第四章随机变量的数字特征试题答案

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第四章随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20，则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。

概率论与数理统计第四章

E (b) b E (aX ) aE ( X )
2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);
推广 : E [ X i ] E ( X i )
i 1 i 1 n n
E ( ai X i ) ai E ( X i )
i 1 i 1
n
n
3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
例2.（X,Y）服从二维正态分布，其概率密度为 1 f ( x, y ) 2 21 2 1
1 y 1 2 x 1 y 2 y 2 2 exp{ [( ) 2 ( )( )( ) ]} 2 1 1 2 2 (1 )
证明： XY
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
■相关系数
定义设D(X)>0, D(Y)>0, 称
XY
Cov( X , Y ) X EX Y EY E[ ] D( X ) D(Y ) DX DY
为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）
X Y E( X Y ) XY
练习
1.设离散型随机变量(Ｘ,Y)的分布列为 Y 0 1 2 X 则E(XY)=( ) 0 1/3 1/6 1/9 1 0 1/6 1/9 2 0 0 1/9
2.设随机变量Ｘ的概率密度为
e x f ( x) 0 x0 其它
Y=e-2X,则EY=( )
■数学期望的性质
1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b;
对正态分布而言，X、Y相互独立与互不相关是等价的。
例4.设随机变量(X,Y)~N(1, 1, 9, 16, -0.5) 令
第四章随机变量的数字特征

1381_高中数学：随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值课后习题(含答案

4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值必备知识基础练1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P3*******则X的数学期望E(X)等于()A.32B.2C.52D.32.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于()A.35B.815C.1415D.13.已知随机变量X的分布列是X4a910P0.30.1b0.2若E(X)=7.5,则a等于()A.5B.6C.7D.84.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3x xA.118B.19C.209D.9205.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的数学期望E(X)等于()A.126125B.65C.168125D.756.若从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个数,则这两个数的乘积的数学期望是.7.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为23,乙命中的概率为45,且他们的结果互不影响,若命中目标的人数为ξ,则E(ξ)=.8.设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的数学期望E(X)=3,则a+b=.9.在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积X的均值是.关键能力提升练10.已知0<a<23,随机变量ξ的分布列如图,则当a增大时,ξ的期望E(ξ)变化情况是()ξ-101P13a bA.E(ξ)增大B.E(ξ)减小C.E(ξ)先增后减D.E(ξ)先减后增11.(2021四川模拟)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上的地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同.比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,则抽到自己准备的书的人数的均值为()A.12B.1C.32D.212.(多选题)某市有A ,B ,C ,D 四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A 的概率为23,游览B ,C 和D 的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数,则下列选项正确的是()A.游客至多游览一个景点的概率为14B.P (X=2)=38C.P (X=4)=124D.E (X )=13613.随机变量X~B 10,12,变量Y=20+4X ,则E (Y )=.14.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E (ξ1)=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E (ξ2)=.15.某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为12,后2天均为34,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;(2)求未来5天组织课间操的天数X 的分布列和数学期望.学科素养创新练16.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;方案乙:始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为34,命中一次记3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为45,命中一次记2分,没有命中得0分,用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果ξ的值不低于3分,则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮3次.(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分ξ的分布列和数学期望;(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.参考答案4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值1.A E(X)=1×35+2×310+3×110=1510=32.2.A X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,P(X=2)=C32C102=115,所以E(X)=1×715+2×115=35.3.C因为E(X)=4×0.3+0.1a+9b+2=7.5,又0.3+0.1+b+0.2=1,所以a=7,b=0.4.4.C由题意,得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,解得x=118,所以,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×118=209.5.B根据题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125,所以E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65.6.8.5从1,2,3,4,5中任取不同的两个数,其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每个值的概率都是110,所以E(X)=110×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.7.2215ξ的可能取值为0,1,2,则P(ξ=0)=13×15=115,P(ξ=1)=23×15+13×45=25,P(ξ=2)=23×45=815,所以E(ξ)=0×115+1×25+2×815=2215.8.110由题意可得随机变量X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又E(X)=3,所以1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.联立以上两式解得a=110,b=0.所以a+b=110.9.49P(X=0)=3×3+2×3×2+1×3×236=2736,P(X=1)=2×236=19,P(X=2)=2×236=19,P(X=4)=136,X的分布列为X0124P27361919136所以E(X)=0×2736+1×19+2×19+4×136=49.10.B()=-13+,++=1,即E(ξ)=-13+23-a=13-a,所以当a增大时,ξ的期望E(ξ)减小,故选B.11.B 记抽到自己准备的书的学生数为X ,则X 的可能取值为0,1,2,4,P (X=0)=C 31×3A 44=924,P (X=1)=C 41×2A 44=824,P (X=2)=C 42×1A 44=624,P (X=4)=1A 44=124,所以E (X )=0×924+1×824+2×624+4×124=1.故选B .12.ABD 记该游客游览i 个景点为事件A i ,i=0,1,则P (A 0)=1-231-121-121-12=124,P (A 1)=23×1-123+1-23C 31×12×1-122=524,所以游客至多游览一个景点的概率为P (A 0)+P (A 1)=124+524=14,故A 正确;随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,P (X=0)=P (A 0)=124,P (X=1)=P (A 1)=524,P (X=2)=23×C 31×12×1-122+1-23×C 32×122×1-12=38,故B 正确;P (X=3)=23×C 32×122×1-12+1-23×C 33×123=724,P (X=4)=23×123=112,故C 错误;数学期望为E (X )=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136,故D 正确.故选ABD .13.40因为X~B 10,12,所以E (X )=10×12=5,因为Y=20+4X ,所以E (Y )=20+4E (X )=20+20=40.14.6576ξ1可取值为0,1,2,P (ξ1=0)=C 21C 21C 51C51=425,P (ξ1=1)=C 31C 21+C 21C 31C 51C 51=1225,P (ξ1=2)=C 31C 31C 51C51=925,所以E (ξ1)=1×1225+2×925=65.ξ2可取值为0,1,2,P (ξ2=0)=C 21C 21C 51C 61=430,P (ξ2=1)=C 31C 31+C 21C 41C 51C 61=1730,P (ξ2=2)=C 31C 31C 51C 61=930,所以E (ξ2)=1×1730+2×930=76.15.解(1)由题意,可知未来5天每天都组织课间操的概率为P 1=123142=1128,所以未来5天至少一天停止课间操的概率:P=1-P 1=1-1128=127128.(2)未来5天组织课间操的天数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,P (X=0)=123342=9128,P (X=1)=123C 213414+C 3112122×342=33128,P (X=2)=C 3212212342+C 3112×122·C 213414+123142=46128,P (X=3)=C 3112122142+C 3212212×C 211434+123342=30128,P (X=4)=C 3212212142+123×C 211434=9128,P (X=5)=123142=1128,所以X 的分布列为X 012345P912833128461283012891281128数学期望E (X )=0×9128+1×33128+2×46128+3×30128+4×9128+5×1128=2.16.解(1)在A 点投篮命中记作A ,不中记作;在B 点投篮命中记作B ,不中记作,其中P(A)=34,P()=1-34=14,P(B)=45,P()=1-45=15,ξ的所有可能取值为0,2,3,4,则P(ξ=0)=P()=P()P()P()=14×15×15=1100,P(ξ=2)=P()+P(B)=2×14×15×45=225,P(ξ=3)=P(A)=34,P(ξ=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)=14×45×45=425.ξ的分布列为P(ξ=0)=1100,P(ξ=2)=225,P(ξ=3)=34,P(ξ=4)=425.所以E(ξ)=0×1100+2×225+3×34+4×425=305100=3.05,所以ξ的数学期望为3.05.=P(ξ≥3)=34+425=91100=0.91,(2)选手选择方案甲通过测试的概率为P1=P(ξ≥3)=2×15×45×45+45×45=112125=0.896,因为P1>P2,所以该选手选择方案乙通过测试的概率为P2选手应选择方案甲通过测试的概率更大.。

第四章、随机变量的数字特征解答

第四章、随机变量的数字特征1．解：由题设可得222222()01()()()(0)(1)()i i ii i iEX x P x q p pDX E X EX x EX P x p q p p p q pq pq p q pq==⨯+⨯==-=-⋅=-⨯+-⨯=+=+=∑∑2．解：由题设可得0111[(1)(1)]111[(1)(1)]11(1)()!!()!!(1)!()!(1)!(1)![(1)(1)]!()nk k n ki i n ik nk n kk nk n kk nk n k k n k k n k n k n EX x P x k C p qn k p q k n k n p q k n k n np p q k n k np C pq np p q np-=-=-=----=------=-==⋅=⋅-=---=----==+=∑∑∑∑∑∑2201111111111111111[(1)1][(1)][(1)1]()nk k n k n k n k k n kn k nk k n k n k n nk k n kk k n kn n k k EX k C p q np C k pq np k C pq np k Cp qC p q np n p np np q -=----=----=--------===⋅==-+=-+=-+=+∑∑∑∑∑故222()()()DX EX EX np np q np npq=-=+-= 3．解：由题设可得11!(1)!kk k k EX k e k ek e e λλλλλλλλλ∞-=-∞-=-=⋅=-=⋅=∑∑220111121212!(1)![(1)1](1)![](2)!(1)![]kk k k k k k k k k EX k e k ek k ek k e k k e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∞-=-∞-=-∞-=--∞∞-==-=⋅=⋅-=-+⋅-=+--=+=+∑∑∑∑∑2222()DX EX EX λλλλ=-=+-= 4．解：由题设可得111122111(1)k k k k EX k pqp kq p p q p p∞∞--===⋅==⋅=⋅=-∑∑2211112121322[(1)](1)21(1)(1)2k k k k k k k k EX k pq k k k pq pq k k qp kq pqpq q q p p ∞-=∞-=∞∞--===⋅=-+=-+=+--+=∑∑∑∑2222221()()q p qDX EX EX p p p+=-=-= 5．解：由题设可得 1()2baa bEX x f x dx x dx b a +∞-∞+=⋅=⋅=-⎰⎰222221()3baa ab b EX x f x dx x dx b a +∞-∞++=⋅=⋅=-⎰⎰222222()()()3212a ab b a b b a DX EX EX +++-=-=-=6．解：由题设可得0222222222()1()()()2()211()()x x x x xEX x f x dx x e dxx de x e e d x EX x f x dx x e dx DX EX EX λλλλλλλλλλλλ+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-+∞+∞--∞=⋅=⋅=-=---==⋅=⋅==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7．解：由题设可得2()2()x EX x f x dx x dx μδ--+∞+∞-∞-∞=⋅=⎰⎰令x t μδ-= 则有222222()0t t t EX t dtte dtEX e dt δμδδμ+∞--∞+∞+∞---∞-∞=+==⎰2222()22()()()()x DX E X EX x f x dxx dxμδμμ+∞-∞--+∞-∞=-=-⋅=-⎰⎰令x t μδ-= 则有222222222222222222())]tt tt tDX t dtt e dt t det e e dtδδδ+∞--∞+∞+∞---∞-∞+∞---∞===-+∞=-+-∞=+=⎰⎰8．解：由题设可得11()EX x f x dxx+∞-∞-=⋅==⎰⎰1222112()122EX x f x dx xx dx+∞-∞-=⋅===⎰⎰⎰2211()022DX EX EX=-=-=9．解：由题设可得()12xEX x f x dxx e dx+∞-∞+∞--∞=⋅=⋅=⎰⎰22222002200001()2()()()022()22xx xx xx xxEX x f x dx x e dxx e dx x dex e e d xxe dx x dee dx+∞+∞--∞-∞+∞+∞--+∞-+∞-+∞+∞--+∞-=⋅=⋅=⋅=-=---=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22()202DX EX EX=-=-= 10．解：由题设可得222030()()()()14133X x x x xxE X e x e f x dxx e e dxxe dx e dx+∞---∞+∞--+∞+∞--+=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰11．解：由题设可得101!(1)!kk k k EX k e ee e k k λλλλλλλλλ-∞∞---===⋅==⋅=-∑∑2220!kk EX k e k λλλλ∞-==⋅=+∑22[(1)(2)]32()322E X X EX EX λλλ--=-+=+++=220λλ-=故 2λ= （0λ=舍去） 12．解：（1）记以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域为D ，则区域D 的面积为12D S =，从而（X ，Y ）的联合概率密度为 12,(,)(,)0,(,)Dx y DS f x y x y D ⎧=∈⎪=⎨⎪∉⎩（2）111120()()(,)2()2()142()23xDE X Y x y f x y dxdyx y dxdy dx x y dy x x +∞+∞-∞-∞-+=+=⋅+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．解：（1）根据数学期望的性质，有()000E X Y EX EY +=+=+=（2）根据方差与协方差及相关系数的性质，有(,)0.5(,)20.51()2(,)22216R X Y cov X Y D X Y DX DY cov X Y ====⨯=+=++=++⨯=14．解：（1）根据 ()(,)X i i j jp x p x y =∑与 ()()Y j i j ip y p x y =∑ 得X 与Y 的边缘分布分别为故 55315,88864E X E Y D X D Y ====⨯=(,)111110001101148822i j i j ijEXY x y P x y ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∑∑故 1557(,)28864c o vX Y E X Y E X E Y =-=-⨯=77(,)15R X Y === 15．解：由于 221(1,3),(0,4),(,)2X N Y N R X Y =- 故有 221,3,0,4EX DX EY DY ====(,)(,)1,(,)6122R X Y cov X Y cov X Y ====-=-从而11111()103232323X Y EZ E EX EY =+=+=⨯+⨯=22()()()2cov(,)32323211112cov(,)94321111342(6)39432X Y X Y X Y DZ D D D DX DY X Y =+=++=++⋅⋅⋅=⨯+⨯+⨯⨯⨯-= 16．解：由题设，有2221(1)12,62211(1)(),22242X E EX EX X X D D DX DX -=-==-====从而2222()6()2()4,2DX EX EX EX EX EX =-=-===17．解：由()1f x dx +∞-∞=⎰得11()12ax b dx a b +=+=⎰ 又由题设条件 118DX = 得1011()32EX x ax b dx a b=+=+⎰122011()43EX x ax b dx a b =+=+⎰222221111()()()43321111114393418DX EX EX a b a b a b a ab b =-=+-+=+---=由上解得：2,0a b == 从而 11220323EX =⨯+⨯= 18．解：由于2~(,)X N μσ且EX = 3，DX = 1，故 23,1,1~(3,1)EX DX X N μσσ=====故{11}(1)(1)1313()()11(2)(4)[1(2)][1(4)](4)(2)0.9999680.97720.022768P X F F -≤<=-----=Φ-Φ=Φ--Φ-=-Φ--Φ=Φ-Φ=-=19．解：由于~(,)X B n p ，故2.4(1) 1.44EX np DX np p ==⎧⎨=-=⎩从而 6,0.4,~(6,0n p XB ==00611566{1}{0}{1}0.40.60.40.60.023328P X P X P X C C ≤==+==⨯⨯+⨯⨯=20．解：（1）根据数学期望的性质，有()231E X Y EX EY -=-=-=-（2）根据方差与协方差及相关系数的性质，有222()20216D XE X E X =-=-= 222()34325DY EY EY =-=-=(,)0.5R X Y ===(,)10()2(,)162521021cov X Y D X Y DX DY cov X Y =-=+-=+-⨯=五、证明题：1．证：由题设，有222222()[()()][()()][()()2()()]()()2[()()]2(,)D X YE X Y E X Y E X EX Y EY E X EX Y EY X EX Y EY E X EX E Y EY E X EX Y EY DX DY Cov X Y +=+-+=-+-=-+-+--=-+-+--=++2．证：由题设，有*[]0EX E E X EX ==-=22***2*222()()[]11()1DX EX EX EX X EX E E DX E X EX DX DX DX=-=-===-=⋅=。

第四章随机变量的数字特征课后习题参考答案

第四章随机变量的数字特征1．解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。

得，00101191010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。

因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =⨯=。

2．解：1500300022201500()()(3000)5001000150015001500x xE X xf x dx dx x dx +∞-∞-==+-=+=⎰⎰⎰。

3．解：1()(2)0.400.320.30.2kk i E X xp ∞===-⨯+⨯+⨯=-∑；221(35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞=+=+=⨯+⨯+⨯=∑22(35)3()513.4E X E X +=+=。

4．解：（1）0()(2)2()2()22(|)2xx x E Y E X E X xf x dx x edx xe e dx +∞+∞+∞--+∞--∞==== =-+=⎰⎰⎰.（2）2233001133()()()|Xxx x E Y E eef x dx e dx e +∞+∞----+∞-∞=== =-=⎰⎰.5．解：（1）333111()10.420.230.42i i i ij i i j E X x px p •======⨯+⨯+⨯=∑∑∑.333111()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p •======-⨯+⨯+⨯=∑∑∑.（２）7111()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-⨯+-⨯++⨯+⨯=-∑。

221()40.400.340.3 2.8k k i E X x p ∞===⨯+⨯+⨯=∑（3）51()40.390.4160.010.200.15i i i E Z z p ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑。

概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答

习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。

解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。

2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。

现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。

解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。

因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。

所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===，所以11()(12)2i n E X n n+=+++=，所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。

注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。

3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。

每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。

（设诸产品是否是次品是相互独立的。

）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。

注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。

即p 值。

4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。

保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。

第4章随机变量数字特征习题解答

+∞ −∞
4 16 4 − = 5 15 25
1 2(1− x ) 0 0
∫
+∞
−∞
xyp ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫
6 x 2 y 2 dy =
4 15
且 E ( X ) = E (Y ) = 0 ，D ( X ) = D (Y ) = 1 ，令U = X ， 32．已知随机变量 X 与 Y 不相关，
Y=
X 1 + X 2 + L + X 10 ( X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅, X 10 与 X 同分布)，则 E (Y ) = 10
a
．
25．对目标进行独立射击每次命中率均为 p = 0.25 ，重复进行射击直至命中目标为止，设 X 表示射击次数，则 E ( X ) = _____4______．
D (2 X − 3Y ) = ___11_____．
21．若 D ( X ) = 4 ， D (Y ) = 1 ， ρ XY =
1 ，则 D ( X − Y ) = ___3____． 2
22．若 ( X , Y ) 的相关系数 ρ XY 存在，则 | ρ XY | 的可能的最大值等于_____1______． 23 ．若随机变量 ( X , Y ) 的相关系数
1 b p ( x)dx = ∫ (12 x 2 − bx + 3)dx = 6 − 得， b = 12 0 2 1 1 E ( X ) = ∫ x(12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 2 1 2 E ( X 2 ) = ∫ x 2 (12 x 2 − 12 x + 3)dx = 0 5
ρ XY 存在，则 | ρ XY |= 1 的充要条件是

随机变量的数字特征试题答案

第四章随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5? B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D（Z ）=? （??C?） A. 1 ?B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ． 31 ?B ． 1C ． 310 ?D ． 1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ）A ．)(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)21,10(~B X，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ）A ． -0.8 ?B ． -0.16C ． 0.16 ?D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ．91- ?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A ． 2- ?B ． 0 C ．0.5 ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A)A ．5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 519、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XYρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ，则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ．)()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ）A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =5 2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1 3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =94 8、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=09、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E?(?Y?)=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772）17、设随机变量X?~?B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.841318、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。

第4章随机变量的数字特征习题解答

+∞ −∞
x
λ π (λ+x
2
)
dx =
λ
2π
+∞ ln( λ + x 2 ) | 0 = +∞
| x | f ( x ) dx 不收敛，因此 E ( X ) 不存在。
5、解
（1） E ( X ) = ∫
+∞ −∞
+∞ −∞
xf ( x )dx = ∫ x ⋅xdx + ∫ x ⋅ ( 2 − x ) dx = 1
P { X = ( −1 ) k +1 3k 2 ,k =1, 2 , }= k 3k
说明 X 的数学期望不存在。 4、设随机变量 X 的概率密度为
f (x)=
λ π (λ+x2 )
, −∞ < x < ∞
说明 X 的数学期望不存在。 5、设随机变量 X 的概率密度为
⎧ x , 0 ≤ x ≤1 ⎪ （1） f ( x ) = ⎨ 2 − x , 1 < x ≤ 2 ⎪ ⎩ 0 , 其它
1 ⎧ ,| x | <1 ⎪ （2） f ( x ) = ⎨ π 1 − x 2 ⎪ 0, 其它 ⎩ 1 ⎧ x, 0 ≤ x ≤ 1500 ⎪ 2 ( 1500 ) ⎪ ⎪ −1 ⎪ ( x − 3000 ), 1500 < x ≤ 3000 （3） f ( x ) = ⎨ ⎪ ( 1500 ) 2 ⎪ 0, 其它 ⎪ ⎪ ⎩
XY
=−
1 X Y ，设 Z = + 2 3 2
（1）求 X 的数学期望 E（X）和方差 D（X）；（2）求 X 与 X 的相关系数 P XZ ；（3）问 X 与 X 是否相互独立？（二）解答 1、解因 E ( X ) = 0 × 0 .4 + 1 × 0 .3 + 2 × 0 .2 + 3 × 0 .1 = 1

概率论与数理统计+第四章+随机变量的数字特征+练习题

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第四章随机变量的数字特征一、填空题1．已知随机变量X 的分布函数为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--=．　若　，若，若，＜若 1 , 1 10 , 0.7501 , 25.01 , 0 x x x x x F 则⎪⎭⎫ ⎝⎛+21X X D = ． 2．设随机变量X 分布函数为()x F ，则随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01,,0 ,0,0,1 X X X Y 若若若的数学期望=EY ．3．设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量)1(1X Y +=的数学期望EY = ．4．假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ= ．5．设随机变量X 和Y 独立同正态分布()21,0N ，则||Y X D -= ．6．100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于．7．有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶．则变质饮料的瓶数X 的概率分布是．8．假设随机变量X 和Y 的方差都等于1，X 和Y 的相关系数为0．25，则随机变量Y X U +=和Y X V 2-=的协方差为．9．三名队员投篮的命中率分别为0.45、0.5和0.4，且相互独立，现在让每人各投一次，则三人总进球次数的期望是．10．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= ．11．设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布；随机变量 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.01,00,01X X X Y 若若若则方差=DY ．12．随机变量X ，Y 的联合概率分布为则2X 和2Y 的协方差),(22Y X Cov = ．13．设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则Cov(),1Y X = ．二、选择题1．对于任意随机变量X 和Y ，如果)()(Y X D Y X D -=+，则（）．(A) X 和Y 独立； (B) X 和Y 不独立；(C) )()()(Y D X D XY D =； (D) )()()(Y E X E XY E =．2．设X 在区间[－1,1]上均匀分布，则X U arcsin 和X V arccos =的相关系数等于（）．(A) 1-； (B) 0； (C) 0.5； (D) 1．3．假设试验E 以概率p 成功，以概率p q -=1失败，分别以X 和Y 表示在n 次独立地重复试验中成功和失败的次数，则X 和Y 的相关系数ρ等于（）．(A)1-； (B) 0； (C) 1/2； (D) 1．4．设随机变量X 的方差存在，且记μ=EX ，则对任意常数C ，必有（）．（A ）222)(C EX C X E -=-；（B ）22)()(μ-=-X E C X E ；（C ）22)()(μ-<-X E C X E ；（D ）22)()(μ-≥-X E C X E5．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他010)(x bx a x f ，又X 的期望53=EX ，则X 的标准差为（）．（A ）15011 ；（B ）150121；（C ）1511 ；（D ）3013． 6．设随机变量X 和Y 的方差存在且为正，则DY DX Y X D +=+)(是X 和Y （）．（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；（B ）独立的必要条件，但不是充分条件；（C ）不相关的充要条件；（D ）独立的充要条件．7．设二维随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，则随机变量Y X Y X -=+=ηξ与不相关的充要条件为（）．（A ）EY EX =；（B ）2222)()(EY EY EX EX-=-；（C ）22EY EX =；（D ）2222)()(EY EY EX EX +=+．8．将一枚硬币重复掷n 次，以X ，Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X ，Y 的相关系数等于（）．（A ）1-；（B ）0；（C ）1/2；（D ）1．三、解答题1．自动生产线加工的零件的内径X (mm)服从正态分布)1,(μN ，内径小于10或大于12mm的为不合格品，其余为合格品．每件产品的成本为10元,内径小于10mm 的可再加工成合格品，尚需费用5元．全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元．问零件的平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？2．假设某季节性商品，适时地售出1kg 可以获利s 元，季后销售每千克净亏损t 元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X （kg ）是一随机变量，并且在区间),(b a 内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？3．独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p ．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a ．4．假设n 个信封内分别装有发给n 个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X 表示收到自己通知的人数，求X 的数学期望和方差．5．求}1|,min{|X E ，假设随机变量X 服从柯西分布，其概率密度为()()∞<<∞-+=x x x f 11)(2π． 6．假设一种电器设备的使用寿命X （单位：小时）是一随机变量，服从参数为λ=0．01的指数分布．使用这种电器每小时的费用为C 1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C 2=10元．此设备由一名工人操作，每小时报酬为C 3=4元，并且按约定操作时间为h 小时支付报酬．问约定操作时间h 为多少时，能使期望利润最大？7．一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和0．5(千小时)，试求线路无故障工作时间X 的数学期望．8．设随机变量X ，Y 相互独立，并且都服从正态分布),(2σμN ，求随机变量},min{Y X Z =的数学期望．9．假设随机向量),(Y X 在以点)1,1(),0,1(),1,0(为顶点的三角形区域上服从均匀分布．试求随机变量Y X Z +=的方差．10．假设随机变量X ，Y 的数学期望都等于１，方差都等于2, 其相关系数为0．25，求随机变量Y X U 2+=和Y X V 2-=的相关系数ρ．11．假设随机变量1021,,,X X X 独立同分布，且方差存在．求随机变量 651X X X U +++= 和 1065X X X V +++=的相关系数ρ．12．对于任意二随机事件A 和B ，设随机变量⎩⎨⎧-=，不出现若出现若 ,1, ,1A A X ⎩⎨⎧-=；不出现若出现若 , 1 , ,1B B Y 试证明“随机变量X ，Y 不相关” 当且仅当“事件A 和B 独立”．13．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望为多少．14．某产品的次品率为0．1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备．假设各产品是否为次品是相互独立的，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E 和)(X D ．15．有3只球, 4只盒子, 盒子的编号为1,2,3,4．将球逐个独立地, 随机地放入4只盒子中去,以X 表示其中至少有一只球的最小号码(例如X =3表示第1号,第2号盒子是空的,第3号盒子至少有一个球), 试求)(X E 和)(X D ．16．某射手每次射击的命中率为)10(<<p p , 他有6发子弹, 准备对一目标进行射击, 一旦打中或子弹打完, 他就立即转移, 求他在转移前平均射击的次数．17．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 试求)2|(|DX EX X P ≥-18．设随机变量X 的分布律为 ,3,2,1,32)(===n n X P n ，试求X Y )1(1-+=的数学期望与方差． 19．设随机变量X ，Y 相互独立，且X 服从[0,2]上的均匀分布，)1,1(~N Y ，求)(XY D20．设随机变量X 的分布列为若随机变量32,X Z X Y ==，（1）试求),(Z Y Cov ，并问Y ，Z 是否相关；（2）求二维随机变量（Y ，Z ）的联合分布列；（3）试问Y ，Z 是否独立？为什么？21．已知二维随机变量（Y X ,）的概率密度为 ⎩⎨⎧<<++=其它01,0)1(),(y x xy y C y x f （1）试确定常数C ；（2）试问Y X ,是否相互独立？为什么？（3）试问Y X ,是否不相关？为什么？如果相关的话，其相关系数是多少．22．已知二维随机变量（Y X ,）的概率密度为⎩⎨⎧<≤<=其它01012),(2x y y y x f 试求：（1）2)(Y X E -（2）Y X ,的协方差．23．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本，且2,σμ==DX EX 存在，X 为样本均值，试证明X X i -与X X j -的相关系数为n j i j i n ,,2,1,,,11 =≠--=ρ 24．设随机变量X 服从参数为0>λ（λ待定）的指数分布，)(x F 为其分布函数，若已知21)31(=F ，试确定最小值2)(min C X E C -是多少？ 25．随机的向半圆)0(202>-<<a x ax y 抛掷一个点, 点落在任何一个区域的概率与该区域的面积成正比, 设原点与该点的连线与x 轴正向的夹角为θ, 试求θ的数学期望与方差．26．假设一电路由3个同种电子元件，其工作状况相互独立，无故障工作时都服从参数为0>λ的指数分布，当3个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作时间T 的概率分布、数学期望与方差．27．编号为n ,,2,1 的n 张卡片中随机地抽取1张，如果抽出的卡片的号码为k ，则第2张卡片从编号为k ,,2,1 的k 张卡片中抽取．记X 为抽出的第2张卡片的号码，试证：43+=n EX ． 28．设随机变量Z Y X ,,相互独立，且X 服从[0,6]上的均匀分布，Y 服从正态分布2(0,2)N , Z 服从参数为31的指数分布，试求2)(Z XY E -和)32(Z Y X D -+． 29．设Y X ,是相互独立，分别服从参数为0>λ和0>μ的指数分布，令⎩⎨⎧>≤=YX Y X Z 2,02,1．求Z 的分布函数和方差． 30．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他002cos 21)(πx x x f ，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望． 31．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．32．设n X X X ,,,21 i ．i ．d ),(~2σμN ,求)||(1∑=-n k k X XE ，其中∑==n k k n X X 1133．供电公司每月可以供应某工厂的电力服从[10，30]（单位：万度）上均匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从[10，20]上的均匀分布．如果工厂能从供电公司得到足够的电力，则每一万度电可创造30万元的利润，若工厂从供电公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其它途径自行解决，此时，每一万度电只能产生10万元的利润．问该工厂每月的平均利润为多大？34．对于任意二事件A B 与，0101<<<<P A P B (),(),))(1)(())(1)(()()()(B P B P A P A P B P A P AB P ---=ρ称为事件A B 与的相关系数．(1)证明事件A B 与独立的充分必要条件是其相关系数等于0；(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明1||≤ρ．35．设随机变量X 的具有连续的密度函数为)(x f ，令||)(a X E a h -=，试证明：当a 满足21)(=≤a X P 时（此时称a 为X 的中位数），)(a h 达到最小．。

《概率论与数理统计》习题四参考答案随机变量的数字特征(熊万民、杨波版)

所以Y X N 1, 42 ，从而 Y X 1 N 0,1 4
于是
Px
y
Py
x
0
P
y
x 4
1
1 4
1 4
1
1 4
0.4013
19.解：
设 X Bn, p, Y n,q,q 1 p ，则
EX np, DX npq, EY nq, DY nqp npq
XY
E X
E X Y E Y
为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件：{1 号盒中没有球}，其概率为
33 ，因此 43
PX
=1
1
33 43
4 3 3 43
3
{X=2} 表示 {1 号盒中没有球，而 2 号盒中至少有一个球}，类似地得到：
PX =2
33
23 43
于是
PX
=3
23 13 43
PX
=
4
13 43
E（X）=1
0
1
0 (ax b)dx 1 1.2,b 0.4
EX 2 1 x2 (ax b)dx 13
0
30
DX EX 2 (EX )2 13 0.62 11
30
150
14.
E[(X Y )2 ] E( X 2 2XY Y 2 ) EX 2 2E( XY ) E(Y )2 DX (EX )2 DY (EY )2 2EXEY 10
XY
Cov X, Y
DX DY
0
因此 X 与 Y 不相关
2）fX x
f x, ydy
x 1, fX x 0
x 1, fX
1 x2
1 1 x2
1

天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解.doc

第 4 章随机变量的数字特征一、填空题1、设X为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于E( X ) E(Y)2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X) D(Y) .3、已知随机变量X 服从二项分布，且E(X ) 2.4, D(X) 1.44 ，则二项分布的参数n= 6 , p= .4、已知X服从(x ) 1 e x2 2x 1，则 . E(X)=1 , D(X)=1/2.5、设X的分布律为X 1 0 1 2P 1 1 1 1 8 4 2 8则 E(2X 1) 9/4 .6、设X ,Y相互独立，则协方差cov( X ,Y ) 0 .这时， X ,Y 之间的相关系数XY 0 .7 、若XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 | XY| 1的充要条件是P Y aX b 1 .8、XY是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数，当XY 0时，X与Y 不相关，当| XY | 1 时，X 与 Y 几乎线性相关 .9、若D(X) 8, D(Y ) 4 ，且X ,Y相互独立，则 D (2X Y ) 36 .10、若a, b为常数，则D (aX b) a2 D ( X ) .11、若X ,Y相互独立，E( X ) 0, E(Y) 2 ，则 E(XY ) 0 .12、若随机变量X 服从[0,2 ]上的均匀分布，则E( X )π.13、若D(X) 25, D(Y ) 36, XY 0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12 ， D(X Y) 85，D ( X Y ) 37 .14、已知E( X ) 3，D(X) 5，则E(X 2)2 30 .15、若随机变量X 的概率密度为e x x 0，(x)x，则 E(2X ) 20 0E (e 2 X ) 1/3 .二、计算题1、五个零件中有 1 个次品，进行不放回地检查，每次取 1 个，直到查到次品为止。

概率论与数理统计第04章随机变量的数字特征第2讲

| x-m |
2
| x - m | e 2
e
2
f ( x) d x
2
s 2 ( x - m ) f ( x) d x 2 . e - e
此不等式也可写为:
s P{| X - m | e } 1 - 2 e
2
(2.10)
16
这个不等式给出了, 在随机变量X的分布未知的情况下事件{|X-m|<e}的概率的下限估计. 例如, 在(2.10)式中分别取e=3s, 4s得到 P{|X-m|<3s}0.8889, P{|X-m|<4s}0.9375. 在书末附表1中列出了多种常用的随机变量的数学期望和方差, 供读者查用.
2 2
2
4
方差的几个重要性质 (1) 设C是常数, 则D(C)=0. (2) 设X是随机变量, C是常数, D(CX)=C2D(X).
(3) 对任意两个随机变量X,Y, D(X+Y)=D(X)+D(Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} (2.5) 特别, 若X,Y相互独立, 则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) (2.6) (4) D(X)=0的充要条件是X以概率1取以cm计)X~N(22.40, 0.032), 气缸的直径Y~N(22.50, 0.042), X,Y相互独立. 任取一只活塞, 任取一只气缸, 求活塞能装入气缸的概率. 解按题意须求P{X<Y}=P{X-Y<0}. 由于 X-Y~N(-0.10, 0.0025), 故有 P{X<Y}=P{X-Y<0}
概率论与数理统计
第四章随机变量的数字特征
第2讲
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例1 设随机变量X具有数学期望E(X)=m, 方差 D(X)=s20. 记X *=(X-m)/s . 1 1 * 则 E ( X ) E ( X - m ) [ E ( X ) - m ] 0; s s 2 X - m * *2 * 2 D( X ) E ( X ) - [ E ( X )] E s

概率论与数理统计(理工类,第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章

第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为求E(X),E(X2),E(3X2+5).解答：E(X)=-2×0.4+2×0.3=-0.2,E(X2)=(-2)2×0.4+22×0.3=2.8,E(3X2+5)=[3×(-2)2+5]×0.4+(3×02+5)×0.3+(3×22+5)×0.3=13.4.习题7设连续型随机变量X的概率密度为f(x)={kxa,0<x<10,其它,其中k,a>0,又已知E(X)=0.75,求k,a的值.解答：\because∫-∞+∞f(x)dx=1,∫-∞+∞xf(x)dx=0.75,∴∫01kxadx=1,∫01x⋅kxadx=0.75,即ka+1xa+1∣01=1,ka+2xa+2∣01=0.75,即{ka+1=1ka+2=0.75,∴k=3,a=2.习题8设随机变量X的概率密度为f(x)={1-∣1-x∣,0<x<20,其它,求E(X).解答：f(x)={x,0<x<12-x,1≤x<20,其它,所以E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.0,E(Y)=-1×0.3+0×0.4+1×0.3=0.(2)可以利用X,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求E(Z),也可以利用定理直接求E(Z),下面采取直接求法.E(Z)=E(YX)=∑i∑jyjxipij=(-1×0.2+1×0.1)+(-12×0.1+12×0.1)+(-13×0+13×0.1)=-115.(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij=(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z),得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2+1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1]+(-1)2×0.3+12×0.3=5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).解答：如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615.习题13设X和Y相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY).解答：解法一由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.解法二令z=y-5,则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x⋅2xdx⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求E(X),D(X).解答：由题设知，X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)由P{X=1}=P{X=2},得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ;(C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？解答：哪家工厂的灯泡寿命期望值大，哪家的灯泡质量就好.由期望的定义有E(X)=900×0.1+1000×0.8+1100×0.1=1000,E(Y)=950×0.3+1000×0.4+1050×0.3=1000.今两厂灯泡的期望值相等：E(X)=E(Y)=1000,即甲，乙两厂的生产水平相当. 这就需要进一步考察哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即看哪家工厂的灯泡寿命取值更集中一些，这就需要比较其方差.方差小的，寿命值较稳定，灯泡质量较好，则方差的定义式得D(X)=(900-1000)2×0.1+(1000-1000)2×0.8+(1100-1000)2×0.1=2200,D(Y)=(950-1000)2×0.3+(1000-1000)2×0.4+(1050-1000)2×0.3=1500.因D(X)>D(Y),故乙厂生产的灯泡质量较甲厂稳定.习题7已知X∼b(n,p),且E(X)=3,D(X)=2,试求X的全部可能取值，并计算P{X≤8}.解答：\becauseE(X)=np,D(X)=np(1-p),∴{np=3np(1-p)=2,即{n=9p=13,∴X的取值为：0,1,2,⋯,9,P{X≤8}=1-P{X=9}=1-(13)9.习题8设X∼N(1,2),Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY).解答：\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy =E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200,D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225.(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-≤y-=Φ(y-)>0.99.查标准正态分布表得y-=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。

概率论与数理统计习题册第四章答案

× (−1) j+1 3 j j
= ∞ (−1) j+1 × 2 = ∞ 2 = +∞
j =1
j j=1 j
∞
∑ 所以级数 x j p j 非绝对收敛，故由定义可知 X 的数学期望不存在。 j =1
四、有 3 只球、4 只盒子，盒子的编号为 1，2，3，4.将球逐个独立地、随机地放入 4 只盒
子中去.以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小编码(例如， X = 3 表示第 1 号，第 2 号盒子
六、设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为 P( X = 1,Y = 10) = P( X = 2,Y = 5) = 0.5 ，试求 ρ XY .
例 22)
************************************************************************
十二、一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假
设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和
0.5(千小时)，试求线路无故障工作时间 X 的数学期望．
30 30
30 30
P{Y = 4} = C41 = 4 , P{Y = 9} = C91 = 9
30 30
30 30
即 Y 的分布律为
Y
2
3
4
9
pk
2 30
15 30
4 30
9 30
所以 E(Y ) = 2 × 2 + 3× 15 + 4 × 4 + 9 × 9 = 73 . 30 30 30 30 15
f
(x)
=
⎧⎪⎨θ1
−

概率论习题

第四章、随机变量的数字特征检测题一、单项选择题,在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在表格中。

错选、多选或未选均无分。

1.设离散随机变量X 的分布列为，则D （X ）＝（）A.0.21B.0.6C.0.84D.1.22．设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝( ) A.61B. 65C. 625 D.53.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（） A. 3B. 6C. 10D. 124.设二维随机向量（X,Y ）~N(μ1，μ2，ρσσ,,2221)，则下列结论中错误．．的是（） A.X~N （21,1σμ），Y~N （222,σμ）B.X 与Y 相互独立的充分必要条件是ρ=0C.E （X+Y ）=21μ+μD.D （X+Y ）=2221σ+σ5.设随机变量X ，Y 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E （X+Y ）=（） A.61B.21 C.1D.26.设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（）A.D(X+c)=D(X)B.D(X+c)=D(X)+cC.D(X-c)=D(X)-cD.D(cX)=cD(X)7.设E （X ）=E （Y ）=2，Cov(X,Y)=，61-则E （XY ）=（） A.61-B.623C.4D.625 8.设随机变量X ～U(0，2)，又设Y=e -2X ，则E(Y)=( ). A. 21(1-e -4) B.41(1-e -4) C.41D. -41e -4 9．设（X ，Y ）为二维连续随机向量，则X 与Y 不相关．．．的充分必要条件是（） A ．X 与Y 相互独立B ．E （X ＋Y ）＝E （X ）＋E （Y ）C ．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）D ．（X ，Y ）～N （μ1，μ2，21σ，22σ，0）10．设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，21），则Cov （X ，Y ）＝（） A ．21 B ．3 C ．18D ．3611．已知二维随机向量（X ，Y ）的联合分布列为（）则E （X ）＝ A ．0.6 B ．0.9 C ．1D ．1.612.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（）A.1B.2C.3D.413.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5 B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4D.E （X ）=2，D （X ）=214.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（）A.1B.4C.5D.615.已知D （X ）=4，D （Y ）=25，Cov （X ，Y ）=4，则ρXY =（）A.0.004B.0.04C.0.4D.416．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（） A ．8 B ．16 C ．28D ．44二、填空题,不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

第四章随机变量的数字特征(有答案)

第四章随机变量的数字特征1. (2016)设随机变量X 的概率密度函数2,01(),0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他则2()E X =0.5 .2. (2016)设随机变量X 与Y 满足()1,()2,()4,()9,0.5XY E X E Y D X D Y ρ=====, 则()E XY = 5 .3. (2016)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1) 求,X Y 的边缘分布律; (2) 求,X Y 的相关系数XY ρ; (3) 判断,X Y 是否相关、是否独立？解答: （1）X 与Y分分（2）2()()3E X E Y ==, 4()()9D X D Y ==, 2()9E XY =, 因此故 1.2XY ρ===- …...................................4分（3）X 与Y 相关, 不独立. ...............................................................................2分4.(2016)设A 与B 是两个随机事件, 随机变量1,,0,A X A ⎧=⎨⎩出现不出现 1,,0,B Y B ⎧=⎨⎩出现不出现证明: 随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.证明: X故 ()()E X P A =, 同理, ()()E Y P B =.XY故 ()()E XY P AB =. ...........................................................................................3分XY ρ==因此 X 与Y 不相关0XY ρ⇔=()()()E XY E X E Y ⇔=()()()P AB P A P B ⇔= 即 X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. ..................................2分 5. (2015)设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则期望2[(1)]E X +=11 . 6. (2015)设随机变量X 服从正态分布2(1,3)N , Y 服从正态分布2(0,4)N , X 与Y的相关系数12XY ρ=-, 设32X YZ =+, 求:(1) Z 数学期望()E Z 及方差()D Z ;(2) X 与Z 的协方差cov(,)X Z 及相关系数XZ ρ. 解答：（1）111()()()323E Z E X E Y =+=;()()32X YD Z D =+1111()()29432XY D X D Y ρ=++⋅⋅2211111342()34394322=⋅+⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅=. …...................................…6分（2）cov(,)cov(,)32X YX Z X =+ 11cov(,)cov(,)32X X X Y =+11()32XY D X ρ=+21113(0322=⋅+-=. 故 0XZ ρ=. ............................................................................................……...4分 7. (2014)对球的半径做近似测量, 设测量值均匀分布在区间(2,3)上, 则球的体积的数学期望为653π . 8. (2014)设随机变量X 与Y 的方差均为4, 相关系数12XY ρ=, 2Z X Y =+, 则协方差cov(,)X Z = 8 .9. (2014)设X ,Y 为随机变量, 下列选项中, 不是()()()E XY E X E Y =的充要条件的是 D . (A) cov(,)0X Y = (B) ()D X Y DX DY -=+ (C) X 与Y 不相关(D) X 与Y 独立10. (2014)设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩，其他. （1）求常数A ;（2）设随机变量2Y X =, 求Y 的概率密度函数()Y f y ;（3）设随机变量11,,210,.2X Z X ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩, 求()E Z .解答：（1）+-()d 1f x x ∞∞=⎰，即+d 1Ax x ∞-∞=⎰，得2A =. ……………………3分（2）法1：2y x =的反函数为x =(01,()0,X XYf f yf y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.0,01,0,y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.1,01,0,y<<⎧=⎨⎩其它.…………………4分法2：2(){}{}YF y P Y y P X y=≤=≤当0y≤时：()0YF y=，当01y<<时：(){dYF y P X x x y=≤≤==⎰，当1y≥时：()1YF y=.因此1,01,()()0,Y Yyf y F y<<⎧'==⎨⎩其它.……………………………………4分（3）11213{1}{}2d24P Z P X x x==≥==⎰，故3()4E Z=. ………………………3分11.(2014)设某厂生产的某种设备的寿命（单位: 年）X服从指数分布, 其概率密度函数为141e, 0,()40,0.xxf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定: 若出售的设备在一年内损坏, 则可予以调换. 工厂售出一台设备后, 若在一年内未损坏, 厂方可获利100元, 若在一年内损坏, 厂方则亏损200元.试求厂方售出一台设备的平均利润.解答：设Y为厂方售出一台设备的利润，有114411{1}e d1e4xP X x--<==-⎰，……………………3分则Y平均利润111444()100e200(1e)300e200E Y---=--=-. (3)分。

第四章随机变量的数字特征试题答案