投资学6投资组合有效边界计算

6最优投资组合选择
最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。

然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。

虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。

这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。

下面分别讨论。

一、一个无风险资产和一个风险资产的组合
当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为：
其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。

这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式：
(因为122
222122)1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0)
其中σ为风险资产的标准差。

根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：
P f
f P r r E r r E σσ
-+
=)()( 3-1
当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。

在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。

随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。

具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。

如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。

风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10<<w 。

风险资产r 的右侧的部分意味着投资者以无风险收益率借入部分资金，然后将其全部财富和借入的资金一起投资到风险资产中。

此时1>w 。

由于我们没有考虑卖空风险资产的问题，所以不存在0<w 的情况。

资本配置线的斜率等于资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益，即每单位额外风险的额外收益。

因此我们有时也将这一斜率称为报酬与波动性比率。

在资本配置线的推导中，我们假设投资者能以无风险收益率借入资金。

然而，在实际的资本市场中，投资者在银行的存贷利率是不同的。

一般来说，存款利率要低于贷款利率。

因此如果把存款利率视为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险资产收益率。

在这种情况下，资本配置线就变为一条折线。

我们可以假设无风险资产收益率为f r ，投资者向银行贷款的利率为'
f r 。

在这种情况下，若投资者需要借入资金投资到风险资产时，
资本配置线的斜率就应该等于σ/])(['f r r E -，该斜率小于σ/])([f r r E -。

此时，在期望-收益差平面上，资本配置线就变成了如下的形状。

其中资本配置线在风险资产右侧的斜率要低于其左侧部分。

二、两个风险资产的组合
当市场中的资产是两个风险资产时，比如一只股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w ，我们可以将该资产组合的收益写为：
此时资产组合的期望收益和标准差分别为：
其中12ρ为股票和债券收益率的相关系数。

此时，根据期望的表达式，我们可以求出投资权重为：
将其代入到标准差方程，可以得到该资产组合期望收益和标准差之间的关系式：
c r E b r E a P P P +⨯-⨯=)()(22σ 3-2
其中2
212
1122
221))
()((2r E r E a --+=
σσρσσ
当市场中存在两个风险资产的情况下，3-2描述了资产组合所有可能的期望收益和标准差的组合，当12ρ取不同的值时，上述关系是在期望收益-标准差平面中的形状也有所不同，我们对此分三种情况进行讨论。

（1）12ρ=1
在这种情况下，两个资产的收益率是完全相关的，这时，标准差变为：
在不考虑卖空或借贷的情况下，即10<<w ，标准差可写为 结合期望收益式子，可以求出
当两个风险资产完全正相关时，上式是资产组合期望收益和标准差的关系。

该式子在期望收益-标准差平面上是一条通过1点和2点的线段。

（2）12ρ=-1
在这种情况下，两个资产的收益率是完全负相关的，这时，标准差变为： 该方程对应着
再结合期望收益的表达式，可以求得资产组合期望收益和标准差之间的关系如下： 上式对应着两条斜率相反的折线，折线的一部分通过1点和E1点；另一部分则通过2点和E1点，其中E1点的坐标为（0，
2
11
221)()(σσσσ++r E r E ），为112-=ρ时资产组合可行
集内的最小方差点。

见图3-3
在完全正相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率也高。

这样，在做卖空时，可以从多头（购入方）位置中获益，而从空头（销售方）位置中受损，但得利于多投资的证券。

当两种证券的收益率都低时，可以从多头中受损，而从空头中获益，投资较多的证券收益与卖空证券收益将相互抵消，投资组合的总体收益将较稳定。

在完全负相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率总是相对要低。

如果卖空
高收益证券，而做多低收益证券，则投资组合的两部分都遭受损失。

另一方面，如果做多高收益证券，卖空低收益证券，则两部分都获利。

因此，在完全负相关时，投资组合的风险较高，其结果要么是“盛宴”，要么是“饥荒”。

我们总结如表6-1所示。

表6-1两证券收益率完全相关时投资组合有卖空
（3）1112<<-ρ
此时3-2在期望收益-标准差平面对应着两条双曲线。

考虑到经济意义，我们只保留双曲线在第一象限的部分。

这条双曲线的顶点E2是1112<<-ρ时资产组合可行集内的最小方差点。

从图中可看出，E 12和E 22，期望收益随方差的增大而降低，这部分的资产组合是无效的。

投资者只选择1 E 1和1E 22上的点。

例如：两个风险资产和一个无风险资产的最优投资组合的案例。

股票、债券和国库券
其中股票1和债券2之间相关系数12ρ=0.3，要得出最优风险资产组合，首先要建立1,2有效集，然后利用无风险资产建立资本配置线与有效集相切，切点即为最优风险组合所在的点。

1确定两种风险资产的比例 数学表达即为：
P
f
P P r r E S σ-=
)(=max
满足)()1()()(2111r E x r E x r E P -+= 把x1,x2求出来
2引入无风险资产C=F+P
引入效用函数2
5.0)(c c A r E U σ-=
根据f P C r y r yE r E )1()()(-+=,又有P C y σσ=。