函数项级数的一致收敛性及基本性质(课堂PPT)
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[a,b]上都连续,且un(x)在区间[a,b ]上一 n1
致收敛于s(x),则s(x)在[a,b]上也连续.
证 设 x0,x为 a,b上 任 意 点 ． 由
s(x)sn(x)rn(x),s(x0)sn(x0)rn(x0)
16
s (x ) s (x 0 ) s n (x ) s n (x 0 ) r n (x ) r n (x 0 )
x0
)
. 3
(2)
17
s n ( x ) 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ，
故sn(x)(nN)在点x0连续，
0 当 x x 0时 总 有 s n (x ) s n (x 0 ) 3(3) 由(1)、(2)、(3)可见, 对 任 给 0 ， 必 有 0 ，
10
y ysn(x)xn (1,1)
n1
n2
n4
n10
n30
o
1x
注意：对于 r1 任 ，意 这正 级 [0,数 r数 ]上在 一致收敛．
小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
11
一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
如 果 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 满 足 条 件 : n1 (1) un(x)an (n1,2,3); (2) 正项级数an收敛, n1
收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分． 问题 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
4
二、函数项级数的一致收敛性
定义 设有函数 项级 数 un ( x ) ． 如果 对于 任 意 n1
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
2
例1 考察函数项级数 x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
9
只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的． 从下图可以看出:
和函数的连续性．
解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，
且 sn(x)xn, 得和函数：
s(x)ln is m n(x) 1 0 ,,
0x1 , x1 .
和函 s(x)在 数 x1处间 . 断
3
结论 函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b] 上
余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
7
对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
8
例3 研究例1中的级数
x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
给 定 的 正 数 ， 都 存 在 着 一 个 只 依 赖 于 的 自
然数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x，都有不等式
rn ( x ) s( x ) sn ( x )
成立，则成函数项级数 un( x) 在区间 I 上一致 n1
收敛于和 s( x)， 也称函数序列sn( x) 在区间 I 上 一致收敛于s( x)．
则 函 数 项 级 数 u n (x )在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
12
证 由 条 件 (2Байду номын сангаас， 对 任 意 给 定 的 0， 根 据 柯 西
审 敛 原 理 存 在 自 然 数 N， 使 得 当nN时 ， 对 于 任 意 的 自 然 数p都 有
an1an2anp2.
由 条 件 (1)， 对 任 何 xI， 都 有 un1(x)un2(x)unp(x)
un1(x)un2(x)unp(x)
an 1an 2an p2,
13
令 p , 则 由 上 式 得 r n ( x ) 2 .
因 此 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
例4 证明级数
sixn si2n 2xsin n 2x
12
22
n2
在 (, )上 一 致 收 敛 .
5
几何解释:
只要n充分大(nN),在区间 I 上所有曲
线ysn(x)将位于曲线
ys(x)与ys(x)之间.
y
ys(x)
ys(x) ysn(x)
ys(x)
o
I
x
6
例2 研究级数
x11x12x11x1nx1n1
在区间[0,)上的一致收敛性.
解 sn(x)x1n,
s (x ) ln is n m (x ) ln ix m 1 n 0(0 x )
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该 级 数 在 区 间 ( 0 ,1 ) 内 处 处 收 敛 于 和 s (x ) 0 ，
但 并 不 一 致 收 敛 ．
对于任意一个自然数 n, 取 xnn12， 于 是
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
14
证 在 ( , ) 内
sin n2x1 (n1,2,3,)
n2
n2
级 数 1 收 敛 ，
n 2
n 1
由 魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ，
所 给 级 数 在 ( , )内 一 致 收 敛 ．
15
三、一致收敛级数的基本性质
定理1 如果级数un(x)的各项un(x)在区间 n1
s n ( x ) s n ( x 0 ) r n ( x ) r n ( x 0 )(1)
级 数 u n(x)一 致 收 敛 于 s(x)， n1
对 0 ， 必 自 然 数 N N ()， 使 得 当 n N 时 ,
对 a ,b 上 的 一 切 x都 有
同样有
rn
(
x)
3
rn
(
致收敛于s(x),则s(x)在[a,b]上也连续.
证 设 x0,x为 a,b上 任 意 点 ． 由
s(x)sn(x)rn(x),s(x0)sn(x0)rn(x0)
16
s (x ) s (x 0 ) s n (x ) s n (x 0 ) r n (x ) r n (x 0 )
x0
)
. 3
(2)
17
s n ( x ) 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ，
故sn(x)(nN)在点x0连续，
0 当 x x 0时 总 有 s n (x ) s n (x 0 ) 3(3) 由(1)、(2)、(3)可见, 对 任 给 0 ， 必 有 0 ，
10
y ysn(x)xn (1,1)
n1
n2
n4
n10
n30
o
1x
注意：对于 r1 任 ，意 这正 级 [0,数 r数 ]上在 一致收敛．
小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
11
一致收敛性简便的判别法：
定理 （魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）
如 果 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 满 足 条 件 : n1 (1) un(x)an (n1,2,3); (2) 正项级数an收敛, n1
收敛．同样函数项级数的每一项的导数及积分所 成的级数的和也不一定等于他们和函数的导数及 积分． 问题 对什么级数，能从每一项的连续性得出和 函数的连续性，从每一项的导数及积分所成的级 数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢？
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二、函数项级数的一致收敛性
定义 设有函数 项级 数 un ( x ) ． 如果 对于 任 意 n1
一、问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有 限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的 导数及积分的和．对于无限个函数的和是否具 有这些性质呢？对于幂函数是这样的，那么对 于一般的函数项级数是否如此？
2
例1 考察函数项级数 x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
9
只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
敛于零的“快慢”程度是不一致的． 从下图可以看出:
和函数的连续性．
解 因为该级数每一项都在[0,1]是连续的，
且 sn(x)xn, 得和函数：
s(x)ln is m n(x) 1 0 ,,
0x1 , x1 .
和函 s(x)在 数 x1处间 . 断
3
结论 函数项级数的每一项在[a,b]上连续，并且 级数在[a,b]上收敛，其和函数不一定在[a,b] 上
余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
7
对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
8
例3 研究例1中的级数
x ( x 2 x ) ( x 3 x 2 ) ( x n x n 1 )
给 定 的 正 数 ， 都 存 在 着 一 个 只 依 赖 于 的 自
然数 N ，使得当 n N 时，对区间 I 上的一切 x，都有不等式
rn ( x ) s( x ) sn ( x )
成立，则成函数项级数 un( x) 在区间 I 上一致 n1
收敛于和 s( x)， 也称函数序列sn( x) 在区间 I 上 一致收敛于s( x)．
则 函 数 项 级 数 u n (x )在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
12
证 由 条 件 (2Байду номын сангаас， 对 任 意 给 定 的 0， 根 据 柯 西
审 敛 原 理 存 在 自 然 数 N， 使 得 当nN时 ， 对 于 任 意 的 自 然 数p都 有
an1an2anp2.
由 条 件 (1)， 对 任 何 xI， 都 有 un1(x)un2(x)unp(x)
un1(x)un2(x)unp(x)
an 1an 2an p2,
13
令 p , 则 由 上 式 得 r n ( x ) 2 .
因 此 函 数 项 级 数 u n(x)在 区 间 I上 一 致 收 敛 . n 1
例4 证明级数
sixn si2n 2xsin n 2x
12
22
n2
在 (, )上 一 致 收 敛 .
5
几何解释:
只要n充分大(nN),在区间 I 上所有曲
线ysn(x)将位于曲线
ys(x)与ys(x)之间.
y
ys(x)
ys(x) ysn(x)
ys(x)
o
I
x
6
例2 研究级数
x11x12x11x1nx1n1
在区间[0,)上的一致收敛性.
解 sn(x)x1n,
s (x ) ln is n m (x ) ln ix m 1 n 0(0 x )
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.
解 该 级 数 在 区 间 ( 0 ,1 ) 内 处 处 收 敛 于 和 s (x ) 0 ，
但 并 不 一 致 收 敛 ．
对于任意一个自然数 n, 取 xnn12， 于 是
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
14
证 在 ( , ) 内
sin n2x1 (n1,2,3,)
n2
n2
级 数 1 收 敛 ，
n 2
n 1
由 魏 尔 斯 特 拉 斯 判 别 法 ，
所 给 级 数 在 ( , )内 一 致 收 敛 ．
15
三、一致收敛级数的基本性质
定理1 如果级数un(x)的各项un(x)在区间 n1
s n ( x ) s n ( x 0 ) r n ( x ) r n ( x 0 )(1)
级 数 u n(x)一 致 收 敛 于 s(x)， n1
对 0 ， 必 自 然 数 N N ()， 使 得 当 n N 时 ,
对 a ,b 上 的 一 切 x都 有
同样有
rn
(
x)
3
rn
(