第九讲 用字母表示数及整式(基础)

用字母表示数及整式

【要点梳理】

要点一、字母表示数

用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba ．

要点二、代数式

1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，2

n ，2)(b a +等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 要点诠释：

带等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式．

2.列代数式：

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．

要点诠释：代数式的书写规范：

（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；

（2）除法运算一般以分数的形式表示；

（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；

（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；

（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．

3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．

要点三、整式

1.单项式

（1）单项式的定义：如22xy -，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m

就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点诠释：

①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．

③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254

x y ． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．

2．多项式

(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．

要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．

(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：

①多项式的每一项包括它前面的符号．

②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2

627x x --是一个三项式．

(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 要点诠释：

①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

如:多项式2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4-5x 4-6是六次五项式,按x 的降幂排列为

-5x 4+2x 3y 2+21x 2y 4-xy 3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列为-6-5x 4+2x 3y 2-xy 3+2

1x 2y 4． 要点诠释：

①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；

②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．

3.整式：单项式与多项式统称为整式．

要点诠释：

（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．

【典型例题】

类型一、字母表示数

1．填空：

（1）如果a 表示一个有理数，那么它的相反数是 ；

（2）一个正方形的边长是 a cm ，把这个正方形的边长增加1cm 后所得到的正方形的周长是 ；

（3）某城市5年前人均收入为n 元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达________元．

类型二、代数式

2．（2016春•定州市校级月考）下列式子中，不属于代数式的是（ ）

A ．a+3

B ．mn 2

C ．

D ．x ＞y

举一反三：

【变式1】

（1）x 的平方的3倍与5的差，用代数式表示为 .

（2） 操作电脑时，甲4小时打x 个字，乙3小时打y 个字，甲乙两人每小时共打 个字．

类型三、整式

3．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

234a b -，a -，442x ，a mn ，223a y π，a -3，5-3

，82-310tm ⨯，2x y 举一反三：

【变式1】单项式3x 2y 3的系数是 ．

【变式2】下列结论正确的是( )．

A ．没有加减运算的代数式叫做单项式．

B ．单项式2

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xy 的系数是3，次数是2． C ．单项式m 既没有系数，也没有次数．

D ．单项式2

xy z -的系数是-1，次数是4． 4. 说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？

（1）7x 2﹣3x 3y ﹣y 3+6x ﹣3y 2+1

（2）10x+y 3﹣0.5．

举一反三：

【变式】下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？

325x -, 43a b -+,2x y ，abc ， 12-， 232a b -，a+1， 23a b -， 2321x x -+， 3x ．

【巩固练习】

一、选择题

1． x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）．

A 、2)(y x -

B 、22y x -

C 、y x -2

D 、2

y x - 2.下列各式符合代数式书写规范的是（ ）