高考数学空间向量考
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证明：如图1所示建立空间直角
坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、
A（2，0，0）、C（0，2，0）、 C1（0，2，2）、E（2，2，1）、 F（0，0，1），所以
设
，
平面ADE、平面B1C1F的法向量，则，
分别是 ，
取y=1，则
同理可求
（1）
（2）Baidu Nhomakorabea
，又FC1 平面ADE
平面ADE，
∴平面ADE//平面B1C1F
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 算 加法结合律 律
数乘分配律
加法交换律 加法结合律
数乘分配律
推广:
一、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向 量),记作
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量
的充要条件是存在实
数λ使
推论:如果 为经过已知点A且平行已
知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P
可 用
在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等 于
注：可用于证明三个向量共面
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
或对空间任一点O,有
注意： 证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据
实数对
1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。
2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。
例4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。
（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
P
F
E
D
C
A
B
3.1.1空间向量的运算
b
O
a
A
a
B
b
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。
则空间中任意一个向量p可表示为
p=xi+yj+zk
(x,y,z)就是向量p的坐标。
3.1.5 向量的直角坐标运算
二、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向
证 明
向量.
点
假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。
共 线
若P为A,B中点, 则
P
a
B A
O
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使
2、已知向量
则 上的单位向量为：
三、有关结论
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
线线平行：l∥m a ∥b
a=kb;
线面平行：l ∥α a⊥u
a·u=0;
面面平行：α∥β u ∥v
u=kv.
线线垂直：l ⊥ m 线面垂直：l ⊥ α 面面垂直：α ⊥ β
例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？
F3
F1
C
F2
o
A
B
500kg
表在l上射影的长度。
4)空间向量的数量积性质 对于非零向量 ，有：
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律
1、应用 2、利用
向量数量积的应用
可证明两直线垂直， 可求线段的长度。
3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）
l a a
二、怎样求平面法向量？
1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB1、DD1的中点，求证： （1）FC1//平面ADE （2）平面ADE//平面B1C1F
3.1.3空间向量的数量积
1） 两个向量的夹角
向量a与b的夹角记作：<a,b>
A B
O
2）两个向量的数量积
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影
B
A1
B1
A
注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
D1 A1
G D
始点相同的三个 C1 不共面向量之和，等
B1 M
于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公
共始点为始点的对角
线所示向量
C
A
B
3.1.2共线向量定理与共面向量定理
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 起点坐标、
，则
2.两个向量夹角公式
注意：
（1）当
时，
（2）当
时，
（3）当
时，
思考：当
及
时，的夹角在什么范围内？
同向； 反向； 。
立体几何中的向 量方法
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的
坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、
A（2，0，0）、C（0，2，0）、 C1（0，2，2）、E（2，2，1）、 F（0，0，1），所以
设
，
平面ADE、平面B1C1F的法向量，则，
分别是 ，
取y=1，则
同理可求
（1）
（2）Baidu Nhomakorabea
，又FC1 平面ADE
平面ADE，
∴平面ADE//平面B1C1F
类比思想 数形结合思想
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 算 加法结合律 律
数乘分配律
加法交换律 加法结合律
数乘分配律
推广:
一、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向 量),记作
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个
向量
的充要条件是存在实
数λ使
推论:如果 为经过已知点A且平行已
知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P
可 用
在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等 于
注：可用于证明三个向量共面
推论:空间一点P位于平面MAB内的
充要条件是存在有序实数对x,y使
或对空间任一点O,有
注意： 证明空间四点P、M、A、B共面的两个依据
实数对
1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b, 求x,y的值。
2、证明：三向量a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2 共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。
例4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。
（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
P
F
E
D
C
A
B
3.1.1空间向量的运算
b
O
a
A
a
B
b
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示。
则空间中任意一个向量p可表示为
p=xi+yj+zk
(x,y,z)就是向量p的坐标。
3.1.5 向量的直角坐标运算
二、距离与夹角
1.距离公式
（1）向量的长度（模）公式
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
式OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向
证 明
向量.
点
假如OP=OA+tAB，则点P、A、B三点共线。
共 线
若P为A,B中点, 则
P
a
B A
O
二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
O
A
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使
2、已知向量
则 上的单位向量为：
三、有关结论
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则
线线平行：l∥m a ∥b
a=kb;
线面平行：l ∥α a⊥u
a·u=0;
面面平行：α∥β u ∥v
u=kv.
线线垂直：l ⊥ m 线面垂直：l ⊥ α 面面垂直：α ⊥ β
例3、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？
F3
F1
C
F2
o
A
B
500kg
表在l上射影的长度。
4)空间向量的数量积性质 对于非零向量 ，有：
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律
1、应用 2、利用
向量数量积的应用
可证明两直线垂直， 可求线段的长度。
3.1.4空间向量正交分解及其坐标表示
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）
l a a
二、怎样求平面法向量？
1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F 分别是BB1、DD1的中点，求证： （1）FC1//平面ADE （2）平面ADE//平面B1C1F
3.1.3空间向量的数量积
1） 两个向量的夹角
向量a与b的夹角记作：<a,b>
A B
O
2）两个向量的数量积
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）射影
B
A1
B1
A
注意： 是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 与l的方向的相对关系，大小代
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
D1 A1
G D
始点相同的三个 C1 不共面向量之和，等
B1 M
于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公
共始点为始点的对角
线所示向量
C
A
B
3.1.2共线向量定理与共面向量定理
（2）空间两点间的距离公式
终点坐标减 在空间直角坐标系中，已知 起点坐标、
，则
2.两个向量夹角公式
注意：
（1）当
时，
（2）当
时，
（3）当
时，
思考：当
及
时，的夹角在什么范围内？
同向； 反向； 。
立体几何中的向 量方法
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对空间任一向量p,存在有序 实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.
空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}
{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的