(完整版)高中物理天体运动多星问题(可编辑修改word版)

双星模型、三星模型、四星模型

天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律： F ' = F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度 相等，1 = 2 = 。

【例题 1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T ，两颗恒星之间的距离为 r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G ）

【解析】：设两颗恒星的质量分别为 m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为 r 1、r 2，角速度分别

为ω1、ω2。根据题意有

1

= 2

①

r 1 + r 2 = r

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

G m 1m 2

= m w 2r ③

r

2 1 1 1

G

m 1m 2 = m w 2r

④

r 2

1 2 1

联立以上各式解得

r 1 = m 2 r ⑤

m + m

1

2

根据解速度与周期的关系知

2 1

=

2

=

T

⑥

联立③⑤⑥式解得

4

2

3

m 1 + m 2 = T 2G

r

【例题 2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时， 发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图 4-2 所示.引力常量为 G ，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T.

1 r

A 2

2

s 1 2 (1) 可见星 A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引

力，设 A 和 B 的质量分别为 m 1、m 2，试求 m′(用 m 1、m 2 表示).

(2) 求暗星 B 的质量 m 2 与可见星 A 的速率 v 、运行周期 T 和质量 m 1 之间的关系式； (3) 恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 m s 的 2 倍，它将有可能成为黑洞.若可见星 A

的速率 v=2.7×105 m/s ，运行周期 T=4.7π×104 s ，质量 m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？

（G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）

解析：设 A 、B 的圆轨道半径分别为 ，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，

设其为 。由牛顿运动定律，有 F = m

2

r ， F = m

2

r ， F = F

A

1

1

B

2

2

A

B

设 A 、B 间距离为 ，则 r = r 1 + r 2

由以上各式解得 r =

m 1 + m 2

r

1

2

m m

m m 3

由万有引力定律，有 F A = G

m m ' 1 2 ，代入 得 F r

2 A

m 3 = G

1 2

(m + m )2 r 2

令 F = G 1

，通过比较得 m ' = 2

1 (m 1 + m

2 ) m m v 2

（2） 由牛顿第二定律，有G 1 2

= m

r 2 1

r vT

而可见星 A 的轨道半径 r 1 = 2

m 3 将 代入上式解得 2 = v 3T (m 1 + m 2 ) 2G m 3

v 3T （3） 将 m = 6m 代入上式得 2 =

1 s (6m + m ) 2

m

3

2G 代入数据得

2 = 3.5m 2

s

(6m s + m 2)

设 m = nm (n > 0) ，将其代入上式得

m 23 = n m = 3.5m 2 s

(6m + m 2 } ( 6 + 1)2

n

m 2 1 2 s s s

1 m 23 =

n

m = 3.5m

(6m s + m 2 }

( 6

+ 1)2 n

m 3 可见， 2

的值随 的增大而增大，试令 n = 2 ，得

(6m s + m 2 )

n

m ( 6 + 1)2

n

= 0.125m s < 3.4m s

可见，若使以上等式成立，则 必大于 2，即暗星 B 的质量 m s 必大于2m s ，由此可得

出结论：暗星 B 有可能是黑洞。

【例题 3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为 L ，质量分别为 M 1、M 2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。

15. 解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：

G M 1 M 2 = M 2 L

= M 2 L ---------① L

2

1 1

2 2

.. L 1 + L 2 = L -------② 由以上两式可得： L 1 =

M 2

M 1 + M 2 L ， L 2 =

M 2 L M 1 + M 2

M M 42 又由G 1 2 = M L 2 1 T 2 L 1 .----------③ 得： T = 2L

【例题 4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体 S 1 和 S 2

构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为 T ,S 1 到 C 点的距离为 r 1,S 1 和 S 2 的距离为 r ,已知引力常量为 G .由此可求出 S 2 的质量为

（ D ）

4π2r 2 (r - r ) A.

1 GT 2

4π 2r 3 B.

1 GT 2

4π 2r 3 C .

GT 2

4π 2r 2r D .

GT 2

答案 ：D

解析 双星的运动周期是一样的,选 S 1 为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定

L G (M 1 + M 2 )

s

s

2

s