线性代数——正交矩阵
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ; 进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
(2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1也是正交矩阵 ;
(3) 若P, Q 都是n阶正交矩阵, 则PQ 也是n阶正交矩阵;
(4) Q为正交矩阵, 则 | Q | 1.
定理 设
Qn
(12 L
n)
1T
T 2
M
,
则
Qn为正交矩阵
T n
列向量组 1,2 ,L ,n为Rn 的一组标准正交基. 行向量组 1, 2 ,L , n 为 Rn的一组标准正交基.
小结：设 (1 2 L n ) (1 2 L n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交
矩阵.
2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正
2
6
则
Q
1 2
1 6
0
2 6
1
3
1 3
,
且
QQT
E,
即 Q 为正交矩阵,
1 所以 1,2 ,3 是一组标准正交基 .
3
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； (4) A+B 为正交矩阵。
第四章 向量空间
§4.1 向量空间
§4.2 向量内积 §4.3 正交矩阵
Rn 的标准正交基
两组标准正交基间的过渡矩阵 正交矩阵及其性质 求标准正交基的方法
一、Rn 的标准正交基
定义1 Rn 中的 n 个向量 1 ,2 ,L ,n 满足
(1) 两两正交 iTj 0 (i j) (2) 都是单位向量, 即 i 1, i 1, 2,L , n
答：(4)不正确。
2 1 2
3 3 3
例3 设
P
2 3
2 3
1 3
,
设三维向量的长度
1 2 2
3
3
3
|| ||＝8, 则|| P ||＝？
【注】设 , 为n维向量, 在n阶正交矩阵A的作用下 ||A|| = || || , 且T = (A)T (A) .
向量 在正交矩阵A作用下变为A 称为正交变换.
k
T k
k
k
i 2, 3,L , s
则 1, 2 , L , s 是与1 ,2 ,L ,s等价且两两正交
的向量组.
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法
设 1 ,2 ,L ,s 是 Rn 中一组给定的基,
令 3
1 1,
3
T 3
1
1T 1
1
2 2
T 3
2
T 2
2
2,
T 2
1
1T 1
1,
…… ,
s
s
T s
1T
1 1
1
T s
T 2
2 2
2
L
T s
s
1
T s1 s1
s1
即
i
i
i 1 k 1
T i
1T2 2T2
LL
L L
nT
nT1 nT2 L
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 是 Rn 的两组标准
正交基, 令 (1 2 L n ), (12 L n ) , 由 到
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QTQ E.
交基.
3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正
交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R3 的一组标准正交基, 证明
1
1 2
1
1 2
2
,
2
1 6
1
1 6
2
2 6
3
,
3
1 3
1
1 3
2
1 3
3
是一组标准正交基 .
证明：设 1 2 3 , 1 2 3 , Q,
1 1
证明：因为 = Q , 则 T = QTT , 所以
T = QTT Q ,
又因为 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 均为标准正交基,
所以
T = E, T = E,
故
QTQ E.
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵.
是 R3 的一组基，
1
0
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
则称 1 ,2 ,L ,n为 Rn 的一组标准正交基.
【注】 1°标准正交基不唯一；
例如 1 (cos ,sin )T , 2 ( sin ,cos )T
2°特点: 设 1 ,2 ,L ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 L n ), 则
T
1T 2T
M
12 L
n
1T1 2T1
(2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1也是正交矩阵 ;
(3) 若P, Q 都是n阶正交矩阵, 则PQ 也是n阶正交矩阵;
(4) Q为正交矩阵, 则 | Q | 1.
定理 设
Qn
(12 L
n)
1T
T 2
M
,
则
Qn为正交矩阵
T n
列向量组 1,2 ,L ,n为Rn 的一组标准正交基. 行向量组 1, 2 ,L , n 为 Rn的一组标准正交基.
小结：设 (1 2 L n ) (1 2 L n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交
矩阵.
2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正
2
6
则
Q
1 2
1 6
0
2 6
1
3
1 3
,
且
QQT
E,
即 Q 为正交矩阵,
1 所以 1,2 ,3 是一组标准正交基 .
3
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； (4) A+B 为正交矩阵。
第四章 向量空间
§4.1 向量空间
§4.2 向量内积 §4.3 正交矩阵
Rn 的标准正交基
两组标准正交基间的过渡矩阵 正交矩阵及其性质 求标准正交基的方法
一、Rn 的标准正交基
定义1 Rn 中的 n 个向量 1 ,2 ,L ,n 满足
(1) 两两正交 iTj 0 (i j) (2) 都是单位向量, 即 i 1, i 1, 2,L , n
答：(4)不正确。
2 1 2
3 3 3
例3 设
P
2 3
2 3
1 3
,
设三维向量的长度
1 2 2
3
3
3
|| ||＝8, 则|| P ||＝？
【注】设 , 为n维向量, 在n阶正交矩阵A的作用下 ||A|| = || || , 且T = (A)T (A) .
向量 在正交矩阵A作用下变为A 称为正交变换.
k
T k
k
k
i 2, 3,L , s
则 1, 2 , L , s 是与1 ,2 ,L ,s等价且两两正交
的向量组.
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法
设 1 ,2 ,L ,s 是 Rn 中一组给定的基,
令 3
1 1,
3
T 3
1
1T 1
1
2 2
T 3
2
T 2
2
2,
T 2
1
1T 1
1,
…… ,
s
s
T s
1T
1 1
1
T s
T 2
2 2
2
L
T s
s
1
T s1 s1
s1
即
i
i
i 1 k 1
T i
1T2 2T2
LL
L L
nT
nT1 nT2 L
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 是 Rn 的两组标准
正交基, 令 (1 2 L n ), (12 L n ) , 由 到
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QTQ E.
交基.
3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正
交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R3 的一组标准正交基, 证明
1
1 2
1
1 2
2
,
2
1 6
1
1 6
2
2 6
3
,
3
1 3
1
1 3
2
1 3
3
是一组标准正交基 .
证明：设 1 2 3 , 1 2 3 , Q,
1 1
证明：因为 = Q , 则 T = QTT , 所以
T = QTT Q ,
又因为 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 均为标准正交基,
所以
T = E, T = E,
故
QTQ E.
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵.
是 R3 的一组基，
1
0
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
则称 1 ,2 ,L ,n为 Rn 的一组标准正交基.
【注】 1°标准正交基不唯一；
例如 1 (cos ,sin )T , 2 ( sin ,cos )T
2°特点: 设 1 ,2 ,L ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 L n ), 则
T
1T 2T
M
12 L
n
1T1 2T1