试卷类型A数学

试卷类型：A数学适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数建议使用时间：2012年8月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.)1. （2012·郑州质检）集合A =｛0，1,2｝，B ={21<<-x x }，则=B A I （ ） A.｛0｝ B.｛1｝ C.｛0，1｝ D.｛0，1,2｝2. （2012·郑州质检）函数()xx x f 2log 12-=的定义域为（ ）A.()+∞,0B.()+∞,1C.()1,0D.()()+∞,11,0Y3. （2012·山东卷）已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()U A B U ð为（ ）A.{}1,2,4B.{}2,3,4C.{}0,2,4D.{}0,2,3,4 4.[2012·湖南卷]命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ） A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π5. （2012·太原模拟）已知集合{}|0M x y ==≥，{}|12N x x =+≤，全集I =R ，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}|1x x ≤≤ B.{}|31x x -≤≤C.{}|33x x -≤<-D.{}|13x x ≤≤图16.（2012·哈尔滨第六中学三模）命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为（ ） A.2,240x x x ∀∈-+≥R B.2,240x x x ∃∈-+>R C.2,240x x x ∀∉-+≤R D. 2,240x x x ∃∉-+>R7. [2012· 山东卷]设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x =π对称，则下列判断正确的是（ ） A. p 为真 B. q ⌝为假 C.p q ∧为假 D.p q ∨为真 8．（2012·昆明第一中学一摸）函数()()221x a x af x x+--=是奇函数,且在()0,+∞上单调递增,则a 等于（ ）A.0B.-1C.1D.1±9.（2012·大连沈阳联考）设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10．（2012·昆明第一中学一摸）函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）11.（理）（2012·郑州质检）如图2所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A.21 B. 61 C. 41D. 31图2.（文）（2012·哈尔滨第六中学三模）函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为12+=x y ，则xx x f x f x ∆∆--→∆)2()(lim000等于（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．412.（理）（2012·昆明第一中学一摸）已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,如果()()g x f x =-5log 1x -，则函数()y g x =的所有零点之和为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（文）（2012·昆明第一中学一摸）已知[1,1]x ∈-，则方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上. 13. （2012·唐山二模）14.（2012·郑州质检）定义在R 上的函数()x f 是增函数，则满足()()23f x f x <-的取值范围是 .15.[2012·上海卷]若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A I . 16.（2012·保定二模）设集合{}{0<1},|12,A x x B x x =≤=≤≤函数()()[]002()(),4-2x x A f x x A f f x A x x B ⎧∈⎪=∈∈⎨∈⎪⎩，且，则x 0取值区间是.三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17．（本小题满分10分）已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5|. （1）求B A Y ,()A B R I ð;（2）若()B A C Y ⊆,求a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知22,1,(),12,2,2,x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩且3)(=a f ,求实数a 的值．19.（本小题满分12分）[2012· 陕西卷](1)如图3，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线（b 不垂直于π），c 是直线b 在π上的投影，若a b ⊥，则a c ⊥”为真. （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）．图３20.（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套. （1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数） 21．（本小题满分12分）（理）[2012·北京卷] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．（文）[2012·北京卷]已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）（理）[2012· 广东卷]设a ＜1，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，B A D I =.（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数ax x a x x f 6)1(32)(23++-=在D 内的极值点．（文）[2012·广东卷]设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =I .（1）求集合D （用区间表示）.（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.试卷类型：A2013届高三新课标原创月考试题一答案数学1. C 【解析】{}0,1A B =I .()()+∞,11,0Y .3. C 【解析】{0,4}U A =ð,所以{0,24}U AB =U （），ð,选C. 4.C 【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4π”.5. C 【解析】由题意，集合{}{2|30|M x x x x =-≥=≤≤,{}|31N x x =-≤≤,所以阴影部分为(){{}{||31|3IM N x x x x x x x =<>-≤≤=-≤<II ð.6. B 【解析】全称性命题的否定一要否量词，二要否结论，所以原命题的否定为：2,240x x x ∃∈-+>R .7. C 【解析】函数x y 2sin =的最小正周期为22π=π，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为π,x k k =∈Z ,所以命题q 为假，所以q p ∧为假. 8． C 【解析】方法一:由函数()f x 是奇函数,得()()()()()221x a x af x f x x-+----==-=-()221x a x ax+---对一切实数R 恒成立,即()()222211x a x ax a x axx---+--=--对一切实数R 恒成立,所以()()2211a x a x --=-对一切实数R 恒成立,故210a -=,解得1a =±.当1a =-时,()211x f x x x x +==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上,1a =. 方法二:()()21af x x a x=-+-,若函数()f x 是奇函数,则210a -=,解得1a =±.当1a =-时,()211x f x x x x +==+不满足在()0,+∞上单调递增;当1a =时,()211x f x x x x-==-满足在()0,+∞上单调递增.综上,1a =. 9. C 【解析】由线面垂直的定义可知l α⊥,l a l b ⇒⊥⊥，反之只有当a 与b 是两条相交直线时才成立，故“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥” 必要而不充分的条件.10． C 【解析】设()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-，因为()()3lg310,4lg410h h =-<=+>，所以()()340h h <.又函数()()()lg 27h x f x g x x x =-=+-的图象是连续不断的，所以由零点存在定理得，()h x 的零点在区间()3,4内，即函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是()3,4.11. （理） D 【解析】由几何概型得，所投的点落在叶形图内部的概率是()332120121d 33011113x x x x x P ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===⨯⎰. （文）D 【解析】由导数的定义得0000000()(2)()(2)1()limlim22x x f x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→--∆--∆'==⨯∆∆2,=所以000()(2)lim 4x f x f x x x ∆→--∆=∆. 12.（理）D 【解析】函数()y g x =的零点即为函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的交点的横坐标.作出函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象（如下图），函数()f x 与函数()5log 1h x x =-的图象都关于直线1x =对称，且在对称轴的左右两端各有4个交点，故函数()y g x =的所有零点之和为428⨯=.（文）D 【解析】设()2xf x -=，()cos2g x x π=.易知函数()2xf x -=的图象关于y 轴对称，函数()cos2πg x x =的最小正周期为1，作出函数()2xf x -=与函数()cos2πg x x =的图象（如下图所示）.数形结合易知函数()2xf x -=与函数()cos2πg x x =的图象有5个交点，故方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为5.13. ()lg2,+∞【解析】由1020x->,得lg 2x >.14. ()3,+∞【解析】由函数()x f 是增函数，得23x x <-，解得3x >. 15.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为集合1{210}|2A x x x x ⎧⎫=+>=>-⎨⎬⎩⎭，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以A B =I 1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.16. 23log ,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为001x ≤<，所以0122x ≤<.所以()0f x B ∈.所以()00422x f f x =-⋅⎡⎤⎣⎦.由题知004221x ≤-⋅<,可得03222x <≤，解得203log 12x <≤.又001x ≤<，所以203log 12x <<.17．解：（1）{}102|<<=x x B A Y , 因为{}|37A x x x =<≥R 或ð,所以(){}|23710A B x x x =<<≤<R I 或ð. （2）由（1）知{}102|<<=x x B A Y ,①当C =φ时,满足()B A C Y ⊆,此时a a ≥-5,得25≤a ;②当C ≠φ时,要()B A C Y ⊆,则⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-，，，10255a a a a 解得325≤<a .由①②得,3≤a .18.解：由已知3)(=a f ,①当1-≤a 时,32)(=+=a a f ,解得1=a ,这与1-≤a 前提矛盾；②当21<<-a 时,3)(2==a a f ,解得3±=a ,由于21<<-a ,则有3=a ；③当2≥a 时,32)(==a a f ,解得23=a ,这与2≥a 前提矛盾； 综上所述,实数a19. 解：（1）证法一：如下图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a ·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为a ⊂π，n ⊥π，所以a·n ＝0， 故a·c ＝0，从而a ⊥c .证法二：如图,记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c .因为PO ⊥π，a ⊂π，所以直线PO ⊥a ， 又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ， 所以a ⊥平面P AO .又c ⊂平面P AO ，所以a ⊥c .（2）逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．20. 解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=，解得10m =.（2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--， 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦，从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<. 令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减，所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点， 所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.21．（理） 解：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线， 所以f （1）＝g （1），且f ′（1）＝g ′（1），即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ， 解得a ＝3，b ＝3.（2）记h (x )＝f (x )＋g (x )．当b ＝14a 2时，h (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.a >0时，h (x )与h ′(x )的情况如下： ↗ ↘ ↗所以函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6.当－a2≥－1，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －14a 2.当－a 2<－1，且－a6≥－1，即2<a ≤6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 当－a6<－1，即a >6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2内单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6内单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a6，－1上单调递增， 又因h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. （文）解：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b . 因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，所以f （1）＝g （1），且f ′（1）＝g ′（1），即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，解得a ＝3，b ＝3.（2）记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的情况如下：当－3＜k ＜2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．22. （理）解：（1）x ∈D ⇔x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0.令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ29(1)483(31)(3)a a a a ==＋－－－． ①当13<a <1时，Δ<0，所以∀x ∈R ，h (x )>0，所以B ＝R .于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解，x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3⎝⎛⎭⎫1＋134＝1，所以B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当a <13时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4.因为x 1<x 2且x 2>0，所以B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． 又因为x 1>0⇔a >0，所以i)当0<a <13时，D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；ii)当a ≤0时，D ＝(x 2，＋∞)．（2）f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当a <1时，f (x )在R 上的单调性如下表：↗ ↘ ↗①当13<a <1时，D ＝(0，＋∞).由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点．③当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．因为x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a －(3－5a )2－16a 24≥14[3＋3a －(3－5a )]＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a ＋(1－3a )2＋(8－24a )4>3＋3a ＋(1－3a )4＝1，所以a ∈D,1∉D .由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点． ④当a ≤0时，D ＝(x 2，＋∞)且x 2>1.由表可得，f (x )在D 内单调递增．因此f (x )在D 内没有极值点．（文）解：（1）x ∈D ⇔x >0且2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0.令h (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝3(3a －1)(a －3)．①当13<a <1时，Δ<0，所以∀x ∈R ，h (x )>0，所以B ＝R .于是D ＝A ∩B ＝A ＝(0，＋∞)．②当a ＝13时，Δ＝0，此时方程h (x )＝0有唯一解x 1＝x 2＝3(1＋a )4＝3⎝⎛⎭⎫1＋134＝1，所以B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．于是D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)．③当0<a <13时，Δ>0，此时方程h (x )＝0有两个不同的解x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4.因为x 1<x 2且x 2>0，所以B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)． 又因为x 1>0⇔a >0，所以D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)． （2）f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的单调性如下：①当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)．由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点，x ＝1为f (x )在D内的极小值点．②当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)．由表可得，x ＝13为f (x )在D 内的极大值点．③当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．因为x 1＝3＋3a －3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a －(3－5a )2－16a 24≥14[3＋3a －(3－5a )]＝2a >a 且x 1<3＋3a 4<1，x 2＝3＋3a ＋3(3a －1)(a －3)4＝3＋3a ＋(1－3a )2＋(8－24a )4>3＋3a ＋(1－3a )4＝1，所以a ∈D,1∉D .由表可得，x ＝a 为f (x )在D 内的极大值点．。