正弦曲线测试试题含详细讲解
正弦函数、余弦函数的图像(附答案)
正弦函数、余弦函数的图象[学习目标]1•了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. -=知识梳理自主学习知识点一正弦曲线正弦函数y = sin x(x€ R)的图象叫正弦曲线.利用几何法作正弦函数y= sin x, x€ [0,2 n]图象的过程如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示.②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0, £ n，扌，…，2n等角的正弦线.6 3 2③找横坐标：把x轴上从0到2 n (2 6.28一段分成12等份.④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合.⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y= sin x, x€ [0,2 n]的图象.在精度要求不太高时,y= sin x, x € [0,2 诃以通过找出(0,0),(寸，1), ( n 0) , (# —1),(2 n 0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图.思考在所给的坐标系中如何画出y= sin x, x€ [0,2 7的图象？如何得到y= sin x, x€ R的图象？只要将函数y= sin x, x€ [0,2 n的图象向左、向右平行移动（每次2n个单位长度），就可以得到正弦函数y= sin x, x€ R的图象.知识点二余弦曲线余弦函数y= cos x（x€ R）的图象叫余弦曲线.n n 根据诱导公式sin x+ 2 = cos x, x€ R.只需把正弦函数y= sin x, x€ R的图象向左平移-个单位长度即可得到余弦函数图象（如图）.n 3要画出y = cos x, x€ [0,2従的图象，可以通过描出（0,1）,勺，0，（n - 1）, 0 , （2 n 1）五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y= cos x, x€ [0,2的图象.思考在下面所给的坐标系中如何画出y= cos x, x€ [0,2品的图象？答案题型探究重点突破题型一五点法”作图的应用例1利用五点法”作出函数y= 1-sin x（0 * 2曲）简图. 解（1）取值列表:⑵描点连线，如图所示:跟踪训练1作函数y = sin x , x € [0,2 n 与函数y =— 1 + sin x , x € [0,2冗的简图，并研究它 们之间的关系. 解按五个关键点列表：x 0 n2 n3 n ~22 n sin x1 0—1 0—1 + sin x—1 0—1 —2—1利用正弦函数的性质描点作图:x € [0,2 的图象.题型二利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f(x)= lg sin x +寸16 — x 2的定义域. sin x>0,解由题意得，x 满足不等式组216 — x 2 >0,—4 w x W 4,即作出y = sin x 的图象，如图所示.sin x>0,y =— 1 + sin x , 由图象可以发现，把结合图象可得定义域：x€ [ —4，—nU (0, n)跟踪训练2 求函数f(x)= lg cos x+ 25-x2的定义域.cos x>0解由题意得，x满足不等式组25—"0，cos x>0即—5W迄5，作出y= C0S x的图象，如图所示.结合图象可得定义域:x € —5,—3 nU题型三利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3在同一坐标系中，作函数y= sin x和y= lg x的图象，根据图象判断出方程sin x = lg x 的解的个数.解建立坐标系xOy,先用五点法画出函数y= sin x, x€ [0,2冗的图象，再依次向左、右连续平移2 n个单位，得到y= sin x的图象.描出点(1,0), (10,1)并用光滑曲线连接得到y= lg x的图象，如图所示.由图象可知方程sin x= lg x的解有3个.跟踪训练3方程x2—cos x = 0的实数解的个数是___________答案2解析作函数y= cos x与y= x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.思韻方法数形结合思想在三角函数中的应用例4函数f(x) = sin x+ 2|sin x|, x€ [0,2冗的图象与直线y= k有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.3sin x, x € [0 , n,解f(x)= sin x+ 2|sin x|=—sin x, x€ n 2 n ].图象如图,F当堂检测自查自纠1.函数y= sin x (x€ R)图象的一条对称轴是()A. x轴B. y轴C.直线y= x D .直线x = 22.用五点法画y= sin x, x€ [0,2的图象时，下列哪个点不是关键点()1 A.(6，2)% 八B.(2, 1)C. ( , 0)D. (2 , 0)3.函数y= sin x, x€ [0,21 亠的图象与直线y= —2的交点为A(X1, y1), B(x2, y2),贝U X1 + x24. 利用五点法”画出函数y= 2-sin x, x€ [0,2的简图.5. 已知O w x< 2 n^试探索sin x与cos x的大小关系.若使f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，根据图可得k的取值范围是(1,3).A'课时精练、选择题n 3 n1函数y= —sin x, x€ —2, y 的简图是()2. 在同一平面直角坐标系内，函数y= sin x, x€ [0,2 与y= sin x, x€ [2 n 4 n的图象（）A .重合B .形状相同，位置不同C.关于y轴对称sin x= 10的根的个数是3.方程4.D .形状不同，位置不同B. 8C. 9D. 10函数A'3 n n5.如图所示，函数y= cos x阳n x|（0且x③的图象是（）D6. 若函数y= 2cos x(0< x< 2 n的图象和直线y= 2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是()A . 4B . 8C . 2 nD . 4 n二、填空题7. __________________________________________________ 函数y= ” . log^sin x的定义域是_________________________________________________________ .&函数y= _ 2cos x+ 1的定义域是 ___________ .___ 19. 函数f(x) = >,'sin 或为 ---------------- .10. _______________________________________________________________ 设0<x< 2 n,且|cos x—sin x|= sin x—cos x，贝U x 的取值范围为 ______________________ .三、解答题111. 用“五点法”画出函数y = 2 + sin x, x€ [0,2 n的简图.12. 根据y= cos x的图象解不等式:-于三cos x< 2, x€ [0,2 n]13. 分别作出下列函数的图象.(1) y= |sin x|, x€ R；(2) y= sin|x|, x€ R.当堂检测答案1答案 D 2. 答案 A 3. 答案 3n 解析如图所示， _ 3 nx i + X 2= 2 = 3 n. 4.解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3n~22 n sin x 0 1 0 —i 0 y = 2— sin x21232⑵描点连线，图象如图所示:由图象可知 ①当x =m 或x = 5n时，sin x = cos x ；44③当 O W x <n或5n<x< 2 n时，sin x <cos x. 课时精炼答案一、选择题 1•答案 D 2.答案 B5 •解用“五点法”作出sin x>cos x ;解析根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x, x€ [0,2 n与y= sin x, x€ [2 n 4n的图象只是位置不同，形状相同.3. 答案Ax解析在同一坐标系内画出y= 10和y= sin x的图象如图所示:¥=血JT根据图象可知方程有7个根.4. 答案D解析由题意得n 32cos x, 0或2 n 炸2,c 冗30, 2<x<2 n.显然只有D合适.5. 答案C解析当冗当2<x< n时，y= cos x • |tan| =—sin x;当n<<3n寸，y= cos x |tax|= sin x,故其图象为C.6. 答案D解析作出函数y = 2cos x, x€ [0,2 n]图象，函数y = 2cos x,x€ [0,2 n的图象与直线y = 2围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又••• OA= 2, OC= 2n,S阴影部分=S矩形OABC = 2 X 2 n= 4 n.、填空题7. 答案{x|2k n<<2k n+ n k€ Z}1解析由log2sin x> 0知0<sin x< 1,由正弦函数图象知2kn«2k n+n k€乙… 2 2& 答案2k n—3冗，2k n+ k€ Z1 2 2解析2cos x+ 1> 0 , cos x>—2,结合图象知x€ 2k n— " n, 2k n+" n , k€ Z.9.答案（一4,— nU [0 , n]sin x > 0, 2kx < 2k n+ n,解析2?16— x 2>0 — 4<x<4? — 4<x W — n 或 0 < x W n. 解析 由题意知sin x — cos x >0, 即卩cos x W sin x ,在同一坐标系画出 y = sin x , x € [0,2 n 与三、解答题11•解（1）取值列表如下:x 0 n2 n3 2n 2 n sin x 0 1 0 —1 0 1 ,. 1 3 1 1 1 -+ sin x222222⑵描点、连线，如图所示.12.解 函数y = cos x , x € [0,2 n 的图象如图所示: 根据图象可得不等式的解集为n, ,5 n 7 n, , 5 n{x|—W x < 或一W x < }3 6 63,.10.答案n 5 n 4，~4y = cos x , x € [0,2n 观察图象知x € 4, 5 n~4 .n 的图象,sin x 2k x< 2k n+n, 13.解(1)y= |sin x|=—sin x 2k n+n<W 2k n+ 2 n(k€ Z).其图象如图所示,sin x x>0 ,(2)y= sin |x| =—sin x x<0 .其图象如图所示,。
高考数学正弦余弦真题及答案一
B．直角三角形C．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a=3，c=2，B=45°．（1）求sinC 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC=-45，求tan ∠DAC的值．√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sinC 的值；（2）三角形的内角和为180°，cos ∠ADC=-45，可得∠ADC 为钝角，可得∠DAC 与∠ADC+∠C 互为补角，所以sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）展开可得sin ∠DAC 及cos ∠DAC ，进而求出tan ∠DAC的值．【解答】解：（1）因为a=3，c=2，B=45°．，由余弦定理可得：b=a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×2×22=5，由正弦定理可得c sinC =b sinB ，所以sinC=c b •sin45°=25•22=55，所以sinC=55；（2）因为cos ∠ADC=-45，所以sin ∠ADC=1−cos 2∠ADC =35，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cosC=1−sin2C=255，所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC=sin （∠ADC+∠C ）=sin ∠ADCcos ∠C+cos ∠ADCsin ∠C=2525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC=1−sin2∠DAC=11525，所以tan ∠DAC=sin ∠DAC cos ∠DAC =211．√√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查三角形的正弦定理及余弦定理的应用，及两角和的正弦公式的应用，属于中档题．（2022秋•鄠邑区期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且满足c=2acosB ，则△ABC 的形状是（ ）A．6B．12D．无解B．7C．19D．19【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理代入，可得a=b,从而可得结论．【解答】解：∵c=2acosB，∴c=2a•a2+c2−b22ac，∴a2=b2，∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（2023春•雁塔区校级期中）在△ABC中，已知b=63，c=6，C=30°，则a=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由已知利用余弦定理可得a2-18a+72=0，解方程即可求解a的值．【解答】解：∵b=63，c=6，C=30°，∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得36=a2+108-2×a×63×32，整理可得：a2-18a+72=0，∴解得a=12，或6．故选：C．√√√【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．（2023春•房山区期末）在△ABC中，已知a=2，b=3，C=60°，则c等于（ ）√【题型】解三角形．【答案】A【分析】利用余弦定理列出关系式，将a,b及cosC的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=3，C=60°，∴由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-6=7，A．2B．2C．3A．23C．45D．38则c=7．故选：A．√【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．（2023春•青铜峡市校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若cosA=63，b=22，c=3，则a=（ ）√√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】D【分析】根据余弦定理求解即可．【解答】解：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=3，得a=3．故选：D．√【点评】本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•香洲区校级期末）已知△ABC的三边长分别为a,a+3，a+6，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（ ）【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则C=2A，由正弦定理可得asinA=a+6sinC，化简得cosA=a+62a，再利用余弦定理可求出a的值，进而求出cosA即可．【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a,a+3，a+6，则A为最小角，C为最大角，∴C=2A，由正弦定理可得，asinA=a+6sinC=a+6sin2A，∴asin2A=（a+6）sinA，即2asinAcosA=（a+6）sinA，又∵A∈（0，π），∴sinA≠0，A．6-2B．4-23D．4+23B．60°C．135°D．150°∴cosA=a+62a=(a+3)2+(a+6)2−a22(a+3)(a+6)，解得a=12，∴cosA=a+62a=1824=34，即最小内角的余弦值为34．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•密山市校级期中）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b.c.若a=c=6+2，且A=75°，则边b=（ ）√√√√√√【题型】解三角形；逻辑推理．【答案】C【分析】根据两角和公式可得sinA，三角形内角和为180°，可得B，根据正弦定理，列出等式，直接求出b.【解答】解：根据两角和公式可得sinA=sin（30°+45°）=2+64，根据题意可知a=c,C=75°，三角形内角和为180°，可得B=30°，sinB=12，根据正弦定理bsinB=asinA，b12=2+62+64=4，所以b=2．故选：C．√√√√√√【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属基础题．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2-b2=-ac,则角B=（ ）【题型】解三角形．【答案】A【分析】由条件利用余弦定理求得cosB=-12，从而求得B的值．A．135°C．60°D．90°B．(1，3)C．（0，1）D．(3，+∞)【解答】解：△ABC中，∵a2+c2-b2=-ac,由余弦定理可得 cosB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=-12，∴B=120°，故选：A．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．（2023•新干县校级一模）已知三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2，则三角形的最大内角是（ ）√【题型】解三角形．【答案】B【分析】利用三角形中大边对大角可得，三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ，由余弦定理求得cosθ 的值，可得θ的值．√【解答】解：∵三角形的三边长分别为a、b、a2+ab+b2中，a2+ab+b2为最大边，则三角形的最大内角是a2+ab+b2所对的角，设为θ．由余弦定理可得 cosθ=a2+b2−(a2+ab+b2)2ab=-12，∴θ=120°，故选：B．√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，以及大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．（2023春•鼓楼区校级期中）已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a2=b2+bc,则tanAtanB的取值范围为（ ）√√【题型】计算题；对应思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=tan2B=2tanB1−tan2B，进而得到tanAtanB=-2+21−tan2B，再求出B的范围，求解即可．【解答】解：∵a2=b2+bc,a2=c2+b2-2bccosA，∴c-2bcosA=b,∴sinC-2sinBcosA=sinB ，∴sin （A+B ）-2sinBcosA=sinB ，∴sinAcosB-sinBcosA=sinB ，∴sin （A-B ）=sinB ，∵A ，B ∈（0，π），∴A-B=B ，∴A=2B ，∴tanA=tan2B=2tanB1−tan 2B，即tanAtanB=2tan 2B1−tan 2B=-2+21−tan 2B，∵锐角△ABC ，∴V Y Y Y Y Y Y Y Y W Y Y Y Y Y Y Y Y X 0<2B <π20<B <π20<π−3B <π2，∴π6＜B ＜π4，∴13＜tan 2B ＜1，∴tanAtanB=-2+21−tan 2B＞1，∴tanAtanB 的取值范围为（1，+∞）．故选：A ．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题．（2023•黄埔区校级模拟）在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B ，C ，向量m =（2sinB ，2-cos2B ），n =（2sin 2（B 2+π4），-1）且m ⊥n （1）求角B 的大小；（2）若a=3，b=1，求c 的值．→→→→√【题型】计算题；解三角形；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据m ⊥n 即m •n =0得关于角B 的三角函数的方程，运用二倍角公式和诱导公式化简，即可求出角B ；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，根据余弦定理可得一个关于c 的一元二次方程，解这个方程求解c值．→→→→【解答】解：（1）由于m ⊥n ，则m •n =0，即有2sinB•2sin 2（B 2+π4）-（2-cos2B ）=0，即2sinB•[1-cos2（B 2+π4）]-2+cos2B=0，即2sinB+2sin 2B-2+1-2sin 2B=0，→→→→解得sinB=12，由于0＜B ＜π，则B=π6或5π6；（2）由a ＞b,得到A ＞B ，即B=π6，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2-2accosB ，代入得：1=3+c 2-23c •32，即c 2-3c+2=0，解得c=1或c=2．√√【点评】本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形．方程思想在三角形问题中的应用极为广泛，根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程，解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素．（2023春•雨山区校级期中）在△ABC 中，A =π3，b =2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（Ⅰ）B 的大小；（Ⅱ）△ABC 的面积．条件①：b 2+2ac =a 2+c 2；条件②：acosB=bsinA ．√√【题型】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（Ⅰ）B=π4；（Ⅱ）S △ABC =3+34．√【分析】选择条件①时：（Ⅰ）利用余弦定理求出cosB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．选择条件②时：（Ⅰ）由正弦定理求出tanB 和B 的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a 的值，再利用三角形内角和定理求出sinC ，计算△ABC 的面积．【解答】解：选择条件①：b 2+2ac=a 2+c 2，（Ⅰ）由b 2+2ac=a 2+c 2，得a 2+c 2-b 2=2ac,所以cosB=a 2+c 2−b 22ac=2ac 2ac =22；又B ∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知a sinA =bsinB，所以a=bsinAsinB =3；所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，√√√√√√√√√√√所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．选择条件②：acosB=bsinA．（Ⅰ）由正弦定理得asinA =b sinB，所以asinB=bsinA；又acosB=bsinA，所以sinB=cosB，所以tanB=1；又B∈（0，π），所以B=π4；（Ⅱ）由正弦定理知asinA =b sinB，所以a=bsinAsinB=3；所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=32×22+12×22=6+24，所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12×3×2×6+24=3+34．√√√√√√√√√√√√√√√√【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．（2022秋•南通期中）在△ABC中，三边长是公差为2的等差数列，若△ABC是钝角三角形，则其最短边长可以为4（区间（2，6）之间的实数都可以）.（写出一个满足条件的值即可）【题型】计算题；转化思想；分析法；解三角形；逻辑推理．【答案】4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【分析】设三边分别为x-2，x,x+2，求出最大边对角的余弦值，令其小于零，结合构成三角形的三边满足的条件，列出关于x的不等式组解出x的范围．【解答】解：由已知令△ABC的三边为：x-2，x,x+2，则应满足x＞2，且x-2+x＞x+2，解得x＞4①，因为△ABC是钝角三角形，故边长解得为x+2的边对角θ满足：cosθ=x 2+(x−2)2−(x+2)22x•(x−2)<0，结合①式解得4＜x＜8，故最短边2＜x-2＜6，故可取x=6，则最短边长为4．故答案为：4（区间（2，6）之间的实数都可以）．【点评】本题考查三角形的性质、余弦定理的应用，属于中档题．（2023•玉林三模）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsinA=c.（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为2−12，求b+c的值．√√【题型】对应思想；综合法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得A 的值；（2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b+c 的值．【解答】解：（1）△ABC 中，acosB+bsinA=c,由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA=sinC ，又sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB ，∴sinBsinA=cosAsinB ，又sinB≠0，∴sinA=cosA ，又A ∈（0，π），∴tanA=1，A=π4；（2）由S △ABC =12bcsinA=24bc=2−12，解得bc=2-2；又a 2=b 2+c 2-2bccosA ，∴2=b 2+c 2-2bc=（b+c ）2-（2+2）bc,∴（b+c ）2=2+（2+2）bc=2+（2+2）（2-2）=4，∴b+c=2．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题．（2023春•杨浦区校级期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c,若a=4，b=6，c=9，则角C=π-arccos2948．【题型】对应思想；定义法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】利用余弦定理求出cosC ，再根据反余弦函数求出C 的值．【解答】解：△ABC 中，a=4，b=6，c=9，由余弦定理得cosC=42+62−922×4×6=-2948，有C ∈（0，π），所以C=π-arccos 2948．故答案为：π-arccos 2948．【点评】本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题．B．2π3C．π6D．5π6B．63C．22D．12（2023•青海模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，则A=（ ）√【题型】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值．【解答】解：已知△ABC的面积是3(b2+c2−a2)4，利用余弦定理b2+c2-a2=2bccosA，整理得：12bcsinA=3(b2+c2−a2)4=32bccosA，所以tanA=3，由于A∈（0，π）．则A=π3．故选：A．√√√√【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．（2023春•鼓楼区校级期末）△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知43S=(a+b)2−c2，则sinC的值是（ ）√√√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】根据三角形的面积公式结合余弦定理化简求出C，即可得解．【解答】解：因为43S=(a+b)2−c2，又S=12absinC，所以23absinC−2ab=a2+b2−c2，所以3sinC−1=a2+b2−c22ab，又cosC=a2+b2−c22ab，所以3sinC−cosC=1，所以sin(C−π6)=12，√√√√A．3B．2D．3或7又C∈（0，π），则C−π6∈(−π6，5π6)，所以c−π6=π6，所以C=π3，则sinC=32．故选：A．√【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式，属于基础题．（2023春•永昌县校级月考）在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且AB=2，sinB=32，且S△ABC= 32，则AC=（ ）√√√√√【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由题意利用三角形的面积公式可求BC=1，分类讨论，利用余弦定理即可求解AC的值．【解答】解：因为AB=2，sinB=32，且S△ABC=32=12AB•BC•sinB=12×2×BC×32，所以BC=1，因为BC＜AB，所以A为锐角，当C为钝角时，可得cosB=1−sin2B=12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×12=3，可得AC=3，此时cosC=a2+b2−c22ab=1+3−42×1×3=0，又C∈（0，π），可得C=π2，不符合题意，故舍去，当B为钝角时，可得cosB=-1−sin2B=-12，所以由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+12-2×2×1×（-12）=7，可得AC=7．故选：C．√√√√√√√√【点评】本题考查了三角形的面积公式以及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．（2023春•江油市校级期中）在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c.若a=1，b=3，c=13，则角C等于（ ）√A．90°C．60°D．45°A．5π6C．π3D．π6【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可．【解答】解：a=1，b=3，c=13，则cosC=a2+b2−c22ab=12+32−(13)22×1×3=−12，因为0°＜C＜180°，故C=120°．故选：B．√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．（2023春•尖山区校级月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若（a+b+c）（c+b-a）=bc,则A=（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】由已知利用平方差公式整理可得b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cosA=-12，结合A∈（0，π），即可求解A的值．【解答】解：∵△ABC中，（a+b+c）（c+b-a）=bc,∴（b+c）2-a2=bc,整理得：b2+c2-a2=-bc,∴由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=-12，又A∈（0，π），∴A=2π3．故选：B．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，求得b2+c2-a2=-bc是关键，属于基础题．（2023春•安化县期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若ac=8，a+c=7，B=π3，则b=（ ）A．25C．4 $D．5 A．−22B．22D．1010√【题型】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．【解答】解：因为ac=8，a+c=7，B=π3，所以由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac-2accosB=49-2×8-2×8×12=25，所以b=5．故选：B．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．（2023春•房山区期末）已知平面直角坐标系中的3点A（2，2），B（6，0），C（0，0），则△ABC中最大角的余弦值等于（ ）√√√【题型】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】根据夹角公式算出△ABC每个内角的余弦值，然后分析可得结果．【解答】解：A（2，2），B（6，0），C（0，0），AB=(4，−2)，AC=(−2，−2)，cosA=cos〈AB，AC〉=AB⋅AC|AB||AC|=−4410=−1010；CB=(6，0)，CA=(2，2)，cosC=cos〈CB，CA〉=CB⋅CA|CB||CA|=126×22=22，BA=(−4，2)，BC=(−6，0)，cosB=cos〈BA，BC〉=BA⋅BC|BA||BC|=246×25=255；由A，B，C为三角形ABC的内角，则cosA＜0，cosB＞0，cosC＞0，于是A是钝角，B，C是锐角，最大角是A，余弦值为−1010．故选：C．→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√→→→→→→→→√√√【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．A．3B．4D．6 A．-1C．1D．6（2023•郑州模拟）在△ABC中，满足9sin2A+6cosA=10，且AB=3，BC=26，则AC=（ ）√【题型】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】C【分析】由同角三角函数的平方关系化简9sin2A+6cosA=10求出cosA，再利用余弦定理即可求解AC．【解答】解：9sin2A+6cosA=9（1-cos2A）+6cosA=9-9cos2A+6cosA=10，即9cos2A-6cosA+1=（3cosA-1）2=0，解得cosA=13，由余弦定理可知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=9+AC2−246AC=AC2−156AC，则AC2−156AC=13，整理得3AC2-6AC-45=（3AC-15）（AC+3）=0，解得AC=5或AC=-3（舍）．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．（2015•重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）【题型】等差数列与等比数列．【答案】B【分析】直接利用等差中项求解即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=12（a2+a6）=12(4+a6)=2，解得a6=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．B．b≤0C．c=0D．a-2b+c=0（2017•上海）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c,n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（ ）【题型】方程思想；等差数列与等比数列；简易逻辑．【答案】A【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k+x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c,化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n+1b n=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【题型】计算题；方程思想；综合法；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【分析】（1）由题意当n=1时，b1=S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将b nb n−1=S n，代入2S n +1b n=2，可得b n-b n-1=12，进一步得到数列{b n}是等差数列；（2）由a1=S1=b1=32，可得b n=n+22，代入已知等式可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=-1n(n+1)，进一步得到数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n=1时，b1=S1，由2b1+1b1=2，解得b1=32，B．a n=3n-10C．Sn=2n2-8n D．S n=12n2-2n 当n≥2时，b nb n−1=S n，代入2S n+1b n=2，消去S n，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b n-b n-1=12，所以{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由题意，得a1=S1=b1=32，由（1），可得b n=32+（n-1）×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n=n+2n+1，当n≥2时，a n=S n-S n-1= n+2n+1-n+1n=-1n(n+1)，显然a1不满足该式，所以a n=V Y Y YW YY Y X32，n=1−1n(n+1)，n≥2．【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．（2019•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则（ ）【题型】计算题；方程思想；等差数列与等比数列．【答案】A【分析】根据题意，设等差数列{a n}的公差为d,则有V WX4a1+6d=0a1+4d=5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d,由S4=0，a5=5，得V WX4a1+6d=0a1+4d=5，∴V WX a1=−3d=2，∴a n=2n-5，S n=n2−4n，故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ）A．100B．99D．97 A．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件【题型】计算题；定义法；等差数列与等比数列．【答案】C【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．（2023•阿拉善盟一模）已知{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的（ ）【题型】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；逻辑推理．【答案】B【分析】根据等差数列的性质，充分与必要条件的概念即可求解．【解答】解：由对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3，可得等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴等差数列{a n}仅有前三项为负项，且公差d＞0，∴可得a4＞a3，反过来，由a4＞a3，可得d＞0，但不能得到等差数列{a n}仅有前三项为负项，即不能得到等差数列{a n}的前n项和的最小值为S3，∴“对任意的n∈N*且n≠3，S n＞S3”是“a4＞a3”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考查等差数列项的性质，充分与必要条件的概念，属基础题．A．若①有实根，②有实根，则③有实根C．若①无实根，②有实根，则③无实根D ．若①无实根，②无实根，则③无实根（2023•长宁区二模）设各项均为实数的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，对于方程①2023x 2-S 2023x+T 2023=0，②x 2-a 1x+b 1=0，③x 2+a 2023x+b 2023=0．下列判断正确的是（ ）【题型】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】若①有实根，得到a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，得到Δ1+Δ2023≥0，结合举反例可以判断选项AB ；通过举反例可以判断选项CD ．【解答】解：若①有实根，由题意得：S22023−4×2023T 2023≥0，其中S 2023=2023(a 1+a 2023)2=2023a 1012，T 2023=2023(b 1+b 2023)2=2023b 1012，代入上式得a21012−4b 1012≥0，设方程x 2-a 1x+b 1=0与方程x 2+a 2023x+b 2023=0的判别式分别为Δ1和Δ2023，则Δ1+Δ2023=(a 21−4b 1)+(a 22023−4b 2023)=a 21+a 22023−4(b 1+b 2023)≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)等号成立的条件是a 1=a 2023．又Δ1+Δ2023≥(a 1+a 2023)22−4(b 1+b 2023)=(2a 1012)22−8b 1012=2(a21012−4b 1012)≥0，如果②有实根，则Δ1≥0，则Δ2023≥0或者Δ2023＜0，所以③有实根或者没有实根，如a 1=6，b 1=2，a 2023=4，b 2023=6，满足a 21012−4b 1012=52−4×4>0，Δ1=36-8＞0，但是Δ2023=16-24＜0，所以③没有实根，所以A 错误；如果②没实根，则Δ1＜0，则Δ2023≥0，所以③有实根，所以B 正确；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②有实根，则Δ1≥0，设a 1=3，b 1=2，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×2<0，Δ1＞0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以C 错误；若①无实根，则a21012−4b 1012<0，②无实根，则Δ1＜0，设a 1=3，b 1=3，a 2023=-3，b 2023=2，所以a 21012−4b 1012=(0)2−4×52<0，Δ1＜0，此时Δ2023=1＞0，则③有实根，所以D错误．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，解答本题的关键是排除法的灵活运用，要证明一个命题是假命题，证明比较困难，只需举一个反例即可．。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
数学必修5解三角形-正弦-余弦知识点和练习题(含答案)
数学必修5解三角形-正弦-余弦知识点和练习题(含答案)解三角形1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C=.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===.、已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
两边和夹角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C在有解时只有一解。
1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°8、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.9、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.10、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ；③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).12． 在ABC △中，已知内角A π=3，边3BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 13． 在ABC中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c14． 在ABC中,,a b c分别为,,A B C∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，（1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。
正弦函数测试题及答案高中
正弦函数测试题及答案高中1. 正弦函数的定义是什么？2. 正弦函数的周期是多少？3. 正弦函数的图像有什么特点？4. 正弦函数的奇偶性如何？5. 正弦函数的值域是什么？6. 写出正弦函数的基本公式。
7. 解释正弦函数在三角恒等式中的作用。
8. 给定一个角度，如何计算其正弦值？9. 解释正弦函数在实际问题中的应用。
10. 给出一个正弦函数的图像，判断其振幅、周期和相位。
答案1. 正弦函数的定义是：对于任意角度 \( \theta \)，正弦函数 \( y = \sin(\theta) \) 表示在直角三角形中，对应角度 \( \theta \)的对边与斜边的比值。
2. 正弦函数的周期是 \( 2\pi \) 弧度，或者 \( 360^\circ \)。
3. 正弦函数的图像是一个周期性的波动曲线，它在 \( -1 \) 和\( 1 \) 之间波动，并且关于原点对称。
4. 正弦函数是奇函数，即 \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \)。
5. 正弦函数的值域是 \( [-1, 1] \)。
6. 正弦函数的基本公式包括：\( \sin(\theta) =\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) \) 和 \( \sin(2\theta) =2\sin(\theta)\cos(\theta) \)。
7. 在三角恒等式中，正弦函数用于表达角度之间的关系，如和角公式、差角公式等。
8. 给定角度的正弦值可以通过查找三角函数表、使用计算器或利用单位圆来计算。
9. 正弦函数在实际问题中应用广泛，如物理学中的振动问题、电子学中的交流电问题等。
10. 正弦函数的图像可以通过振幅 \( A \)，周期 \( T \) 和相位\( \phi \) 来描述，公式为 \( y = A\sin(\omega x + \phi) \)，其中 \( A \) 是振幅，\( T = \frac{2\pi}{\omega} \) 是周期，\( \omega \) 是角频率，\( \phi \) 是相位。
正弦函数、余弦函数的图象和性质及答案
正弦函数、余弦函数的图象和性质一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，则M+m 等于( )A ．32 B. ﹣32 C. ﹣34D. ﹣2 2.函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ---------------------------------------------- ( ) (A) {0}(B) [-1,1](C) [0,1](D) [-2,0]3.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=4．函数cos y x =的一个单调增区间是----------------------------------- ( )A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．对于函数y =sin(132π-x ），下面说法中正确的是------------------------ ( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数6．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ）A ．23B ．32C ．2D ．3二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)7．函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 . 8．函数y ＝1sin 2-x 的定义域是 . 9．函数y ＝sin(π4－2x)的单调递增区间是 .10．已知奇函数y ＝f (x )对一切x ∈R 满足f (x ＋1)＝f (x -1)，当x [1-∈，]0时，f (x )＝943+x ，则f (5log 31)＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)11．求函数f （x ）=2sin （x+3π）的值域，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 。
三角函数测试题及答案
三角函数测试题及答案本文将为您提供一系列的三角函数测试题及其详细答案解析。
在完成测试题之前，请确保您对基本的三角函数概念以及三角函数的性质和应用有一定的了解。
请按照每道题目的要求进行思考和解答，并参考我们提供的答案解析进行对比和巩固。
题目一：已知一个角的正弦值为0.6，求该角的余弦值。
答案解析：由于正弦值为0.6，我们可以根据三角函数的定义得到：sinθ = 0.6。
根据三角函数的性质，我们知道正弦函数和余弦函数是相关的，即sinθ = cos(π/2 - θ)。
因此，我们可以得到cos(π/2 - θ) = 0.6。
进一步求解可得：cos(π/2 - θ) = cosarcsin(0.6) ≈ 0.8。
所以该角的余弦值约为0.8。
题目二：已知一个角的余弦值为0.4，求该角的正切值。
答案解析：由于余弦值为0.4，我们可以根据三角函数的定义得到：cosθ = 0.4。
然后我们可以利用三角函数的性质，即tanθ = sinθ / cosθ，求解正切值。
将已知的cosθ代入公式可得：tanθ = sinθ / 0.4。
由已知的cosθ = 0.4，我们可以利用三角函数的定义得到：sinθ = √(1 - cos²θ) =√(1 - 0.4²) ≈ √(1 - 0.16) ≈ √0.84 ≈ 0.917。
将sinθ = 0.917代入公式可得：tanθ = 0.917 / 0.4 ≈ 2.292。
所以该角的正切值约为2.292。
题目三：已知一条直角边的长度为5，另一条直角边的长度为12，求该直角三角形的正弦值、余弦值、正切值。
答案解析：已知一条直角边的长度为5，另一条直角边的长度为12。
我们可以利用直角三角形中的三角函数定义和性质来求解。
根据已知条件，我们可以得到斜边的长度：√(5² + 12²) ≈ √(25 + 144) ≈ √169 = 13。
然后，我们可以利用定义求解三角函数的值：sinθ = 对边/斜边= 5/13 ≈ 0.385，cosθ = 临边/斜边= 12/13 ≈ 0.923，tanθ = 对边/临边= 5/12 ≈0.417。
正弦函数测试试题(含答案)
正弦函数测试试题(含答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（正弦函数测试试题(含答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一、选择题：1．函数y=sin （2x+错误!）的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ）A.向右平移错误! B 。
向左平移 错误! C. 向右平移 错误! D 。
向左平移错误!2．函数y=sin(π4—2x ）的单调增区间是（ ）A 。
［kπ-错误!, kπ+错误!] (k∈Z) B. [kπ+错误!， kπ+错误!］（k∈Z ）C 。
[kπ-错误!， kπ+错误!] （k∈Z ） D. [kπ+错误!, kπ+错误!] (k∈Z ）3．函数y=sin （x+错误!）的图象是( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称 D 。
关于x=—错误!π对称4．函数f （x ）=cos （3x+φ）的图像关于原点中心对称的充要条件是（ ）A 。
φ=错误! B. φ= kπ（k∈Z ） C. φ= kπ+错误! (k∈Z ） D. φ= 2kπ-错误! (k∈Z) 5．函数 y=错误!sin2x 图象的一条对称轴是（ ）A 。
x= — 错误!B 。
x= — 错误! C. x = 错误! D 。
x= —错误!二、填空题：6．函数 y=错误!sin(3x —错误!） 的定义域是__________，值域是________,周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________．7．如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=—错误!对称,那么a=_________．8．函数y=sin2x 的图象向左平移 错误!,所得的曲线对应的函数解析式是__________．9．要得到 y=sin2x —cos2x 的图象，只需将函数 y=sin2x+cos2x 的图象沿x 轴向____移___________个单位．10．关于函数f （x)=4sin(2x+错误!） (x∈R ），有下列命题： （1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos （2x —π6 ）；（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数； (3）y=f （x ) 的图象关于点（-错误!，0)对称; (4)y=f(x ） 的图象关于直线x=-错误!对称； 其中正确的命题序号是___________． 三、解答题：11．函数 y=sin （2x+错误!) 的图象，可由函数 y=sinx 的图象怎样变换得到？ 12．已知函数f （x ）=log a cos(2x-错误!）（其中a 〉0,且a≠1）． （1）求它的定义域；（2)求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期．13.已知正弦波图形如下：此图可以视为函数y =A sin （ωx +）（A ＞0，ω＞0，｜｜＜）图象的一部分,试求出其解析式.14． 已知函数y =3sin （x －）。
正弦函数测试题及答案
正弦函数测试题及答案1. 试求以下函数的周期和最大值、最小值：- $y = \sin(x)$- $y = 2\sin(3x)$- $y = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$答案：- 函数$y = \sin(x)$的周期为$2\pi$，最大值为$1$，最小值为$-1$。
- 函数$y = 2\sin(3x)$的周期为$\dfrac{2\pi}{3}$，最大值为$2$，最小值为$-2$。
- 函数$y = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$的周期为$4\pi$，最大值为$1$，最小值为$-1$。
2. 判断下列函数的图像与正弦函数的图像是否一致：- $y = -\sin(x)$- $y = \sin(x + \pi)$- $y = \sin(x - \pi)$答案：- 函数$y = -\sin(x)$的图像与正弦函数的图像一致，只是整体上下翻转。
- 函数$y = \sin(x + \pi)$的图像与正弦函数的图像一致，只是整体向左平移$\pi$个单位。
- 函数$y = \sin(x - \pi)$的图像与正弦函数的图像一致，只是整体向右平移$\pi$个单位。
3. 求以下函数的特征点：- $y = \sin(x)$- $y = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$- $y = 2\sin(3x + \dfrac{\pi}{4})$答案：- 函数$y = \sin(x)$的特征点为最大值点$(\dfrac{\pi}{2}, 1)$，最小值点$(\dfrac{3\pi}{2}, -1)$，零点$(n\pi, 0)$。
- 函数$y = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$的特征点为最大值点$(\pi, 1)$，最小值点$(2\pi, -1)$，零点$(2n\pi, 0)$。
- 函数$y = 2\sin(3x + \dfrac{\pi}{4})$的特征点为最大值点$\left(\dfrac{\pi}{6}, \sqrt{2}\right)$，最小值点$\left(\dfrac{7\pi}{6}, -\sqrt{2}\right)$，零点$\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}n, 0\right)$。
正弦函数的性质与图像练习题含答案
正弦函数的性质与图像练习题含答案1. 求出sin x≥的解集（）A. B.C. D.2. 已知函数f(x)＝cos(2x−π6)(x∈R)，下列命题正确的是（）A.若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1−x2＝kπ(k∈Z)B.f(x)的图象关于点(π12, 0)对称C.f(x)的图象关于直线x=π3对称D.f(x)在区间(−π3, π12)上是增函数3. 已知函数f(x)的周期为4π，且，则f （）的值与下列哪个函数值相等（）A. B. C.f(π) D.4. f(x)是R 上的奇函数，对任意实数x 都有f(x)=−f(x −32)，当x ∈(12, 32)时，f(x)=log 2(2x −1)，则(2018)+f(2019)=( ) A.0 B.1 C.−1 D.25. 函数y ＝1−sin x 的最大值为（ ） A.1 B.0 C.2 D.−16. 已知四个命题：p 1：∃x 0∈R ，sin x 0−cos x 0≥√2；p 2:∀x ∈R ，tan x =sin x cos x；p 3：∃x 0∈R,x 02+x 0+1≤0；p 4:∀x >0，x +1x ≥2．以下命题中假命题是（ ） A.p 1∨p 4 B.p 2∨p 4 C.p 1∨p 3 D.p 2∨p 37. 已知函数f(x)＝sin (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π2)在(π8, 5π8)上单调，且f(−π8)＝f(3π8)＝0，则f(π2)的值为（ ） A.√22B.1C.−1D.−√228. 已知函数f(x)＝ax 3+bx ，a ，b ∈R ，若f(−2)＝−1，则f(2)＝（ ） A.−2 B.1 C.3 D.−39. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x −4)=−f(x)，在[0, 2]上f(x)是增函数，则下列结论：①若0<x 1<x 2<4，且x 1+x 2=4，则f(x 1)+f(x 2)>0；②若0<x 1<x 2<4，且x 1+x 2=5，则f(x 1)>f(x 2)；③若方程f(x)=m 在[−8, 8]内恰有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4=±8，其中正确的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10. 已知f(x)=cos 2x +2sin x,x ∈[π4,π]，则f(x)的值域是（ ） A.[1, 2] B.[1,12+√2]C.[−∞, 2]D.[−2, 2]11. 若函数f(x)＝sin (2x +θ)的图象关于直线x =−π6对称，则|θ|的最小值是________．12. 在[0, 2π]内，使sin x≥−成立的x的取值范围是________．13. 函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x的最大值为________．14. 已知[x]表示不超过x的最大整数，如[−1.2]＝−2，[1.5]＝1，[3]＝3．若f(x)＝2x，)=________，函数g(x)的值域为________．g(x)＝f(x−[x])，则g(3215. 求函数的对称轴和对称中心．．16. 已知函数f(x)=sin x⋅cos x−√3cos2x+√32（1）化简函数f(x)，并用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值．（2）当x∈[0, π2参考答案与试题解析正弦函数的性质与图像练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】C【考点】三角函数线正弦函数的图象三角不等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】利用余弦函数的对称性质可知，2x−π6=kπ可得对称轴，2x−π6=kπ+π2，可得其对称中心，根据2kπ−π≤2x−π6≤2kπ单调递减，可得增区间．【解答】函数f(x)＝cos(2x−π6)(x∈R)，其周期T=2π2=π，一个周期有两个零点，即f(x1)＝f(x2)＝0，则x1−x2=12kπ(k∈Z)故A不对．余弦函数的性质可知：由2x−π6=kπ+π2，可得其对称中心为(π3+12kπ, 0)，经考察，故B不对．由2x−π6=kπ可得其对称中轴x=12kπ+π12，(k∈Z)，经考察，故C不对．由2kπ−π≤2x−π6≤2kπ可得增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，∴f(x)在区间(−π3, π12)上是增函数．3.【答案】C【考点】三角函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】主要考查函数的周期性和奇偶性,考查转化与化归能力、运算求解能力【解答】解：∵f(x)是R上的奇函数，且f(x)=−f(x−32)，∴f(x+32)=−f(x)，∴f(x+32+32)=−f(x+32)=f(x)，即f(x+3)=f(x).∴函数f(x)的最小正周期为3，∴f(2018)+f(2019)=f(672×3+2)+f(673×3+0) =f(2)+f(0)=f(−1+3)+f(0) =f(−1)+f(0)=−f(1)=0.故选A.5.【答案】C【考点】正弦函数的定义域和值域正弦函数的图象三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】由已知可得函数f(x)的最小正周期为T=2πω，解得0<ω≤1，结合已知列关于ω，φ的方程组，求解可得ω，φ得到函数解析式，进一步求得f(π2)的值．【解答】由题意得，函数f(x)的最小正周期为T=2πω，∵f(x)在(π8, 5π8)上单调，∴T2=πω≥π2，得0<ω≤2．且f(−π8)＝f(3π8)＝0，所以T2=3π8−(−π8)=π2，解得ω＝2．由于f(−π8)＝0，所以sin[2×(−π8)+φ]＝0，整理得φ=π4．所以f(x)＝sin(2x+π4)，则f(π2)=sin(π+π4)=−√22．8.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，分析可得f(x)为奇函数，进而由奇函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝ax3+bx，其定义域为R，有f(−x)＝a(−x)3+b(−x)＝−(ax3+bx)＝−f(x)，即函数f(x)为奇函数，又由f(−2)＝−1，则f(2)＝−f(−2)＝1；9.【答案】D【考点】奇函数【解析】由条件“f(x−4)=−f(x)”得f(x+8)=f(x)，说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0, 2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0, 2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，①若0<x1<x2<4，且x1+x2=4，f(x)在[0, 2]上是增函数，则f(x1)>f(x1−4)=f(−x2)=−f(x2)；则f(x1)+f(x2)>0；故①正确；②若0<x1<x2<4，且x1+x2=5，f(x)在[0, 2]上是增函数，由图可知：f(x1)>f(x2)；故②正确；③当m>0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(−6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=−8．当m<0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(−2)，另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x1+x2+x3+x4=8．故③正确；故选D．10.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】将f(x)化简转化为关于sin x的二次函数形式，然后根据sin x的范围求出f(x)的值域即可．【解答】f(x)＝cos2x+2sin x＝−sin2x+2sin x+1＝−(sin x−1)2+2∵x∈[π, π]，∴sin x∈[0, 1]，4∴当sin x＝0时，f(x)min＝1；当sin x＝1时，f(x)max＝2，∴f(x)的值域为：[1, 2]．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）11.【答案】π6【考点】正弦函数的奇偶性和对称性【解析】结合正弦函数的对称轴处取得函数的最值即可求解．【解答】依题意可知2×(−π6)+θ=kπ+π2(k∈Z)，得θ=kπ+5π6(k∈Z)，所以|θ|=|kπ+5π6|，故当k＝−1时，|θ|取得最小值π6．12.【答案】【考点】三角函数线正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】32【考点】三角函数的最值【解析】运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：函数f(x)=√3sin x cos x+cos2x=√32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+π6)+12，当2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，即x=kπ+π6，k∈Z，函数取得最大值1+12=32.故答案为：32.14.【答案】√2,[1, 2)【考点】函数的值域及其求法【解析】代入自变量x ，利用取值求出，代入即可，求出[x]∈(x −1, x]，故x −[x]∈[0, 1)，代入即可． 【解答】由f(x)＝2x ，g(x)＝f(x −[x])，g(32)＝f （32−[32]）＝f(32−1)＝f(12)＝212=√2，由g(x)＝2x−[x]， [x]∈(x −1, x]， 故x −[x]∈[0, 1)， 所以g(x)∈[1, 2)，三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ） 15. 【答案】由，得，所以对称轴为．由，得，所以对称中心为．【考点】正弦函数的图象正弦函数的奇偶性和对称性 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 16. 【答案】解：（1）f(x)=sin x⋅cos x −√3cos 2x +√32=12sin 2x −√32cos 2x =sin (2x −π3)，令X =2x −π3，则x =12(X −π3)．填表：…（2）因为x∈[0, π2]，所以2x∈[0, π]，2x−π3∈[−π3, 2π3]…所以当x=0时，即2x−π3=−π3，y=sin(2x−π3)取得最小值−√32；当x=5π12时，即2x−π3=π2，y=sin(2x−π3)取得最大值1…【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象正弦函数的图象【解析】（1）先化简函数f(x)，然后利用“五点法”进行作图．（2）根据三角函数的最值性质进行求解．【解答】解：（1）f(x)=sin x⋅cos x−√3cos2x+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3)，令X=2x−π3，则x=12(X−π3)．填表：y010−10…（2）因为x∈[0, π2]，所以2x∈[0, π]，2x−π3∈[−π3, 2π3]…所以当x=0时，即2x−π3=−π3，y=sin(2x−π3)取得最小值−√32；当x=5π12时，即2x−π3=π2，y=sin(2x−π3)取得最大值1…试卷第11页，总11页。
初三正弦余弦基础练习题及答案
初三正弦余弦基础练习题及答案一、选择题1. 已知角θ的终边落在单位圆上的点M的坐标是(-1/2, √3/2)，则θ的终边与x轴正半轴的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C2. 若sinθ = 1/2，且θ为锐角，则θ所在的象限为：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：A3. 设sinα = 3/5，且α为第二象限的角，则cosα的值为：A. 1/5B. -3/5C. -4/5D. -√2/5答案：C4. 如果tanβ = -2，且β所在的象限为第三象限，则β的正弦值为：A. -2/√5B. -√5/2C. 1/2D. √5/2答案：A5. 设θ是一个锐角，sinθ = cos(90° - θ)的解为：A. 0°B. 30°C. 45°D. 60°答案：C二、填空题1. 已知sinθ = 4/5，且θ为锐角，则cosθ的值为 _______。
答案：3/52. 若cosα = -1/3，且α为第三象限的角，则sinα的值为 _______。
答案：-2√2/33. 设tanβ = 2/3，且β所在的象限为第四象限，则cosβ的值为_______。
答案：-3/√134. 如果cotγ = -√3，且γ为第二象限的角，则sinγ的值为 _______。
答案：-√4/√75. 设sinθ = 1/2，且θ为锐角，则tanθ的值为 ______。
答案：1/√3三、计算题1. 运用三角函数关系，求解sin75°的精确值。
解答：利用三角函数的和角公式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，我们可以将75°拆分成45°和30°，即75° = 45° + 30°。
sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)= (√6 + √2)/4 ≈ 0.96592. 根据已知条件，求解cos120°的精确值。
第1讲正弦、余弦、正切、余切 (专题测试)解析版
第1讲 正弦、余弦、正切、余切 （专题测试）【基础题】 一、单选题1．（2019·上海市第二中学高一期中）“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案. 【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.二、填空题2．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________．【答案】45【分析】分子、分母同除以cos θ，将tan 2θ=代入化简即可. 【详解】因为tan 2θ=，所以3sin 2cos 3tan 23224sin 3cos tan 3235θθθθθθ--⨯-===+++,故答案为45.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.3．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数y =______． 【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【分析】根据函数y =cos 0x ≥，再结合余弦函数的图象，求得x 的范围．【详解】根据函数y =cos 0x ≥，可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 故答案为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．4．（2020·上海市金山中学高一期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，1()22P -为其终边上一点，则sin()2πα+=________【答案】 【分析】由三角函数的定义可求出cos α的值，然后由诱导公式可得sin()cos 2παα+=得到答案.【详解】点1()2P 在角α的终边上，则1r OP ==.由三角函数的定义可得：cos x r α==又sin()cos 22παα+==-故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题. 5．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 【答案】2π【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.6．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案.【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈， 所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()k m mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m m Z 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()k mmZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二7．（2020·上海浦东新区·高一期中）计算：15︒=________rad 【答案】12π【分析】根据1180π︒=rad 求解. 【详解】因为1180π︒=rad ， 所以151518012ππ︒=⨯=rad ，故答案为：12π【点睛】本题主要考查弧度制与角度制的互化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题8．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小.【答案】2α=时,扇形面积最大为2a 16.【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.【详解】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭. 故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 9．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.【答案】335cot ,cos ,csc 454ααα=-==-. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限角， 所以41cot tan 3αα==-，因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因为α是第四象限角，所以3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以15csc sin 4αα==- 【提升题】 一、单选题1．（2020·浙江高一期末）设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin 25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin 2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值.【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.3．（2020·常熟市中学高一月考）已知sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则2sin cos cos θθθ-=（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】C【分析】先根据诱导公式化简已知得: tan θ=进而再根据齐次式求值即可.【详解】解:根据诱导公式化简整理sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭得:sin θθ=,所以tan θ=所以22222sin cos cos tan 11sin cos cos sin cos tan 14θθθθθθθθθθ---===++ 故选:C【点睛】本题考查诱导公式化简，同角三角函数齐次式求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于2222sin cos cos sin cos cos sin cos θθθθθθθθ--=+，进而求解.二、填空题4．（2020·河北巨鹿中学高一月考）已知1cos 5α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得．【详解】∵1cos 5α=，且02πα-<<，∴sin α==，∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：-【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．5．（2020·常熟市中学高一月考）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是______．【答案】725-【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，可得1cos sin 5θθ-=，由此可求出7cos sin 5θθ+=，即可求出22sin cos θθ-. 【详解】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ， 所以小正方形的边长为cos sin θθ-，小正方形的面积是125，()21cos sin 25θθ∴-=，1cos sin 5θθ∴-=， ()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-=，则12sin cos 25θθ=，()249cos sin 12sin cos 25θθθθ∴+=+=，则7cos sin 5θθ+=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525θθθθθθ∴-=-+=-⨯=-.故答案为：725-. 【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出1cos sin 5θθ-=，从而根据三角函数关系求出7cos sin 5θθ+=. 6．（2020·湖北武汉市·武汉二中高一期末）已知tan 2α=，则442cos 2cos sin sin 2cos 1ααααα+-=+________． 【答案】17【分析】先进行弦化切，然后把tan 2α=代入求值.【详解】()()42422242422222222cos 2cos sin sin 2cos 1cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin 2cos sin 3cos sin 1tan 2tan =3tan αααααααααααααααααααααααααα+-+-+=+-++=+-+=+-++ ∵tan 2α=，∴原式221tan 2tan 1441===3tan 347ααα-+-+++ 故答案为：17【点睛】对于正余弦的齐次式，可以先进行弦化切，然后代入求值.三、解答题7．（2020·江西省宜春中学高一月考）如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转3π得11,OP OP 逆时针旋转得21,,n OP OP -⋅⋅⋅，逆时针旋转3π得n OP .（1）若点2020P 的横坐标为45，求点1P 的横坐标； （2）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求()()()c sin ta os n 2sin 3ααπαπαππ+⎛⎫-- ⎪⎝-⎭的值.【答案】（1）45-；（2）53【分析】（1）根据得2020P 的横坐标为45，即：4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即为点1P 的横坐标； （2）根据题意得344cos ,sin ,tan 553ααα===，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：2020OP 终边对应的角为20203πα+⨯，因为点2020P 的横坐标为45， 所以4cos 202035πα⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即4cos 673cos 335ππαπα⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 另一方面，1OP 的终边对应的角为π3α+， 所以点1P 的横坐标为π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （2）因为0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，所以344cos ,sin ,tan 553ααα===，所以()()()()()sin sin tan cos cos tan 152cos sin cos 3sin cos sin cos cos 3παααπαααααππαααααα⎛⎫--⋅ ⎪⋅⎝⎭====+--⋅-⋅ 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，是基础题．本题解题的关键在于根据规律得n OP 的终边对应的角*,3n n N πα+∈，进而根据三角函数定义求解.8．（2020·沭阳县修远中学高一月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）16433π-；（2）2α=. 【分析】（1）令圆弧的半径为R ，由定义知cos 22AOBR R ∠-=求R ，进而由弧田面积OACB AOB S S S =-，即可求其面积；（2）由题意得2r r c α+=，扇形面积22r S α=，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可.【详解】（1）由题意，如下图示2CD =，令圆弧的半径为R ，23AOB π∠=，∴cos32R OD R π==，即22RCD OC OD R =-=-=，得4R =， ∴弧田面积21132OACB AOBS S SR OD AB π=-=-⋅⋅，而3AB R =， ∴16433S π=-（2）由题意知：弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，而扇形面积22r S α=，∴2222242(2)162()8c c c S αααα==≤=+++当且仅当2α=时等号成立. ∴当2α=时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.9．（2020·沭阳县修远中学高一月考）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第一象限且3sin 5α=，若角β是将角α的终边逆时针旋转2π得到. （1）求sin β的值；（2）求tan β和221sin sin cos 2cos ββββ--的值. 【答案】（1）4sin 5β=；（2）22415tan ,3sin sin cos 2cos 2βββββ=-=--. 【分析】（1）由诱导公式求得sin β；（2）由同角关系求得cos β后可得tan β，直接代入sin ,cos ββ的值计算．【详解】（1）因为α是第一象限角，所以4cos 5α==，又2πβα=+， 所以4sin sin()cos 25πβαα=+==； （2）α是第一象限角，则2πβα=+是第二象限角，所以3cos 5β===-， 所以4sin 45tan 3cos 35βββ===--， 2222115sin sin cos 2cos 2443325555ββββ==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角间的三角函数关系．解题关键是掌握三角函数的定义确定三角函数值的正负，从而正确求解．由三角函数的定义得出cosα为正，cosβ为负．然后由商数关系求得tanβ，代入已求值可得分式的值．10．（2020·安徽省定远中学高一月考）若α为第二象限角，4 sin25πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求sinα的值.（2）若7sin(5)cos tan()2()tan(19)sin()fπαπαπααπαα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----，求()fα的值.【答案】（1）35；（2）35.【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosα的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinα的值；（2）利用诱导公式即可化简求值得解．【详解】（1）α为第二象限角，4 sin()cos25παα+==-，3sin5α∴；（2）7sin(5)cos()tan()sin(sin)tan2()sintan(19)sin()tan(sin)fπαπαπααααααπαααα---+-===-----，3()5fα∴=．【点睛】方法点睛：诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2kk Zπα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2kπα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）。
正弦考试题及答案
正弦考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 正弦函数的周期是（）。
A. 2πB. πC. 3πD. 4π答案：A2. 函数y=sin(x)的值域是（）。
A. (-∞, +∞)B. (-1, 1)C. [0, 1]D. [-1, 1]答案：D3. 正弦函数y=sin(x)的奇偶性是（）。
A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数答案：A4. 函数y=sin(x)的图像在x=π/2处的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B5. 函数y=sin(x)的图像在x=π处的值为（）。
B. 1C. -1D. 2答案：C6. 函数y=sin(x)的图像在x=3π/2处的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C7. 函数y=sin(x)的图像在x=2π处的值为（）。
A. 0B. 1D. 2答案：A8. 函数y=sin(x)的图像在x=5π/2处的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A9. 函数y=sin(x)的图像在x=7π/2处的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B10. 函数y=sin(x)的图像在x=9π/2处的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 正弦函数y=sin(x)的周期是________。
答案：2π2. 正弦函数y=sin(x)的值域是________。
答案：[-1, 1]3. 正弦函数y=sin(x)的奇偶性是________。
答案：奇函数4. 函数y=sin(x)的图像在x=π/6处的值为________。
答案：1/25. 函数y=sin(x)的图像在x=π/3处的值为________。
答案：√3/26. 函数y=sin(x)的图像在x=π/4处的值为________。
答案：√2/27. 函数y=sin(x)的图像在x=5π/6处的值为________。
高中数学第一章三角函数1正弦函数例题与探究(含解析)
1。
5 正弦函数典题精讲1.周期函数一定都有最小正周期吗？剖析:并不是所有周期函数都存在最小正周期.很多同学对此产生质疑，其突破的方法是：通过经验的积累,考虑特殊的周期函数.例如：常数函数f(x)=C（C为常数）,x∈R.当x取定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f（x）的定义域内的每一个值x都有f（x+T）＝C，因此f（x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f（x）没有最小正周期. 2。
正弦函数线有何作用?剖析：有的同学学习了正弦线后，感到正弦线没有什么用处.其突破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积累。
正弦线是当点P为终边与单位圆交点时，正弦函数值的直观表现形式.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对值.由正弦线的方向判断正弦值的正负，由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大小。
由此可见，用正弦线表示正弦函数值,反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法。
正弦函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的正弦线的方向记忆.正弦线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较三角函数式的大小,同时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基础.例如：求函数y=log2(sinx)的定义域。
思路分析：转化为解三角不等式sinx＞0.图1—4—5解：要使函数有意义，x 的取值需满足sinx ＞0。
如图1—4—5所示，MP 是角x 的正弦线,则有sinx=MP ＞0， ∴MP 的方向向上.∴角x 的终边在x 轴的上方。
∴2kπ＜x ＜2kπ+π(k ∈Z ）.∴函数y=log 2（sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π)k ∈Z 。
由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具,通过平时经验的积累,掌握三角函数线的应用。
3。
在推广了的三角函数定义中，为什么三角函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小?剖析：联系相似三角形的知识来分析.设P 0（x 0，y 0)是角α终边上的另一点，｜OP 0｜=r 0,由相似三角形的知识可知,只要点P 0在α终边上,总有r y =0r y .因此所得的比值都对应相等.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的位置即α的大小，与点P 在角α终边上的位置无关.典题精讲例1(经典回放）sin 600°的值是（ )A 。
正弦曲线测试试题含详解
正弦函数图像及其性质一、单选题1．函数y＝2sin(3x ＋)，x∈R的最小正周期是( )A．B．C．D．π2．函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数3．函数的定义域为（）A．B．C．D．4．函数的值域是（）A．0 B．C．D．5．若函数的最小正周期是2，且当时取得最大值，那么A．B．C．D．6．函数的单调增区间为（）A．B．C．D．7．设函数，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数8．下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的奇函数是（）A．3sin22y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．cos22y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭C．cos22y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭D．sin2y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭9．已知函数，则下列结论错误的是A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在区间上单调递减10．设函数=,则下列结论正确的是A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C ． 的最小正周期为D ． 在上为增函数 11．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）三、填空题12．已知x 满足－≤sinx≤，则角x 的取值范围为________.13．函数的定义域为_______，值域为_______.14．函数2sin sin 1y x x =+-的值域为________．二、解答题17．已知=.(1)求函数的对称轴和对称中心;(2)求函数的最大值,并写出取最大值时自变量的集合;15．已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求的最值，并指明相应的值；（3）用五点法在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象.18．已知函数f(x)＝(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)用五点法在所给坐标系中画出函数f(x)在区间上的图象．参考答案1．B【解析】函数y＝2sin(3x＋)，x∈R的最小正周期是.选B.2．B【解析】【分析】根据正弦函数的性质，可得函数为奇函数，再根据周期的计算公式，即可判定，得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以函数为奇函数，且最小正周期，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中熟记三角三角函数的图象与性质，准确求解与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C【解析】【分析】由函数，根据解析式有意义得到，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由函数，则满足，令，解得即函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出不等式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．D【解析】【分析】：去掉绝对值符号，转化为求分段函数的最值。
2024年新高一数学初升高衔接《正弦函数、余弦函数的图像》含答案解析
第26讲 正弦函数、余弦函数的图象模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。
知识点 3 用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．考点一：“五点法”画正（余）弦函数的图象例1．用“五点法”作出下列函数sin 1y x =-，[0,2π]x ∈的简图：【变式1-1】（22-23高一下·河南·月考）用五点法作出函数π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图象【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）用五点作图法画出cos 2y x =的图象．【变式1-3】用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =-，[]0,2πx ∈；(2)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．(3)πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦考点二：含绝对值的三角函数图象例2. 当[]2π,2πx ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？(1)sin y x =；(2)sin y x =.【变式2-1】（23-24高一上·四川绵阳·期末）函数()sin f x x =-在区间[]π,π-上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-2】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．【变式2-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）函数1(cos cos ),[0,2π]2y x x x =-∈的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．考点三：用正（余）弦函数的图象解不等式例3. （22-23高一下·四川南充·月考）不等式1si n ,2x <-[0,2]x πÎ的解集是（ ）A ．711,66ππ（）B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．57,66ππ（）D ．25,33ππ（）【变式3-1】（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式[]()1cos π,π2x x ≥∈-的解集为 .【变式3-2】（23-24高一下·广东江门·月考）在()0,2π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围为（ ）A ．π,π4⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ5π,π,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ3π5π4244⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,【变式3-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）在[]0,2π内函数()ln sin x f x ⎛= ⎝⎭的定义域是（ ）A ．ππ,43⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3π5π,43⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,3π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点四：正（余）弦函数的图象辨识例4. （23-24高一下·北京·期中）设a 是实数，则函数()sin 1axf x a=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式4-1】（22-23高一下·辽宁·月考）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数()sin cos 2f x x x=+的部分图像可能是（）A．B．C．D．【变式4-2】（23-24高一下·重庆·月考）函数()3sin 2x x xf x-=的图象大致为（）A．B．C．D．【变式4-3】（22-23高一下·湖南长沙·期末）函数()1 sin ln1xf x xx -=⋅+的大致图象为（）A．B．C．D．考点五：与正（余）弦函数有关的交点例5. （23-24高一下·陕西·月考）（多选）函数πsin2π3y x x⎛⎫=<<⎪⎝⎭图象与直线y t=（t为常数）公共点的个数可能是（）A．0B．1C．2D．3【变式5-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数()sin f x x =与()cos g x x =的图象在区间[]2π,π-的交点个数为.【变式5-2】（23-24高一下·辽宁盘锦·月考）若函数()sin 3sin f x x x =+在[]0,2πx ∈的图象与直线2y a =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·期末复习）在同一坐标系中，作函数sin y x =和lg y x =的图像，根据图像判断出方程sin lg x x =的解的个数为．一、单选题1．用“五点法”作2cos 2y x =的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）A ．π3π0,,π,,2π22B ．ππ3π0,,,,π424C ．0,π,2π,3π,4πD ．πππ2π0,,,,63232．（23-24高二上·福建福州·月考）函数()cos 0y x x =-≥ 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（ ）A ．π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()π,1C ．()0,1D ．()2π,13．（22-23高一下·山西朔州·期中）函数()cos f x x =，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为（ ）A ．BC ．12-D ．124．（23-24高一上·浙江温州·月考）设a 为常数，且满足sin 1a x =+，且[]π,πx ∈-的x 的值只有一个，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．0或25．（23-24高一上·山东青岛·期末）当(0,2π)x ∈时，函数()sin f x x =与()|cos |g x x =的图象所有交点横坐标之和为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．（22-23高一上·江苏淮安·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数cos ()2sin ||x xf x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题7．函数()sin 2sin f x x x =+，[]0,2πx ∈的图象与直线y k =的交点个数可能是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．68．（22-23高一下·江西抚州·期中）函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、填空题9．已知函数()32cos f x x =-+的图象经过点π,3b ⎛⎫⎪⎝⎭，则b =．10．（23-24高一下·山东威海·月考）方程sin tan x x =在区间3π3π,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上解的个数是．11．（23-24高一上·湖南长沙·月考）若()5533cos sin 3sin cos θθθθ-<-且[)0,2πθ∈，则θ的取值范围为 .四、解答题12．用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =，[]0,2πx ∈；(2)πsin 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，π5π[,33x ∈-.(3)1πsin()23y x =-在一个周期（4πT =）内的图像．13．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数()sin y x α=+，其中α为三角形的内角且满足1cos 2α=.(1)求出角α.（用弧度制表示）(2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数()sin y x α=+，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中x 轴上每格的长度为π,6y 轴上每格的长度为1）x α+02πxy第26讲 正弦函数、余弦函数的图象模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。
正弦定理测试题及答案
正弦定理测试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，如果sinA:sinB:sinC = 2:3:4，那么边a:b:c的比例是：A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:3:2D. 1:√2:22. 已知三角形ABC中，a=5, b=7, A=60°，使用正弦定理求边c的长度。
A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题3. 若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a/sinA = b/sinB =c/sinC，根据正弦定理，可以得出a = ________。
4. 在三角形ABC中，如果sinA = 1/2，且A为锐角，那么角A的度数为 ________。
三、解答题5. 已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求角A、B、C的度数。
6. 在三角形ABC中，如果a=5，b=7，c=8，且角A=45°，求角B和角C的度数。
四、证明题7. 证明：在任意三角形ABC中，边a、b、c与角A、B、C满足正弦定理的关系。
答案：一、选择题1. 答案：A2. 答案：C二、填空题3. 答案：b*sinA/c4. 答案：30°三、解答题5. 解：根据正弦定理，我们有：a/sinA = b/sinB = c/sinC将已知的边长代入，得到：3/sinA = 4/sinB = 5/sinC由于3:4:5是一组勾股数，我们可以推断出三角形ABC是一个直角三角形，其中角C为直角。
因此，角A和角B可以通过以下方式求得： sinA = 3/5, cosA = 4/5, tanA = 3/4sinB = 4/5, cosB = 3/5, tanB = 4/3由于sinA < sinB，我们知道角A < 角B，且角A和角B的度数可以通过反正弦函数求得。
6. 解：已知a=5，b=7，c=8，A=45°，我们可以使用正弦定理求得sinB和sinC：sinB = b*sinA/a = 7*√2/2/5 = 7√2/10sinC = c*sinA/a = 8*√2/2/5 = 8√2/5然后，我们可以通过反正弦函数求得角B和角C的度数。
正弦考试题及答案
正弦考试题及答案1. 计算 \(\sin(\frac{\pi}{6})\) 的值。
答案：\(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\)2. 已知 \(\sin(\theta) = \frac{1}{2}\)，求 \(\theta\) 的值。
答案：\(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) 或 \(\theta =\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)，其中 \(k\) 为整数。
3. 求 \(\sin(2\theta)\) 的表达式。
答案：\(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\)4. 已知 \(\cos(\theta) = \frac{3}{5}\)，\(\theta\) 在第一象限，求 \(\sin(\theta)\) 的值。
答案：\(\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}\)5. 计算 \(\sin(\pi - \theta)\) 的值。
答案：\(\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)\)6. 已知 \(\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，求 \(\theta\)的值。
答案：\(\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) 或 \(\theta =\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)，其中 \(k\) 为整数。
7. 求 \(\sin(\theta)\) 和 \(\cos(\theta)\) 的乘积。
答案：\(\sin(\theta)\cos(\theta) = \frac{1}{2}\sin(2\theta)\)8. 已知 \(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\)，求 \(\sin^2(\theta)\) 的值。
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，由此值域为
：含绝对值的表达式理解为分段函数，转化为分段函数的最值问题。
5．B
【解析】
【分析】
本题可根据三角函数的周期性质以及最大值还有的取值围来解得答案。
【详解】
由题意知，所以.又当时，有，
所以，而，所以.
【点睛】
熟知三角函数公式的每一个字母所指代的含义以及相关性质，是解决这类题目的关键。
6．C
【解析】
【详解】
由题意，函数，则
，
所以函数为奇函数， 且最小正周期，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中熟记三角三角函数的图象与性质，准确求解与 计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】 由函数，根据解析式有意义得到，再根据三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 由函数，则满足，
14．函数 y sin2 x sinx 1 的值域为________．
二、解答题 17．已知=. (1)求函数的对称轴和对称中心; (2)求函数的最大值,并写出取最大值时自变量的集合;
15．已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求的最值，并指明相应的值； （3）用五点法在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象.
18．已知函数 f(x)＝ (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)用五点法在所给坐标系中画出函数 f(x)在 区间上的图象．
1．B
参考答案
【解析】
函数 y＝2sin(3x＋)，x∈R 的最小正周期是.选 B.
2．B
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质，可得函数为奇函数，再根据周期的计算公式，即可判定，得到答案.
函数图像
【详解】
A． 的图象关于直线对称 B． 的图象关于点对称
C． 的最小正周期为 D． 在上为增函数
11．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题 12．已知 x 满足－≤sinx≤，则角 x 的取值围为________. 13．函数的定义域为_______，值域为_______.
，不
是对称轴，故 B 不正确；函数的零点为
，当 k=1 时，得
到一个零点为；函数的单调递减区间为：
，解得 x 的围为
，区间是其中的一个子区间，故 D 正确. 故答案为：B. 【点睛】 函数（A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性： 时，函数为奇函数； 时，函数为偶函数;（2） 周期性：存在周期性，其最小正周期为 T=;（3）单调性：根据 y=sint 和 t=的单调性来研
A． 0 B． C．大值，那么
A． B． C． D． 6．函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 7．设函数，x∈R，则 f（x）是（ ） A． 最小正周期为 π 的偶函数 B． 最小正周期为 π 的奇函数 C． 最小正周期为的偶函数 D． 最小正周期为的奇函数
究，由
得单调增区间；由
得单
调减区间;（4）对称性：利用 y=sin x 的对称中心为求解，令，求得 x;利用 y=sin x 的对称
轴为求解，令，得其对称轴.
10．D
【解析】 因为函数=的最小正周期为，所以排除 C；函数的对称轴为，解得，所以直线不是函数的对 称轴,所以排除 A；函数的对称中心的横坐标为，解得，对比选项可知点不是对称中心，故 排除 B；因为,解得，所以可知函数在上单调递增，所以选项 D 正确，故选 D. 11．B 【解析】 【分析】 由函数的值域为以及三角函数的图像性质可知，定义域一定在一个周期，再由函数图像可以 得出定义域的差值。 【详解】 如图，当时，值域为且最大；当时，值域，
8．下列函数中，周期为
，且在
4
,
2
上单调递增的奇函数是（
）
A．
y
sin
2x
3 2
B．
y
cos
2x
2
C．
y
cos
2x
2
D．
y
sin
2
x
9．已知函数，则下列结论错误的是
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线对称
C． 的一个零点为
D． 在区间上单调递减
10．设函数=,则下列结论正确的是
，解得，，故选 C.
7．B 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论． 【详解】 ∵函数=sin2x，x∈R，则 f（x）是周期为=π 的奇函数， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题． 8．C
【解析】对于 A ，由于 y cos2x ，故为偶函数.对于 B ，由于 y sin2x ，故函数在区间
正弦函数图像及其性质
一、单选题 1．函数 y＝2sin(3x＋)，x∈R 的最小正周期是( )
A． B． C． D． π
2．函数是（ ）
A． 最小正周期为的奇函数 B． 最小正周期为的奇函数
C． 最小正周期为的偶函数 D． 最小正周期为的偶函数
3．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的值域是 （ ）
令，解得 即函数的定义域为，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出不等式， 再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．D 【解析】
【分析】 ：去掉绝对值符号，转化为求分段函数的最值。 【详解】
： 【点睛】
且最小，∴最大值与最小值之和为
.
【点睛】
本题在解题的时候，需要注意的是，值域的最大值不为 1，那么定义域必然会在一个周期，
只需要在三角函数的某个周期找对应的定义域就可以了。
12．（1）；（2）当时，最小值,当时，最大值；（3）图象见解析.
【解析】
【分析】
根据周期公式得出结果
时，，即可求出的最值
在所给的区间找出函数值域的几个特殊点，最大值和最小值点，列出表格，在坐标系中描出
上为减函数.对于 C ，由于 y sin2x ，在区间上递增，符合题意.对于 D ， y cosx 为偶
函数. 9．B 【解析】 【分析】
根据周期的公式得到故 A 正确；函数图像的对称轴为
可判断 B 错误；零点为
，可判断 C 正确；单调减区间为
【详解】
可得到 D 正确.
函数，周期为：故 A 正确；函数图像的对称轴为