点、作图;首先作出1)(+=x x f 和x x g 2)(=的图像,再利用物理学上波的叠加就可以大致作出12)(++=x x h x 的图像,最后利用图像判断函数12)(++=x x h x 的单调性;解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数1)(+=x x f 在闭区间-3,3上是单调增函数；x x g 2)(=在闭区间-3,3上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出12)(++=x x h x 在闭区间-3,3上图像,即12)(++=x x h x 在闭区间-3,3上是单调增函数;事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性;用函数图像法判断函数单调性比较直观,函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加,相应的函数值的变化趋势,但作图通常较烦;对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观,可以类似物理上波的叠加来大致画出图像;而对于不易作图的函数就不太适用了;但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像,那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的;复合函数单调性判断法定理1：若函数)(u f y =在U 内单调,)g(x u =在X 内单调,且集合{u ︳)g(x u =,X x ∈}U ⊂1若)(u f y =是增函数,)g(x u =是增减函数,则)]([x g f y =是增减函数;2若)(u f y =是减函数,)g(x u =是增减函数,则)]([x g f y =是减增函数;归纳此定理,可得口诀：同则增,异则减同增异减复合函数单调性的四种情形可列表如下：显然对于大于2次的复合函数此法也成立;推论：若函数)(x f y =是KK ≥2,N K ∈个单调函数复合而成其中有K m ≤个减函数：① 是减函数时，则当)(12x f y k m =+=；② 是增函数时，则当)(2x f y k m ==;判断复合函数)]([x g f y =的单调性的一般步骤：⑴合理地分解成两个基本初等函数)(),(x g u u f y ==；⑵分别解出两个基本初等函数的定义域；⑶分别确定单调区间；⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减,则)]([x g f y =为增函数,若为一增一减,则)]([x g f y =为减函数同增异减；⑸求出相应区间的交集,既是复合函数)]([x g f y =的单调区间;以上步骤可以用八个字简记“一分”,“二求”,“三定”,“四交”;利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题;下面我们就用“八字”求法来判断函数的单调性;例7.求)253(log )(2-+=x x x f a 0>a 且1≠a 的单调区间;解：由题可得函数)253(log )(2-+=x x x f a 是由外函数u y a log =和内函数2532-+=x x u 符合而成;由题知函数)(x f 的定义域是),31()2,(+∞--∞ ;内函数2532-+=x x u 在),31(+∞内为增函数,在)2,(--∞内为减函数; ①若1>a ,外函数u y a log =为增函数,由同增异减法则,故函数)(x f 在),31(+∞上是增函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数;②若10<<a ,外函数u y a log =为减函数,由同增异减法则,故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数；函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数;导数法我们在前面也曾利用函数图像的特点判断函数的增减性,图像上升则递增,图像下降则递减．用定义法、图像法等这些初等方法来判断函数的单调性,一般比较繁杂,下面我们将以导数为工具来判断函数的单调性;函数)(x f 的导数)('x f 反映了函数增加或减小的快慢,即变化率．因此我们可以利用导数判断函数的单调性．这种用导数的符号来判断函数单调性的方法叫导数法;在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来判断函数单调性;为此先看如下定理：定理2：设)(x f 在区间I 上可导,则)(x f 在I 上递增减的充要条件是：)0(0)(≤≥'x f .即)(x f 在区间I 上可导,且)(x f 在I 上递增减⇔)0(0)(≤≥'x f ;导数法判断函数)(x f y =单调性的一般步骤：(1)首先确定函数)(x f 的定义域判断函数的单调性,必须首先考虑其定义域；(2)求导数)(x f ；(3)在)(x f 的定义域内)('x f 与0的大小关系；4写出)(x f 的单调区间．下面我们来看下面几个例题：例8.确定函数32)(2+-=x x x f 的单调区间．解：32)(2+-=x x x f 的定义域为R,22)('-=x x f ,解不等式022>-x 得1>x 所以32)(2+-=x x x f 在1,＋∞内是增函数；解不等式022<-x 得1<x 所以32)(2+-=x x x f 在－∞,1内是减函数;显然这里我们用定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法都能判断其单调性;利用导数研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,在解题过程中容易忽略函数的定义域,应予以重视．再求导数)(x f ',通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内)(x f '的符号来确定函数)(x f 在该区间上的单调性． 例9.确定函数x x a a x f --=)(0>a 且1≠a 的单调区间．解：函数)(x f 的定义域为R,a a a x a a a a x f x x x x ln )()(ln ln )(--+='-⋅⋅-=', 当1>a 时,,0,0ln >+>-x x a a a 即0)(>'x f ,故函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数；当10<<a 时,,0,0ln >+<-x x a a a 即0)(<'x f ,故函数)(x f 在),(+∞-∞上是减函数;综上可得当1>a 时函数)(x f 在),(+∞-∞上是增函数;当10<<a 时函数)(x f 在 ),(+∞-∞上是减函数;例10.同例7解：由题可得函数)(x f 的定义域是),31()2,(+∞--∞ , 且 ①若1>a ,则当31>x 时,0)2)(13(,056,0log >+->+>x x x e a ,即0)(>x f ‘,故函数)(x f 在),31(+∞上是增函数；当2-<x 时,0)(<'x f ,故函数)(x f 在()2,-∞-上是减函数②若10<<a ,则当31>x 时,0)(<'x f ,故函数)(x f 在),31(+∞上是减函数；当2-<x 时,0)(>'x f ,故函数)(x f 在()2,-∞-上是增函数导数法通过判断函数定义域被导数为零的点和导数不存在的点所划分的各区间内)(x f '的符号来确定函数)(x f 在该区间上的单调性．导数法判断函数单调性主要适用于函数)(x f 在其定义域内可导并且容易判断其导函数与零的大小关系时的情况;导数法是解决诸多问题的有力工具,它既给学生提供了一种重要的解题思想,又给学生提供了一种解题方法;2．判断抽象函数单调性的方法如果一个函数没有给出具体解析式,那么这样的的函数叫做抽象函数;抽象函数没有具体的解析式,需充分提取题目条件给出的信息;定义法通过作差或者作商,根据题目提出的信息进行变形,然后与0或者1比较大小关系来判断其函数单调性;通常有以下几种方法：2.1.1 凑差法根据单调函数的定义,设法从题目中“凑出”“)()(21x f x f -”的形式,然后比较)()(21x f x f -与0的大小关系;例11.已知函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时, 0)(>m f ,试讨论函数)(x f 的单调性;解：由题得)()()(n f m f n m f =-+,令m x n m x =+=21,,且21x x >,021>-=x x n又由题意当0>m 时,0)(>m f 0)()()(21>=-⇒n f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数;2.1.2添项法弄清题目中的结构特点,采用加减添项或乘除添项,以达到能判断“)()(12x f x f -”与0大小关系的目的;例12.同例11解:任取2121,,x x R x x <∈,则012>-x x ,)()(12x f x f -)(])[(1112x f x x x f -+-= 由题意函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+,且当0>m 时,0)(>m f 0)()()(1212>-=-⇒x x f x f x f ,所以函数)(x f 为增函数;2.1.3 增量法由单调性的定义出发,任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x ,然后联系题目提取的信息给出解答;例13.同例11解：任取2121,,x x R x x <∈设)0(12>+=δδx x 由题意函数)(x f 对任意实数m 、n 均有)()()(n f m f n m f +=+,)()()()()(1112δδf x f x f x f x f =-+=-⇒,又由题当0>m 时,0)(>m f )0(0)()()(12>>=-⇒δδf x f x f ,所以函数)(x f 为增函数;2.1.4 放缩法利用放缩法,判断)(1x f 与)(2x f 的大小关系,从而得)(x f 在其定义域内的单调性;例14.已知函数)(x f 的定义域为0,+∞,对任意正实数m 、n 均有)()()(n f m f mn f =,且当1>m 时1)(0<<m f ,判断函数)(x f 的单调性.解： 设210x x <<,则112>x x 又当1>m 时1)(0<<m f ,故1)(012<<x x f 再由)()()(n f m f mn f =中令1>m ,1=n 得1)1(=f当10<<x 时,11>x ,由)1()()1(xf x f f =易知此时1)(>x f ,故0)(>x f 恒成立; 因此)()(1)()()()(111121122x f x f x f x x f x x x f x f =⨯<=⋅=)()(12x f x f <⇒ 即)(x f 在0,+∞上为单调递减函数;对于抽象函数,由于抽象函数没有具体的解析式,因此需充分提取题目条件给出的信息,观察结构特点;用定义法判定抽象函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时,容易得出)(1x f -)(2x f 与0大小关系的函数;定义法是最直接的方法,思路也比较清晰,在解题中灵活选择凑差法、添项法、增量法、放缩法等恰当的方法,可使解题过程更加简单方便;列表法对于比较复杂的复合函数,除了用复合函数单调性判断法外,还可以用列表,将各个函数的单调性都列出来,然后再判断复合函数单调性;例15.已知)(x f y =在R 上是偶函数,且在0,+∞上是增函数,求)2(2x f -是 减函数的区间下由表知)2(2xf-是减函数的区间)2,0[;,-∞,)2(-利用列表法比较直观,精确、易懂、量与量之间的关系又很明确;列表法在实际生活当中应用也是比较广泛的;但是列表法也有其局限性：在于适用题型狭窄,求解范围小,大部分是跟探寻规律或反映规律有关;函数单调性是函数的一个非常重要的性质,本文从单调性的定义入手,总结了判断单调性的常见方法;本文把函数分为具体函数和抽象函数两大类进行讨论,对于每类函数都给出了判定单调性的若干方法;对于具体的函数,我们可以用多种方法去判断其单调性,特别地导数法是普遍适用的,若借助于计算机,那么图像法也是最简单最直观的;对于抽象函数的单调性问题,我们给出了用定义法及列表法;这种题型不仅抽象,而且综合性较强,对学生的思维能力有很高的要求,学生往往很难发现数学符号与数学语言之间的内在关系;因此在判断函数单调性的问题上,应灵活选择恰当的方法,从而使解题过程最简单;。
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函数单调性判断方法（五）-导数法
函数在区间
上连续，在
内可导，且在内
① 如果，那么函数在区间上单调增加 ② 如果
，那么函数
在区间
上单调减少
由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域
② 求导数
③ 令解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为
④ 确定区间
内导数符号
⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这
区间内递减。
例1：（2011安徽）设()1x
e f x ax
=+，其中a 为正实数
（Ⅰ）当a 4
3
=
时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
解析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
解：对)(x f 求导得.)
1(1)(2
22ax ax
ax e x f x
+-+=' ① （I ）当34=
a ，若.21,23,0384,0)(212
===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知
所以,231=
x 是极小值点,2
1
2=x 是极大值点.
x
)2
1,(-∞
2
1 )2
3,21( 2
3 ),2
3(∞ )(x f ' + 0 － 0 + )(x f
↗
极大值
↘
极小值
↗
（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知
0122≥+-ax ax
在R 上恒成立，因此,0)1(4442
≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤<a
例2：（2011北京）已知函数k
x e k x x f 2
)()(-=.
(1)求)(x f 的单调区间；（2）略
解：(1)/
221()()x
k f x x k e k
=-，令/
()0f x =得x k =±
当0k >时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增
例3：（2011广东） 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2
---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞）
221212122(1)2(1)1'(),
1
12(1)2(1)1012(1)()
3
1
0,'()23
11
0,220'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x
a a a x a x a a a f x x x a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=∆=--<∆>=>=+<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点
且当或时，在与
内为增函数121212'()0,(),)1
10,'()0,()(0,)3
1
1'()0(0),()(0,)11
10,0,0,'()22x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x
a x x f x a a <<<≤<∆≤≥+∞==>>+∞>∆>=->=<；当时，在(内为减函数
当时，在内为增函数；
当时，在内为增函数；
当时，所以在定义域内有唯一零点
②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；
综上所述，f(x)的单调区间如下表：
（其中
121122x x a a =
=）
例4：（2011湖南）设函数1
()ln ().f x x a x a R x
=--∈ (I)讨论()f x 的单调性； （I ）()f x 的定义域为(0,).+∞
222
11'()1a x ax f x x x x -+=+-=
令2
()1,g x x ax =-+其判别式2
4.a =-
(1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增．
(2) 当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故
()(0,)f x +∞在上单调递增．
(3) 当2a >时,>0,g(x)=0的两根为1222
a a x x +==，
当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减．。