线性代数——正交矩阵
正交矩阵的判断方法
正交矩阵的判断方法正交矩阵是一个非常重要的概念，在数学和工程学科中都有广泛应用。
正交矩阵的性质包括不改变向量的长度和角度，因此在许多应用中有着重要的作用。
在本文中，我们将介绍判断矩阵是否是正交矩阵的方法。
一、正交矩阵定义及性质在线性代数中，矩阵的转置和逆是非常重要的概念，而正交矩阵可以看作是一种比较特殊的矩阵，它的定义和性质包括：1. 定义：一个矩阵A被称为正交矩阵，当且仅当满足AA^T=A^TA=I，其中I表示单位矩阵。
2. 性质：正交矩阵有很多重要的性质，其中最重要的包括：（1）行向量互相正交，列向量也互相正交。
（2）行向量和列向量的范数都等于1。
（3）行列式的值为1或-1。
（4）矩阵的转置就是它的逆，即A^{-1}=A^T。
（5）正交矩阵的逆也是正交矩阵。
二、正交矩阵的判断方法判断矩阵是否是正交矩阵，通常需要用到正交矩阵的定义和性质。
下面我们将介绍一种比较常用的判断方法，包括以下几个环节：1. 矩阵是否是方阵：正交矩阵必须是一个方阵，因此首先需要判断矩阵是否是方阵。
2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：这是判断矩阵是否是正交矩阵的核心方法，需要将矩阵自身乘以它的转置，并且将转置乘以矩阵自身，判断是否等于单位矩阵，即AA^T=A^TA=I。
3. 判断行向量和列向量是否互相正交：如果矩阵满足条件1和条件2，那么可以进一步判断行向量和列向量是否互相正交。
具体方法是计算每一行与每一列的点积，如果结果都等于0，则说明行向量和列向量互相正交。
4. 判断行向量和列向量是否归一化：如果矩阵满足条件1和条件2，那么还需要判断行向量和列向量是否归一化，即是否满足每一行和每一列的范数都等于1。
5. 判断矩阵的行列式是否为1或-1：如果矩阵满足条件1和条件2，那么它的行列式值必须为1或-1。
如果行列式的值不是1或-1，则说明矩阵不是正交矩阵。
三、具体实现方法下面我们将详细介绍上述几个环节的具体实现方法。
1. 判断矩阵是否是方阵：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 shape 函数来获取矩阵的形状，如果矩阵的行数和列数相等，则说明矩阵是方阵，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_square_matrix(matrix):shape = np.shape(matrix)return shape[0] == shape[1]```2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 dot 函数和 transpose 函数求解矩阵乘积和矩阵转置，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_orthogonal_matrix(matrix):if not is_square_matrix(matrix):return FalseAAt = np.dot(matrix, matrix.T)AtA = np.dot(matrix.T, matrix)return np.allclose(AAt, np.eye(matrix.shape[0])) and np.allclose(AtA,np.eye(matrix.shape[1]))```其中 np.allclose 函数用于判断两个数组是否相等，可以通过设置 rtol 和 atol参数来控制误差容限。
线性代数5-4.正交矩阵
为单位向量。
e
P136
4.2
正交向量组
定义4.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时， 称x与y正交。记作xy 。 若x = 0,则 x 与任何向量都正交。反之， 若x 与任何向量都正交，则x=0. 定义4.4 :如果一组非零向量两两正交，则称这 组向量为正交向量组。简称为正交组。 ★ ★如果一个向量组仅含一个向量α， 当α≠ 0时，则规定该向量组为正交组。
性质2 若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵； 性质3 若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶 正交矩阵； 性质4 若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。 性质5 若A是正交矩阵,则
A , A k (k N )亦为正交矩阵。
2.正交变换 P140 定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 设 y = Px 为正交变换，则有
§4
正交矩阵
4.1、实向量的内积与长度 1.内积的概念
定义4.1 设有n维实向量
规定
a1 b1 a b 2 2 , , an bn
（ α ，β）=a1b1+ a2b2+…+ anbn
(1)
称（ α ，β）为向量α与β的内积。
1）内积是一个数（或是一个多项式）。 2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。 列向量： (α, β)= αT β; 行向量：(α, β)= α βT。
2.内积的性质：
设 α ，β ，γ为n 维实向量，λ为实数。 性质1 (α, β)=(β, α); 性质2 (λ α, β)=λ(α, β); 性质3 (α + β, γ)=(α, γ)+(α, γ)； 性质4 当α 0时， (α, α)>0。 显然，(0,0)=0，由此便知实向量 α =0 的充分 必要条件 是(α, α) = 0。
正交矩阵知识点总结
正交矩阵知识点总结正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对正交矩阵进行总结。
一、定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：它的转置等于它的逆矩阵。
换句话说，设A是一个n阶方阵，若满足AT·A=AA·T=I（其中I是单位矩阵），则称A为正交矩阵。
二、性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
具体来说，设A是一个n阶正交矩阵，其第i行（列）向量记作ai（aiT），则有ai·aiT=1，ai·ajT=0（i≠j）。
这意味着正交矩阵的行（列）向量长度为1且彼此垂直。
2. 正交矩阵的行列式的值只能是±1。
这是由于正交矩阵的行（列）向量长度为1，所以它们的行列式值为1或-1，从而整个矩阵的行列式值也只能是这两个值。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则A的逆矩阵A-1也是正交矩阵。
这是因为(A-1)T·(A-1)=A-1·AT=I，满足正交矩阵的定义。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
设A和B分别是n阶和m阶正交矩阵，它们的乘积AB是一个n阶正交矩阵。
这是由于(AB)T·(AB)=BTA·AB=BT·(A·A)·B=BT·IB=B·B=I。
5. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则它的转置AT也是正交矩阵。
这是因为(AT)T·(AT)=A·A=I。
三、应用1. 坐标系变换：正交矩阵可以用于坐标系的旋转和变换。
设A是一个二维正交矩阵，它的列向量表示一个坐标系的基向量，那么对于一个向量x，通过矩阵乘法Ax即可得到它在新坐标系下的表示。
2. 正交变换：正交矩阵可以保持向量的长度和夹角不变。
例如，对于一个二维向量x，若A是一个正交矩阵，那么||Ax||=||x||，且x·y=(Ax)·(Ay)，其中||·||表示向量的长度，·表示向量的内积。
正交矩阵的定义
正交矩阵的定义正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域，如几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。
正交矩阵是一种特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
在本文中，我们将详细介绍正交矩阵的定义及其性质。
首先，我们来定义正交矩阵。
一个n阶方阵A被称为正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵与自身的乘积等于单位矩阵I。
换句话说，如果满足条件A^T * A = I，那么矩阵A就是正交矩阵。
其中，A^T表示矩阵A的转置。
正交矩阵的一个重要性质是，它的每一列都是单位向量，并且两两正交。
也就是说，如果A是一个n阶正交矩阵，那么它的每一列向量都是单位向量，并且互相正交。
这可以通过矩阵乘法的定义进行证明。
设A的第j列为a_j，那么有a_i^T * a_j = 0 (i ≠ j)，并且a_i^T * a_i = 1，其中a_i^T表示向量a_i的转置。
这个性质可以用来解决一些几何问题，比如判断向量的正交性。
另一个重要的性质是正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么A的逆矩阵等于其转置矩阵，即A^(-1) = A^T。
这个性质可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。
首先，我们可以将等式两边同时乘以A^(-1)，得到A^(-1)*A^T * A = A^(-1) * I，即A^(-1) * A^T * A = I。
由于A^(-1) * A = I，所以有A^(-1) * I = I，进一步得到A^(-1) = A^T。
这个性质非常有用，可以简化正交矩阵的求逆运算。
正交矩阵还有一个重要的性质是它的行列式的绝对值等于1。
即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么|det(A)| = 1，其中|det(A)|表示矩阵A的行列式的绝对值。
这个性质也可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。
首先，我们可以将等式两边同时求行列式，得到det(A^T * A) = det(I)，即det(A^T) * det(A) = det(I)。
正交矩阵
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即 E R R =' （2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其ii r >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n 阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，……，12m mm nm a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,rP P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５） 由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝0022002200100001⎛⎫- ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=0000002311110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2n E，也就是将A =()ij a 对应于2n E的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n na a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2nE 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M 中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群. 为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i ni k c c c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x yz s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222xy zs p p p A φφφφ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++= 22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a = 32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p aa a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交矩阵. 根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=（取正值）22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵TA z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111 两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ） 来讨论， 而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=-（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x z x x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x ax z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAA y z ''++''''+21122221222311()z x AAA z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵的例子(一)
正交矩阵的例子(一)正交矩阵正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将列举一些例子并详细讲解正交矩阵的定义和性质。
正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵矩阵：1.所有列向量（或行向量）都是单位向量。
2.列向量（或行向量）两两正交（即内积为0）。
一般地，一个n×n的矩阵A是正交矩阵，当且仅当满足以下等式：A^T * A = I 或 A * A^T = I其中，A^T是矩阵A的转置，I是单位矩阵。
正交矩阵的例子下面是一些常见的正交矩阵的例子：1. 二维平面上的旋转矩阵对于一个二维平面上的点(x, y)，通过一个逆时针旋转θ角度后的点(x’, y’)可以通过以下公式表示：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)这个旋转可以通过一个2×2的矩阵表示：cos(θ) -sin(θ)sin(θ) cos(θ)这个矩阵是正交矩阵，它的每一列都是单位向量，并且两列向量互相正交。
2. 三维空间中的旋转矩阵在三维空间中，我们可以通过绕坐标轴进行旋转。
例如，绕x轴逆时针旋转θ角度的旋转矩阵可以表示为：1 0 00 cos(θ) -sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)同样地，绕y轴和z轴的旋转矩阵也是正交矩阵。
3. Householder变换矩阵Householder变换是一种特殊的线性变换，可以将向量镜像到超平面上。
对于一个单位向量v，其对应的Householder变换矩阵可以表示为：H = I - 2 * v * v^T其中，I是单位矩阵，v^T是向量v的转置。
Householder变换矩阵也是正交矩阵。
正交矩阵的性质正交矩阵具有许多有用的性质，包括：1.正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A^(-1) = A^T。
2.正交矩阵的行列式的绝对值为1，即|A| = ±1。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
求正交矩阵的方法
求正交矩阵的方法什么是正交矩阵在线性代数中，正交矩阵是一种特殊的方阵，其列向量两两正交且模长为1。
正交矩阵在许多数学和工程领域中被广泛应用，例如旋转变换和信号处理等。
一个n × n 的实数方阵 A 是正交矩阵，当且仅当满足以下条件： - A 的每一列是单位向量，即每一列的模长为1； - A 的每一列两两正交，即任意两列的内积为0；求正交矩阵的常见方法下面将介绍几种常见的求解正交矩阵的方法。
基于正交对角化的方法这是一种常见且简单的求解正交矩阵的方法。
对于一个对称矩阵 A ，可以通过对A 进行正交对角化得到正交矩阵 Q 和对角矩阵 D ，即 A = QDQ^T 。
其中，Q 的列向量是 A 的特征向量，D 是 A 的特征值组成的对角矩阵。
步骤如下： 1. 计算矩阵 A 的特征值和特征向量； 2. 将特征向量组成的矩阵 Q 进行单位化，即使 Q 的每一列的模长为1； 3. 检查 Q 是否是一个正交矩阵，即Q^TQ 是否等于单位矩阵。
基于Gram-Schmidt正交化过程的方法Gram-Schmidt 正交化过程是一种常见的求解正交向量集的方法。
可以使用该方法来求解正交矩阵。
步骤如下： 1. 对于一个给定的n × m 矩阵 A ，假设它的列向量组成的集合为{a1, a2, …, am}； 2. 对于i = 1, 2, …, m ，依次进行以下操作： - 令 v_i = a_i ； - 对于j = 1, 2, …, i-1 ，执行以下操作： - 计算内积coefficient = (v_i·v_j) / (v_j·v_j) ； - 更新 v_i = v_i - coefficient * v_j ； - 求得 v_i 的模长为norm = sqrt(v_i·v_i) ； - 将 v_i 单位化，即 v_i = v_i / norm ； 3. 最终得到的单位向量组成的矩阵 Q 即为正交矩阵。
线性代数课件-正交矩阵
，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1
正交矩阵的4种判定方法
正交矩阵的4种判定方法正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它有许多重要的性质和应用。
正交矩阵的定义是满足AA^T=A^TA=I的矩阵A，其中I是单位矩阵。
本文将介绍正交矩阵的4种判定方法，每种方法将分别介绍其原理和具体算法。
1. 矩阵的列向量组构成标准正交基这是判定正交矩阵最基本的方法之一。
对于一个n\times n的矩阵A，如果它的列向量组\{\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}\}构成一个标准正交基，即向量组中的每个向量\vec{a_i}都满足\|\vec{a_i}\|=1并且相互垂直，那么矩阵A就是正交矩阵。
该方法的证明可以根据正交矩阵的定义和向量组构成标准正交基的定义，显然得证。
算法步骤：1. 计算矩阵A的列向量组\{\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}\}。
2. 判断向量组中的每个向量\vec{a_i}是否满足\|\vec{a_i}\|=1且相互垂直。
3. 如果向量组中的每个向量都满足条件，则矩阵A是正交矩阵。
2. 矩阵的行向量组构成标准正交基这个方法与上面的方法类似，只是判断的是矩阵的行向量组。
证明同样可以通过正交矩阵的定义和构成标准正交基的定义来完成。
算法步骤：1. 计算矩阵A的行向量组\{\vec{r_1},\vec{r_2},\cdots,\vec{r_n}\}。
2. 判断向量组中的每个向量\vec{r_i}是否满足\|\vec{r_i}\|=1且相互垂直。
3. 如果向量组中的每个向量都满足条件，则矩阵A是正交矩阵。
3. 矩阵的行列式值为1或-1这是另一个判定正交矩阵的方法。
对于一个n\times n的矩阵A，如果它的行列式值满足det(A)=\pm1，那么矩阵A就是正交矩阵。
证明可以通过正交矩阵的行列式定义来完成。
由于正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，因此可以得到A^{-1}=A^T，再由行列式的性质可得det(A)^2=det(AA^T)=det(A^TA)=det(I)=1，因此det(A)=\pm1。
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
正交矩阵概念
正交矩阵概念正交矩阵概念正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将从定义、性质、构造和应用四个方面详细介绍正交矩阵的概念。
一、定义1.1 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由一组数排成若干行若干列的表格形式表示的数学对象。
一个$m\times n$的矩阵$A$可以写成如下形式：$$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：(1) 所有列向量互相垂直；(2) 所有列向量模长为1。
即对于一个$n\times n$的矩阵$Q$，满足以下条件：$$Q^TQ=QQ^T=I_n$$其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵。
二、性质2.1 正交矩阵的性质正交矩阵具有以下性质：(1) 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且互相垂直；(2) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵；(3) 正交矩阵的行列式为$\pm 1$，即$\det(Q)=\pm 1$；(4) 正交矩阵保持向量长度和角度不变，即对于任意向量$x$，有$\|Qx\|=\|x\|$且$\angle(Qx,Qy)=\angle(x,y)$。
2.2 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵如果$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，则它们的乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
证明：由于$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，所以有：$$Q^T=Q_2^TQ_1^T=(QQ)^T=I_n$$因此，乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
正交矩阵的判断方法
正交矩阵的判断方法什么是正交矩阵？在线性代数中，正交矩阵是一种非常重要且有特殊性质的矩阵。
正交矩阵具有以下特点：1.正交矩阵的转置等于它的逆矩阵。
2.正交矩阵的行向量两两正交且模长为1。
3.正交矩阵的列向量两两正交且模长为1。
判断正交矩阵的方法判断一个矩阵是否为正交矩阵有多种方法，下面将详细介绍几种常用的方法。
方法一：判断转置乘以原矩阵是否为单位矩阵正交矩阵的定义中提到，正交矩阵的转置等于它的逆矩阵。
因此，我们可以通过判断矩阵的转置乘以原矩阵是否为单位矩阵来判断一个矩阵是否为正交矩阵。
具体步骤如下：1.假设矩阵A为待判断的矩阵。
2.计算A的转置矩阵AT。
3.计算AT与A的矩阵乘法，得到矩阵C。
4.判断矩阵C是否为单位矩阵。
如果矩阵C为单位矩阵，则矩阵A为正交矩阵；否则，矩阵A不是正交矩阵。
方法二：判断行向量或列向量是否两两正交且模长为1正交矩阵的另一个特点是行向量或列向量两两正交且模长为1。
因此，我们可以通过判断矩阵的行向量或列向量是否满足这个条件来判断一个矩阵是否为正交矩阵。
具体步骤如下：1.假设矩阵A为待判断的矩阵。
2.判断矩阵A的行向量是否两两正交且模长为1。
–如果满足条件，则继续下一步。
–如果不满足条件，则矩阵A不是正交矩阵。
3.判断矩阵A的列向量是否两两正交且模长为1。
–如果满足条件，则矩阵A为正交矩阵。
–如果不满足条件，则矩阵A不是正交矩阵。
方法三：判断矩阵的特征值是否满足条件正交矩阵的特征值具有一些特殊性质，我们可以通过判断矩阵的特征值是否满足这些条件来判断一个矩阵是否为正交矩阵。
具体步骤如下：1.假设矩阵A为待判断的矩阵。
2.计算矩阵A的特征值和特征向量。
3.判断矩阵A的特征值是否满足以下条件：–所有的特征值的模长都等于1。
–所有的特征值两两互异。
–所有的特征值的乘积等于1。
4.如果满足以上条件，则矩阵A为正交矩阵。
5.如果不满足以上条件，则矩阵A不是正交矩阵。
示例我们通过一个具体的矩阵来演示以上三种方法的判断过程。
正交矩阵判别方法
正交矩阵判别方法正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，常用于描述坐标系的旋转和变换。
一个n×n的实矩阵A称为正交矩阵，如果满足矩阵的转置等于其逆矩阵A^T=A^(-1)。
也就是说，如果一个矩阵乘以其转置矩阵等于单位矩阵，那么它就是正交矩阵。
接下来，我将详细介绍几种判别正交矩阵的方法。
一、行列式判别法对于一个n×n的矩阵，如果它是正交矩阵，那么它的行列式必须满足，A，=±1、这是由于正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，所以正交矩阵的行列式必须是其对角线元素的乘积，即，A，=λ₁λ₂⋯λₙ。
由于正交矩阵的特点是其行列式等于1或-1，所以通过计算矩阵的行列式来判断其是否为正交矩阵。
二、逆矩阵判别法正交矩阵的定义指出，一个矩阵乘以其转置矩阵等于单位矩阵。
所以，如果一个矩阵是正交矩阵，那么它的逆矩阵也是其转置矩阵。
因此，我们可以通过计算矩阵的逆矩阵来判断其是否为正交矩阵。
三、行向量判别法对于一个n×n的矩阵，如果它是正交矩阵，那么其行向量必须是互相正交且模长为1的向量。
具体而言，正交矩阵A的第i行向量与第j行向量的内积为0，即A[i]·A[j]=0，且任意行向量的模长为1，即，A[i]，=1、通过计算矩阵的行向量之间的内积和模长，我们可以判断矩阵是否为正交矩阵。
四、列向量判别法与行向量判别法类似，正交矩阵的列向量也必须是互相正交且模长为1的向量。
具体而言，正交矩阵A的第i列向量与第j列向量的内积为0，即A[:,i]·A[:,j]=0，且任意列向量的模长为1，即，A[:,i]，=1、通过计算矩阵的列向量之间的内积和模长，我们可以判断矩阵是否为正交矩阵。
总结起来，我们可以通过行列式、逆矩阵、行向量和列向量等四种方法来判断一个矩阵是否为正交矩阵。
在实际应用中，根据具体的矩阵形式和计算需求，可以选择合适的方法进行判断。
1线性代数 4.1正交矩阵与正交变换
1
2
2 2
2
0
1
1
0
2
2
2
2
1
1
0
2
2
2
2
求以1
2 1
, 2
2 1
为前两列的正交阵.
2 1
2
2 1
2
1 0
解
因1
,2线性无关，所以可取3
=
0 0
,
4
=
0
1
,使
0
0
1,2
,3
,
线性无关.
4
将1,2 ,3,4正交化得一正交向量组
1
1
2
1
2
1
1
2
0
0
1
2 1
,
2 n
T 2
1
T 2
2
Байду номын сангаас
T 2
n
T n
1
T n
2
T n
n
E
T j
i
ij
1, 当 i 0, 当i
j; j
i, j 1,2,, n
这说明方阵A的列向量组是正交的单位向量 组,反之,若方阵A的列向量组是正交的单位 向量组,则A为正交矩阵.
例1 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1 3 1 1 2,
1
2
9 8
8 9 1
1 3 解
1 2 1
9 9
4 9
4 9
4
9 4
.
9
7
9
(1)考察矩阵的第一列和第二列，
由于
4_3正交矩阵
T
− sin θ 也为正交矩阵. 也为正交矩阵 cos θ
− sin θ 1 0 = 0 1 = E. cosθ
下页 结束
sin θ cosθ cosθ sin θ
返回Biblioteka 《线性代数》正交矩阵的性质 正交矩阵具有如下性质： 正交矩阵具有如下性质： 1．A为正交矩阵的充要条件是 −1=ΑT； ． 为正交矩阵的充要条件是 为正交矩阵的充要条件是A 2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1； 或 ； 正交矩阵是满秩的且 5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列 行)向量组是标准 为正交矩阵的充分必要条件是其列(行 向量组是标准 为正交矩阵的充分必要条件是其列 正交向量组. 证明见下页） 正交向量组. （证明见下页）
《线性代数》 返回 下页 结束
α1T 1 α1Tα1 α1Tα2 L α1Tαn T T T T 1 = AT A= α2 (α , α ,L, α ) = α2 α1 α2 α2 L α2 αn n M 1 2 M O M O M T α T α α α Tα L α Tα 1 n n n n 1 n 2
《线性代数》
返回
下页
结束
性质5 阶实矩阵， 性质 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其 为 阶实矩阵 为正交矩阵的充分必要条件是其 向量组是标准正交向量组. 列(行)向量组是标准正交向量组 行 向量组是标准正交向量组 证明： ⋅⋅⋅， ， ⋅⋅⋅， 证明：设A=(α1，α2，⋅⋅⋅，αn)，其中α1，α2，⋅⋅⋅，αn为A的列向 = 的列向 ⋅⋅⋅， 量组， 量组，则AT的行向量组为α1T，α2T，⋅⋅⋅，αnT，于是
线性代数——正交矩阵
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
线性代数中的正交矩阵判定方法
线性代数中的正交矩阵判定方法线性代数是现代数学的一个重要的分支，其研究的主要对象是向量空间和线性映射。
其中，正交矩阵是线性代数中的一个重要的概念和工具，其具有很多重要的性质和应用。
在本文中，我们将讨论线性代数中的正交矩阵判定方法，重点介绍正交矩阵的定义及其性质，并讨论如何判断一个矩阵是否为正交矩阵。
一、正交矩阵的定义及其性质正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的矩阵，即$A^{T}\cdot A=AA^{T}=I$，其中I是单位矩阵。
其基本性质如下：1.正交矩阵的行（或列）是一组标准正交基向量。
所谓标准正交基向量，指的是长度为1，且两两垂直的向量。
2.正交矩阵的转置仍为正交矩阵。
3.正交矩阵的行列式的绝对值为1。
4.正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
5.正交矩阵的行列式不为0。
这些性质说明了正交矩阵的重要性和特殊性，可以广泛应用于形式化的表述几何概念，如旋转、镜像、变换等。
二、正交矩阵的判定方法1.判定方法一：矩阵的列向量为标准正交基向量如果一个$n\times n$的矩阵的列向量是标准正交基向量，则该矩阵是正交矩阵。
例如，$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &0\end{bmatrix}$是正交矩阵，其列向量是标准正交基向量。
2.判定方法二：矩阵的行向量为标准正交基向量如果一个$n\times n$的矩阵的行向量是标准正交基向量，则该矩阵是正交矩阵。
例如，$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &0\end{bmatrix}$是正交矩阵，其行向量是标准正交基向量。
3.判定方法三：矩阵的列向量组构成的矩阵的列向量组和行向量组均为标准正交基向量如果一个$n\times n$的矩阵的列向量组构成的矩阵的列向量组和行向量组均为标准正交基向量，则该矩阵是正交矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R3 的一组标准正交基, 证明
1
1 2
1
1 2
2
,
2
1 6
1
1 6
2
2 6
3
,
3
1 3
1
1 3
2
1 3
3
是一组标准正交基 .
证明：设 1 2 3 , 1 2 3 , Q,
1 1
是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
n)
1T
T 2
M
,
则
Qn为正交矩阵
T n
列向量组 1,2 ,L ,n为Rn 的一组标准正交基. 行向量组 1, 2 ,L , n 为 Rn的一组标准正交基.
小结：设 (1 2 L n ) (1 2 L n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交
矩阵.
2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正
第四章 向量空间
§4.1 向量空间
§4.2 向量内积 §4.3 正交矩阵
Rn 的标准正交基
两组标准正交基间的过渡矩阵 正交矩阵及其性质 求标准正交基的方法
一、Rn 的标准正交基
定义1 Rn 中的 n 个向量 1 ,2 ,L ,n 满足
(1) 两两正交 iTj 0 (i j) (2) 都是单位向量, 即 i 1, i 1, 2,L , n
四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法
设 1 ,2 ,L ,s 是 Rn 中一组给定的基,
令 3
1 1,
3
T 3
1
1T 1
1
2 2
T 3
2
T 2
2
2,
T 2
1
1T 1
1,
…… ,
s
s
T s
1T
1 1
1
T s
T 2
2 2
2
L
T s
s
1
T s1 s1
s1
即
i
i
i 1 k 1
T i
证明：因为 = Q , 则 T = QTT , 所以
T = QTT Q ,
又因为 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 均为标准正交基,
所以
T = E, T = E,
故
QTQ E.
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵.
k
T k
k
k
i 2, 3,L , s
则 1, 2 , L , s 是与1 ,2 ,L ,s等价且两两正交
的向量组.
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
则称 1 ,2 ,L ,n为 Rn 的一组标准正交基.
【注】 1°标准正交基不唯一；
例如 1 (cos ,sin )T , 2 ( sin ,cos )T
2°特点: 设 1 ,2 ,L ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 L n ), 则
T
1T 2T
M
12 L
n
1T1 2T1
性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ; 进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.
(2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1也是正交矩阵 ;
(3) 若P, Q 都是n阶正交矩阵, 则PQ 也是n阶正交矩阵;
(4) Q为正交矩阵, 则 | Q | 1.
定理 设
Qn
(12 L
2
6
则
Q
1 2
1 6
0
2 6
1
3
1 3
,
且
QQT
E,
即 Q 为正交矩阵,
1 所以 1,2 ,3 是一组标准正交基 .
3
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； (4) A+B 为正交矩阵。
1T2 2T2
LL
L L
nT
nT1 nT2 L
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 是 Rn 的两组标准
正交基, 令 (1 2 L n ), (12 L n ) , 由 到
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QTQ E.
答：(4)不正确。
2 1 2
3 3 3
例3 设
P
2 3
2 3
1 3
,
设三维向量的长度
1 2 2
3
3
3
|| ||＝8, 则|| P ||＝？
【注】设 , 为n维向量, 在n阶正交矩阵A的作用下 ||A|| = || || , 且T = (A)T (A) .
向量 在正交矩阵A作用下变为A 称为正交变换.