三角和与差的三角函数
第讲两角和差的三角函数公式及应用
第讲两角和差的三角函数公式及应用三角函数是数学中的重要概念,它们在几何图形的计算以及物理、工程等学科中的应用非常广泛。
在三角函数的研究中,两角和差的公式是十分重要的一部分。
本文将讲解两角和差的三角函数公式及其应用。
一、两角和差的三角函数公式1. 两角和的公式设角A和角B为任意两个角,根据三角函数的定义,可以得到以下两角和的公式:sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)2. 两角差的公式同样地,设角A和角B为任意两个角,根据三角函数的定义,可以得到以下两角差的公式:sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式是通过对角A + B和角A - B进行展开,并利用三角函数的基本性质得到的。
掌握了这些公式,我们可以对任意两个角的和与差进行计算。
二、两角和差的三角函数公式的应用两角和差的公式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是两个具体的应用案例。
1. 证明等式通过两角和差的公式,我们可以证明一些三角函数的等式。
例如,我们来证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个等式。
证明:根据两角和的公式,sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB 成立。
这样,我们通过两角和差的公式成功地证明了sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个等式。
2. 计算实际问题两角和差的公式在实际问题中的应用非常广泛。
例如,在直角三角形中,我们可以利用两角和差的公式求解各种角度下的三角函数值,从而进行各种计算。
假设在一个直角三角形中,已知一个角度的正弦值和余弦值,我们要求解这个角度。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式,我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出,对于任意角度α, sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式,我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理,我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出,对于任意角度α、 β,sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理,我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中,很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算,如 时差、太阳高度角等,利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中,很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题, 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式,可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展,得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式,从而扩展了原有的公式。例如,利用积化 和差公式,可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数,进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
高中数学必修四-两角和与差的三角函数公式
两角和与差的三角函数公式知识集结知识元两角和与差公式的正向运算知识讲解1.两角和与差的三角函数【知识点的认识】:cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ;(1)C(α﹣β)(2)C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ;(3)S:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(α+β)(4)S(α﹣β):sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ;(5)T(α+β):tan(α+β)=.(6)T:tan(α﹣β)=.(α﹣β)例题精讲两角和与差公式的正向运算例1.'如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在单位圆O上,∠xOA=α,且.(Ⅰ)若,求x1的值;(Ⅱ)若∠AOB=,求y=x12+y22的取值范围.'例2.已知△ABC中,7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sin A sin B sin C,则=__.例3.'若0,0,sin()=,cos()=.(I)求sinα的值;(II)求cos()的值.'三角函数给值求值问题知识讲解给出三角函数值,求同角的三角函数值或相关角的三角函数值。
例题精讲三角函数给值求值问题例1.已知,则=()A.B.C.D.例2.已知,则=()A.B.C.D.例3.设当x=θ时,函数f(x)=sin x+cos x取得最大值,则tan(θ+)=____.两角和与差公式的逆向运算知识讲解1.两角和与差的三角函数【知识点的认识】(1)C(α﹣β):cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ;:cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ;(2)C(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(3)S(α+β):sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ;(4)S(α﹣β):tan(α+β)=.(5)T(α+β):tan(α﹣β)=.(6)T(α﹣β)例题精讲两角和与差公式的逆向运算例1.sin17°sin77°-cos163°cos77°=()A.B.-C.D.-例2.设角α、β是锐角,若(1+tanα)(1+tanβ)=2,则α+β=__.例3.cos42°sin78°+cos48°sin12°__.例4.tan75°-tan15°-tan15°tan75°=__.当堂练习单选题练习1.若tan(α-)=2,则tan(2α)等于()A.-2B.C.2+D.练习2.若tanα=-3,则的值为()A.B.C.D.-2练习3.若,则cos4θ=()A.B.C.D.练习4.若sin(-5°)=m,则cos100°=()A.2m B.1-2m2C.-2m D.2m2-1练习5.已知,且α为第三象限角,则tan(2α+)=()A.B.C.D.填空题练习1.设当x=θ时,函数f(x)=sin x+cos x取得最大值,则tan(θ+)=_____.练习2.设△ABC的内角为A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.则_.的值为__解答题练习1.'已知关于x的方程mx2+(2m-3)x+(m-2)=0(m≠0)的两根为tanα,tanβ.(1)求m的取值范围;(2)求tan(α+β)的最小值;(3)求m sin2(a+β)+(2m-3)sin(α+β)cos(α+β)+(m-2)cos2(α+β)的值.'练习2.'已知函数.(1)求f(x)最小正周期、定义域;(2)若f(x)≥2,求x的取值范围.'练习3.'已知函数f(x)=x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的对称轴和对称中心;(3)若,,求的值.'练习4.'如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在单位圆O上,∠xOA=α,且.(Ⅰ)若,求x1的值;(Ⅱ)若∠AOB=,求y=x12+y22的取值范围.'练习5.'已知函数f(x)=2sin x cos x+2sin(x+)cos(x+).(1)求函数f(x)的对称轴方程;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若关于x的方程g(x)-1=m在[0,)上恰有一解,求实数m的取值范围.'。
三角函数和差公式
1.同角三角函数基本关系⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)⒉两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-c osαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα ·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα ·tanβ)倍角公式⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)2tanαtan2α=—————1-tan^2(α)半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1-cosαsin^2(α/2)=—————21+cosαcos^2(α/2)=—————21-cosαtan^2(α/2)=—————1+cosα万能公式⒌万能公式2tan(α/2)sinα=——————1+tan^2(α/2)1-tan^2(α/2)cosα=——————1+tan^2(α/2)2tan(α/2)tanα=——————1-tan^2(α/2)万能公式推导附推导:sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=tan2α/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
两角和与差的三角函数的证明
两角和与差的三角函数的证明1.两角和的证明:首先,我们来证明两角和的正弦和余弦公式。
设角A和角B的边长分别为a和b,且A和B为锐角。
我们可以建立一个直角三角形ABC,其中BC为斜边,边长为c。
根据三角形的定义,我们有BC^2 = AB^2 + AC^2、根据三角函数的定义,我们有sin A = AB / c,sin B = AC / c。
将这两个式子代入前面的等式,我们可以得到AB^2 + AC^2 = BC^2,即a^2 + b^2 = c^2、这就是著名的勾股定理。
进一步,我们可以利用勾股定理证明两角和的正弦公式。
再次考虑三角形ABC,设角C为角A与角B的和。
根据余弦定理,我们可以得到c^2= a^2 + b^2 - 2abcos C。
在直角三角形中,角C的余弦值等于角A的余弦值乘以角B的余弦值减去角A的正弦值乘以角B的正弦值,即cos C = cos A cos B - sin A sin B。
将这个式子代入前面的等式,我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(cos A cos B - sin A sin B)。
进一步化简,我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos A cos B + 2absin A sin B。
再次应用勾股定理,我们可以得到c^2 = (a cos B + b sin A)^2 + (b cos A - a sin B)^2、根据三角函数的定义,我们有sin C = (a cos B+ b sin A) / c,cos C = (b cos A - a sin B) / c。
将这两个式子代入前面的等式,我们可以得到sin C^2 + cos C^2 = 1、因此,得证了两角和的正弦公式:sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。
同时,我们也可以通过更复杂的推导,得到两角和的余弦公式、正切公式、余切公式、正割公式和余割公式。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下,通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。
这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。
本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点,包括公式的推导、证明和应用。
一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B,其正弦、余弦和正切的和公式如下:sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式,然后进行合并得到。
以正弦和公式为例,我们可以化简如下:sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得:sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B,其正弦、余弦和正切的差公式如下:sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样,这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式,然后进行合并得到。
三角函数专题2:两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点要求(1)和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. (2)二倍角的三角函数公式①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β. (2)cos(α±β)=cos_αcos_β∓sin_αsin_β. (3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.2.公式的变形 公式T (α±β)的变形:(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan_αtan_β). (2)tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan_αtan_β). 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin_αcos_α.(2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. (3)tan 2α=2tan α1-tan 2α. 4.公式C 2α的变形(1)sin 2α=12(1-cos 2α).(2)cos 2α=12(1+cos 2α).5.公式的逆用(1)1±sin 2α=(sin α±cos α)2. (2)sin α±cos α=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中常有体现.题型一 给角求值1.(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )A .-32B.32 C .-12 D.12解析:原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=12.答案:D 2.2cos 10°sin 70°-tan 20°=( )A. 3B.3-12 C .1 D.32解析:利用三角函数公式求解.2cos 10°sin 70°-tan 20°=2cos 10°cos 20°-sin 20°cos 20°=2cos 30°-20°-sin 20°cos 20°=2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°+12sin 20°-sin 20°cos 20°=3,故选A.答案:A题型二 给值求值问题1. (1)(2015·高考重庆卷)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( )A.17B.16C.57D.56[解析] tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=13+tan β1-13tan β=12,解得tan β=17.[答案] A2.(2016·贵阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=13,则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α的值是( )A.79B.13 C .-13 D .-79[解析] 法一:∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=13,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=79,∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+2α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2α=-79.法二:∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=13,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=13, ∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α-1=29-1=-79.[答案] D3.已知sin 2α=13,则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=( )A .-13B .-23 C.13 D.23解析:∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=1+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π22=1+sin 2α2,∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=23.答案:D4.已知α为第二象限角,cos α=-35,则tan 2α的值为( )A.2425 B.247 C .-247 D .-2425解析:因为α为第二象限角, 所以sin α=1-cos 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-352=45, 所以tan α=sin αcos α=-43,tan 2α=2tan α1-tan 2α=2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-431-⎝ ⎛⎭⎪⎫-432=247.题型三 三角函数式的化简1.化简(0<θ<π).【解析】因为0<θ<π,所以0<θ2<π2,所以原式===-cos θ.【点拨】先从角度统一入手,将θ化成θ2,然后再观察结构特征,如此题中sin2θ2-cos2θ2=-cos θ. 2.化简2cos4x -2cos2x +122tan(π4-x)sin2(π4+x).θθθθθ cos 22)2cos 2 )(sin cos sin 1(+-++2cos 2)2cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+2cos 2)2cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-【解析】原式=12(2cos2x -1)22tan(π4-x)cos2(π4-x)=cos22x 4cos(π4-x)sin(π4-x)=cos22x 2sin(π2-2x)=12cos 2x.3. 三角函数式的求值【例2】已知sin x 2-2cos x2=0.(1)求tan x 的值; (2)求cos 2x2cos(π4+x)sin x的值.【解析】(1)由sin x 2-2cos x 2=0⇒tan x2=2,所以tan x ==2×21-22=-43.(2)原式=cos2x -sin2x 2(22cos x -22sin x)sin x [=(cos x -sin x)(cos x +sin x)(cos x -sin x)sin x =cos x +sin x sin x =1tan x +1=(-34)+1=14.【变式训练2】2cos 5°-sin 25°sin 65°= .【解析】原式=2cos(30°-25°)-sin 25°cos 25°=3cos 25°cos 25°= 3.4.已知f(x)=1-x ,θ∈(3π4,π),则f(sin 2θ)+f(-sin 2θ)= .【解析】f(sin 2θ)+f(-si n 2θ)=1-sin 2θ+1+sin 2θ=(sin θ-cos θ)2+(sin θ+cos θ)2=|sin θ-co s θ|+|sin θ+cos θ|.因为θ∈(3π4,π),所以sin θ-cos θ>0,sin θ+cos θ<0.所以|sin θ-cos θ|+|sin θ+cos θ|=sin θ-cos θ-sin θ-cos θ=-2cos θ.题型四 三角函数式的简单应用问题1.】已知-π2<x <0且sin x +cos x =15,求:(1)sin x -cos x 的值;(2)sin3(π2-x)+cos3(π2+x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x =-2425,且sin x <0<cos x ,所以sin x -cos x =-(sin x -cos x)2=-1-2sin xcos x =-1+2425=-75. (2)sin3(π2-x)+cos3(π2+x )=cos3x -sin3x =(cos x -sin x)(cos2x +cos xsin x +s in2x)2tan 12tan 22xx=75×(1-1225)=91125. 【点拨】求形如sin x ±cos x 的值,一般先平方后利用基本关系式,再求sin x ±cos x 取值符号. 2.化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.【解析】原式=1-[(cos2α+sin2α)2-2sin2αcos2α]1-[(cos2α+sin2α)(cos4α+sin4α-sin2αcos2α)]=2sin2αcos2α1-[(cos2α+sin2α)2-3sin2αcos2α]=23.总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型:求值题,化简题,证明题; (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”;(3)掌握角的演变规律,如“2α=(α+β)+(α-β)”等.2.通过运用公式,实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化,以达到求解的目的,在运用公式时,注意公式成立的条件.题组 基础能力提升1、已知cos α=k ,k ∈R ,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则sin(π+α)=( ) A .-1-k 2B .1-k 2C .±1-k 2D .-k【答案】A【解析】由cos α=k ,α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2,π得sin α=1-k 2,∴sin(π+α)=-sin α=-1-k 2.故选A.2、已知角α的终边经过点(3,-4),则sin α+1cos α=( )A .-15B .3715 C.3720D .1315【答案】D【解析】.∵角α的终边经过点(3,-4),∴sin α=-45,cos α=35,∴sin α+1cos α=-45+53=1315.故选D.3、已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ=( )A .-π6B .-π3C .π6D .π3【答案】D【解析】∵sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),∴-sin θ=-3cos θ,∴tan θ= 3. ∵|θ|<π2,∴θ=π3.4、已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,cos x =45,则tan x 的值为( )A.34 B .-34C.43 D .-43【答案】B【解析】因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,所以sin x =-1-cos 2x =-35,所以tan x =sin x cos x =-34.故选B.5、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=( )A.2 23B .-223C .13D .-13【答案】D【解析】∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=-13. 6、若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ<0,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ>0,则θ是( )A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角【答案】B【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=cos θ<0,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ=sin θ>0,所以θ是第二象限角,故选B.7、已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°,cos 150°),则α=( ) A .150° B .135° C .300° D .60°【答案】C【解析】因为sin 150°=12>0,cos 150°=-32<0,所以角α终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-32,所以该点在第四象限,由三角函数的定义得sin α=-32,又0°≤α<360°,所以角α的值是300°,故选C. 8、已知sin α=55,则sin 4α-cos 4α的值为( ) A .-15B .-35C .15D .35【答案】B9.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2,则tan α=( )A.43 B.34 C .-34D .±34解析:因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=35,所以sin α=-35,显然α在第三象限,所以cos α=-45,故tan α=34.答案:B10.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13解析:由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,故sin α=31010.答案:C11.(2015·枣庄模拟)已知cos α=15,-π2<α<0,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αtan α+πcos -αtan α的值为( )A .2 6B .-2 6C .-612D.612解析:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αtan α+πcos -αtan α=-sin αtan αsin α=-cos αsin α,∵cos α=15,-π2<α<0,∴sin α=-265,原式=612.答案:D12.已知2tan α·sin α=3,-π2<α<0,则sin α=( )A.32B .-32C.12 D .-12解析:由2tan α·sin α=3,得2sin 2αcos α=3,即2cos 2α+3cos α-2=0,又-π2<α<0,解得cos α=12(cos α=-2舍去),故sin α=-32.答案:B13.若A ,B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P (cos B -sin A ,sin B -cos A )在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限14、现有如下命题:①若点P (a ,2a )(a ≠0)为角α终边上一点,则sin α=255;②同时满足sin α=12,cos α=32的角有且仅有一个;③设tan α=12且π<α<3π2,则sin α=-55;④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0(θ为象限角),则θ在第一象限. 则其中正确的命题是________.(将正确命题的序号填在横线上) 【答案】③【解析】①中,当α在第三象限时,sin α=-255,故①错误;②中,同时满足sin α=12,cos α=32的角为α=2k π+π6(k ∈Z),有无数个,故②错误;③正确;④θ可能在第一象限或第四象限,故④错误.综上选③.15、已知sin x +3cos x 3cos x -sin x =5,则sin x cos x +cos 2x =________.【答案】35.【解析】由已知,得tan x +33-tan x=5,解得tan x =2,所以sin x cos x +cos 2x =sin x cos x +cos 2x sin 2x +cos 2x =tan x +1tan 2x +1=2+122+1=35. 16、已知在△ABC 中,tan A =-512,则cos A =________.【答案】-1213【解析】∵在△ABC 中,tan A =-512,∴A 为钝角,cos A <0.由sin A cos A =-512,sin 2A +cos 2A =1,可得cos A=-1213.17、若sin θ,cos θ是方程4x 2+2mx +m =0的两根,则m 的值为________. 【答案】1- 5【解析】由题意知:sin θ+cos θ=-m 2,sin θcos θ=m4,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,∴m 24=1+m2,解得:m =1±5,又Δ=4m 2-16m ≥0,∴m ≤0或m ≥4,∴m =1- 5. 18、若sin(π-α)=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α,则sin αcos α的值等于________.【答案】-25【解析】由sin(π-α)=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α,可得sin α=-2cos α,则tan α=-2,所以sin α cos α=tan α1+tan 2α=-25. 19.(2015·高考广东卷)已知tan α=2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4的值;(2)求sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1的值.解:(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=tan α+tanπ41-tan αtanπ4=2+11-2×1=-3. (2)sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1 =2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-2cos 2α-1-1 =2sin αcos αsin 2α+sin αcos α-2cos 2α=2tan αtan 2α+tan α-2=2×222+2-2=1.20、已知f (α)=sin π-αcos 2π-αtan ⎝⎛⎭⎪⎫-α+3π2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α·sin -π-α.(1)化简f (α);(2)若α是第三象限角,且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-3π2=15,求f (α)的值.【答案】(1) -cos α (2)265【解析】(1)f (α)=sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-α+3π2-2πtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α·sin α=sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α·sin α=-cosα.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-3π2=-sin α=15,∴sin α=-15,又α是第三象限角,∴cos α=-1-sin 2α=-2 65.故f (α)=265.。
三角函数中的和角与差角如何通过三角函数中的和角与差角解决各种数学问题
三角函数中的和角与差角如何通过三角函数中的和角与差角解决各种数学问题三角函数是数学中重要的一门分支,它与几何、代数等学科有着密切的联系。
在三角函数中,和角与差角是其中的两个重要概念,它们的运算特性在解决各种数学问题中起到了关键的作用。
一、和角和角是指两个角相加所得到的角。
在三角函数中,和角的运算规则是非常有意义的,通过和角的概念,我们可以实现多个角度的计算的简化。
1. 三角函数的和角公式三角函数中的和角公式是指两个角的正弦、余弦、正切等函数之间的和角关系:sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinBcos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)2. 应用举例:角度和差的计算通过和角的概念,我们可以简化角度和差的计算,从而解决各种数学问题。
例如,当我们需要计算 sin75°时,我们可以通过将之表示为sin(45°+30°)来简化计算,运用和角公式 sin(A+B) = sinA*cosB +cosA*sinB,我们可以将 sin75°表示为 sin45°cos30° + cos45°sin30°,再利用已知角度的三角函数数值,即可计算得到 sin75°的近似值。
二、差角差角是指两个角相减所得到的角。
在三角函数中,差角的运算也有着重要的意义,在数学问题的解决中也是必不可少的。
1. 三角函数的差角公式三角函数中的差角公式是指两个角的正弦、余弦、正切等函数之间的差角关系:sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinBcos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)2. 应用举例:角度差的计算通过差角的概念,我们可以简化角度差的计算,解决各种相关的数学问题。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容,主要通过利用三角函数的性质,研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时,这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式:cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程:设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A,点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B,点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道,其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y",根据三角函数的定义,我们可以得到如下关系:x = cosA,y = sinAx' = cosB,y' = sinBx" = cos(A+B),y" = sin(A+B)那么,点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°,即有:∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中,我们可以得到:cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式:sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程:设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A,点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B,点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样,根据三角函数的定义,我们可以得到如下关系:x = cosA,y = sinAx' = cosB,y' = sinBx" = cos(A+B),y" = sin(A+B)那么,点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2,即有:PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中,我们可以得到:sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式:cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程:设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A,点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B,点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
三角函数的和与差课件
f(x) + g(x)。
三角函数和在三角函数图像上表 现为多个函数的叠加,其图像特 征与单个三角函数的图像特征相
似。
三角函数差的定义
三角函数差是指两个三角函数 之间的差值,其结果仍为一个 三角函数。
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
推导过程
利用三角函数的加法公式,将sin(x+y)拆分为sinx 和cosy的乘积加上cosx和siny的乘积,得到 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny。
应用场景
在求解三角形角度、弧长等问题时,可以利用三 角函数和的公式进行计算。
三角函数具有周期性,因此当两个角 度相加时,其和的周期是两个角度周 期的最小公倍数。
三角函数差的性质
角度相减
当两个角度相减时,其三角函数 差等于两个角度三角函数的线性
组合。例如,sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y。
周期性
同样地,三角函数差的周期也是 两个角度周期的最小公倍数。
在利用三角函数和与差 进行计算时,需要注意 计算的精度问题,防止 因为计算误差导致结果 的失真。
近似计算
对于一些近似问题,可 以利用三角函数和与差 的近似公式进行计算, 但需要注意近似公式的 适用范围和精度要求。
三角函数的和与差 ppt课件
xx年xx月xx日
• 三角函数和与差的定义 • 三角函数和与差的性质 • 三角函数和与差的应用 • 三角函数和与差的公式 • 三角函数和与差的证明 • 三角函数和与差的实际问题解决
目录
01
三角函数和与差的定义
三角函数中的27个“和差公式”
三角函数中的27个“和差公式”sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBsin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ3.正切的和公式:tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ) 4.正切的差公式:tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ) 5.余切的和公式:cot(A + B) = (cotAcotB - 1) / (cotA + cotB)cot(α + β) = (cotαcotβ - 1) / (cotα + cotβ) 6.余切的差公式:cot(A - B) = (cotAcotB + 1) / (cotB - cotA)cot(α - β) = (cotαcotβ + 1) / (cotβ - cotα) 7.正弦的积公式:sinAsinB = (cos(A - B) - cos(A + B)) / 2sinαsinβ = (cos(α - β) - cos(α + β)) / 2 8.余弦的积公式:cosAcosB = (cos(A - B) + cos(A + B)) / 2cosαcosβ = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 29.正弦和余弦的乘积公式:sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2sinαcosβ = (sin(α + β) + sin(α - β)) / 2 10.正切的积公式:tanA + tanB = sin(A + B) / cosAcosBtanα + tanβ = sin(α + β) / cosαcosβ11.正切的差公式:tanA - tanB = sin(A - B) / cosAcosBtanα - tanβ = sin(α - β) / cosαcosβ12.余切的积公式:cotAcotB = cotA + cotB / cot(A + B)cotαcotβ = cotα + cotβ / cot(α + β)13.余切的差公式:cotAcotB = cotA - cotB / cot(A - B)cotαcotβ = cotα - cotβ / cot(α - β)14.余切和正弦的乘积公式:sinAcosB = cot(A + B) / cotAcotBsinαcosβ = cot(α + β) / cotαcotβ15.余弦和正弦的乘积公式:sinAcosB = cot(A - B) / cotAcotBsinαcosβ = cot(α - β) / cotαcotβ16.正弦的差公式:sinA - sinB = 2cos((A + B) / 2)sin((A - B) / 2)sinα - sinβ = 2cos((α + β) / 2)sin((α - β) / 2) 17.余弦的差公式:cosA - cosB = 2sin((A + B) / 2)sin((A - B) / 2)cosα - cosβ = 2sin((α + β) / 2)sin((α - β) / 2) 18.正切的半角公式:tan(A / 2) = (1 - cosA) / sinAtan(α / 2) = (1 - cosα) / sinα19.余切的半角公式:cot(A / 2) = (1 + cosA) / sinAcot(α / 2) = (1 + cosα) / sinα20.正弦和余弦的半角公式:sin(A / 2) = √[(1 - cosA) / 2]sin(α / 2) = √[(1 - cosα) / 2]cos(A / 2) = √[(1 + cosA) / 2]cos(α / 2) =√[(1 + cosα) / 2]21.正切的半角公式:tan(A / 2) = sinA / (1 + cosA)tan(α / 2) = sinα / (1 + cosα)22.余切的半角公式:cot(A / 2) = (1 + cosA) / sinAcot(α / 2) = (1 + cosα) / sinα23.正弦和余弦的和公式:sin(A + B) = 2sin((A + B) / 2)cos((A - B) / 2)sin(α + β) = 2sin((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)24.正弦和余弦的差公式:sin(A - B) = 2cos((A + B) / 2)sin((A - B) / 2)sin(α - β) = 2cos((α + β) / 2)sin((α - β) / 2)25.余弦和正弦的和公式:cos(A + B) = 2cos((A + B) / 2)cos((A - B) / 2)cos(α + β) = 2cos((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)26.余弦和正弦的差公式:cos(A - B) = 2sin((A + B) / 2)sin((A - B) / 2)cos(α - β) = 2sin((α + β) / 2)sin((α - β) / 2)27.正切和余切的和公式:tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)这27个和差公式是三角函数中的基本公式,无论是在数学中还是在物理、工程等领域中都有重要的应用。
两角和与差的三角函数公式的证明
两角与与差的三角函数公式的证明数学三角函数两角和与差单位圆托勒密定理利用单位圆方法证明sin(α+β)= …与cos(α+β)= …,是进一步证明大部分三角函数公式的基础。
1、sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段:如图中所示,容易看出:sin(α+β)=CF;sinα=AB;cosα=OB;sinβ=CD;cosβ=OD 则:平面几何的证明方法:如图所示,过程见下面的【评论】中新浪网友的提示(非常感谢这位网友的提示,让我们看到了证明一个定理的多种途径,真是妙不可言!)附:如何证明托勒密定理?见托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的与等于两条对角线的乘积。
原文:圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之与。
从这个定理可以推出正弦、余弦的与差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.(具体的推导方法详见数学目录下的博文,来自网友的提供!)思路:托勒密定理在平面几何中赫赫有名,其难点在于:把一条对角线分割成两条线段DE与BE。
第一步证明一对旋转的三角形相似:△ABE∽△ACD;第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB;只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。
证明:以AB为边,作一个角等于已知角:即∠BAE=∠DAC;在ΔABE与ΔACD中,∵∠BAE=∠DAC;∠ABE=∠ACD;∴△ABE∽△ACD;∴AB·DC=BE·AC①∵∠BAE=∠DAC;∴∠DAE=∠CAB;在ΔADE与ΔACB中,∵∠ADE=∠ACB;∠DAE=∠CAB;∴△ADE∽△ACB;∴AD·BC=DE·AC②∴①+②得:AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=(BE+DE)·AC=BD·AC。
两角和与差的三角函数推导
两角和与差的三角函数推导两角和与差的三角函数是高中数学中的重要内容,它涉及到三角函数的加法定理和减法定理。
通过推导这些定理,我们可以更深入地理解三角函数之间的关系,从而更好地解决相关的数学问题。
本文将详细推导两角和与差的三角函数,帮助读者更好地掌握这一知识点。
首先,我们来推导两角和的三角函数。
设有两个角A和B,它们的三角函数分别为sinA、cosA、tanA和sinB、cosB、tanB。
现在我们要求角A+B的三角函数值。
根据三角函数的定义,我们有:sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这就是两角和的三角函数的推导公式。
通过这些公式,我们可以计算出任意两个角的和的三角函数值,从而解决相关的数学问题。
接下来,我们来推导两角差的三角函数。
同样地,设有两个角A和B,它们的三角函数分别为sinA、cosA、tanA和sinB、cosB、tanB。
现在我们要求角A-B的三角函数值。
根据三角函数的定义,我们有:sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这就是两角差的三角函数的推导公式。
通过这些公式,我们可以计算出任意两个角的差的三角函数值,从而解决相关的数学问题。
通过以上推导过程,我们可以看到两角和与差的三角函数与加法和减法定理有着密切的联系。
这些定理不仅在数学理论中具有重要意义,而且在实际问题中也有着广泛的应用。
比如在物理学、工程学以及其他领域中,都会涉及到利用两角和与差的三角函数来解决实际问题。
总之,通过推导两角和与差的三角函数,我们可以更深入地理解三角函数之间的关系,从而更好地应用它们解决相关的数学问题。
第四章 三角函数与三角形4-4两角和与差的三角函数
二、解题技巧 在三角函数的化简、求值与证明中,常常对条件和结 论进行恰当变换,以满足应用公式的条件.常见的有: 角的变换, 注意拆角、 拼角技巧(如 α=(α+β)-β=(α α+β α-β α-β -β)+β,(α+β)+(α-β)=2α,β= - , = 2 2 2
β α α+ - +β,75° =45° +30° 等等); 2 2
重点难点 重点:掌握两角和、两角差、二倍角公式, 并运用这些公式化简三角函数式,求某些角 的三角函数值,证明三角恒等式等. 难点:了解各公式间的内在联系,熟练地掌 握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形 后的应用.
知识归纳 1.在两角和与差的公式中,以公式C(α±β)为 最基本,其推导过程应熟练掌握.教材用平 面向量对C(α-β)进行了推导,类似地也可以 用平面向量方法推证C(α+β).下面用对称和 两点间的距离公式给出C(α+β)的推证过程, 望细心体会其思路方法.
答案:A
2 π (理)(2010· 南充市模拟)已知 tan(α+β)= ,tan(β- ) 5 4 1+tanα 1 = ,则 等于( 4 1-tanα 1 A. 6 13 C. 22 13 B. 18 3 D. 22 )
π 1+tanα π 解析: =tan4+α=tan[(α+β)-(β- )] 4 1-tanα
如右图,点 P1,P2,P3,P4 的坐标分 别为 P1(1,0),P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4 (cos(-β),sin(-β)),由 P1P3=P2P4 及 两点间距离公式得[cos(α+β)-1]2 +sin2(α + β) = [cos( - β) - cosα]2 + [sin( - β) - sinα]2 , 整 理 得 cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ,本公式中 α,β 对任意角都成立. 也可以先用此法导出 C(α-β).
两角和与差的三角函数课件
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
3.(2012·赣州模拟)已知sin α+π6+cos α=45 3,则sin α+π3
的值为
()
A.45
B.35
C.
3 2
D.
3 5
解析:由条件得 23sin α+32cos α=45 3,
即12sin α+ 23cos α=45. ∴sin α+π3=45.
[自主解答] (1)∵tan π4+α=2,
∴1t-antπ4a+nπ4ttaannαα=2,∴11+ -ttaann αα=2.
2 ∴tan α=13,∴tan 2α=1-2tatannα2α=1-3 19=34.
sinα+β-2sin αcos β (2)2sin αsin β+cosα+β
[冲关锦囊] (1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准
确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β= tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种 变形等. (2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的, 但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和 变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维 转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后, 才能真正掌握公式的应用.
2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、 变式”;变角为:对角的分拆要尽可能化成同名、同 角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对 式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数 等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角 度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差 异,再选择适当的三角公式恒等变形.
∵0<x<π2,∴-π3<2x-π3<23π.
三角函数两角和差及二倍角公式
三角函数两角和差及二倍角公式一、三角函数的两角和差公式对于任意两个角A和B,我们定义它们的和角为C=A+B,差角为D=A-B。
三角函数的两角和差公式能够将C和D的三角函数表示成A和B的三角函数。
1.两角和公式sin(C) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(C) = cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(C) = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之和。
2.两角差公式sin(D) = sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(D) = cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(D) = tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之差。
二、三角函数的二倍角公式对于角A,我们定义它的二倍角为B=2A。
三角函数的二倍角公式能够将B的三角函数表示成A的三角函数。
1.二倍角正弦公式sin(B) = sin(2A) = 2sinAcosA这个公式可以用来计算角A的二倍角的正弦。
2.二倍角余弦公式cos(B) = cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)这个公式可以用来计算角A的二倍角的余弦。
3.二倍角正切公式tan(B) = tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这个公式可以用来计算角A的二倍角的正切。
三、证明示例我们可以通过证明示例来演示三角函数的两角和差及二倍角公式。
示例1:证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB证明:由于正弦函数的定义,我们有:sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB因此,得证。
第19讲 两角和与差的三角函数
第19讲 两角和与差的三角函数【考点解读】1.熟练记忆三角函数的两角和差的正弦公式和余弦公式、正切公式并能熟练运用;2.联系三角函数的有关的图像以及性质,往往先化简后,然后利用三角函数的性质求解。
【知识扫描】1.两角和的余弦公式的推导方法: 2.基本公式sin(α±β)=sinα cosβ±cosα sinβcos(α±β)= ; tan(α±β)= . 3.公式的变式tan α+tanβ=tan (α+β)(1-tanα tanβ) 1-tanα tanβ=)tan(tan tan βαβα++4.常见的角的变换: 2α=(α+β)+(α-β);α=2βα++2βα-α=(α+β)-β =(α-β)+β2βα+=(α-2β)-(2α-β); )4()4(x x ++-ππ=2π【考计点拨】牛刀小试1.若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+sin2α的值为( )A.103B.53C.23D .-2 解析:选A.3sin α+cos α=0,则tan α=-13,1cos 2α+sin2α=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sin αcos α=tan 2α+11+2tan α=(-13)2+11+2×(-13)=103.2.若35sin ,,0,cos 524a πααπ⎛⎫⎛⎫=-∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则=( )A .BC . D3.若α∈(π2,π),且sin α=45,则sin(α+π4)-22cos α=( )A.225 B .-225C.425 D .-425解析:选A.sin(α+π4)-22cos α=sin αcos π4+cos αsin π4-22cos α=45×22=225.故选A.4.已知cos(α+π3)=sin(α-π3),则tan α=________.解析:∵cos(α+π3)=sin(α-π3),∴cos αcos π3-sin αsin π3=sin αcos π3-cos αsin π3,∴tan α=1. 答案:15.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考4)已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈,则tan()4πα+= .【解析】4cos 5α=-且(,)2παπ∈,tan +tan3414sin =tan =-tan()53471-tan .tan 4παπαααπα∴∴∴+==. [典例分析]考点一:求三角函数值例1.求[2sin50°+sin10°(1+3tan10°)]· 80sin 22的值.解:原式=︒⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒︒+⨯︒+︒80sin 210cos 10sin 3110sin 50sin 2 =︒⋅︒︒+︒⨯︒+︒80sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2(=︒⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡︒︒+︒⨯︒+︒10cos 210cos 10sin 2310cos 2110sin 250sin 2 =︒⋅⎪⎭⎫⎝⎛︒︒︒+︒10cos 210cos 40sin 10sin 250sin 2=︒=︒⋅︒︒60sin 2210cos 210cos 60sin 2=.62322=⨯变式训练1:(1)已知α∈(2π,π),sin α=53,则tan(4πα+)等于( )A.71B.7C.- 71D.-7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 ( ) A.-21 B.21C.-23D.23解:(1)A (2)B规律小结:在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时,要细心观察题目的待征,灵活,恰当地选用公式,一般情况下是将切化弦。
三角函数和差角公式总结
三角函数和差角公式总结2019-06-28三角函数和差角公式总结和差角公式是中考数学中的常见公式内容。
接下来详细的初中数学三角函数公式大全之和差角公式,请大家认真记忆了。
和差角公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ;sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB ;cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB);tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ;cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)导师为大家整合的初中数学三角函数公式大全之和差角公式,请大家灵活运用了。
接下来还有更多更全的初中公式大全等着大家来记忆呢。
初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识,希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征:①正方形的四边相等;②正方形的四个角都是直角;③正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;正方形的判定:①有一个角是直角的菱形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习,同学们都能很好的掌握,相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习,下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质:①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等;③平行四边形的对角线互相平分;平行四边形的判定:①两组对角分别相等的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③对角线互相平分的四边形是平行四边形;④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习,同学们都能很好的掌握了吧,相信同学们会从中学习的更好的哦。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数两角和与差及二倍角公式一、知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α∓β)=cos αcos β±sin αsin β; tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α; tan 2α=2tan α1-tan 2α.3.注意:1.在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错. 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=22所对应的角α+β不是唯一的. [试一试]1.sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( ) A .-22 B .22 C .32D .1 答案:B2.若sin α2=33,则cos α=( )A .-23B .-13C .13D .23答案:C解析:因为sin α2=33,所以cos α=1-2sin 2 α2=1-2×233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=13二、方法归纳 1.公式的常用变形(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); (2)cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2;(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭2.角的变换技巧2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β=α+β2-α-β2;α-β2=22βααβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.三角公式关系[练一练]1.已知tan 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭=37,tan 6πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=25,则tan(α+β)的值为( ) A .2941 B .129 C .141 D .1答案:D2.已知sin 2α=23,则cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( ) A .16 B .13 C .12 D .23答案:A解析:法一:cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=121cos 22πα⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=12(1-sin 2α)=16. 法二:cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22cos α-22sin α, 所以cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12(cos α-sin α)2=12(1-2sin αcos α)=12(1-sin 2α)=16 三、考点精讲考点一 三角函数公式的基本应用1.已知sin α=35,α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,则cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=________. 答案:-75解析:cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=22cos sin 222sin cos 22αααα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos α-sin α,∵sin α=35,α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,∴cos α=-45,∴原式=-75.2.设sin 2α=-sin α,α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,则tan 2α的值是________. 答案: 3解析:∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos α=-12,又α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,∴sin α=32,tan α=-3,∴tan 2α=2tan α1-tan 2α=()223313-=--3.已知函数f (x )=2sin 136x π⎛⎫- ⎪⎝⎭,x ∈R . (1)求f 54π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)设α,β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1013,f (3β+2π)=65,求cos(α+β)的值. 解:(1)∵f (x )=2sin 136x π⎛⎫-⎪⎝⎭,∴f 54π⎛⎫⎪⎝⎭=2sin 5126ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2sin π4=2. (2)∵α,β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1013,f (3β+2π)=65, ∴2sin α=1013,2sin 2πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=65,即sin α=513,cos β=35.∴cos α=1213,sin β=45∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=1213×35-513×45=1665.[解题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(1)在△ABC 中,若tan A ·tan B =tan A +tan B +1,则cos C 的值是( ) A .-22 B .22 C .12 D .-12(2)sin 110°sin 20°cos 2155°-sin 2155°的值为( ) A .-12 B .12 C .32 D .-32答案:(1)B (2)B解析:(1)由tan A tan B =tan A +tan B +1,可得tan A +tan B1-tan A tan B=-1,即tan(A +B )=-1,所以A +B =3π4,则C =π4,cos C =22,故选B .(2)sin 110°sin 20°cos 2155°-sin 2155°=sin 70°sin 20°cos 310°=cos 20°sin 20°cos 50°=12sin 40°sin 40°=12. [解题通法]运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. [针对训练] 1.已知sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭+cos α=435,则sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A .45 B .35 C .32 D .35答案:A 解析:由条件得32sin α+32cos α=435, 即12sin α+32cos α=45,∴sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=45. 2.若α+β=3π4,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________.答案:2解析:-1=tan 3π4=tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β,∴tan αtan β-1=tan α+tan β.∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2,即(1-tan α)(1-tan β)=2. 考点三 角的变换已知α,β均为锐角,且sin α=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值. 解:(1)∵α,β∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,从而-π2<α-β<π2 又∵tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-1010. (2)由(1)可得,cos(α-β)=31010. ∵α为锐角,且sin α=35,∴cos α=45,∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×31010+35×1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=91050变式练习:在本例条件下,求sin(α-2β)的值 解:∵sin(α-β)=-1010,cos(α-β)=31010, cos β=91050,sin β=131050.∴sin(α-2β)=sin[(α-β)-β]=sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β=-2425.[解题通法]1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;3.注意角变换技巧. [针对训练]1.设tan ()α+β=25,tan 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭=14,则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( )A .1318B .1322C .322D .16答案:C解析:tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()tan 4παββ⎡⎤⎛⎫+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()()tan tan 34221tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭2.设α为锐角,若cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=45,则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________. 答案:17250解析:因为α为锐角,cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭=45, 所以sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35,sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2425, cos 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭=725, 所以sin 212πα⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 264ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2425×22-725×22=17250. 考点四 三角函数式的化简1.化简:2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭=________.答案:22cos α解析:原式=2sin αcos α-2cos 2α22α-cos α=22cos α.2.化简:42212cos 2cos 22tan sin 44x x x x ππ-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解:原式=()222221112sin cos 1sin 2cos 22222sin cos 2sin cos sin 244442cos 4x x x x x x x x x x ππππππ-+-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos 22x 3.化简:1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫ ⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.解:1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭=cos sin sin sin 2221cos sin cos cos222αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=cos 2α2-sin 2α2sin α2cos α2⋅cos αcos α2+sin αsinα2cos αcos α2=2cos αsin α⋅cos α2cos αcosα2=2sin α[解题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.考点五 三角函数式的求值研究三角函数式的求值,解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系,依据函数名称的变换特点,选择合适的公式求解.归纳起来常见的命题角度有:给值求值; 给角求值; 给值求角. 角度一 给值求值1.已知函数f (x )=2cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭,x ∈R . (1)求f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2)若cos θ=35,θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭,求f 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解:(1)因为f (x )=2cos 12x π⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以f 3π⎛⎫⎪⎝⎭=2cos 312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2cos π4=2×22=1. (2)因为θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭,cos θ=35, 所以2234sin 1cos 155θθ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭.所以f 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭=2cos 612ππθ⎛⎫--⎪⎝⎭=2cos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭=2×22cos sin 22θθ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭=cos θ+sin θ=35-45=-15.角度二 给角求值2.(1)4cos 50°-tan 40°=( ) A . 2 B .2+32C . 3D .22-1 答案:C解析:4cos 50°-tan 40°=4cos 50°-sin 40°cos 40°=4sin 40°·cos 40°cos 40°-sin 40°cos 40°=2sin 80°-sin 40°cos 40°=2cos 10°-sin 40°cos 40°=2cos 10°-+cos 40°=32cos 10°-32sin 10°cos 40°=330°cos 10°-cos 40°=3cos 40°cos 40°=3.(2)化简:sin 50°(1+3tan 10°)=________. 答案:1解析:sin 50°(1+3tan 10°)=sin 50°00sin1013cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ =sin 50°×cos 10°+3sin 10°cos 10°=sin 50°×000132cos10sin1022cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ =2sin 50°·cos 50°cos 10°=sin 100°cos 10°=cos 10°cos 10°=1.角度三 给值求角3.已知α,β为锐角,sin α=35,cos ()α+β=-45,求2α+β.解:∵sin α=35,α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,∴cos α=45,∵cos(α+β)=-45,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=35,∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=35×45⎛⎫- ⎪⎝⎭+45×35=0.又2α+β∈30,2π⎛⎫⎪⎝⎭,∴2α+β=π. 4.已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,求2α-β的值.解:∵tan α=tan[(α-β)+β]=α-β+tan β1-α-ββ=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2,又∵tan 2α=2tan α1-tan 2α=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34>0,∴0<2α<π2, ∴tan(2α-β)=tan 2α-tan β1+tan 2αtan β=34+171-34×17=1.∵tan β=-17<0,∴π2<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-3π4.[解题通法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.考点六 三角恒等变换的综合应用 已知函数f (x )=sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭+cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭,g (x )=2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角,且f (α)=335,求g (α)的值; (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合. 解:f (x )=sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭+cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭=32sin x -12cos x +12cos x +32sin x =3sin x ,g (x )=2sin 2x2=1-cos x .(1)由f (α)=335得sin α=35.又α是第一象限角,所以cos α>0.从而g (α)=1-cos α=1-1-sin 2α=1-45=15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1-cos x ,即3sin x +cos x ≥1,于是sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12, 从而522666k x k πππππ+≤+≤+,k ∈Z , 即2223k x k πππ≤≤+,k ∈Z . 故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为222,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. [解题通法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为y =A sin(ωx +φ)的形式再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题. [针对训练]设函数f (x )=sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭+33sin 2x -33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图像的对称轴方程;(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度,得到函数g (x )的图像,求g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.解:(1)f (x )=12sin 2x +32cos 2x -33cos 2x =12sin 2x +36cos 2x =33sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以f (x )的最小正周期为T =2π2=π. 令2x +π6=k π+π2(k ∈Z ),得对称轴方程为x =k π2+π6(k ∈Z ).(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度,得到函数g (x )=33sin 236x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-33cos 2x 的图像. 即g (x )=-33cos 2x . 当x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时,2x ∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,得cos 2x ∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以-33cos 2x ∈33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,即函数g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦课后作业课后练习一、选择题1.已知sin3πα⎛⎫+⎪⎝⎭+sin α=-435,则cos23πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A.-45B.-35C.35D.45答案:D2.已知cos6πα⎛⎫+⎪⎝⎭-sin α=233,则sin76πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值是()A.-233B.233C.-23D.23答案:D3.已知向量a=sin,16πα⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭,b=(4,4cos α-3),若a⊥b,则sin43πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A.-34B.-14C.34D.14答案:B4.函数y=sin x+cos x图象的一条对称轴方程是()A.x=5π4B.x=3π4C.x=-π4D.x=-π2答案:A5.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,则C的大小为()A.π6B.56πC.π6或56πD.π3或23π答案:A6.已知0<α<π,3sin 2α=sin α,则cos(α-π)等于()A.13B.-13C.16D.-16答案:D解析:∵0<α<π,3sin 2α=sin α,∴6sin αcos α=sin α,又∵sin α≠0,∴cos α=16,cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-167.已知tan(α+β)=25,tan4πβ⎛⎫-⎪⎝⎭=14,那么tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A .1318B .1322C .322D .16答案:C解析:因为α+π4+β-π4=α+β,所以α+π4=(α+β)-4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=tan ()()()tan tan 344221tan tan 4παββπαββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+--== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭8.已知cos 2α=12 (其中α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭),则sin α的值为 ( )A .12B .-12C .32D .-32答案:B解析:∵12=cos 2α=1-2sin 2α,∴sin 2α=14.又∵α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴sin α=-129.若f (x )=2tan x -2sin 2x2-1sin x 2cosx2,则f 12π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A .-433B .8C .4 3D .-4 3 答案:B解析:f (x )=2tan x +1-2sin 2x212sin x =2tan x +2cos x sin x =2sin x cos x =4sin 2x∴f 12π⎛⎫⎪⎝⎭=4sinπ6=8 10.在△ABC 中,若cos 2B +3cos(A +C )+2=0,则sin B 的值是 ( ) A .12B .22C .32D .1答案:C解析:由cos 2B +3cos(A +C )+2=0化简变形,得2cos 2B -3cos B +1=0,∴cos B =12或cos B =1(舍).∴sin B =32二、填空题 1.如图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ,各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为αi (i =1,2,3),则cos α13cos α2+α33- sinα13·sin α2+α33=________ 答案:-122.设sin α=352παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,tan(π-β)=12,则tan(α-β)=________答案:-2113.已知tan α、tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,且α、β∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则tan(α+β)=__________,α+β的值为________. 答案:3 -23π4.已知α为第二象限的角,且sin α=35,则tan 2α=________.答案:-247解析:因为α为第二象限的角,又sin α=35,所以cos α=-45,tan α=sin αcos α=-34,所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-247. 5.函数y =2cos 2x +sin 2x 的最小值是________. 答案:1- 2解析:∵y =2cos 2x +sin 2x =sin 2x +1+cos 2x=sin 2x +cos 2x +1=2sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭+1, ∴当sin(2x +π4)=-1时,函数取得最小值1- 26.若cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-22,则cos α+sin α的值为________.答案:12解析:∵cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 2α-sin 2α22α-cos α=-2(sin α+cos α)=-22,∴cos α+sin α=12.三、解答题 1.(1)已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭且sin(α+β)=3365,cos β=-513.求sin α; (2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,求2α-β的值.解:(1)∵β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭,cos β=-513,∴sin β=1213又∵0<α<π2,π2<β<π,∴π2<α+β<3π2,又sin(α+β)=3365,∴cos(α+β)=-1-sin 2α+β=233165⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-5665 ∴sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =33556123651365135⎛⎫⎛⎫⋅---⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]=α-β+tan β1-α-ββ=12-171+12×17=13∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tan α+α-β1-tan αα-β=13+121-13×12=1∵α,β∈(0,π),tan α=13<1,tan β=-17<0,∴0<α<π4,π2<β<π,∴-π<2α-β<0,∴2α-β=-3π42.(1)①证明两角和的余弦公式C (α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ②由C (α+β)推导两角和的正弦公式S (α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)已知△ABC 的面积S =12,AB →·AC →=3,且cos B =35,求cos C解:(1)①证明:如上图,在直角坐标系xOy 内作单位圆O ,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox ,交⊙O 于点P 1,终边交⊙O 于点P 2;角β的始边为OP 2,终边交⊙O 于点P 3;角-β的始边为OP 1,终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0),P 2(cos α,sin α),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)), 由|P 1P 3|=|P 2P 4|及两点间的距离公式,得[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2, 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β), ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ②解 由①易得,cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α, sin 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭=cos α. sin(α+β)=cos ()2παβ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=cos ()2παβ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭cos(-β)-sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin(-β) =sin αcos β+cos αsin β. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(2)解:由题意,设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c . 则S =12bc sin A =12,AB →·AC →=bc cos A =3>0,∴A ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,cos A =3sin A ,又sin 2A +cos 2A =1, ∴sin A =1010,cos A =31010, 由cos B =35,得sin B =45,∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =1010.故cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-10103.设函数f (x )=a·b ,其中向量a =(2cos x,1),b =(cos x ,3sin 2x ),x ∈R .(1)若函数f (x )=1-3,且x ∈,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求x ; (2)求函数y =f (x )的单调增区间,并在给出的坐标系中画出y =f (x )在区间[0,π]上的图象.解:(1)依题设得f (x )=2cos 2x +3sin 2x =1+cos 2x +3sin 2x =2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭+1. 由2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+1=1-3, 得sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭=-32∵-π3≤x ≤π3,∴-π2≤2x +π6≤5π6.∴2x +π6=-π3,即x =-π4(2)-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π (k ∈Z ),即36k x k ππππ-+≤≤+ (k ∈Z ),得函数单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ). 列表:x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232-12描点连线,得函数图象如图所示:4.设函数f (x )=3sin x cos x -cos x sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-12. (1)求f (x )的最小正周期; (2)当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,求函数f (x )的最大值和最小值. 解:f (x )=3sin x cos x -cos x sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭-12 =32sin 2x -12cos 2x -1 =sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭-1 (1)T =2π2=π,故f (x )的最小正周期为π(2)因为0≤x ≤π2,所以-π6≤2x -π6≤5π6.所以当2x -π6=π2,即x =π3时,f (x )有最大值0,当2x -π6=-π6,即x =0时,f (x )有最小值-32.6.已知函数f (x )=2cos 2x +sin 2x -4cos x . (1)求f (π3)的值;(2)求f (x )的最大值和最小值.解:(1)f (π3)=2cos 2π3+sin 2π3-4cos π3=-1+34-2=-94(2)f (x )=2(2cos 2x -1)+(1-cos 2x )-4cos x =3cos 2x -4cos x -1 =3(cos x -23)2-73,x ∈R因为cos x ∈[-1,1],所以,当cos x =-1时,f (x )取得最大值6; 当cos x =23时,f (x )取得最小值-73.。
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【课题】2.1两角和与差的三角函数
【教学目标】
知识目标:
(1)掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式;
(2)理解互余角的三角函数公式;
(3)理解公式的系统和内在的联系.
能力目标:
(1)能正确运用公式进行简单的三角函数式的计算和化简;
(2)通过对公式正向和反向的应用,培养学生的逆向思维能力.
【教学重点】
两角和与差的三角函数公式的推导和应用.
【教学难点】
(1)两角差余弦公式的论证和应用;
(2)理解公式的系统和内在的联系.
【教学设计】
从一个特例出发来求两个角和的余弦,发现有两种方法来解决,但两种方法的结果不一样.这样能激发学生学习的兴趣.利用探索两角和与差的余弦公式,通过引言让学生了解到空间坐标系的重要性.从平面直角坐标系开始导入空间直角坐标系,这样易于学生类比与接受.在教学过程中多采用电教手段进行教学,可以让学生更好地掌握空间直角坐标中点的坐标,让学生逐步树立空间问题量化矢量及其坐标的关系,借助于单位圆推导出两角差的余弦公式.以此为突破口很容易得到两角和的余弦公式,再利用公式将互余角的三角函数公式由锐角推广到任意角,并利用这组公式得到两角和与差的正弦公式,最后利用同角三角函数的商数关系,推导得到两角和与差的正切公式.从中可以让学生理解公式的系统和内在的联系.在讲解公式时引导学生观察等式左右的函数名的变化和符号的变化.例题的设置分别从正反两个方面使用公式,可以让学生进一步强化和灵活掌握公式.反向使用公式,可以培养学生的逆向思维.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
图2-1
cos(αβα∴+=∴+cos(α∴+
(cos ,sin ββ)OA 1OB =.OA OB OA OB ∙=∙∙又cos cos OA OB αβ∙=+所以cos()αβ-=。