在经过圆外一点的切线上这一点和切点之间的线段的长叫做

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3.7 切线长定理

知1－讲
总结
本题用到转化思想，综合运用垂径定理、切线的性质、切线长定理，通过作垂线构造矩形和直角三角形，求出
角的度数．切线长定理在本题中起到了一个线段等量转
移的作用．
（来自《点拨》）
知1－练
1 下列说法圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度 C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
（来自《典中点》）
)
切线长定理中的基本图形如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：
(1)两个等腰三角形(△PAB，△OAB)．
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)． (3)三个垂直关系(OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB)．
1.必做: 完成教材P95随堂练习，
P96习题3.9T1-4
（来自教材）
知1－讲
连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF,设OD=r. 解：在 △ABC中，AC=10, BC=24， ∴AB =
AC 2 BC 2 102 242 = 26.
∵ ⊙O分别与AB，BC, AC相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE ⊥ BC, OF ⊥ AC，BD = BE， AD = AF，CE=CF.
即⊙O的半径是 8 3 cm，∴⊙O的直径是 16 3cm.,
（来自《点拨》）
知1－讲
例3 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 AB 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E. 已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 3 ，则△PDE的周长 6 60° ．为________ ，∠DOE的度数为________
知1－讲
又∵ ∠ C=90°,

切线长定理优秀课件

A
B
A
C
O·
B
D
C
O· D
圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_______
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长为3cm，则腰长为____
反思：圆外切等腰梯形的腰长等于中位线长
A E B
（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为____ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为____
A
。
P
O
B
用尺规作图：过⊙O外一点做⊙O的切线
A
OO ·
P
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
B
已知：⊙O外一点P，PA切⊙O于A PB切⊙O于B
求证：PA=PB
A O ·))
( (P
证明：连结OA，OB，OP
PA切⊙O于A OA为⊙O半径
同理
OA⊥PA OB⊥PB
A
E B
D F C
D F C
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？
若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆半径的近似值。
13.读书总比搬砖来的轻松。 81.十年寒窗无人闻，一朝成名天下知。 64.最简单的事是坚持，最难的事还是坚持。 72.水滴集多成大海，读书集多成学问。 14.成功就是两股力量：一种支持我们的力量；一种反对我们的力量。 65.善于利用时间的人，永远找得到充裕的时间。 20.不要满足于眼前的小成就。问问自己：我这辈子就这样了吗？ 33.今朝勤学苦，明朝跃龙门。 43.勤学的人，总是感到时间过得太快；懒惰的人，却总是埋怨时间跑得太慢！ 63.忍一时风平浪静，退一步海阔天空。 99.拥有资源不能成功，善用资源才能成功。 15.马车越空，噪音越大。 52.你的人生永远不会辜负你的。那些转错的弯，那些走错的路，那些流下的泪水，那些滴下的汗水，那些留下的伤痕，全都让你成为独一无二的自己。 96.只要功夫深，铁杆磨成针。 13.读书总比搬砖来的轻松。 27.一个真正想成功的人是勤奋与努力的，而不是躺在床上说大话。 115.志不立，天下无可成之事。 18.人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 108.专注自我提升，不要左顾右盼，紧紧抓住每一个分钟。 72.不比智力，比努力；不比起步，比进步。 25.智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印。

(完整版)圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数| |（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

第3课时切线长定理与三角形的内切圆(原卷版)

九年级上册数学《第二十四章圆》 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24. 第3课时切线长定理 & 三角形的内切圆◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．【注意】①切线是直线，不能度量．②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. ∵ P A 、PB 分别切☉O 于 A 、B ， ∴ P A = PB ， ∠OP A = ∠OPB .切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.如图，☉I 是△ABC 的内切圆，点 I 是△ABC 的内心，△ABC 是☉I 的外切三角形. ◆4、三角形外心、内心的区别：名称确定方法图形性质POAB外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1、外心到三顶点的距离相等；2、外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1、内心到三边的距离相等；2、内心在三角形内部．【例题1】（2022秋•潮州期末）如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A ＝8，则△PCD 的周长为（） A ．8B ．12C ．16D ．20【变式11】（2023•怀化三模）如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别是P 、C 、D ．若AB ＝10，AC ＝6，则BD 的长是（） A ．3B ．4C ．5D ．6【变式12】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ＝10，AB ＝8，BC ＝9，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为⊙O 的切线，则△CDE 的周长为（） A ．9B ．7C ．11D ．8【变式13】（2022秋•南沙区校级期末）如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，且AB ＝8，CD ＝15，则四边形ABCD 的周长为．【变式14】（2022秋•红旗区校级期末）以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（） A ．12B ．13C ．14D ．15【变式15】如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交P A 、PB 于点E 、F ，已知P A ＝12cm ，∠P ＝40°OCBAO CBA①求△PEF的周长；②求∠EOF的度数．【变式16】如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．【例题2】（2022秋•东城区期中）如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（）A．99°B．102°C．104°D．152°【变式21】（2023•东安县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝70°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．130°B．140°C．105°D．125°【变式22】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【变式23】如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，̂上一点，则∠EPF的度数为（）F，P是DFA．50°B．55°C．60°D．65°【变式24】（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．25°【变式25】（2023•陇县一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，点M为△ABC的内心，若∠C＝80°，则∠MAN的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．80°【例题3】（2023•青海一模）如图，⊙O 与△ABC 的边AB 、AC 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，如果AB＝4，AC ＝5，AD ＝1，那么BC 的长为．【变式31】（2022秋•同心县期末）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点D ，E ，F 为切点，AD ＝4，AC ＝10，BC ＝14，则BD 长为．【变式32】如图，①ABC 中，①C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，①O 与①ABC 的三边相切于点D 、E 、F ，则AD 长为（） A ．8B ．10C ．12D ．14【变式33】如图，①O 分别切①ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F 、若AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，求AD 、BE 、CF 的长．【变式34】已知△ABC 的内切圆半径r =√3，D 、E 、F 为切点，∠ABC ＝60°，BC ＝8，S △ABC =10√3，求AB 、AC 的长．【变式35】（2022秋•津南区期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ．（1）若∠ABC ＝50°，∠ACB ＝75°，求∠BOC 的度数；（2）若AB ＝13，BC ＝11，AC ＝10，求AF 的长．【例题4】（2023•天心区校级三模）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若△ABC 的周长为18，面积为9，则⊙O 的半径是（） A ．1B ．√2D ．2【变式41】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（）A ．3B ．5C ．32D ．52【变式42】（2023•邵阳县一模）如图所示，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，若AB ＝4，则⊙O 的半径是（） A ．√32B ．1C ．2√33D ．2【变式43】（2022秋•齐河县期末）如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为8cm ，∠ACB 的平分线交⊙O于点D ，△ADB 的内切圆半径是（） A ．12B ．5（√2−1）C ．5（√2+1）D ．5√22【变式44】如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB 为4，则花边上正三角形的内切圆半径为（） A ．√33B ．23√3C ．1D ．√3【变式45】如图，圆O 是△ABC 的内切圆，其中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，求其内切圆的半径．【例题5】（2023春•江岸区校级月考）如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，则花圃的面积为．【变式51】（2022秋•河西区校级期末）如图，⊙I 是直角△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF ＝10，BE ＝3，则△ABC 的面积为．【变式52】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（）A ．4πB ．43πC ．23πD ．163π【变式53】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ．若∠ABD ＝∠ACD ＝30°，AD ＝1，则△ABC的内切圆面积（结果保留π）．【变式54】如图，①O 内切于正方形ABCD ，O 为圆心，作①MON ＝90°，其两边分别交BC ，CD 于点N ，M ，若CM +CN ＝4，则①O 的面积为（） A ．πB ．2πC ．4ππ【例题6】（2023•越秀区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径r是（）A．2B．3C．4D．无法判断【变式61】（2023•沭阳县一模）直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为．【变式62】（2022秋•防城港期末）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．【变式63】（2022秋•金华期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，BC=52，CA＝2，则⊙O的半径是．【变式64】（2022秋•黔西南州期中）如图，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC．若△ABC内切圆的半径为2，△ABC的周长为12，求△ABC的面积．【变式65】（2022秋•天河区校级期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．【变式66】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，半径为r，切点为D、E、F，连接OD，OE，OF．（1）若BC＝6，AC＝8，则r＝；（2）若Rt△ABC的周长为L，面积为S，则S，L，r之间有什么数量关系，并说明理由．【例题7】如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是．【变式71】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3√2，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝x2平行，AB长为4，若点P是直线l上的动点，则△P AB的内切圆面积的最大值为．【变式72】（2022秋•鼓楼区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l，垂足为D，连接AD，则AD的最小值是．【变式73】已知一块等腰三角形钢板的底边长为60cm，腰长为50cm．（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径．（2）用一个圆完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？（3）求这个等腰三角形的内心与外心的距离．【例题8】如图，点E是①ABC的内心，AE的延长线和①ABC的外接圆①O相交于点D，过D作直线DG①BC．（1）若①ACB＝80°，则①ADB＝；①AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是①O的切线．【变式81】（2022秋•泗阳县期末）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P 是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP．（1）求证：BD＝PD；（2）已知⊙O的半径是3√2，CD＝8，求BC的长．【变式82】（2023•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．（1）求证：l是⊙O的切线；（2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长．【变式83】（2022秋•江夏区校级期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．【变式84】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D过D作直线DG ∥BC．（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝；∠AEB＝．（2）求证：DE＝CD；（3）求证：DG是⊙O的切线．【变式85】如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．。

切线长定理与三角形内切圆

基础知识点（一）知识点一：切线长定理1.切线长的概念：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2. 切线和切线长是两个不同的概念切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

3. 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法4. 方法总结解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点5. 切线，常有六性质1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3切线垂直于过切点的半径; 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6.示例讲解例1如图，四边形 ABCD 的边AB 、BC 、CD DA 和圆O O 分别相切于点 L 、M 、N 、P ,求证： AD+BC=AB+CD 例2如图，卩是00外一点t PA.PB 分别和00切于点=4 c 叫是箱上任意•点，过点作O"的切线分别交PA.PB 于点D&求；（I ） A PDE 的周长；例3（2014，云歯曲靖中考・23题* 10分）如图是GO 的切线胡/为切点是OO 的直径,GPR 的延长线相交丁点“<1）若Z.1-20%求LAPB 的度数.（2）当"为多少度时请说明理由.（二）知识点二：三角形的内切圆1.问题：怎样做三角形内切圆2.方法：作角平分线1.作/ ABC 、 / ACB 的平分线 BM 和CN ，交点为I. ID 为半径作O I. O I 就是所求的圆.3. 定义和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

切线长和圆与圆的位置关系

切线长和切线长定理及圆与圆的位置关系一、切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、三角形内切圆1．定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系OF ED C BACBA CBAcbacba（1）（2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++；图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-、abr a b c=++重难点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．1.切线长定理及切线性质的应用例题1（2011·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 与于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF 。

（1）求证：OD ∥BE;(2) 猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由。

解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………2分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =21CD …………4分理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD ……7分三、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．易错点：1）圆与圆位置关系中相交时圆心距在两圆半径和与差之间， 2）没有公共点要考虑外离和内含的两种情况 3）有一个公共点要考虑内切与外切两种情况4）两圆相交求的公共弦多对的圆周角，求出圆心距一般都有两种情况圆与圆的位置关系的应用例题2（2011•绍兴）如图，相距2cm 的两个点A 、B 在直线l 上．它们分别以2cm/s 和1cm/s的速度在l 上同时向右平移，当点A ，B 分别平移到点A 1，B 1的位置时，半径为1cm 的⊙A 1，与半径为BB 1的⊙B 相切．则点A 平移到点A 1，所用的时间为为多少秒?考点：圆与圆的位置关系。

圆的切线长定理28页PPT文档

（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如
果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,A1C1= AB= 6cm
9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB
于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（）
A
M I
B
D
C
与三角形各边都相切的角形的内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
D
三角形的内心就是三角形的三个内角角 F 平分线的交点
I
三角形的内心到三角形的三边的距离
相等
B
┐ E
C
归纳
三角形的内切圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点即为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle）．
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）．
读一读P119 10
四边形与圆的位置关系
• 如果四边形的四条边都与一个圆相 A 切,这圆叫做四边形的内切圆.这个四边形叫做圆的外切四边形.
B
D ●O
C
n我们可以证明圆外切四边的一个重要性质: n1.圆外切四边形两组对边的和相等.
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H

2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷有答案(人教版)

2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷有答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识点归纳1、圆在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

小于半圆的弧叫做劣弧。

大于半圆的弧叫做优弧。

能够重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。

2、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．3、弧、弦、圆心角之间的关系定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧、两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等4、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

5、点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r 。

性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解(提高)

切线长定理及三角形的内切圆—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.三角形的内心到三角形的三边距离相等.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1.（2015•常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】解：连接OD．∵ OA=OD，、∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【变式】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=x ，⑴如图⑴当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】解：（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，连接OB ，则OB ⊥AB ；在Rt △AOB 中，∠A=30°，则AO=2OB=4， ∴ AD=AO-OD ，即AD=2．x=AD=2. （2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=22 ∵OG⊥BC，2，2，在Rt △OAG 中，∠A=30°∴OA=2OG=22，MNEDO图（1）．MANEDBCO图（2）∴x=AD=22－23.（2014•高港区二模）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】解：如图，设FC=x，AB的中点为O，连接DO、OE．∵AD、DE都是⊙O的切线，∴DA=DE=3．又∵EF、FB都是⊙O的切线，∴EF=FB=3﹣x．∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2=x2+42，解得，x=，则tan∠CDF===．故选B．类型二、三角形的内切圆4.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．OCBA【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD，即∠O DA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°， ∴∠ODA+∠OAD=90°， ∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD 中，∵AO=8cm，DO=6cm ， ∴AD==10（cm ），∵AD 切⊙O 于E ，∴OE⊥AD， ∴OE•AD=OD•OA， ∴OE==（cm ）；（Ⅲ）∵F 是AD 的中点， ∴FO=AD=×10=5（cm ）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．举一反三：【变式】如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O 内切与△ABC ，则△ABC 去除⊙O 剩余阴影部分的面积为（）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.。

人教版九年级数学上册2切线长定理

N
证明：由切线长定理得
D
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
O
DN=DP
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
AL
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
C M B
练一练
1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则 ∠BOC的度数为（） A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C 【详解】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．故选：C．
课后回顾
课后回顾
01
02
03
【答案】C 【详解】 ∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选C．
练一练
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（） A．10 B．15 C．20 D．25
知识回顾
圆的切线的判定定理和性质定理各是什么？
判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
问题1：如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
连接OP，以OP为直径作圆，与⊙O 交于A、B两点。连接PA、PB，则PA、PB即为⊙O切线。
A
O

【初中数学】初中数学知识点：直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆

【初中数学】初中数学知识点：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆直线与圆的位置关系:直线和圆之间有三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线远离圆。

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点ab与⊙o相交，d<r；（2）切线：当一条直线和一个圆有一个唯一的公共点时，它被称为直线和圆的切线。

此时，直线被称为圆的切线，这个唯一的公共点被称为切线。

AB与⊙ o、 d=R。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,ab与圆o相离，d>r。

（d为圆心到直线的距离）直线和圆之间三种位置关系的判断和性质：（1）数量法：通过比较圆心o到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，如果⊙ o是R，从中心o到直线L的距离是D，有：直线l与⊙o相交d<r直线l与⊙o相切d=r直线l与⊙o相离d> r（2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。

我与之相交的那条线⊙ od<r2个公共点；直线l与⊙o相切d=r有唯一公共点；直线L与⊙ od>r没有共同点。

圆的切线的判定和性质（1）切线判断定理：通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长度：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长度定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

直线与圆位置关系的确定方法：平面内，直线ax+by+c=0与圆x二+y二+dx+ey+f=0的位置关系判断一般方法是：1.从ax+by+C=0，可以得到y=（-C-ax）/b（其中b不等于0）并代入X2+y2+DX+ey+F=0，它变成了一个关于X的方程如果b二-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

2-4ac=0，则圆和直线有1个交点，即圆与直线相切。

切线长定理ppt5 人教版

反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点
我们学过的切线，常有六个五个性质：
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别
相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求 AE、BD、CE的长。
解：设AE=x (cm), 则AF=x (cm) CD=CE=AC﹣AE=13﹣x BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC ∴（13﹣x）+（9﹣x）=14
F
C
知识拓展拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆
A
A
b
C B
c
O B
a 斜边中点， 1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________ 斜边的一半半径为___________. 三角形内部， 2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________ a+b-c 半径r=___________. 2
直线与圆的位置关系切线长定理
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
A
· O
P
B
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习

九年级数学切线长定理与三角形内切圆知识点讲解及练习【知识点精讲】（一）知识要点----切线长定理1.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

如图，PA,PB即为P点到圆的切线长。

2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（二）知识要点----三角形内切圆1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

练习1.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30．（1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．【总结】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等。

2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB=BE ；（2）连结OC ，如果PD=∠ABC=，求OC 的长．603.如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C 作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为__________，OB的长为__________；（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P1沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P2，将⊙P2沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P3，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P4，…⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，…⊙Pn均在△OCD的内部，且⊙Pn恰好与CD相切，则此时OD的长为__________．（用含n的式子表示）【总结】三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离都相等。

14切线长定理

P
A D O . B C E
∠DOE=________ 900
1 2
(3)如图,已知：在直角三角形的两直角边分别是5cm,12cm, 一圆与三角形的三边都相切,则该圆的半径为______。
例2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，BC=9,AD=4，求 OE的长. C
如图：AE、BF分别切⊙O于A、B，且AE∥BF，EF切⊙O于C。 y
试证、BF的比例中项
B F x
⑷ 若⊙O的半径为6,点C分半圆为1：2两部分，求AE、BF的长。若以BF、BA所在的直线分别为x轴、y轴， B为原点，请求出EF所在直线的函数解析式。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论 O
。
P A
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。B
切线长定理的基本图形的研究
A PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点，直线OP交于 ⊙O于点D、E，交AB于C。
E
O
C D B
P
（1）弧 AD与弧 BD是否相等？为什么？（2）OP与AB有怎样的位置关系？
例1（1）如图，已知⊙O 的半径为3cm，点P 和圆心O的距离为 6cm，经过点P有⊙O的两条 0 60 切线PA、PB，则PA=_____cm 3 3 ，∠ APB=____
。
O
C D A
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB P OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。

3.7切线长定理讲义

3.7切线长定理讲义【考点归纳】（一）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

注：切线长不是“切线的长”，切线是直线而不是线段，切线没长度，而“切线长”是一条线段的长度。

（二）切线长定理：从一点可以引圆的条切线，它们的相等，这一点和的连线平分的夹角。

推论：1.圆的外切四边形的两组对边的相等；2.从圆外一点引圆的两条切线，这一点和的连线两个切点的连线。

【经典例题】一、填空题1、如图AB为⊙O的直径，CA切⊙O于点A，CD=1cm，DB=3cm，则AB=______cm。

2、已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是。

3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是。

二、选择题1、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（）A. 1:2B. 2：1C. 4：1D. 3：12、△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠FDE与∠A的关系是（）A.∠FDE=21∠A B.∠FDE+21∠A=180° C.∠FDE+21∠A=90° D.无法确定三、解答题：1、如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，求⊙O的半径。

2、如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC 于点N。

（1）求证：B A·BM=BC·BN.（2）若AC=3，求AB之长.NMOCBPC BA3、已知如图,过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM, M 为切点.BO 交圆O 于点A,过点A 作BO 的垂线,交BM 于点P.BO=3,圆O 半径为1.求MP 的长.4、如图，两圆内切于点A,PA 既是大圆的切线，又是小圆的切线，PB 、PC 分别切两圆于B 、C 。

如果∠APC ＝40°，∠PAB ＝75°，求∠PCB 的度数。

切线长定理

A
。
P
O
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
B
已知：⊙O外一点P，PA切⊙O于A PB切⊙O于B
求证：PA=PB
A O ·))
( (P
证明：连结OA，OB，OP
PA切⊙O于A OA为⊙O半径
同理
OA⊥PA OB⊥PB
OA=OB OP =OP
B Rt△AOP≌Rt △BOP AP=BP
（6）若PA=4、PD=2，求半径OA
反思：在解决有关圆
A
的切线长的问题时，
往往需要我们构建基
本图形。
。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
三、典型例题
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
C
A
O
P
B
练习一、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是
小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
A
C
O·
P
D B
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC

切线长定理薛守华

A
O
O P
P
B2 图1 图（2）已知：如图 2，PA 和 PB 分别与⊙O 相切于点 A、B ，点 P 到⊙O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段 PA 或线段 PB）（3）如图 2，思考：点 P 到⊙O 的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
四、达标测评已知如图 4 ， PA 、 PB 分别与⊙O 相切于点 A 、 B ， PO 与⊙O 相交于点 D ，且 PA=4cm,PD=2cm. A 求半径 OA 的长.
O
五、课堂小结
D B
P
课后反思
一、复习提问切线长性质定理和判定定理？二、教学过程（一）、切线长定义 1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）（2）定义中的“线段”具有什么特征？ ① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。 3、在图形中辨别：（1）已知：如图 1，PC 和 ⊙O 相切于点 A ，点 P 到⊙O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段 PA） C A
（4）既然点 P 到⊙O 的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题 1，从而进入定理教学。
（二）、切线长定理： 1、探索问题 1：从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线，切点分别为 A、B，那么线段 PA 和 PB 之间有何关系？探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段 PA 和 PB 的长度；（3）猜想：线段 PA 和 PB 之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图 3 中还能得出哪些结论？并把它们归类。（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由。由（5）得： A 线段相等：PA=PB；OA=OB；角相等：∠APO=∠BPO；∠AOP=∠BOP；垂直关系：OA⊥PA； OB⊥PB； P O 三角形全等：△OAP≌△OBP. 图3 2、由（6）得出切线长定理： B 从过圆外一点所画的圆的两条切线长相等三、精讲点拨、例四，如图，P 为⊙O 外一点，PA,PB 是⊙O 的两条切线，A,B 是切点，BC 是⊙O 的直径。（1）求证：AC//OP;(2)∠APB=70°,求弧 AC 的度数。 A C