函数定义域,值域求法情况总结
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函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法
(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
① 21)(-=
x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x
x x f -++=21
1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2
1
-x 无意义,
而2≠x 时,分式21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0,即x<-32
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x
-21
同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≥+0
20
1x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x
例2 求下列函数的定义域:
①14)(2
--=
x x f ②2
14
3)(2-+--=
x x x x f
③=
)(x f x
11111++
④x
x x x f -+=
0)1()(
⑤3
7
3132+++-=
x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x
∴函数14)(2--=
x x f 的定义域为: [3,3-
]
②要使函数有意义,必须:⎩⎨
⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131
40
210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须: 0 11110110≠++≠+≠⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎧x x x ⇒ 2 110-≠-≠≠⎪⎩ ⎪ ⎨⎧x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ⎩ ⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01 x x ∴定义域为:{}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3 7 |{-≠x x 例3 若函数a ax ax y 1 2+ -= 的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立,01 2 ≥+ -a ax ax ∴⎪⎩ ⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41 (+=x f y )4 1(-⋅x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须: 4343454 34345 14111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤ ≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4 1(-⋅x f 的定义域为:⎭ ⎬⎫⎩ ⎨⎧≤≤- 434 3 |x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1] 内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。 答案:-1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 -) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习: 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) A.[]1,1- B⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡- 21,21 C.⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡1,2 1 D.10,2 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 已知函数()11x f x x +=-的定义域为A,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B,则 ( ) A.A B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B =