函数定义域,值域求法情况总结

合集下载
相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1

(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。

常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法

(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域:

① 21)(-=

x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x

x x f -++=21

1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2

1

-x 无意义,

而2≠x 时,分式21

-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0,即x<-32

时,根式23+x 无意义,

而023≥+x ,即3

2

-≥x 时,根式23+x 才有意义,

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x

-21

同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≥+0

20

1x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x

例2 求下列函数的定义域:

①14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=

x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解:①要使函数有意义,必须:142

≥-x 即: 33≤≤-x

∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为: [3,3-

]

②要使函数有意义,必须:⎩⎨

⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131

40

210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或

∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义,必须: 0

11110110≠++≠+≠⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧x

x x ⇒

2

110-≠-≠≠⎪⎩

⎨⎧x x x ∴函数的定义域为:}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义,必须: ⎩

⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01

x x

∴定义域为:{}011|<<--

⑤要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩

⎪⎨

⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3

7

|{-≠x x

例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立,01

2

≥+

-a

ax ax ∴⎪⎩

⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41

(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:

4343454

34345

14111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域为:⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧≤≤-

434

3

|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]

内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

(注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2)的定义域。

答案:-1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒-1≤x ≤1

练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x

x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x

∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{}

2460|+≤≤x x

例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域

因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。

已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2

5

-)

(提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习:

已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域

若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( )

A.[]1,1-

B⎥⎦

⎢⎣⎡-

21,21

C.⎥⎦

⎤⎢⎣⎡1,2

1

D.10,2

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

已知函数()11x

f x x

+=-的定义域为A,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B,则

( )

A.A

B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B =

相关文档
最新文档