2019-2020学年高一数学上学期尖子生考试试题 文

2019-2020学年高一数学上学期尖子生考试试题 文总分150分 时间120分一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分） 1.已知集合2{|4},{|25}A x x x B x x =<=<<，则A B =( ) A.{|02}x x << B.{|45}x x << C.{|24}x x << D.{|05}x x <<2.与函数()lg 110x y -=的图象相同的函数是( )A.1y x =-B.1y x =-C.211x y x -=+ D.2y =3.tan 3α=则sin cos sin cos αααα+=-（ ）A. 2B. 1C. 3D. 44.若()()314,1,,1a x a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩是定义在(),-∞+∞上的减函数,则a 的取值范围是( )A.11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.11,83⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.函数()πsin 23f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A.4πB.2πC.πD.π26.函数2sin(2)π3y x =- ([0,π])x ∈为增函数的区间是（ ）A ．5π[0,]12B ．π[0,]2C ．5π11π[,]1212D ．11π[,π]127.23log 9log 4⋅= ( )A.14 B. 12C. 2D. 48.设D 为ABC △所在平面内一点，3BC BD =，则（ ） A ．23AC AB AD =-+ B ．32AC AB AD =- C ．34AC AB AD =-+D ．43AC AB AD =-9.已知向量(),6a x =，()3,4b =，且a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为（ ） A ．[)8,-+∞B ．998,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．998,,22⎡⎫⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．()8,-+∞10.如果向量如果向量()()14a k b k ==，与，共线且方向相反，则k =( ) A.2±B.2-C.2D.011.已知.2230log 7,log 0.8,3c a b === ,则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<12.已知函数2log ,0()21,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩,若函数()1y f x m =-+有四个零点,零点从小到大依次为,,,a b c d ,则a b cd ++的值为( ) A.2B.-2C.-3D.3二、填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分） 13.设α是第三象限角，5tan 12α=，则cos(π)α-=___________ 14.已知函数2,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩，则不等式()1f x <的解集为_____.15.函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是_____ 16.给出下列命题:①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数;②将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度,得到函数cos2y x =的图象; ③若,αβ是第一象限角且αβ<,则tan tan αβ<; ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴;⑤函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,其中,正确命题的序号是__________.三、解答题（本题共6个题，满分70分） 17.（本题满分12分）已知,i j 是互相垂直的两个单位向量，3a i j =+，3b i j =--. (1)求a 和b 的夹角；(2)若()a a b λ⊥+，求λ的值. 18（本题满分12分） 如图是函数在一个周期内的图像,试确定的值。

19. （本题满分12分）已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f ααααααπ⎛⎫π-π-- ⎪⎝⎭=π--π-. (1)化简()f α;(2)若α是第二象限角,且1cos 23απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,求()f α的值.20.（本题满分12分）求函数22log (8)log (4)(28)y x x x =⋅≤≤的最大值与最小值.20. （本题满分12分）函数)(x f 对任意的,R m n ∈都有()()()1f m n f m f n +=+-,并且0x >时，恒有()1f x >. (1).求证：()f x 在R 上是增函数；(2).若(3)4f =解不等式2(5)2f a a +-<22.（本题满分10分）函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是5π11π[,]1212. 1.求()f x 的解析式；2.将()y f x =的图象先向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在π3π[,]88上的最大值和最小值.（文科试卷参考答案）一、选择题 1.答案：D 解析： 2.答案：D解析：()()lg 11011x y x x -==->.3.答案：A解析：解:将原式分子分母同时除以cos α，得sin cos tan 12sin cos tan 1αααααα++==--，故答案为2.4.答案：A 解析：5.答案：C解析：依题意得，函数π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小周正期2ππ2T ==，选C. 6.答案：C 解析： 7.答案：D解析：原式2223log 3log 2=⋅=23lg3lg 24log 3log 244lg 2lg3⋅=⋅⋅=. 8.答案：A 解析：9.答案：B解析：若//a b ，则418x =，解得92x =. 因为a 与b 的夹角为锐角，∴92x ≠.又324a b x ⋅=+，由a 与b 的夹角为锐角， ∴0a b ⋅>，即3240x +>，解得8x >-.又∵92x ≠，所以998,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10.答案：B 解析： 11.答案：A解析： 由题意，可知：22log 7log 42a =>=， 33log 8log 92b =<=0.20.31c =<∴c <b <a . 故选：A. 12.答案：C解析：作出函数2log ,0()21,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩的图象如图,函数()1y f x m =-+有四个零点,即()y f x =与1y m =-的图象有4个不同交点,由题意,四个交点横坐标,,,a b c d 满足a b c d <<<,则()()f a f b =,2121a b +-=+-,可得31a b --=+,4a b +=-,由()()f c f d =,得22log log c d =,则22log log c d -=,可得2log 0cd =,即1,413cd a b cd =++=-+=-,故选C.二、填空题 13.答案：1213解析：14.答案：(1,e 1)--解析：当0x <时，2()1f x x =<，解得11x -<<，所以10x -<<;当0x ≥时，()ln(1)1f x x =+<，解得1e 1x -≤<-，所以0e 1x ≤<-,综上，不等式()1f x <的解集为(1,e 1)--.15.答案：1 解析： 16.答案：①④解析：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数,故①正确;②若将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度,其图象对应的函数解析式为cos 2cos 2333y x x ⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,而不是cos2y x =,故②错误;③令3απ=,136βπ=,则有tan 3α=,3tan β,此时tan tan αβ>,故③错误;④把8x π=代入函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得1y =-,则函数的最小值为-1,故8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴,故④正确;⑤因为函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心在函数图象上,而点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不在函数图象上,所以⑤不正确.故正确命题的序号为①④. 三、解答题17.答案：(1)因为,i j 是互相垂直的单位向量，所以221,1,0i j i j ==⋅= 2222||(3)2332a a i j i i j j ==+=+⋅+= 2222||(3)3232b b i j i i j j ==--=+⋅+=(3)(3)23a b i j i j ⋅=+--=-设a 与b 的夹角为θ，故233cos ||||a b a b θ⋅-===-又(0,π)θ∈,故5π6θ=(2)由()a a b λ⊥+得:()0a b a λ+⋅=,20a b a λ+⋅=， 又234,22()23a b a =⋅=⨯⨯-=- 故2||23a a bλ=-=⋅ 解析：答案： 观察图像可知,将函数,的图像上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数的图像,然后把曲线向左平移个单位长度,得到函数的图像,最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍,得到函数的图像,即为函数的图像,故,,.19.答案：(1)3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f ααααααπ⎛⎫π-π-- ⎪⎝⎭=π--π- sin cos (cos )cos (cos )sin αααααα-==-.(2)∵1cos sin 23ααπ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭,∴1sin 3α=.∵α是第二象限角,∴cos 3α==-,∴()cos f αα==. 解析：20.答案：222222251(log 3)(log 2)(log )5log 6log 24y x x x x x ⎛⎫=+⋅+=++=+- ⎪⎝⎭.∵28x ≤≤,∴21log 3x ≤≤,故当2log 1x =,即2x =时,min 12y =,当2log 3x =,即8x =时,max 30y =. 解析：21.答案：(1).证明：设12,R x x ∈,且12x x <,则210x x ->,所以21()1f x x ->212111()()(())()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()1()0f x x f x f x =-+-->即21()()f x f x >,所以()f x 是R 上的增函数.(2).因为,R m n ∈,不妨设1m n ==,所以(11)(1)(1)1f f f +=+-,即(2)2(1)1f f =-，(3)(21)(2)(1)1f f f f =+=+-=2(1)1(1)13(1)24f f f -+-=-=，所以(1)2f =.2(5)(1)f a a f +-<，因为()f x 在R 上为增函数，所以251a a +-<得到32a -<<，即(3,2)a ∈-. 解析：22.答案：1.由条件，11π5ππ212122T =-=， ∴2ππ,2ωω=∴=又5ππsin(2)1,123ϕϕ⨯+=∴=- ∴()f x 的解析式为π()sin(2)3f x x =+ 2.将()y f x =的图象先向右平移π6个单位，得2πsin(2)3x - ∴2π()sin(4)3g x x =- 而π3π[,]88x ∈,π2π5π4636x ∴-≤-≤∴函数()g x 在π3π[,]88上的最大值为1，最小值为12-综上所述，1a =±. 解析：。